math

1. 一元一次方程
及解法
6-3

2. English Chinese
Linear Equation in One
Variable
一元一次方程
All Real Numbers
(A.R.N.)
所有实数
No Solution 无解
VOCABULARY

3. WARM UP
An adult panda eats 15kg bamboo each day. There are 5 adult
pandas and 2 little pandas in Beijing Zoo. The poor breeder
there must prepare 89kg bamboo for all the pandas every day.
How much bamboo should a little panda eat per day?
Define Let x= the bamboo a
little panda eats per day
15×5 + 2 x = 89
(1) How many variables are
there?
One, x
(2) What is the degree of this
variable x?
1

4. I. 一元一次方程
LINEAR EQUATION IN ONE VARIABLE
一元一次方程：只含有一个未知数，且含有未知数的
项的次数是一次的方程.
如15 × 5 + 2 𝑥 = 89, 5𝑥 = 0，3 + 𝑥 = 0等，都是一
元一次方程.
2𝑦 − 3 = 5𝑦 + 6 ??? √ One variable Linear Equation:
One variable
The highest degree is 1

5. 1) 方程 2𝑥 − 1 = 3是 元 次方程。
2) 方程
1
2
𝑥 +
1
3
𝑦 = 0 是 元 次方程。
3) 方程 2𝑥 +
1
4
𝑦 + 3z = 0 是 元 次
方程。
4）方程 𝑥2
=9 是 元 次方程。
一 一
二 一
P1. Fill in the blanks
一 二
三 一

6. P2. Identify linear equations in one variable
1) 5x = 0
2)
1
2
x2 − 6x = 0
3) 3 + 5 = 8
4) x − 2y = 56
5) 2
2
y
+ 9 = 15
6) x2 − 6x = 5 + x2
𝑌𝑒𝑠 y的次数是－1
一元二次方程：
One variable
The highest
degree is 2
二元一次方程：
Two variables
The highest degree is 1
Equality but not equation
𝑌𝑒𝑠
𝑁𝑜
𝑁𝑜
𝑁𝑜
𝑁𝑜

7. P3. 若方程(2a + 1)𝑥2
+ bx + c = 0表示字母x的一元
一次方程，则（ ）
A.a=
1
2
, b≠0，c为任意数
B. a≠
1
2
, b≠0，c=0
C. a= −
1
2
, b≠0，c ≠ 0
D. a= −
1
2
, b≠0，c为任意数
D Tips: 根据定义

8. Tips: 根据定义
a= −𝟗， b= 4 或 0
𝒂 + 𝟗=0且 𝟐𝒃 − 𝟒 − 𝟑=1
P4. 如果 𝑎 + 9 x2
− 3x 2b−4 −3
+ 3 = 0 是关于x的一
元一次方程，求a和b的值。
x 的最高次数为1
解:由题意,得

9. P5. 已知（2-k）x|k-l|—21 =3是关于x的一元一次方程，求
k的值及原方程.
解:由题意,得|k-1|=1,所以k-1=±1,
解得k=2或k=0.
又2 - k ≠ 0，所以k ≠ 2，故k=0.
当k=0时，原方程为2x-21 =3.

10. P6. In the equation 𝑎2𝑥2
− 𝑥2
+ 𝑥 − 𝑎𝑥 − 3 = 0, a is
a number. Find the value of a to make the equation
a linear equation. Find x.
Challenge for S+
Solution : 𝑎2 − 1 𝑥2 + 1 − a 𝑥 − 3 = 0
𝑎2 − 1 = 0; 1 − 𝑎 ≠ 0
𝑎 = −1
The highest degree of
x is 1

11. P7. Solve the equation : 4𝑥 = 18 − 2𝑥
解: 根据等式性质，在等式两边同时加上𝟐𝒙
得 4𝑥 + 𝟐𝒙 = 18 − 2𝑥 + 𝟐𝒙
𝟒𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟖
6𝑥 = 18
𝑥 = 3
移项
检验：将x=3分别带入原方程的两边
𝐿𝑒𝑓𝑡: 4 × 3 = 12 𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡: 18 − 2 × 3 = 12
Left = right = 12
So x=3 is the solution.
Original
equation
Combine like
terms
4𝑥 = 18−2𝑥
化简：合并一次/
同类项
II. SOLVE EQUATIONS

