Digital Image Processing Chapter 5 – Image Restoration and Reconstruction- From “Adaptive Filters” to “Linear, Position-Invariant Degradations”

Digital Image Processing
Chapter 5 – Image Restoration and Reconstruction-
From “Adaptive Filters” to
“Linear, Position-Invariant Degradations”
北田俊輔
1

目次
5. 画像の復元と再構築
5.3.3 適応フィルタ (P352)
5.4 周波数領域フィルタによるノイズの低減
5.4.1 バンドリジェクトフィルタ(P357)
5.4.2 バンドパスフィルタ (P358)
5.4.3 ノッチフィルタ (P359)
5.4.4 最適ノッチフィルタ(P360)
5.5 線形ポジションインバリアント劣化 (P365)
2

適応フィルタ - Adaptive Filters -
• 適応局所ノイズ低減フィルタ
• 適応メディアンフィルタ
𝑚 × 𝑛のフィルタ𝑆 𝑥𝑦
統計的特性を考慮
4

適応局所ノイズ低減フィルタ1
𝑓(𝑥, 𝑦)
元画像𝑓の
点 𝑥, 𝑦 における輝度値
𝑔(𝑥, 𝑦)
ノイズ画像𝑔の
点(𝑥, 𝑦)における輝度値
𝜎 𝜂
2
付加したノイズの分散
𝑚 𝐿
𝑆 𝑥𝑦における
輝度値の局所平均
𝜎𝐿
2 𝑆 𝑥𝑦における
輝度値の局所分散
5
• 各変数の定義

6
• フィルタ 𝑓の仕様について
𝜎𝜂
2
≤ 𝜎𝐿
2
とすると，
(5.3-12)
1. 𝜎𝜂
2 = 0のとき，𝑔(𝑥, 𝑦)の値を返す
2. 𝜎𝐿
2
> 𝜎𝜂
2のとき，𝑔 𝑥, 𝑦 に近い値を返す
3. 𝜎𝐿
2
= 𝜎𝜂
2のとき，𝑆 𝑥𝑦内で算術平均値を返す
1. 付加したノイズの分散が0のとき，𝑔 𝑥, 𝑦 の値を返す
2. 𝑆 𝑥𝑦におけるコントラスト値 > ノイズの分散のとき，𝑔(𝑥, 𝑦)に近い値を返す
3. 𝑆 𝑥𝑦におけるコントラスト値=ノイズの分散のとき，算術平均値を返す
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦 −
𝜎𝜂
2
𝜎𝐿
2 [𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑚 𝐿]

7
• フィルタリングの問題
𝜎𝜂
2の値が未知である
• 対処方法
• 条件確認を組み込む
• 負数を認める実装
→ 𝜎𝜂
2
> 𝜎𝐿
2
のような状態が発生してしまうかも
→ 非線形になってしまう
→ 輝度情報の損失

8
図5.13(a)
平均0分散1000の
ガウスノイズを
付加した画像
図5.13(b)
7 × 7の算術平均
フィルタリング
図5.13(c)
7 × 7幾何平均
図5.13(c)
𝜎 𝜂
2
= 1000の適応
a
c
b
d

適応メディアンフィルタ1
𝑧 𝑚𝑖𝑛 𝑆 𝑥𝑦における最小の輝度値
𝑧 𝑚𝑎𝑥 𝑆 𝑥𝑦における最大の輝度値
𝑧 𝑚𝑒𝑑 𝑆 𝑥𝑦における輝度値の中央値
𝑧 𝑥𝑦 点(𝑥, 𝑦)における輝度値
𝑆 𝑚𝑎𝑥 𝑆 𝑥𝑦の最大サイズ
9
• 各変数の定義

