1. §2−4 空 間 中 的 直 線
(甲)直線的表示法
(1) 空 間 中 直 線 參 數 式
~2−4−1~

2. 回 憶 坐 標 平 面 上 的 直 線
在 坐 標 平 面 上 ， 一 直 線 L 過 A(x 0 ,y 0 ) ， 且 與 一 向 量 =(a,b)(≠) 平 行 。
 x = x0 + at
若(x,y)為 L 上任意點，則  y = y + bt ，t 為一實數，這個式子稱為 L 的參 數 式 。
 0
證 明 ： 設 P(x,y) 為 直 線 L 上 任 一 點 ，
// ⇔ =t ⇔ (x−x 0 ,y−y 0 )=t(a,b)
P
 x = x0 + at A
所 以  ， t 為 實 數 。
 y = y 0 + bt
O
注 意 ：
(a) 在 坐 標平面上，一直線上的點 P(x,y) 滿足一個方程式 ax+by+c=0 ，而方程式
的 解 皆 為 此 直 線 上 的 點 。 這 是 直 線 用 方 程 式 表 示 的 形 式 。
(b)用參數式表示直線，重點在於用 t 表示直線的點坐標。換句話說，直線上任
一 點 P(x,y) 皆 可 找 到 一 個 實 數 t 使 得 x=x 0 +at ， y=y 0 +bt ； 另 一 方 面 ， 當 t 代 入
任 何 實 數 後 ， 形 成 的 點 構 成 一 條 直 線 。
空 間 中 的 直 線
類似坐標平面上直線的參數式，用直線的方向向量與一點來表示空間中的直線。
設 A(x 0 ,y 0 ,z 0 ) 是 直 線 L 上 一 個 定 點 ， 且 直 線 L 的 方 向 向 量 為 =(a,b,c)
 x = x0 + at
 z
則 直 線 L 的 參 數 式 為  y = y 0 + bt ， t 為 實 數 。 P
 z = z + ct
 0 A
L
[ 證 明 ] →v：
■
設 P(x,y,z) 為 直 線 L 上 任 一 點 ， y
O
// ⇔ =t ⇔ (x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )=t(a,b,c)
 x = x0 + at x

所 以 L 的 參 數 式 為  y = y 0 + bt ， t 為 實 數 。
 z = z + ct
 0
~2−4−2~

3. 1. 空間中，兩點 A(1,−1,2)，B(3,0,5)求 AB 的參數式。
 x = 1 + 2t

Ans：  y = −1 + t ，t 為實數
 z = 2 + 3t

~2−4−3~

4. (2) 空 間 中 直 線 的 比 例 式 、 二 面 式 ：
例 子 ：
設直線 L 的方向向量=(2,3,5)，A(−2,4,3)在直線 L 上，由前面的推倒可知 L 的參
 x = −2 + 2t

數 式 為  y = 4 + 3t ， t 為 實 數
 z = 3 + 5t

⇒t= = = 我 們 稱 = = 為 直 線 L 的 比 例 式 。
例 子 ：
設直線 L 的方向向量=(2,0,5)，A(−2,4,3)在直線 L 上，由前面的推倒可知 L 的參
 x = −2 + 2t

數 式 為  y=4 ， t 為 實 數
 z = 3 + 5t

⇒t= = 且 y=4 ， 我 們 稱 = ， y=4 為 直 線 L 的 比 例 式 。
(a) 直 線 的 比 例 式 ：
有 一 直 線 L 的 方 向 向 量 =(a,b,c) ， 過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
L 的 比 例 式 有 下 列 兩 種 形 式 ：
x − x0 y − y 0 z − z 0
abc≠0 = = ⇒=(a,b,c) ， 過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
a b c
x − x0 y − y 0
ab≠0 ， c=0 = , z = z0 ⇒=(a,b,c) ， 過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
a b
x − x0 z − z 0
ac≠0 ， b=0 = , y = y0 ⇒=(a,b,c) ， 過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
a c
y − y0 z − z0
bc≠0 ， a=0 = , x = x0 ⇒=(a,b,c) ， 過 P(x 0 ,y 0 ,z 0 )
b c
(b) 直 線 的 兩 面 式 ：
一般而言，若 E 1 ：a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0，E 2 ：a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0 是兩個不平行的平面，
 a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
相交於直線 L，則聯立方程式 a x + b y + c z + d = 0 的圖形即為交線 L，此聯立
 2 2 2 2
方 程 式 稱 為 直 線 L 的 二 面 式 。
~2−4−4~

