8. 第3 章 三角函數的應用 49
3
重點整理 正弦與餘弦函數的疊合
1. 實例:
將 sin cosy x x= + 化成正弦函數的形式:
1 1
sin cos 2 sin cos
2 2
y x x x x
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin
4
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得,當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值 2 ;當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2− 。
也可將 sin cosy x x= + 化成餘弦函數的形式:
sin cosy x x= +
1 1
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin sin cos cos
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 cos
4
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得,當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值 2 ;當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2− 。
一般而言,當a 與b 是不全為0 的實數時,函數 sin cosy a x b x= + ,可以寫成
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
因為
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,所以存在一個角θ ,0 2θ π≤ ,使得 2 2
cos
a
a b
θ =
+
,
2 2
sin
b
a b
θ =
+
,於是
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
( )
2 2
sin cos cos sina b x xθ θ= + +
( )
2 2
sina b x θ= + +
當 ( )sin 1x θ+ = 時,y 有最大值 2 2
a b+ ;
當 ( )sin 1x θ+ = − 時,y 有最小值 2 2
a b− + 。
同理, sin cosy a x b x= + 亦可化為 ( )
2 2
cosy a b x θ= + − 的形式。討論如前。
綜合上述,結論如下:
若a、b 是不全為0 的實數,則函數 sin cosy a x b x= + 有最大值 2 2
a b+ ,最小值 2 2
a b− + 。
9. 50 第 3 章 三角函數的應用
試將 sin 3cosy x x= − 化成 ( )siny r x θ= − 的
形式,其中 0r ,0 2θ π≤ ,並求r 、θ 及y
的最大、最小值。
(提示:先提 ( )
2
2
1 3 2+ − = 。)
sin 3cosy x x= −
1 3
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
3 3
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2sin
3
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 2r = , 3
π
θ = ,且
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值2
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2−
試將 2 3cos 2siny x x= − 化成
( )cosy r x θ= + 的形式,其中 0r ,
0 2θ π≤ ,並求r 、θ 及y 的最大、最小值。
因為 ( ) ( )
2 2
2 3 2 4+ − = ,所以
3 1
4 cos sin
2 2
y x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 cos cos sin sin
6 6
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
4cos
6
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 4r = , 6
π
θ = ,且
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值4
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 4−
試求 3sin 4cosy x x= − 的最大、最小值。
( 提示: sin cosy a x b x= + 的最大值為
2 2
a b+ ,最小值為 2 2
a b− + 。)
最大值 ( )
22
3 4 5M = + − =
最小值 ( )
22
3 4 5m = − + − = −
試求 12cos 5siny x x= − 的最大、最小值。
最大值 ( )
22
12 5 13M = + − =
最小值 ( )
22
12 5 13m = − + − = −
10
11