2015年度春学期　画像情報処理　第１２回　画像フィルタとフィルタ定理

A.Asano,KansaiUniv.
2015年度春学期画像情報処理
浅野晃
関西大学総合情報学部
画像フィルタとフィルタ定理
第１２回

A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理

2015
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタとは
フィルタ＝濾過器
何かを投入すると
一定の作用を及ぼして
出力する

2015
A.Asano,KansaiUniv.
画像処理におけるフィルタ
画像の各画素について,その画素および近傍の画素とでな
んらかの演算を行なって,その結果で各画素を置き換える
各画素の輝度を上げる
（あまりフィルタとは
いわない）
ぼかし＝近傍の画素との
平均
輪郭強調＝近傍の画素と
の差を増強

2015
A.Asano,KansaiUniv.
モルフォロジにおけるフィルタ
移動不変性
(translation-invariance)
浅野：モルフォロジと形状記述
opening
closing
ng, closing の効果
高さとする柱で表す
内の立体となる．こ
に対して上記の集合
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
であることをいう．簡単にいえば，「画像
をおよぼしても，その作用の効果は変わ
意味である．また「作用 Ψ が増加的で
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
であることをいう．すなわち，物体の包
前後で保たれることを意味している．
例えば，ノイズ除去を行う画像フィル
う．画像中のある場所でノイズとみなさ

2015
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移動不変性
opening
closing
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタ

2015
A.Asano,KansaiUniv.
移動不変性
opening
closing
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタ図形

2015
A.Asano,KansaiUniv.
移動不変性
opening
closing
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタ図形
移動

2015
A.Asano,KansaiUniv.
移動不変性
opening
closing
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタ図形
移動
移動してからフィルタを適用するのと，
フィルタを適用してから移動するのとが同じ

2015
A.Asano,KansaiUniv.
移動不変性
opening
closing
とは，
Ψ(Xb) = [Ψ(X)]b
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタ図形
移動
移動してからフィルタを適用するのと，
フィルタを適用してから移動するのとが同じ
移動不変でない
（背景だけぼかし）

2015
A.Asano,KansaiUniv.
増加性
(increasingness)
closing
画像のモルフォロジ
，つまり通常のフィ
には，グレースケー
ような最大・最小演
でのグレースケール
は
意味である．また「作用 Ψ が増加的であ
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
像中のどこにあっても同様に取り除かれ
いはずだから，フィルタが移動不変であ
ことである．また，増加的なフィルタで
を取り除き，大きな物体を保存する」作用
「大きな物体を取り除き，小さな物体を
う作用は記述できない．しかし，ノイズ

2015
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増加性
(increasingness)
closing
は
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタを適用する前後で
包含関係が保たれる

2015
A.Asano,KansaiUniv.
増加性
(increasingness)
ノイズ除去を例にすると
ノイズ画素は，意味のある図形に比べて小さい→
図形を残してノイズを除去→増加的
ノイズを残して図形を消去→増加的でない
closing
は
X ⊂ Y ⇒ Ψ(X) ⊂ Ψ(Y )
フィルタを適用する前後で
包含関係が保たれる

2015
A.Asano,KansaiUniv.
増加的フィルタとノイズ除去

2015
A.Asano,KansaiUniv.

2015
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図形Y
ノイズX

2015
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図形Y
ノイズX フィルタΨ

2015
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図形Y
図形保存

2015
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図形Y
図形保存
ノイズ消滅

2015
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図形Y
図形保存
ノイズ消滅
図形Y
ノイズX

2015
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図形Y
図形保存
ノイズ消滅
図形Y

2015
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図形Y
図形保存
ノイズ消滅
図形Y
ノイズX フィルタΨ ノイズ保存

2015
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図形Y
図形保存
ノイズ消滅
図形Y
図形消滅
ノイズ保存