5.  2 x − y + 3z − 4 = 0
2. 求兩平面  x + 4 y − 2 z + 7 = 0 的交線 L 的比例式。 Ans：

結 論 ：
掌握方向向量與直線上的一點，如果牽扯到直線的計算，通常參數式會派上用場 ，
而如果只是表示直線的型式，則三種表示皆可。
1. 直線 L 有一方向向量=(4,−5,−2)，且 L 上有一點 A(1,−3,0)，求 L 的
參 數 式 。
 x = 1 + 4t

Ans：  y = −3 − 5t ，t 為實數。
 z = 0 − 2t

 x = −1 + 3t

2. 設 L：  y = 2 − 7t ，t 為實數，求直線 L 上 t=0 的點坐標，並寫出此
 z = 5 + 2t

直線的一個方向向量。 Ans：(−1,2,5)，(3,−7,2)
3. 設直線 L 有一方向向量=(4,3,−1)，且過點 A(−2,5,3)，則求直線 L 的
 x = −2 + 4t

比例式與參數式。 Ans：，  y = 5 + 3t ,t∈R
 z = 3−t

4. 設 L：，試寫出直線 L 上一點坐標，L 的一個方向向量，L 的參數式。
5. 二平面 E 1 ：x+3y−z+4=0，E 2 ：2x+5y+z+1=0 的交線之對稱比例式為
何 ？
Ans： = =
~2−4−5~

6. 6. 化 直 線 L 的 比 例 式 = = 為 二 面 式 。
x + 5y + 9 = 0
Ans： 7 y + z + 7 = 0

(乙)直線與平面的關係
(1) 求 直 線 與 平 面 的 交 點 ：
例 如 ：
 x = 5 + 2t

設直線 L：  y = −3 − 2t ，t∈R，平面 E：3x−2y−4z−2=0，請問直線 L 與平面 E 是
 z =1+ t

否 相 交 ？ 若 相 交 ， 則 交 點 坐 標 為 何 ？
[ 解 法 ] ：
設 交 點 P(5+2t,−3−2t,1+t) ， 代 入 E 的 方 程 式 ，
如 果 t 有 一 解 ， 則 直 線 L 與 平 面 E 有 一 個 交 點
如 果 t 無 解 ， 則 直 線 與 平 面 E 平 行 。
如 果 t 有 無 限 多 解 ， 則 直 線 與 平 面 E 重 合 。
⇒3(5+2t)−2(−3−2t)−4(1+t)−2=0
⇒t=−3
⇒L 與 E 有 一 個 交 點 P(−1,3,−2)
[ 代 數 觀 點 ] ：
根據上一題的解法，參數 t 有唯一解，則直線 L 與平面 E 只有一個交點，若是 t 無
解，則可知 L 與 E 無交點；要是 t 有無限多個解，則 L 在平面 E 上。
[ 幾 何 觀 點 ] ：
判別平面 E 與直線 L 的相交情形，亦可用法向量與方向向量來判別。
(a)⊥ ⇒ 直 線 L 與 平 面 E 平 行 或 重 合 。
(b)與不垂直 直線 L 與平面 E 交於一點。
3. 令 E 表過點 A(1,2,3)，且法向量為(1,1,1)的平面。由原點(0,0,0)沿向量
(,,)的方向射出一點狀槍彈，依直線前進，則在平面 E 上的
彈著點坐標為何？ Ans：(6−3,6−6,6-3)
A C
~2−4−6~
B

