1. Теоретическая часть
Определение: уравнение,
содержащее
тригонометрические функции,
называется
тригонометрическим
уравнением

2. Основные методы решения
тригонометрических
уравнений
1. Простейшие. К ним относятся
уравнения вида
sin x = a ( a ≤ 1), cos x = a ( a ≤ 1),
tgx = a (где а ∈ R ), ctgx = a (где а ∈ R )

3. Формулы решений этих уравнений
имеют следующий вид (здесь и в
дальнейшем означает, что n- целое
число):
n
sin x = a; х = (−1) + arcsin a + πn, n ∈ Z ; (1)
cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z ;
(2)
tgx = a; x = arctga + πn, n ∈ Z ;
(3)
ctgx = a; x = arcctga + πn, n ∈ Z .
(4)
Необходимо повторить частные случаи
решения уравнений при а=0, а=1 и а= -1

4. Уравнения вида
sin ( ωx + ϕ ) = a, cos( ωx + ϕ ) = a,
tg ( ωx + ϕ ) = b, ctg ( ωx + ϕ ) = b
( a < 1, ω ≠ 0, ϕ , b - любые действительные
числа) также относятся к простейшим
Их следует решать сразу по
формулам (1)-(4), заменив ωх + ϕ
на t

5. Необходимо помнить, что:
1) arcsin ( − a ) = − arcsin a,
2) arccos( − a ) = π − arccos a,
3) arctg ( − a ) = − arctga,
4) arcctg ( − a ) = π − arcctga

6. Можно напомнить формулы корней
уравнений вида:
cos x = a, 0 ≤ a ≤ 1, x = ± arccos a + πk , k ∈ Z ;
2
sin x = a, 0 ≤ a ≤ 1, x = ± arcsin a + πk , k ∈ Z ;
2
tg x = a, a ∈ [ 0; ∞ ) , x = ± arctg a + πk , k ∈ Z
2

7. 2.Общий прием
Он заключается в том, что все
тригонометрические функции, которые
входят в уравнение, выражают через
какую-нибудь одну тригонометрическую
функцию, зависящую от одного и того
же аргумента

8. 3. Методы группировки
Путем группировки слагаемых
уравнение привести к виду, когда левая
часть разложена на множители, а правая
часть равна нулю. Уравнение
распадается на несколько более простых
уравнений. При решении уравнений этим
методом возможно появление
посторонних корней. Чтобы избежать
ошибки в ответе, нужно исключить из
полученных значений неизвестного те,
для которых заданное уравнение не
имеет смысла

9. 4. Уравнения, решаемые
понижением степени
Если тригонометрическое уравнение
содержит sin x, cos x в четвертой
степени, то применим формулы
понижения степени
1
1
2
sin α = (1 − cos 2α ) , cos α = (1 + cos 2α )
2
2
2

10. 5. Универсальная подстановка
При решении уравнений вида
a sin x + b cos x = c
удобно применять универсальную
x
2t
подстановку tg 2 = t . Тогда sin x = 1 + t 2 ,
1− t
cos x =
а
. Уравнение становится
1+ t
рациональным. После нахождения
его решения надо проверить, не
удовлетворяют ли исходному
уравнению числа x = π + 2πn, n ∈ Z
2
2

11. 6. Однородные уравнения и
приводимые к ним
Однородные уравнения, т. е. уравнения
вида:
a cos x + b sin x = 0,
a cos 2 x + b cos x sin x + c sin 2 x = 0,
a cos x + b cos x sin x + c cos x sin x + d sin x = 0.
3
2
2
3
и т. д. (у всех слагаемых сумма
показателей одинакова) приводятся к
алгебраическим относительно tgx
путем деления обеих частей уравнения
на cos x ≠ 0( cos x ≠ 0, cos x ≠ 0) соответственно
2
3

12. Некоторые уравнения можно сделать
однородными путем замены 1 на
2
2
сos x + sin x с помощью различных
преобразований функций, входящих в
уравнение и т. д.

13. Например:
a cos x + b sin x + = c ⇒
x
x
 2x
 2x
2 x
2 x
a cos − sin  + 2b sin cos = c cos + sin  ⇒
2
2
2
2
2
2


x
x
2 x
2 x
⇒ ( a − c ) cos + 2b sin cos − ( a + c ) sin
=0
2
2
2
2
получили однородное уравнение
второй степени

14. 7. Способ подстановки
Рассмотрим уравнения, для которых
удобно применять различные
подстановки:
1) sin x cos x = t ,
2) sin x ± cos x = t

15. 8. Введение вспомогательного угла
Суть метода в том, что некоторую
величину представляют как
тригонометрическую функцию
соответствующего аргумента ϕ , а
затем производят тригонометрические
преобразования

16. Покажем, что любое линейное
уравнение, a sin x + b cos x = c , где можно
a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, решить этим методом.
Разделим обе части уравнения на
a2 + b2 :
a
a +b
2
2
sin x +
b
a +b
2
2
cos x =
c
a +b
2
2

17. 
a

 2
2
 a +b
2
 
b
 +
  2
2
  a +b

a

;
 2
2
 a +b
2

 =1


b
Так как
, то точка с


 лежит на
координатами
a +b 
единичной окружности.
Следовательно, существует такое
число ϕ (такой угол ϕ ), что
cos ϕ =
a
a +b
2
2
, sin ϕ =
b
a2 + b2
2
2