2015
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べき等性
(idempotence)
狭義のモルフォロジカルフィルタは，さらに
増加的なフィルタのみを考えるのは，自然であることがわかり
のモルフォロジカルフィルタとは，広義のフィルタの中で「べ
す。「作用 Ψ がべき等である」とは，
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)
いいます。すなわち，「あるフィルタを適用した結果に，そのフ
結果は変わらない」という意味です。オープニングやクロージ
フォロジカルフィルタです。
は，大きな物体も小さな物体もエッジ以外は取り除いてしまうので，増加的

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べき等性
(idempotence)
フィルタを１回適用すれば，
それ以上何度適用しても同じ
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)

2015
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べき等性
(idempotence)
オープニング・クロージングは
もっとも基本的な（狭義の）モルフォロジカルフィルタ
フィルタを１回適用すれば，
それ以上何度適用しても同じ
Ψ[Ψ(X)] = Ψ(X)

2015
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フィルタ定理
移動不変で増加的なフィルタは，どんなフィルタでも，
なんらかの構造要素群による
エロージョンをORで組み合わせることで表せる

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フィルタ定理
ルフォロジが真に図形操作の基礎演算であることを保証するものです。
表されます。
・増加的な（広義の）フィルタも，適当な構造要素を適当な数だけ用
エロ−ジョンの論理和，およびダイレーションの論理積によって表現
Ψ(X) を画像 X に対するフィルタとするとき，いかなる Ψ(X) につい
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
の集合（集合族）Ker[Ψ] が存在します。
の核 (kernel) とよばれ，次のようなものです。
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.

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フィルタ定理
表されます。
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
る座標系の原点を意味します。すなわち，Ker[Ψ] は「考えられる
るフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
下のように証明されます。ここでは，式 (4) のほうを証明します

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フィルタ定理
表されます。
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
フィルタの核(kernel)

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フィルタ定理
表されます。
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
原点

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フィルタ定理
表されます。
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψ(X) =
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
原点
事実上，
入力として可能な図形
すべて

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フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても，X ⊖ ˇB
したがって，Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから，h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
こで X−h を B とおくと，h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり，
B を用いて，その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました（図
す。より一般的な証明は，参考文献を参照し
を証明する

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[1]
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
B∈Ker[Ψ]
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
，次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち，Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは，式 (4) のほうを証明します2。
いて，X ⊖ ˇB に含まれるベクトル（画素）h を考えます。
ら，Bh ⊆ X です。したがって，B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに，フィルタ Ψ は移動不変ですから，0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から，Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても，X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える

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[1]
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
B∈Ker[Ψ]
を証明する
X⊖B̌
h
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)

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[1]
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
B∈Ker[Ψ]
を証明する
X⊖B̌
h
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
Ker[Ψ] =
0 は X が定義されている座標系の原点を意味しま
形のうち，それに対するフィルタの出力が原点を
フィルタ定理は，以下のように証明されます。
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B につい
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから，
ここで，フィルタ Ψ は増加的ですから，包含関
わち，0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。
ならば，この関係を全体に h だけ移動することに
B は Ker[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B)
について，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり

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[1]
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
B∈Ker[Ψ]
を証明する
X⊖B̌
h
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
Ker[Ψ] =
核 (kernel) とよばれ，次のようなものです。
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
標系の原点を意味します。すなわち，Ker[Ψ] は「考えら
ィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
ように証明されます。ここでは，式 (4) のほうを証明しま
の構造要素 B について，X ⊖ ˇB に含まれるベクトル（画
義されていますから，Bh ⊆ X です。したがって，B ⊆
加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって
Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移動不変です
h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます。

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[1]
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
B∈Ker[Ψ]
を証明する
X⊖B̌
h
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
Ker[Ψ] =
核 (kernel) とよばれ，次のようなものです。
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
標系の原点を意味します。すなわち，Ker[Ψ] は「考えら
ィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
ように証明されます。ここでは，式 (4) のほうを証明しま
の構造要素 B について，X ⊖ ˇB に含まれるベクトル（画
義されていますから，Bh ⊆ X です。したがって，B ⊆
加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって
Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移動不変です
h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
します。
うなものです。
∈ Ψ(X)}. (6)
なわち，Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
のすべて」です。
は，式 (4) のほうを証明します2。
⊖ ˇB に含まれるベクトル（画素）h を考えます。
X です。したがって，B ⊆ X−h です。
X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな

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一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって，Ψ
）。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B

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X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは，式 (4) のほうを証明します2。
，Bh ⊆ X です。したがって，B ⊆ X−h です。
。さらに，フィルタ Ψ は移動不変ですから，0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
り，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても，X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって，Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
）。
前ページ

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X⊖B̌
h
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
）。
前ページ
ち，それに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」
ルタ定理は，以下のように証明されます。ここでは，式 (4)
] の要素である任意の構造要素 B について，X ⊖ ˇB に含ま
= {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから，Bh ⊆ X です。し
で，フィルタ Ψ は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ
，この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
Ker[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，K
て，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました（図 1）。
増加的

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X⊖B̌
h
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
）。
前ページ
増加的
味します。すなわち，Ker[Ψ] は「考えられるすべての入
原点を含むものすべて」です。
ます。ここでは，式 (4) のほうを証明します2。
について，X ⊖ ˇB に含まれるベクトル（画素）h を考えま
すから，Bh ⊆ X です。したがって，B ⊆ X−h です。
包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。
ます。さらに，フィルタ Ψ は移動不変ですから，0 ∈ Ψ(X
ことによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の要素である任意の構造要
，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても，X
ことがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊇ X
移動不変

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X⊖B̌
h
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
）。
前ページ
増加的
移動不変
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB (5)
Ψ] が存在します。
{X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
ます。すなわち，Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→

2015
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X⊖B̌
h
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
）。
前ページ
増加的
移動不変
Ψ(X)
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB (5)
Ψ] が存在します。
{X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
ます。すなわち，Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→ こうなる

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Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
ここで，フィルタ Ψ は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち，0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ
ならば，この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，K
について，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました（図 1）。
逆に，Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈
X⊖B̌
h
Ψ(X)

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です。
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)

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です。
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
h

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こうなっている
です。
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
h

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つまり
こうなっている
です。
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
Ψ(X)
X⊖B̌
h
うを証明します。
ベクトル（画素）h を考えます。
って，B ⊆ X−h です。
Ψ によって変化しません。すな
移動不変ですから，0 ∈ Ψ(X−h)
られます。
の要素である任意の構造要素 B
の構造要素 B についても，X ⊖ ˇB
って，Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

2015
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[2] を証明する
素 B について，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり，
の中のある構造要素 B を用いて，その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
現定理」とよばれています。より一般的な証明は，参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ

2015
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[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
B∈Ker[Ψ]
。ここでは，式 (4) のほうを証明します。
て，X ⊖ ˇB に含まれるベクトル（画素）h を考えます。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
です。以上から，Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB

2015
A.Asano,KansaiUniv.
[2] を証明する
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち，Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は，以下のように証明されます。ここでは，式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について，X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから，Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変

2015
A.Asano,KansaiUniv.
[2] を証明する
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから，Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した（図 1）。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから，h
がって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
核の定義

2015
A.Asano,KansaiUniv.
[2] を証明する
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
した（図 1）。
∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B に
Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊇
任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)なら
∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} で
たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおく
含まれるある構造要素 B について，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ B
についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて，その画
とがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
核の定義

2015
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[2] を証明する
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
した（図 1）。
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
す。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
ろで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおくと，h ∈ X ⊖ ˇB
たがって，Ψ(X) ⊆ X ⊖ ˇB が示されました（図
のときもなりたつ
核の定義

2015
A.Asano,KansaiUniv.
[2] を証明する
B∈Ker[Ψ]
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
した（図 1）。
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
す。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
ろで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおくと，h ∈ X ⊖ ˇB
たがって，Ψ(X) ⊆ X ⊖ ˇB が示されました（図
のときもなりたつ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィル
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(
er[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から
，h ∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含ま
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。
ました（図 1）。
Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変
たがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h =
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。こ
核の定義