7. 7. 如 圖 ， 光 線 經 A(1,2,3) 入 射 ， 經 C(3,2,2) 反 射 ，
而 反 射 面 為 E ： 2x+y+z=1 ， 求 B 點 的 坐 標 。
Ans：(,,)
8. 設 直 線 L 的 方 程 式 為 = = ， 則 下 列 那 一 個 平 面 與 L 平 行 ？
(A)2x−y+z−1=0 (B)x+y−z−2=0 (C)3x−y+2z−1=0 (D)3x+2y+z−2=0
(E)x−3y+z−1=0 Ans：(B)
9. 求 直 線 = = 與 平 面 2x+4y−z+2=0 交 點 之 坐 標 。
Ans：(9,−2,12)
(丙)由點、線決定的平面
決 定 平 面 的 四 個 條 件 ：
(a) 不 共 線 的 相 異 三 點 (b) 一 線 與 其 線 外 一 點 。 (c) 二 相 交 直 線 (d) 二 平 行 線
x −1 y − 2 z −1
4. 求過點 A(4,3,1)且包含直線 L： 2 = 1 = 2 之平面方程式。
Ans：2x−6y+z+9=0 →n
■
A
B
→l
■
L
x −1 y + 2 z −1 x −1 y + 2 z −1
5. 試求包含二相交直線 L1 : 1 = 2 = − 1 ,L2 : 2 = 1 = 2 的平面
方程式。Ans：5x−4y−3z−10=0
~2−4−7~

8. x +1 y −1 z + 3 x + 3 y +1 z + 4
6. 試求過二平行線 L1 : 1 = 2 = 2 , L2 : 1 = 2 = 2 之平面方程
式。Ans：2x−3y+2z+11=0
→n
■
B
A
10. 已 知 直 線 L ： = = 與 點 P(−2,1,3) 試 求
(1) 直 線 L 與 點 P 所 決 定 的 平 面 方 程 式 。
(2) 包 含 直 線 L 且 垂 直 平 面 x−y+z=3 的 平 面 方 程 式 。
Ans：(1)6x+y+15z−34=0 (2)2x−3y−5z+2=0
 x = 2t

11. 求包含二平行線= = 與  y = −1 + t ，(t 為實數)的平面方程式。Ans：
 z = 1− t

x−7z−5z−2=0
 x + y − z +1 = 0  2x + y + z − 3 = 0
 
12. 空 間 中 兩 相 交 直 線 L 1 ： 2 x − y + 2 z + 2 = 0 ， L ： 3 x + y + 2 z − 4 = 0
則 求 通 過 L 1 、 L 2 的 平 面 。 Ans ： x−2y+3z+1=0
(丁)兩直線的關係與距離問題
(1) 兩 直 線 的 關 係 ：
 方 向 向 量 平 行 ： 重 合 、 平 行
方向向量不平行：相交於一點、歪斜。
~2−4−8~

9. x − 2 y +1 z − 3 x + 2 y + 14 z − 1
7. 試判別直線 L1 : 4 = − 1 = 2 ,L2 : 2 = 3 = 1 的相交情形，
若相交求交點。 Ans：相交，(6,−2,5)
A(a,b,c)
(2)距離問題：
L
(a) 點 到 直 線 的 P距 離 ：
取 L 的 參 數 式 ， 利 用 AP ⊥ L 的 方 向 向 量 ， 求 P ，
而 AP 即 為 點 P 到 L 的 距 離 。
A
(b) 二 平 行 線 的 距 離 ：
L
在 L 上取一點 A，作 A 到直線 M 的距離即為二平行線的距離。
M
(c)二歪斜線的距離：
( 法 一 ) ：
求 L ， M 之 公 垂 線 N 與 L,M 的 交 點 P,Q 則 L,M 的 距 離 為 PQ 。
M Q A
M
L L
P E
( 法 二 ) ：
先求一平面 E 包含直線 L，且平行 L，在取 M 上一點 A，求 A 點到 E 的距離，即
為 L,M 的 距 離
~2−4−9~