1 Stage A {
2
3 A1 = zmed-zmin
4 A2 = zmed-zmax
5
6 if A1 > 0 AND A2 < 0
7 go to Stage B
8 else
9 increase the window size
10
11 if window size < Smax
12 repeat Stage A
13 else
14 output zmed
15 }
16 Stage B {
17
18 B1 = zxy - zmin
19 B2 = zxy - zmax
20
21 if B1 > 0 AND B2 < 0
22 output zxy
23 else
24 output zmed
25 }
10

11
図5.14(a)
ごま塩雑音を
付加した画像
図5.14(b)
7 × 7メディアン
フィルタを施した画像
図5.14(c)
適応メディアン
フィルタを施した画像

周波数領域における
フィルタリングによる
周期性ノイズの低減
12

周波数領域フィルタリング
• 帯域除去フィルタ - Bandreject Filter -
• バンドパスフィルタ - Band pass Filter -
• ノッチフィルタ - Notch Filter –
13
フーリエ変換を行うことで，
輝度を各周波数成分に分けることができる
フィルタリングで特定の周波数を取り出して
実空間の画像に戻す（逆フーリエ変換）ことで
様々な画像処理を施せる

帯域除去フィルタ1
周波数領域内でおおよそ既知であるノイズ成分を
除去するのに適している
14
→ ノイズの周波数成分が既知のとき，その周波数成分を
フィルタを用いて0にすることで，ノイズを除去できる．

15
• 帯域除去フィルタ
理想 𝐻 𝑢, 𝑣 = 0 𝑖𝑓 𝐷0 −
𝑊
2
≤ 𝐷0 +
𝑊
2
1 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
バターワース
𝐻 𝑢, 𝑣 =
1
1 +
𝐷𝑊
𝐷2 − 𝐷0
2
2𝑛
ガウシアン
𝐻 𝑢, 𝑣 = 1 − 𝑒−
𝐷2−𝐷0
2
𝐷𝑊
2

16
• インパルスノイズの特徴
𝑣
𝑢
ノイズ成分
• 変換先において互いに鏡像
• sinのフーリエ変換で表しやすい
• 互いに複素共役

17
図5.16(a)
sin波ノイズを
付加させた画像
図5.16(b)
(a)のフーリエ
スペクトル
図5.16(c)
バターワース
帯域除去フィルタ
図5.16(d)
結果
a
c
b
d

バンドパスフィルタ1
18
• 帯域除去フィルタとの関係
バンドパスフィルタは
帯域除去フィルタと逆の動作をする
バンドパスフィルタ𝐻 𝐵𝑃(𝑢, 𝑣)と帯域除去フィルタ
𝐻 𝐵𝑅(𝑢, 𝑣)は，
の関係がある．
𝐻 𝐵𝑃 𝑢, 𝑣 = 1 − 𝐻 𝐵𝑅(𝑢, 𝑣) (5.4-1)

バンドパスフィルタ2
19
• バンドパスフィルタの性質
• 直接バンドパスフィルタリングは行わない．
• 選択した周波数帯の効果を分離するのに有効
→ 一般的に多くの画像情報を削除してしまう

ノッチフィルタ1
20
• どんなフィルタ？
前もって定義した周波数近傍を除去/通過させる
フィルタである．
例として除去を行うノッチリジェクトフィルタは
と表すことができる．
𝐻 𝑁𝑅 𝑢, 𝑣 =
𝑘=1
𝑄
𝐻 𝑘 𝑢, 𝑣 𝐻−𝑘(𝑢, 𝑣) (4.10-2)
→ ハイパスフィルタを組み合わせたもの．

21
図5.18(a)
理想
ノッチフィルタ
図5.18(b)
バターワース
図5.18(c)
ガウシアン
cb
a

22
• ノッチパス/リジェクトフィルタの関係
ノッチパスフィルタとノッチリジェクトフィルタの
関係は，
ノッチパスフィルタとノッチリジェクトフィルタは
逆の動作をするフィルタである．
𝐻 𝑁𝑃 𝑢, 𝑣 = 1 − 𝐻 𝑁𝑅(𝑢, 𝑣) (5.4-2)