18. Поэтому уравнение a sin x + b cos x = c
можно записать в виде:
sin x cos ϕ + cos x sin ϕ =
c
a2 + b2
, sin ( x + ϕ ) =
c
a2 + b2
.
Последнее
уравнение
является
простейшим
тригонометрическим,
решение которого известно

19. Практическая часть
x π
4 + 2сosx = 3 cos  − 
2 4
2

20. Решение.
1
π 

4 + 2 cos x = 3 ⋅ 1 + cos x −  


2
2 

⇔ 8 + 4 cos x = 3(1 + sin x ) ⇔
3 sin x − 4 cos x = 5.
Последнее уравнение можно решать
разными способами

21. 1.Решим его, перейдя к функции сosx :
± 3 1 − сos 2 x − 4 cos = 5 x ⇒ 5 + 4 cos x = 3 1 − cos 2 x
(берем «+», т. к. слева выражение
положительное). Возведя обе части
в квадрат, получим:
25 + 40сosx + 16 cos 2 x = 9 − 9 cos 2 x ⇒
⇒ 25 cos 2 x + 40 cos x + 16 = 0 ⇒
⇒ ( 5 cos x + 4) = 0 ⇒
2
4
⇒ 5 cos x + 4 = 0 ⇒ cos x = − ⇒
5
4

⇒ x = ± π − arccos  + 2πk , k ∈ Z
5


22. 2. Воспользуемся универсальной
x
подстановкой tg = t :
(
)
2
6t
4 1− t 2
−
= 5 ⇒ 6t − 4 + 4t 2 − 5 − 5t 2 = 0 ⇒
1+ t 2
1+ t 2
2
2
2
⇒ −t + 6t − 9 = 0 ⇒ t − 6t + 9 = 0 ⇒ ( t − 3) = 0.
x
x
t = 3 ⇒ tg = 3 ⇒ = arctg 3 + πn, n ∈ Z ⇒
2
2
⇒ x = 2arctg 3 + πn, n ∈ Z

23. 3. Сведем его к однородному
уравнению
x
x
x
x
x
x


6 sin cos − 4 cos 2 − sin 2  = 5 sin 2 + cos 2 
2
2
2
2
2
2


x
x
x
x
2 x
2 x
9 − 6tg + tg 2 = 0,
− 9 cos
+ 6 sin cos − sin
= 0,
2
2
2
2
2
2
разделим обе части последнего
x
cos
уравнения на 2 ≠ 0 , получим:
2
2
x
x
x
x

2 x
9 cos − 6 sin cos + sin
= 0,  3 − tg  = 0,
2
2
2
2
2

x
x
x
3 − tg = 0, tg = 3, = arctg 3 + πm, m ∈ Z ,
2
2
2
x = 2arctg 3 + πm, m ∈ Z
2

24. 4. Решим с помощью введения
вспомогательного угла:
Разделим обе части уравнения на
32 + ( − 4) = 5
2
3
4
3
4
sin x − cos x = 1, sin ϕ = , cos ϕ = − .
5
5
5
5
Поэтому уравнение можно записать в виде:
sin x sin ϕ + cos x cos ϕ = 1, cos( x − ϕ ) = 1,
x − ϕ = 2πp, p ∈ Z , x = ϕ + 2πp, p ∈ Z ,
4
4


ϕ = ± π − arccos , x = ± π − arccos  + 2πk , k ∈ Z
5
5


:

25. Проверяем, является ли x = π + 2πn, n ∈ Z
решением данного уравнения:
3 sin ( π + 2πn ) − 4 cos( π + 2πn ) = 4, 4 ≠ 5,
значит, не является.
Ответ. 2arctg 3 + πm, m ∈ Z или
4

±  π − arccos  + 2πk , k ∈ Z
5


26. Замечание: сравнивая найденные
ответы 2 и 3 с ответами 1 и 4, видим
лишь внешнее различие.
x
Но если tg = 3, то
2
x
2 = 1− 9 = − 4
cos x =
1+ 9
5
2 x
1 + tg
2
1 − tg 2

27. РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
5(1 − sin 2 x ) − 16( sin x − cos x ) + 3 = 0

28. 5(1 − sin 2 x ) − 16( sin x − cos x ) + 3 = 0.
Решение.
В примере встречаются разность синуса
и косинуса и их произведение.
sin x − cos x = t.
Обозначим
Отсюда следует
sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x = t 2 ⇒ 2 sin x cos x = sin 2 x = 1 − t 2 .
Уравнение примет вид: 5(1 − (1 − t 2 ) ) − 16t + 3 = 0
1
Решая его, получаем корни 3 и
.
5
1
Стало быть, sin x − cos x = 3 или sin x − cos x =
5

29. Первое
sin x − cos x = 3
уравнение
не имеет
решений, так как sin x − cos x ≤
2

30. Второе
1
sin x − cos x = .
5
решим с
помощью введения вспомогательного
угла, т. е.
π 1

2 sin  x −  =
4 5

. Отсюда
π
2
π
2
n
n
x − = ( − 1) ⋅ arcsin
+ πn, x = + ( − 1) ⋅ arcsin
+ πn, n ∈ Z .
4
10
4
10
π
2
n
Ответ. 4 + ( − 1) ⋅ arcsin 10 + πn, n ∈ Z

31. Замечание: Так как
1 − sin 2 x = ( sin x − cos x ) .
2
Можно было бы сразу
уравнение переписать в
виде:
5( sin x − cos x ) − 16( sin x − cos x ) + 3 = 0
2