10. 8. 設點 P(−5,0,−8)，直線 L：= =
(1)自 P 點作直線 L 的垂足點 Q，求 Q 點坐標。(2)求點 P 到 L 的距離。
(3)求 P 點對直線 L 的對稱點 P/坐標。
(4)過 P 點做 L 的垂線 L/，求 L/的對稱比例式。
x+5 y z +8
Ans：(1)(1,6,−5) (2)9 (3)(7,12,−2) (4) 2 = 2 = 1
9. 二平行線 L1： = = ，L2： = = ，求 L1 與 L2 的距離。
Ans：3
A
L1
L2
13. 設 點 A(1,−1,2) 及 直 線 L ： = = ， 求
(a)A 點 對 於 直 線 L 的 垂 足 點 H 的 坐 標 。
(b)A 點 對 於 直 線 L 的 對 稱 點 A/ 的 坐 標 。
Ans：(a)(,,) (b)(,,)
 x = −t

14. 在空間坐標中，點 P(1,−1,2)到直線  y = −1 + 2t ，t 為實數的最短距
 z = 3+t

離為多少？此時之投影點坐標為何？ Ans：，(,,)
~2−4−10~

11. 10. 設 L： = = ，M： = = ，
(1)試判別 L、M 的相關位置。(2)求 L、M 的公垂線方程式。
x−2 y+2 z+3
(3)求 d(L,M)=？Ans：(1)歪斜 (2) − 3 = 2 = 7 (3)
M Q
L
P
11. 設二直線 L:= = ，M:= = 為空間中二直線
(1)求包含 L 且與 M 平行的平面。(2)求 d(L,M)
Ans：(1)5x−2y+z−7=0 (2) A
M
L
E
~2−4−11~

12. 15. 試求兩平行線 L 1 ： = =,L 2 ： = = 的距離。Ans：3
16. L 1 ： = = ，L 2 ： = = ，若 L 1 、 2 的公垂線為 L，請求出 L 與 L 1 、 2
L L
的 交 點 P 、 Q 坐 標 。
Ans：P(3,1,−5)、Q(1,−4,2)
(戊)其他應用
(1)平面族：
設 E 1 ：a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0，E 2 ：a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 =0，二平面交於一直線，則通過此
直線的平面可設為： a 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 +k(a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 )=0
 7x + y − 2z − 4 = 0
12. 過直線 3 x + 2 y + 4 z − 6 = 0 ，且與直線 = = 平行的平面方程式。 Ans：

15x−y−14z=0
17. (1) 求 包 含 二 平 面 2x+y−4=0 ， y+2z=0 之 交 線 且 垂 直 平 面
3x+2y+3z−6=0 之 平 面 方 程 式 。
x + y − z + 1 = 0
(2) 求 過 直 線  x + 2 y − 3 = 0 ， 且 與 x 軸 平 行 的 平 面 方 程 式 。

Ans：(1)x−z−2=0 (2)y+z−4=0
~2−4−12~

13. 18. 求 包 含 平 面 3x+2y−2z+1=0 、 x+y−5z−6=0 交 線 的 平 面 ， 且 與
4x+2y+3z+1=0 的 平 面 方 程 式 。 Ans ： 37x+28y−68z−51=0
13. A(−5,4,3)、B(13,12,5)為空間中二點，P 為 x 軸上的一個動點，當+小時，P
之坐標為何？ Ans：P(0,0,0)
14. L1： = = ，L2： = =
(1)L1 與 L2 的交點坐標。 (2)L1、L2 二線交角平分線之方程式。
Ans：(1)(4,−5,0) (2) = = 或 = =
15. 求 x 軸與平面 6x−3y+2z=12 交角為交，求 sinθ =？ Ans：
~2−4−13~