23
図5.19(a)
海岸の衛星写真
図5.19(b)
aのスペクトル
図5.19(c)
bにノッチパス
フィルタを通した
結果
図5.19(d)
空間雑音パターン
図5.19(e)
ノッチリジェクト
フィルタを施した
a
e
b
c
d

最適ノッチフィルタリング1
24
• ノッチフィルタリングの弊害
単一のノイズ成分ならばノッチフィルタを掛ける
ことで軽減することができる．
しかしながら，複数のノイズ成分が存在する場合，
単純にノッチフィルタリングを行ってしまうと，
多くの画像情報を損失させてしまう．
また一般的に，ノイズ成分は単一のものではない．

25
図5.20(a)
火星の衛星写真
図5.20(b)
フーリエスペクトラム

26
• ノッチフィルタリングを最適化
1. 画像のノイズを分離する
2. 劣化画像からノイズに重み付けしたものを引く
復元画像 = 劣化画像 − 𝕨 × ノイズ

27
• 画像のノイズを分離する1
ノッチパスフィルタを用いて，ノイズの成分を
取り出す．
ノイズに関連している成分のみを通過させる場合，
ノイズに対するフーリエ変換は
の式で与えられる．
𝐺(𝑢, 𝑣)はノイズ画像のフーリエ変換である．
𝑁 𝑢, 𝑣 = 𝐻 𝑁𝑃 𝑢, 𝑣 𝐺(𝑢, 𝑣) (5.4-3)

28
𝐻 𝑁𝑃(𝑢, 𝑣)の形状については一概に決まらないので，
𝐺(𝑢, 𝑣)のスペクトルを観察しつつ，対話的に決定．
𝐻 𝑁𝑃(𝑢, 𝑣)の形状が決定した場合，空間領域内に対応
する式は
となる．
𝜂 𝑥, 𝑦 = ℑ−1 𝐻 𝑁𝑃 𝑢, 𝑣 𝐺 𝑢, 𝑣 (5.4-4)

29
ノイズ画像𝑔(𝑥, 𝑦)は元画像𝑓(𝑥, 𝑦)にノイズが
付加されたものである．
𝜂(𝑥, 𝑦)が既知なら，𝑔(𝑥, 𝑦)から𝑓(𝑥, 𝑦)を引くことで，
ノイズを除去することができる．
しかしながら，真のパターンの近似値しか得られない．

30
• 劣化画像からノイズに重み付けしたものを引く1
𝜂 𝑥, 𝑦 の推定値に存在していない成分の影響を
最小化したい．
代わりに𝑓(𝑥, 𝑦)の推定値 𝑓(𝑥, 𝑦)を得るために，
𝜂(𝑥, 𝑦)の加重部分𝑤(𝑥, 𝑦)を𝜂(𝑥, 𝑦)にかけたものを
𝑔(𝑥, 𝑦)から引くことで最小化できる．
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.4-5)

31
推定値 𝑓(𝑥, 𝑦)の分散について，指定範囲の近傍で
最小になるよう，𝑤(𝑥, 𝑦)を決定する．

32
- 具体例 -
点(𝑥, 𝑦)において，(2𝑎 + 1)と(2𝑏 + 1)サイズの近傍に
ついて考えてみる．
(2𝑎 + 1)
(2𝑏 + 1)
点(𝑥, 𝑦)

33
点(𝑥, 𝑦)における 𝑓 𝑥, 𝑦 の局所分散𝜎2(𝑥, 𝑦)は
で表すことができる．ここで 𝑓 (𝑥, 𝑦)は，
𝜎2
𝑥, 𝑦 =
1
2𝑎 + 1 2𝑏 + 1
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡 − 𝑓 𝑥, 𝑦
2
(5.4-6)
𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
2𝑎 + 1 2𝑏 + 1
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
𝑓(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡) (5.4-7)

34
(5.4-5)を(5.4-6)に代入すると，
となる．
𝜎2
𝑥, 𝑦 =
1
2𝑎 + 1 2𝑏 + 1
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
{[𝑔(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)
−𝑤 𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡 𝜂(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)]
− 𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂 𝑥, 𝑦 }2
(5.4-8)

35
近傍では𝑤 𝑥, 𝑦 が一定だとすると，
−𝑎 ≤ 𝑠 ≤ 𝑎かつ−𝑏 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏の範囲で
と近似することができる．また，
である．
𝑤 𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡 = 𝑤(𝑥, 𝑦) (5.4-9)
𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥, 𝑦) = 𝑤(𝑥, 𝑦) 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.4-10)

36
近似式(5.4-9)，(5.4-10)を利用すると，(5.4-6)は
となる．
𝜎2 𝑥, 𝑦 =
1
2𝑎 + 1 2𝑏 + 1
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
{[𝑔(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)
−𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)]
− 𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂 𝑥, 𝑦 }2
(5.4-11)

37
この𝜎2(𝑥, 𝑦)を最小化することで，𝑤(𝑥, 𝑦)の解を得る
ことができる．したがって，
を解くことになる．
𝜕𝜎2 𝑥, 𝑦
𝜕𝑤 𝑥, 𝑦
= 0 (5.4-12)

38
結果的に，𝑤(𝑥, 𝑦)は
ということになる．
𝑤 𝑥, 𝑦 =
𝑔 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)𝜂(𝑥, 𝑦)
𝜂2 𝑥, 𝑦 − 𝜂2(𝑥, 𝑦)
(5.4-13)
𝑔 𝑥, 𝑦 𝜂 𝑥, 𝑦 =
1
(2𝑎 + 1)(2𝑏 + 1)
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
𝑔 𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡 𝜂(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)
𝜂2(𝑥, 𝑦) =
1
(2𝑎 + 1)(2𝑏 + 1)
𝑠=−𝑎
𝑎
𝑡=−𝑏
𝑏
𝜂2
(𝑥 + 𝑠, 𝑦 + 𝑡)

39
• 最適ノッチフィルタリングで画像を復元
1. 𝑤(𝑥, 𝑦)が必要なので，(5.4-13)を計算
2. (5.4-5)を計算して復元画像 𝑓(𝑥, 𝑦)を得る
𝑤 𝑥, 𝑦 =
𝑔 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)𝜂(𝑥, 𝑦)
𝜂2 𝑥, 𝑦 − 𝜂2(𝑥, 𝑦)
(5.4-13)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝑤 𝑥, 𝑦 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.4-5)
𝜂 𝑥, 𝑦 = ℑ−1 𝐻 𝑁𝑃 𝑢, 𝑣 𝐺 𝑢, 𝑣 (5.4-4)

40
図5.21
図5.20(a)のフーリエスペクトラム
(シフト処理をしていない)
図5.20(a)
図5.20(b)
フーリエスペクトラム

41
図5.22(a)
𝑁(𝑢, 𝑣)のフーリエスペクトラム
図5.22(b)
𝜂(𝑥, 𝑦)のノイズパターン

42
図5.23
最適ノッチフィルタリング
を施した画像
図5.20(a)

線形ポジション・
インバリアント劣化
43

線形ポジション-インバリアント劣化1
• 「ポジション・インバリアント」って？
インパルス応答がポジション（シフト）によらない
44
0 𝑎 0 𝑎
𝑥
𝑥
ℎ(𝑥) ℎ(𝑥 − 𝑎)
ℎ(𝑥) ≠ ℎ(𝑥 − 𝑎)
ポジション・インバリアントポジション・バリアント
[参考] http://www.cfme.chiba-u.jp/~haneishi/class/5_2syuhasukukan.pdf