12. P8. Solve the following equations
1) 9 + 11y = 10y − 7
1
3
2)
1
10
+ 𝑥 =
3
5
𝐱 =
𝟏
2
𝐨𝐫 𝐱 = −
𝟕
𝟏𝟎
𝐲 = −𝟏𝟔
𝟏
𝟑

13. 解：
去括号，得5𝑥+1= 20𝑥−7𝑥+3
移项，得5𝑥 - 20𝑥+7𝑥= 3−1
化简，得 -8𝑥 = 2
两边同时除以x的系数− 8，得
所以， 是原方程的解。
P9. Solve equation 5𝑥 + 1 = 20𝑥 − (7𝑥 − 3)
Remove Grouping Symbols
括号前面带“+”号: 去掉
括号（ ）和“+”号，括
号内各项都不变号.
括号前面带“−”号:去掉
括号（ ）和“−”号，括
号内各项都变号.
x=−
1
4
x=−
1
4

14. P10. Solve the following equations
1)4 𝑥 − 2 + 5 = 35 − 𝑥 − 2
2) 15
1
5
𝑥 − 1 = 1 − 2 𝑥 − 3
3) 𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 + 4 − 6 = 1
𝑥 = 8
𝑥 =
22
5
𝑥 = −7

15. P11. Solve equation
21
4
x − 3 +
1
2
5 − x = 6
解：去分母，得
21 × 𝑥 − 3 + 2 × (5 − 𝑥) = 4 × 6
移项，得
21𝑥 − 2𝑥 = 24 + 63 − 10
两边同时除以x的系数19，得
𝑥 =
77
19
去括号，得
21x − 63 + 10 − 2𝑥 = 24
化简, 得 19𝑥 = 77
去掉分母的变
形过程叫做
“去分母”

16. 解一元一次方程的一般步骤：
2) 去括号；
3) 移项；
4) 化简，
𝟓) 两边同时除以未知数的系数，得到方程的解 𝒙 =
𝒃
𝒂
)
𝑎𝑥 = 𝑏(𝑎 ≠ 0 ;
1) 去分母；

17. P12. Solve equation 0.5𝑥−1
0.2
−
0.7𝑥+2.5
0.25
= -4
5 × 50x − 100 − 4 × (70x + 250) = −4 × 100
移项，得 250𝑥 − 280𝑥 = 1000 + 500 − 400
两边同时除以x的系数−30，得𝑥 = −37
去括号，
得 250x − 500 − 280𝑥 − 1000 = −400
化简, 得 −30𝑥 = 1110
解：分子分母同乘100，得
50𝑥−100
20
−
70𝑥+250
25
= -4
去分母，
得

18. P13. Solve the following equations
1)
4𝑥
3
−
3𝑥−4
2
= 5
2) 5%𝑥 − 31% = 12%𝑥 + 2
3)
0.02−0.1𝑥
0.03
− 1 =
1−3𝑥
2.5
𝑥 = −18
𝑥 = −33
𝑥 = −
11
32

19. P14.解方程 巧用换元法
3𝑥 − 2 +
3𝑥 − 2 − 1
2
= 2 −
3𝑥 − 2 + 2
3
解：设3x - 2=y, 则原方程化为 y +
𝑦−1
2
= 2 −
𝑦+2
3
去分母,得 6y+3 (y-1)= 12-2 (y+2).
去括号,得 6y+3y-3= 12-2y-4.
移项,得 6y+3y+2y= 12-4+3
化简，得 11y=11.
系数化为1，得y=1.
所以3x—2=1，
解得x=1.