14. 19. A(12,10,5)、B(4,−8,3)為空間中二點，P 是 y 軸上一個動點，當+小時，
P 之坐標為何？ Ans：(0,−3,0)
20. 過點(3,2,−1)與(0,4,1)二點的直線與平面 2x−y−z+7=0 之交角為之，
求 sinθ=？ Ans：
綜合練習
(1) 試求符合下列條件之直線方程式：
(a)過點(3,3,−1)且平行 y 軸
 2x + 3y + z = 0
(b)過點(9,8,7)且平行直線 5 x − y + 2 z + 2 = 0

 x = 4−t

(c)過點(11,4,−6)且垂直於直線  y = 7 + 2t ，t 為實數。
 z = −1 + t

2 x + y − z = 0
(2) 空間中一直線 L：  x + 2 y − z = 1 ，則下列何者為真？

(A)L 的方向向量為(1,−1,3) (B)點(0,1,1)在直線 L 上 (C)L 與 = = 重合。(D)L 與
= = 垂直 (E)L 在平面上 x−y+1=0 上。
x −1 y − 2 z
(3) 空間中有一直線 L： 2 = 3 = 6 ，請回答下列兩個小題：
(a)那一條直線與 L 歪斜？
 x = −1 + 2t
x y−4 z x−3 y−5 z −6 
(A) 4 = 6 = 12 (B) 2 = 3 = 6 (C)  y = −1 + 2t
 z = −6 + 3t

x y − 4 z +1 3 x − 2 y + 8 = 0
(D) − 1 = 2 = 5 (E)  2 y − z − 3 = 0

(b)那一個平面與 L 平行？
(A)2x+3y+6z=0(B)3x−4y+z+5=0(C)3x−2y+7=0(D)xy 平面(E) x+y+z=4
~2−4−14~

15. x − 2 y +1 z x −1 y − 3 z + 2
(4) 考慮空間中二歪斜線 L1 : 1 = 2 = 1 , L2 : 1 = 2 = − 1 ，及一點
A(a,a,a)。令 E1 為過點 A 且包含直線 L1 的平面，E2 為過點 A 且包含直線 L2 的
平面。
(a)設 a=1，則 E1 的方程式為何？
(b)試問 a 為何值時，平面 E1，E2 互相垂直。 (85 日大社)
(5) 設二直線 L1:，L2:
(a)證明：L1 與 L2 平行。 (b)求 d(L1,L2) (c)求包含 L1 與 L2 的平面方程式。
(d)若直線 L//L1 且 L//L2，且 d(L,L1)=2⋅d(L,L2)，求 L 的方程式。
(6) 設 L 為 x−y+z=1 與 x+y−z=1 兩平面的交線，則直線 L 上與點(1,2,3)距離最近之
點的坐標為 ，並求最近距離為 。
 x − y + z −1 = 0 x +1 y − 2 z −1
(7) 空間中有二直線 L1 : 2 x + y − 2 z + 1 = 0, L2 : 2 = 1 = 1

(a)求包含 L1 且與 L2 平行的平面 E 的方程式。
(b)L1 與 L2 的距離。
 x + 3y = 1 2 x − z + 1 = 0
(8) L1： 3 y + z = 2 、 2：  y − 3 = 0 ，求過點(3,6,−12)且與 L1、 2 均平行的平面
L L
 
方程式。
3 x + 2 y = 6
(9) 設 L1：  z = 0 ，L2：z 軸，若 L1 上一點 P、L2 上一點 Q，使得分別與

L1、L2 垂直，求 Q 點坐標及之長。
(10) 設二直線 L1:= = ，L2:= = 為空間中二直線
(a)求 L1 與 L2 的交點。(b)求交角平分線。(c)求包含 L1 與 L2 的平面方程式。
(11) A(1,2,3)、B(−2,3,4)為空間中二點，交平面 x−y+z=1 於 Q，
(a)求=？ (b)Q 點坐標 (c)在此平面上的投影長度。
(12) 設 A(3,1,0)、B(1,2,3)對稱於平面 ax+by+cz−2=0，求
(a) (a,b,c)=？ (b)與此平面的交點。
~2−4−15~