• 2次元画像の場合の「ポジション・インバリアント」
インパルス応答 = 点光源に対するレンズによる像
（点拡がり関数(Point spread function)とよぶ）
45
ポジション・インバリアントポジション・バリアント
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛿(𝑥, 𝑦) g 𝑥, 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑦)
𝑃𝑆𝐹がポジション
によって異なる
[参考] http://www.cfme.chiba-u.jp/~haneishi/class/5_2syuhasukukan.pdf

• 線形システムについて
重ねあわせの原理が成り立っている系．
46[参考] http://www.cfme.chiba-u.jp/~haneishi/class/5_2syuhasukukan.pdf
𝑓0
𝑓1
𝑓2 𝑓(𝑥)
𝜏
𝑥
𝑥
𝑥
𝑔(𝑥)
𝐻 𝑓0 𝛿 𝑥 = 𝑓0ℎ 𝑥
𝐻 𝑓1 𝛿 𝑥 − 𝑑 = 𝑓1ℎ 𝑥 − 𝑑
𝐻 𝑓2 𝛿 𝑥 − 2𝑑 = 𝑓2ℎ(𝑥 − 2𝑑)
…
入力画像：
𝑓 𝑥 = 𝑓0 𝛿 𝑥 + 𝑓1 𝛿 𝑥 − 𝑑 + 𝑓2 𝑥 − 2𝑑 + ⋯
出力画像：
𝑔 𝑥 = 𝑓0ℎ 𝑥 + 𝑓1ℎ 𝑥 − 𝑑 + 𝑓2 𝑥 − 2𝑑 + ⋯
𝑔 𝑥 = 𝐻[𝑓(𝑥)]

• 線形演算子の性質1
復元段階前の入出力の関係
である．ここで，𝜂 𝑥, 𝑦 = 0で
となるような場合を考える．
47
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-1)
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻[𝑓 𝑥, 𝑦 ]

𝑎，𝑏がスカラであり，任意の2つの画像
𝑓1 𝑥, 𝑦 ，𝑓2(𝑥, 𝑦)を入力した時，
𝐻が線形であるとすると，
を満たす．
48
𝐻 𝑎𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝑏𝑓2 𝑥, 𝑦
= 𝑎𝐻 𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝑏𝐻[𝑓2(𝑥, 𝑦)]
(5.5-2)

𝑎 = 1，𝑏 = 1であるとき，(5.5-2)は，
を満たす．
これは「加法性」と呼ばれている．
2つの入力の和に対する応答が2つの応答の和に等しい
49
𝐻 𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝑓2 𝑥, 𝑦
= 𝐻 𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝐻[𝑓2 𝑥, 𝑦 ]
(5.5-3)

𝑓2 𝑥, 𝑦 = 0であるとき，(5.5-2)は，
を満たす．
これは「同次性」と呼ばれている．
任意の入力の定数倍への応答は，
入力に対する応答を定数倍したものに等しい 50
𝐻 𝑎𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝐻[𝑓1 𝑥, 𝑦 ] (5.5-4)

線形演算子は，「加法性」および「同次性」
両方の性質を有している
51
𝐻 𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝑓2 𝑥, 𝑦
= 𝐻 𝑓1 𝑥, 𝑦 + 𝐻[𝑓2 𝑥, 𝑦 ]
(5.5-3)
𝐻 𝑎𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝐻[𝑓1 𝑥, 𝑦 ] (5.5-4)

• 線形ポジションインバリアントシステム1
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻[𝑓 𝑥, 𝑦 ]が成り立つ時，
任意の𝑓(𝑥, 𝑦)や𝛼，𝛽において，以下の
が成立する時，ポジションインバリアントである．
52
𝐻 𝑓 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 = 𝑔(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) (5.5-5)

(4.5-3)の定義を利用すると𝑓(𝑥, 𝑦)は，
53
𝑓 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-6)
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝑡, 𝑧 𝛿 𝑡 − 𝑡0, 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑡𝑑𝑧 = 𝑓 𝑡0, 𝑧0 ⋯ (4.5 − 3)

