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2014年度春学期 画像情報処理 第12回 画像フィルタとフィルタ定理 (2014. 7. 9.)
- 38. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
す。より一般的な証明は,参考文献を参照し
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
,次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える
- 39. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
す。より一般的な証明は,参考文献を参照し
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
X⊖B̌
h
,次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える
- 40. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
す。より一般的な証明は,参考文献を参照し
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
X⊖B̌
h
,次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える
Ker[Ψ] =
0 は X が定義されている座標系の原点を意味しま
形のうち,それに対するフィルタの出力が原点を
フィルタ定理は,以下のように証明されます。
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B につい
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。
ならば,この関係を全体に h だけ移動することに
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B)
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり
- 41. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
す。より一般的な証明は,参考文献を参照し
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
X⊖B̌
h
,次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える
Ker[Ψ] =
0 は X が定義されている座標系の原点を意味しま
形のうち,それに対するフィルタの出力が原点を
フィルタ定理は,以下のように証明されます。
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B につい
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。
ならば,この関係を全体に h だけ移動することに
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B)
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり
核 (kernel) とよばれ,次のようなものです。
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えら
ィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
ように証明されます。ここでは,式 (4) のほうを証明しま
の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画
義されていますから,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆
加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって
Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変です
h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
- 42. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[1]
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
るどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
すから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
す。より一般的な証明は,参考文献を参照し
を証明する
Ker[Ψ]に含まれるBについて
X⊖B̌
h
,次のようなものです。
= {X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
点を含むものすべて」です。
す。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
す。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
とによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
まり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X ⊖ ˇB
に含まれる画素hを考える
Ker[Ψ] =
0 は X が定義されている座標系の原点を意味しま
形のうち,それに対するフィルタの出力が原点を
フィルタ定理は,以下のように証明されます。
Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B につい
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。
ならば,この関係を全体に h だけ移動することに
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B)
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり
核 (kernel) とよばれ,次のようなものです。
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えら
ィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
ように証明されます。ここでは,式 (4) のほうを証明しま
の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画
義されていますから,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆
加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって
Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変です
h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
します。
うなものです。
∈ Ψ(X)}. (6)
なわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
のすべて」です。
は,式 (4) のほうを証明します2。
⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
X です。したがって,B ⊆ X−h です。
X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
- 43. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
- 44. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
前ページ
- 45. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
前ページ
ち,それに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」
ルタ定理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4)
] の要素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含ま
= {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。し
で,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました(図 1)。
増加的
- 46. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
前ページ
ち,それに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」
ルタ定理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4)
] の要素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含ま
= {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。し
で,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました(図 1)。
増加的
味します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入
原点を含むものすべて」です。
ます。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
について,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えま
すから,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。
ます。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X
ことによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要
,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X
ことがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X
移動不変
- 47. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
前ページ
ち,それに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」
ルタ定理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4)
] の要素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含ま
= {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。し
で,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました(図 1)。
増加的
味します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入
原点を含むものすべて」です。
ます。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
について,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えま
すから,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。
ます。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X
ことによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要
,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X
ことがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X
移動不変
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB (5)
Ψ] が存在します。
,次のようなものです。
{X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
ます。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→
- 48. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
一方 BはKer[Ψ]に含まれるので
X⊖B̌
h
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によっ
0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動不変
体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得られます
すから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素で
h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要
て Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ
)。
る任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ
h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆
満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B
前ページ
ち,それに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」
ルタ定理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4)
] の要素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含ま
= {x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。し
で,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました(図 1)。
増加的
味します。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入
原点を含むものすべて」です。
ます。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
について,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えま
すから,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。
ます。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X
ことによって h ∈ Ψ(X) が得られます。
Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要
,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X
ことがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇ X
移動不変
(X)
B∈Ker[Ψ]
X ⊕ ˇB (5)
Ψ] が存在します。
,次のようなものです。
{X | 0 ∈ Ψ(X)}. (6)
ます。すなわち,Ker[Ψ] は「考えられるすべての入力図
を含むものすべて」です。
。ここでは,式 (4) のほうを証明します2。
いて,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
ら,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
に含まれるどのhに
ついてもなりたつ→ こうなる
- 49. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
ならば,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました(図 1)。
逆に,Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
X⊖B̌
h
(X)
- 50. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
ならば,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました(図 1)。
逆に,Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
(X)
- 51. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
ならば,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました(図 1)。
逆に,Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
(X)
X⊖B̌
h
- 52. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
こうなっている
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
ならば,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました(図 1)。
逆に,Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
(X)
X⊖B̌
h
- 53. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
Ker[Ψ]に含まれる任意の構造要素Bについて
つまり
こうなっている
ここで,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィ
わち,0 ∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ
ならば,この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X)
B は Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
について,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
に含まれる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
が示されました(図 1)。
逆に,Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変です
です。したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h
とき {(X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
です。
したがって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
h
X⊖B̌
X⊖B̌
h
(X)
X⊖B̌
h
うを証明します 。
ベクトル(画素)h を考えます。
って,B ⊆ X−h です。
Ψ によって変化しません。すな
移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
られます。
の要素である任意の構造要素 B
の構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
って,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
- 55. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
- 56. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
- 57. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
核の定義
- 58. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B に
Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)なら
∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} で
たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおく
含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ B
についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて,その画
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
核の定義
- 59. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B に
Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)なら
∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} で
たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおく
含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ B
についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて,その画
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
核の定義
- 60. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B に
Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)なら
∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} で
たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおく
含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ B
についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて,その画
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
す。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
ろで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
たがって,Ψ(X) ⊆ X ⊖ ˇB が示されました(図
のときなりたつ
核の定義
- 61. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
[2] を証明する
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
現定理」とよばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
3. 6. 26) http://racco.mikeneko.jp/ 2/5 ページ
Ker[Ψ] = {X | 0 ∈ Ψ(X)}.