16. (13) 設 A(1,−1,2)、B(1,5,−4)及平面 E：x+y+z−5=0，求 E 上的一點 P 使得+最小。
(14) 一平面過點(1,2,1)並通過二平面 x+2y−3z=0 與 x−y+z=1 的交線，求此平面的方
程式。
進階問題
(15) (a)若=(1,−2,2),=(8,4,−1)，=t⋅+，若與的夾角等於與的夾角
，求。
(b)已知直線 L1： = = ，直線 L2： = = ，求 L1 與 L2 的交角平分線的參數式。
(16) ∆ABC 的三頂點坐標為 A(2,−3,5)，B(3,0,10)，C(x,y,0)，則使，ABC 的周長最
小的點 C 的坐標為？
 x=t  x = 2+s
 
(17) 設直線 L1：  y = −t 、L2：  y = −1 − 2 s
 z = −3t  z = −s
 
(a)證明 L1、L2 為歪斜線。
(b)設 P(t,−t,−3t)在 L1 上，Q、R 為 L2 的兩相異點，且的PQR 為正三角形時，試
以 t 表示表PQR 的面積。
(c)請問當正請PQR 的面積最小時，P 點坐標為何？
(18) 空間中平面空：：x+y+2z−10=0，直線，：
(a)求直線求與平面與的交點 A 之坐標。
(b)自直線自上之點 P 向平面向做垂線，垂足為 Q，使，APQ 之面積為，
求 P 之坐標。
綜合練習解答
~2−4−16~

17. (1) (a)x=3、y=3+t、z=−1 (b) = = (c) = =
(2) (B)(D)(E) (3) (a)(D) (b)(C) (4) (a)y−2z+1=0 (b)a= (5) (a)略 (b) (c)2x+y+5z=11
(d)或 (6) (1,,)，
(7) (a)x+5y−7z+5=0 (b) (8) 2x+3y−z=36 (9) Q(0,0,0)、
(10) (a) (,,) (b)==或=，3y=1 (c)2x−y−2z+5
(11) (a) (b)(0,,) (c)2 (12) (a)(−2,1,3) (b)(2,,) (13) (2,3,0) (14)3x−z−2=0
 x = 1 + 11t  x = 1 + 5t
 
(15) (1) (11,−2,5) (2)  y = 1 − 2t ，t 為實數或  y = 1 + 10t ，t 為實數。
 z = 1 + 5t  z = 1 − 7t
 
[提示：因為與的夾角等於與的夾角，
所以|t⋅|=||，且 t>0]
(16) (,−2,0)[提示：提ABC 周長=++，而為定值，因此原問題可化為在 xy 平面上
b
找一點 C，使得+最小，C 點為 A 點對 xy 平面的對稱點 A / (2,−3,−5)與 B 點連線的
⋅
t⋅a ++
b
交點.]
(17) (a)證明 L 1 、L 2 無交點且方向向量不平行。 (b)(5t 2 +2t+) (c)(,,)t⋅a
⋅
[提示：(b)先求 P 點到 L 2 的距離，此距離為正三角形 PQR 的高，進一步求面積]
(18) (a)A(5,−5,10) (b)P(7,−7,16)或(3,−3,4)
(a)令 A(2+t,−2−t,1+3t)代入代的方程式，可得 t=3 ⇒A(5,−5,10)。
(b)令 PA=l，去求，的方向向量與的的法向量的銳夾角為的，，，PAQ=90 ° −θ
4 20 2
sin(∠PAQ)= ，由，APQ 之面積為= ⇒l=2 設 P(5+s,−5−s,10+3s) 因為
66 3
AP=2 ⇒s=±2 ⇒P 點坐標(7,−7,16)或(3,−3,4)
~2−4−17~