𝜂 𝑥, 𝑦 = 0と仮定した場合，(5.5-6)に(5.5-1)を
代入すると，
54
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦
= 𝐻
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
(5.5-7)
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂 𝑥, 𝑦 ⋯ (5.5 − 1) 𝑓 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 ⋯ (5.5 − 6)

𝐻が線形演算子であり，加法性を利用して
展開してみると，
55
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝐻 𝑓 𝛼, 𝛽 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-8)

𝑓(𝛼, 𝛽)が𝑥, 𝑦について独立であり，かつ同次性を
利用すると，
56
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-9)

ここで，
とする．これは𝐻のインパルス応答と呼ばれている．
57
ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 = 𝐻[𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 ] (5.5-10)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 ⋯ (5.5 − 9)

ここで，
とする．これは𝐻のインパルス応答と呼ばれている．
(5.5-1)で𝜂 𝑥, 𝑦 = 0なら，ℎ(𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽)は
点(𝑥, 𝑦)における「インパルス応答」である．
58
ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 = 𝐻[𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 ] (5.5-10)
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂 𝑥, 𝑦 ⋯ (5.5 − 1)

インパルス応答は2次元画像においては点光源となり，
ℎ(𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽)は一般的に
点拡がり関数（ Point spread function ）
と呼ばれている．
59ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 = 𝐻[𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 ] ⋯ (5.5 − 10)

(5.5-9)に(5.5-10)を代入することで，
が得られる．これは，第一種重ねあわせ積分
（フレドホルム積分）と呼ばれている．
60
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-11)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 ⋯ (5.5 − 9) ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 = 𝐻[𝛿 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 ] ⋯ (5.5 − 10)

𝐻がポジションインバリアントである場合，
(5.5-5)より，
このとき(5.5-11)は，
61
ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 = 𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) (5.5-10)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-9)
𝐻 𝛿(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) = ℎ(𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽) (5.5-12)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 (5.5-13)

画像にノイズが存在するとき，線形劣化モデル
である(5.5-11)は，
62
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-14)
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐻 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂(𝑥, 𝑦) ⋯ (5.5 − 1) 𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 ⋯ (5.5 − 11)

𝐻がポジションインバリアントであるとき，
(5.5-14)は
63
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥 − 𝛼, 𝑦 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-15)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 + 𝜂(𝑥, 𝑦) ⋯ (5.5 − 14)

(5.5-14)については，
のように畳み込み演算であることを示す
表記ができる．
64
𝑔 𝑥, 𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑦 ★ 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-16)
𝑔 𝑥, 𝑦 =
−∞
∞
−∞
∞
𝑓 𝛼, 𝛽 ℎ 𝑥, 𝛼, 𝑦, 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-14)

畳み込み理論において，周波数領域で
(5.5-16)を表現すると，
65
𝐺 𝑢, 𝑣 = 𝐻 𝑢, 𝑣 𝐹 𝑢, 𝑣 + 𝑁(𝑢, 𝑣) (5.5-17)
𝑔 𝑥, 𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑦 ∗ 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂(𝑥, 𝑦) ⋯ (5.5 − 16)

66
𝐺 𝑢, 𝑣 = 𝐻 𝑢, 𝑣 𝐹 𝑢, 𝑣 + 𝑁(𝑢, 𝑣) (5.5-17)
𝑔 𝑥, 𝑦 = ℎ 𝑥, 𝑦 ★ 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜂(𝑥, 𝑦) (5.5-16)
実空間
コンボリューション
周波数空間
掛け算

ここまでのまとめ
• 適応フィルタリング
• 適応局所ノイズ低減フィルタ
• 適応メディアンフィルタ
• 周波数フィルタリング
• 帯域除去フィルタ
• バンドパスフィルタ
• ノッチフィルタ
• 最適ノッチフィルタリング
• 線形ポジション・インバリアント
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Digital Image Processing Chapter 5 – Image Restoration and Reconstruction- From “Adaptive Filters” to “Linear, Position-Invariant Degradations”

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