20. P15.解方程 巧用拆项法
4x − 1.5
0.5
−
5x − 0.8
0.2
=
1.2 − 𝑥
0.1
解：将原方程化为
4x
0.5
−
1.5
0.5
−
5x
0.2
+
0.8
0.2
=
1.2
0.1
−
𝑥
0.1
整理,得 8x-3-25x + 4 = 12-10x
移项,得 8x-25x+10x= 12+3-4
化简，得 -7y=11.
系数化为1，得y=−
𝟏𝟏
𝟕
.

21. P16.解方程：
1
2
1
2
1
2
1
2
x − 1 − 1 − 1 − 1 = −1 巧去括号
Method 1 (由里向外去括号)：
1
2
1
2
1
4
𝑥 −
1
2
− 1 − 1 − 1 = −1，
1
2
1
8
𝑥 −
1
4
−
1
2
− 1 − 1 = −1，
1
16
𝑥 −
1
8
−
1
4
1
−2
− 1 = −1，解得x=14
Method 2 (由外向里去括号)：……
Method 3 (利用等式性质)：
1
2
1
2
1
2
1
2
𝑥 − 1 − 1 − 1 = 0，
1
2
1
2
1
2
𝑥 − 1 − 1 − 1 = 0，
1
2
1
2
1
2
𝑥 − 1 − 1 = 1，
1
2
1
2
𝑥 − 1 − 1 = 2，
1
2
1
2
𝑥 − 1 = 3，
1
2
x − 1 = 𝟔，x=14

22. III.关于AX=B的讨论
The equation has infinitely many solutions.
The equation is an identity.
P𝟏𝟕. 3 4x − 2 = −2 −6x + 3
12x − 6 = 12x − 6
0 ∙ x = 0 left always = 𝒓𝒊𝒈𝒉𝒕
Solution: All Real Numbers (A.R.N.)
对于方程ax=b，当a=0且b=0时，
则方程的解为A.R.N. （所有实数解）

23. It has no solution
P1𝟖. 2𝑛 + 4 𝑛 − 2 = 8 + 6𝑛
6𝑛 − 8 = 8 + 6𝑛
0 ∙ 𝑛 ≠ 16
left ≠ 𝒓𝒊𝒈𝒉𝒕
对于方程ax=b，当a=0且b≠ 0时，
则方程的解为No Solution（无解）

24. P𝟏𝟗. Solve each equation. If the equation is an identity,
write “A.R.N”; if it has no solution, write “no solution”.
1) 3 m + 1.5 = 1.5(2m + 3)
2)
1
2
h +
1
3
h − 6 =
5
6
h + 2
3)
x+1
2
+
x−1
3
− 2 =
2x+1
6
A.R.N.
No solution
𝑥 = 4

25. Conclusion
Given that 𝒂𝒙 = 𝒃
One solution
X=
𝑏
𝑎
All Real Number No Solution
𝒂 ≠ 𝟎 𝒂 = 𝟎 & 𝒃 = 𝟎 𝒂 = 𝟎 & 𝒃 ≠ 𝟎

26. P𝟐𝟎.已知关于x的一次方程(3a+8b)x+7=0无解，
则 3a+8b = ， ab
0 (填“>”,“=”，“<”)。
Challenge for S+
0 <

27. P𝟐𝟏. Solve the equation for 𝑥 and discuss solutions in
different cases.
𝑎 𝑥 − 𝑏 = 𝑏(𝑥 + 𝑎)
𝑎 − 𝑏 𝑥 = 2𝑎𝑏
Solution:
If 𝑎 ≠ 𝑏, then 𝑥 =
2𝑎𝑏
𝑎−𝑏
(𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛)
If 𝑎 = 𝑏 ≠ 0, then NS (No solution)
If 𝑎 = 𝑏 = 0, then ARN (Infinitely many solutions)
Challenge for S+

28. 1. 一元一次方程 Linear Equation
1. 解一元一次方程
2. 关于ax=b的讨论，Given that 𝒂𝒙=𝒃
One variable; the highest degree is 1
SUMMARY