されている座標系の原点を意味します。すなわち,Ker[Ψ] は
れに対するフィルタの出力が原点を含むものすべて」です。
理は,以下のように証明されます。ここでは,式 (4) のほう
素である任意の構造要素 B について,X ⊖ ˇB に含まれるベ
x ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
ルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの
。ここでは,式 (4) のほうを証明します 。
て,X ⊖ ˇB に含まれるベクトル(画素)h を考えます。
,Bh ⊆ X です。したがって,B ⊆ X−h です。
係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ によって変化しません。すな
。さらに,フィルタ Ψ は移動不変ですから,0 ∈ Ψ(X−h)
によって h ∈ Ψ(X) が得られます。
です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
移動不変
x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移動
の関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,h
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h
∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B に
Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)なら
∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} で
たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおく
含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ B
についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用いて,その画
とがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示
を考えると
) です。以上から,Ker[Ψ] の要素である任意の構造要素 B
り,Ker[Ψ] に含まれるどの構造要素 B についても,X ⊖ ˇB
がわかりました。したがって,Ψ(X) ⊇
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB
す。Ψは移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば 0 ∈ Ψ(X−h)
ろで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
X ⊖ ˇX−h です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
素 B について,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
の中のある構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
たがって,Ψ(X) ⊆ X ⊖ ˇB が示されました(図
のときなりたつ
∈ Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィル
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から
,h ∈ X⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含ま
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。
ました(図 1)。
Ψ(X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h =
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。こ
核の定義
- 62. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
- 63. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
- 64. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
が存在する
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
いて,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
る構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
よばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
つまり
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
- 65. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
が存在する
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
いて,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
る構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
よばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
つまり
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
(X)
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A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
が存在する
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
いて,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
る構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
よばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
つまり
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
(X)
h
X⊖B̌
- 67. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
が存在する
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
いて,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
る構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
よばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
つまり
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
- 68. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フィルタ定理の証明
そこで X-hをBと名付けると
が存在する
した(図 1)。
X)に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですから,
がって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
て,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ(X)
まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B を用
うにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[
定理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。より
に含まれる任意の画素hを考えます。Ψは移動不変ですか
って,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′
⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで
,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈ Ψ
れるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素 B
にできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
B∈
理は,より一般的には「Math´eron の表現定理」とよばれています。
ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
{h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
こで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
B∈Ker[Ψ]
移動不変ですから,h ∈ Ψ(X)ならば0 ∈ Ψ(X−h)
⊖ ˇX−h = {h′ | (X−h)h′ ⊆ X} であり,h′ = h の
です。ここで X−h を B とおくと,h ∈ X ⊖ ˇB
いて,h ∈ Ψ(X) ⇒ h ∈ X ⊖ ˇB です。つまり,
る構造要素 B を用いて,その画素が X ⊖ ˇB にも
,Ψ(X) ⊆
B∈Ker[Ψ]
X ⊖ ˇB が示されました(図
よばれています。より一般的な証明は,参考文献を参照し
となる
{x|Bx ⊆ X} と定義されていますから,Bh ⊆ X です。したがっ
,フィルタ Ψ は増加的ですから,包含関係 B ⊆ X−h はフィルタ Ψ
Ψ(B) ならば 0 ∈ Ψ(X−h) となります。さらに,フィルタ Ψ は移
この関係を全体に h だけ移動することによって h ∈ Ψ(X) が得ら
er[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,Ker[Ψ] の
,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれるどの構
る画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。したがっ
ました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変ですから,
たがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {h′ | (X−
−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここで X−
Ψ(X)に含まれる任意のhについて
つまり
Ker[Ψ] の要素ですから,確かに 0 ∈ Ψ(B) です。以上から,K
て,h ∈ X ⊖ ˇB ⇒ h ∈ Ψ(X) である,つまり,Ker[Ψ] に含まれ
れる画素はすべて Ψ(X) に含まれることがわかりました。し
れました B ∈ Ker[Ψ](図??)。
,Ψ(X)に含まれる任意の画素 hを考えます。Ψは移動不変で
したがって,X−h ∈ Ker[Ψ] です。ところで,X ⊖ ˇX−h = {
X−h)h′ ⊆ X} は満たされるので,h ∈ X ⊖ ˇX−h です。ここ
がって,Ker[Ψ] に含まれるある構造要素 B について,h ∈
に含まれるどの画素についても,Ker[Ψ] の中のある構造要素
るようにできることがわかりました。したがって,Ψ(X) ⊆
(X)
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌
h
X⊖B̌