задание 4 (b5)

1. Решение заданий
В5
площади многоугольников
по материаламоткрытогобанка
задач ЕГЭ по математике 2014 года
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития»
г. Радужный
Автор:учительматематики Е.Ю.Семёнова

2. Теорема Пика
Пусть L − число целочисленных точек внутри
многоугольника, B − количество целочисленных точек на
его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула
Пика:
S = L + B/2 – 1
Пример 1.
Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),
B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому
S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
1см

3. Теорема Пика
Пример 2.
L = 18 (красные точки),
B = 10 (синие точки), поэтому
S = 18 + 10/2 – 1 = 22
квадратных единиц.
1см

4. Площадь прямоугольного треугольника
Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника,
c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины
прямого угла на гипотенузу, S − его площадь.
Тогда справедливы формулы:
2
1
S = ab
a
b
2
1
S = ch
c
h

5. Площадь произвольного треугольника
Пусть а − сторона треугольника, hа – высота,
проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
2
1
S = aha
a
ha
a
ha

6. Площадь параллелограмма
Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота,
проведенная к этой стороне, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
S = aha
a
ha
ha
a

7. Площадь трапеции
Пусть а и b − основания трапеции, h – высота,
S − площадь трапеции.
Тогда справедлива формула:
b
h
2
a + b
S = h
a
b
h
a

8. Площадь четырехугольника
Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника,
α – угол между ними, S − его площадь.
Тогда справедлива формула:
2
1
S = d1d2 sin α
d2
d1
d2
d1

9. Задания открытого банка задач
1. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5.
Решение:
abS
2
1

7
3
1см
.,S 51073
2
1


10. Задания открытого банка задач
2. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
aahS
2
1

8
4
1см
.S 1684
2
1

ha

11. Задания открытого банка задач
3. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS
2
1

.S 1283
2
1

81см
ha3

12. Задания открытого банка задач
4. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS
2
1

.S 1264
2
1

4
6
1см
ha

13. Задания открытого банка задач
5. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12.
Решение:
aahS
2
1

.S 1283
2
1

3
8
1см
ha

14. Задания открытого банка задач
6. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33.
Решение:
 п/уΔ SS
.33827472 
1см
1
8
9
8
6
8
2
1ΔS 2ΔS 3ΔS
 98ΔS  18
2
1
 69
2
1
 28
2
1

15. Задания открытого банка задач
7. Найдите площадь треугольника, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15,5.
Решение:
п/уΔ SS 
.,, 515452143672 
1см
7
9
8
1
5
1ΔS 2ΔS 3ΔS
 98ΔS  98
2
1
 47
2
1
 15
2
1
4
14
1у/пS

16. Задания открытого банка задач
8. Найдите площадь квадрата, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 50.
Решение:
2
aS 
1см
1
7
5014917 222
а
по теореме Пифагора:
а
а
50S

17. Задания открытого банка задач
9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 20.
Решение:
abS 
1см
2
6
4043626 222
а
по теореме Пифагора:
а
204001040 S
b
1
3
101913 222
b
40а
10b

18. Задания открытого банка задач
10. Найдите площадь ромба, изображенного на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
Решение:
1см
21
2
1
ddS 
4
8
1648
2
1
S

19. Задания открытого банка задач
11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17,5.
Решение:
1см
5
  517
2
35
345
2
1
,S 
4
3
 1
2
1
ahS
S 1ΔS 2ΔS
 21
2
1
hhaS 
2
2
1
ah

20. Задания открытого банка задач
12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 8.
Решение:
1см
6
  8468
2
1
S
 1
2
1
ahS
S 1ΔS 2ΔS
 21
2
1
hhaS 
2
2
1
ah4
8

21. Задания открытого банка задач
13. Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 30.
Решение:
1см
h
ba
S 


2
5
4
305
2
48


S
8

22. Задания открытого банка задач
Ответ: 36.
Решение:
1см
h
ba
S 


2
7
2
368
2
27


S
8
14. Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

23. Задания открытого банка задач
15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 28.
Решение:
1см
7
2874 S
4
aahS 

24. Задания открытого банка задач
17. Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 25,5.
Решение:
 п/уΔ SS
.,, 52552851372 
1см
5
9
8
3
7
1ΔS 2ΔS 3ΔS
 98ΔS  93
2
1
 87
2
1
 25
2
1
2

25. Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (1 способ)
1см
7
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
2
3
  513
2
27
273
2
1
,S 
 1
2
1
ahS
S 1ΔS 2ΔS
 21
2
1
hhaS 
2
2
1
ah

26. Задания открытого банка задач
Ответ: 13,5.
Решение: (2 способ)
1см
h
ba
Sтрапеции 


2
7
5387
2
29
1 ,S 


9
18. Найдите площадь трапеции, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
2
1
2
224
2
29
2 

S
222
2
1
3 S
112
2
1
4 S
51312225384321 ,,SSSSS 
S2
S3
S4

27. Задания открытого банка задач
19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 51.
Решение:
 п/уSS
.5166972 
1см
6
9
8
2
3
1ΔS 2ΔS у/пS
 98S  63
2
1
 26
2
1
23
6

28. Задания открытого банка задач
20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 31.
Решение:
 п/уSS
.3153672 
1см
9
8
2
1ΔS 2ΔS
 98S  98
2
1
 25
2
1
5

29. Задания открытого банка задач
21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 33,5.
Решение:
 п/уSS
.,, 533785756 
1см
7
8
2
1ΔS 2ΔS
 78S  35
2
1
28
2
1
5
3ΔS
3
 27
2
1
2

30. Задания открытого банка задач
22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 24.
Решение:
 кв.б.SS
.24251564 
1см
8
8
3
ΔS2 .кв.мS
 88S  35
2
1
2 55
5
5 3

31. Задания открытого банка задач
23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14,5.1см
7
8
3
4
53
Решение:
 п/уSS
.,, 514151651056 
1ΔS 2ΔS
 78S  37
2
1
48
2
1

у/пS
 35

32. Задания открытого банка задач
24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18.1см
7
8
Решение:
S
.181028 
ΔS
 78
2
1
S 

2
2
73
3
трапецииS
2

33. Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.
1см 4
4
4
4
Решение: (1 способ)
Площадь четырехугольника
(в том числе невыпуклого)
равна половине произведения
диагоналей на синус угла между
ними.
Диагонали данного
четырехугольника являются
взаимно перпендикулярными
диагоналями квадратов со
стороной 4. Поэтому длины
диагоналей равны 4√2, а синус
угла между ними равен 1.
Тем самым, площадь данного
четырехугольника равна 16.

34. Задания открытого банка задач
25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 16.1см
Решение: (2 способ)
L = 15 (красные точки),
B = 4 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 15 + 4/2 – 1 = 16

35. Задания открытого банка задач
26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5.
1см
Решение: (1 способ)
9
9
54
5
3
5
4
6
 кв.SS
.,, 51916512181581 
1ΔS 2ΔS
 99S  65
2
1
 49
2
1
3ΔS
55
2
1
 4
2
53



.трапS

36. Задания открытого банка задач
26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5.1см
Решение: (2 способ)
L = 16 (красные точки),
B = 9 (синие точки),
тогда по теореме Пика
S = L + B/2 – 1
S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5