2015
A.Asano,KansaiUniv.
した（図 1）。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから，
h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は，より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈ Ψ
れるどの画素についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆
B∈
理は，より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。

2015
A.Asano,KansaiUniv.
そこで X-hをBと名付けると
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
ですから，h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり，
素 B を用いて，その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
れました B ∈ Ker[Ψ]（図??）。
，Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈
に含まれるどの画素についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと，h ∈ X ⊖ ˇB
いて，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり，
る構造要素 B を用いて，その画素が X ⊖ ˇB にも
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
よばれています。より一般的な証明は，参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから，Bh ⊆ X です。したがっ
，フィルタ Ψ は増加的ですから，包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに，フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の
，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ]（図??）。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから，
たがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
つまり

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって
B は Ker[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の要素であ
について，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって，Ψ(X
逆に，Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)
です。したがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とお
です。
したがって，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X
Ψ(X) に含まれるどの画素についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて，その
含まれるようにできることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
2）。
2
フィルタ定理は，より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より一般的な証明
てください。
浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１２回 (2013. 6. 26) http://racco.mi

2015
A.Asano,KansaiUniv.
が存在する
した（図 1）。
B∈Ker[
B∈
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
⊆
B∈Ker[Ψ]
B∈Ker[Ψ]
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
となる
つまり
Ψ(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
よって
す。以上から，Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても，X ⊖ ˇB
かりました。したがって，Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり，h′ = h の
ˇX−h です。ここで X−h を B とおくと，h ∈ X ⊖ ˇB
について，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり，
のある構造要素 B を用いて，その画素が X ⊖ ˇB にも
って，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
B は Ker[Ψ] の要素ですから，確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から，Ker[Ψ] の要素であ
について，h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である，つまり，Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって，Ψ(X
逆に，Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから，h ∈ Ψ(X)
です。したがって，X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで，X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので，h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とお
です。
したがって，Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について，h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X
Ψ(X) に含まれるどの画素についても，Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて，その
含まれるようにできることがわかりました。したがって，Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
2）。
2
フィルタ定理は，より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より一般的な証明
てください。
浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１２回 (2013. 6. 26) http://racco.mi

2015
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の例
erosion→近傍内での最小値(min)
OR→最大値演算(max)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
メディアンフィルタ
画像上をウィンドウが１画素ずつ移動し，各画素でウィンドウ内のメディアンを出力

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウ

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウ
[n/2 + 1]画素の
サブウィンドウ

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
ウィンドウサブウィンドウ
内の画素値
[n/2 + 1]画素の

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
[n/2 + 1]画素の

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10 10
20 2020
[n/2 + 1]画素の

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10 10
20 2020
...
[n/2 + 1]個の画素からなるすべてのサブウィンドウ
[n/2 + 1]画素の

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10
20
10 10
20
10 10
20 2020
...

2015
A.Asano,KansaiUniv.
10 15 10 20 10
10 30 50 20 10
10 10 20 10 10
10 20 10 10 10
10 10 10 10 10
内の画素値
10
20
30
50
20
10
20
10 10
20
10 10
20 2020
...
各サブウィンドウ内の
最大値の中の
最小＝メディアン

2015
A.Asano,KansaiUniv.
平均値フィルタ
画像上をウィンドウが１画素ずつ移動し，各画素でウィンドウ内の平均値を出力

2015
A.Asano,KansaiUniv.
２つの値の平均を，最大と最小で表す

2015
A.Asano,KansaiUniv.
２つの値の平均を，最大と最小で表す浅野：モルフォロジと形状記
r：小
画素値
x
y
x – r
y + r
r：大
x – rとy + rの
大きいほう
x – rとy + rの
小さいほう
「大きいほう」の最小
＝「小さいほう」の最大
＝平均
y + r
x – r
x – r
y + r
第 4 図最大・最小で平均を表す
ジにおけ
図形の粒
る．さら
たテクス
4.1
サイズ
分解した
占めてい
したもの
形の，も
前述の

2015
A.Asano,KansaiUniv.
２つの値の平均を，最大と最小で
ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
図 6: ケーキを平等に分けるには
AとBの２人がケーキを分ける。
２人とも大きい方がほしい。

2015
A.Asano,KansaiUniv.
ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
Aがナイフを端から動かして行き，
Bが「ストップ」をかけて，ケーキ
を切ってAが好きな方をとる

2015
A.Asano,KansaiUniv.
ナ
イ
フ
を
動
か
して
ゆ
く
Aがナイフを端から動かして行き，
Bが「ストップ」をかけて，ケーキ
を切ってAが好きな方をとる
Bの立場では，
切ったあとAは大きい方を取るだろ
うから，大きい方を最小にする

A.Asano,KansaiUniv.
一般的なモルフォロジの表現
∼順序集合と束

2015
A.Asano,KansaiUniv.
もっとも一般的なモルフォロジの表現
モルフォロジが定義できる集合は，

2015
A.Asano,KansaiUniv.
要素間の一部に順序が定義されていて（半順序集合），

2015
A.Asano,KansaiUniv.
任意の要素間に「上限」と「下限」が
定義されていればよい．

2015
A.Asano,KansaiUniv.
近傍内の上限→dilation，下限→erosion

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束(lattice)という

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
the elements of A is defined upper bound [lower bound]
of A. If the minimum [maximum] of the upper bound
[lower bound] of A exists, it is defined supremum
[infimum] of A. Note that the supremum and infimum
are not always an element of A. If the supremum
[infimum] is an element of A, it is equivalent to the
maximum [minimum] of A.
If the upper bound and lower bound are defined for all
combinations of two elements of X, and if the upper
bounds and lower bounds are always in X, the algebraic
*) Although the symbol “!” is often used to express an ordering, it is not related to the inequ
mathematical sense. The terms “upper” and “lower” only have the meaning that y is defined
this area are in progre
proposed. The lattice
ematical formulation
ogy[2].
References
[1] 小倉久和，情報の
ISBN4-7649-0276-1
[2] H. J. A. M. Heijma
tors, Academic Press
Fig. 4. Examples of lattice.
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
全順序集合
ogy[2].
References
ISBN4-7649-0276-1
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
全順序集合
ogy[2].
References
ISBN4-7649-0276-1
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
*) Although the symbol “!” is often used to express an ordering, it is not relate
proposed.
ematical f
ogy[2].
Referenc
[1] 小倉久
ISBN4-76
[2] H. J. A
tors, Acad
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
全順序集合 c-dに順序はないが，
c-dの上限はb，下限はe
ogy[2].
References
ISBN4-7649-0276-1
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
proposed.
ematical f
ogy[2].
Referenc
[1] 小倉久
ISBN4-76
[2] H. J. A
tors, Acad
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
ogy[2].
References
ISBN4-7649-0276-1
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
proposed.
ematical f
ogy[2].
Referenc
[1] 小倉久
ISBN4-76
[2] H. J. A
tors, Acad
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
*) Although the symbol “!” is often used to express an ordering, it is
mathematical sense. The terms “upper” and “lower” only have the m
p
e
o
R
[1
IS
[2
to
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)

2015
A.Asano,KansaiUniv.
束の例
(Hasse diagram)
ogy[2].
References
ISBN4-7649-0276-1
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
proposed.
ematical f
ogy[2].
Referenc
[1] 小倉久
ISBN4-76
[2] H. J. A
tors, Acad
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
*) Although the symbol “!” is often used to express an ordering, it is
mathematical sense. The terms “upper” and “lower” only have the m
p
e
o
R
[1
IS
[2
to
a
b
c
(a)
a
b
c
e
d
(b)
a
b
e
cd
f
h
g
(c)
カラー画像のモルフォロジも，この考えにもとづく
（ベクトルの順位付け）

2015年度春学期 画像情報処理 第１２回 画像フィルタとフィルタ定理

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