1. МАТЕМАТИКА
Подготовка к ЕГЭ 2015
Задача №19 экономического содержания
Омельченко Татьяна Михайловна,
учитель математики МБОУ СОШ №20
г. Владивостока
2. На данный момент в содержании самого ЕГЭ пока никаких
реальных изменений нет, информация для экзамена 2014
пока актуальна и для 2015 года. ЕГЭ по математике
предполагается разделить на базовый и профильный
уровень. Сделана оговорка, что это на данный момент
только обсуждается, а если и будет вводится такая форма
сдачи, то её планируется внедрять в некоторых регионах.
По новому проекту 2015 года (профильный уровень)
экзамен включает в себя 21 задачу. Содержание заданий
ЕГЭ 2014 года и ЕГЭ 2013 актуально, так что можно
использовать литературу и готовиться по сборникам
опубликованным для выпускников этих лет. Все типы
задач останутся и в 2015 году.
3. Часть 2
Содержит 12 заданий по материалу курса средней школы.
Это задания 10-21.
Задания 10-14 также с кратким ответом,
в заданиях 15-21 необходимо привести грамотное
и обоснованное решение.
* * *
Первая часть (1-9) предназначена для проверки базовых
знаний — эти задачи соответствуют уровню обычной
средней школы без углубленного изучения математики.
Вторая часть (10-21) подразумевает повышенный и высокий
уровень знаний и навыков.
Задания 15 и 16 — никаких углублённых знаний математики
не требуют. Важно грамотно оформить решение задачи.
4. Задачи 17 и 18 — это уже серьезный уровень. Но
школьной программы также достаточно, чтобы
их решить. Хорошие теоретические знания плюс
навыки решения плюс умение делать выводы из
начального условия — и задачи будут решены.
Задачи 19, 20 и 21 — самые сложные и
нестандартные. Подвластны тем, кто не просто
хорошо знает математику, а увлечён и любит её.
Требуется оригинальное,
нестандартное мышление, смекалка,
изобретательность. Само решение занимает на
тетрадном листе немного места, но
поразмыслить придётся.
5. Задачи № 19
Вариант 3
31 декабря 2014 года Владимир взял в банке
некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема
выплаты кредита следующая –
31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму долга
(то есть увеличивает долг на 14%),
затем Владимир переводит в банк 4 548 600
рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если
он выплатил долг двумя равными платежами (то
есть за два года)?
6. Буквенные обозначения
Решение. Пусть сумма кредита равна a, ежегодный
платеж равен x рублей,
а годовые составляют k %.
Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга
умножается на коэффициент m=1+0,01k. После
первой выплаты сумма долга составит: a1=am-x.
После второй выплаты сумма долга
составит:
a2
=a1
m-x=(am-x)m-x=am2
-mx-x=am2
-(1+m)x
7. Решение
k = 14%, m = 1,14 x = 4548600 p.
n = 2 (за 2года)_____________
a = ?
Остаток am2
-x(m+1)=0
am2
=x(m+1)
кредит a= x(m+1)
m2
a=4548600(1,14+1) = 9734004 =
1,142
1,2986
7490000 р.
8. Вариант 4
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке
6 944 000 рублей в кредит под 12,5 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря
каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга
(то есть увеличивает долг на 12,5 %),
затем Сергей переводит в банк X рублей. Какой
должна быть сумма X, чтобы Сергей выплатил долг
тремя равными платежами (то есть за три года)?
9. k = 12,5%, m = 1,125 а = 6944000 p.
n = 3 (за 3 года)__________________
х = ?
(am2
-x(m+1))m-x=0
am3
-x(m2
+m+1)=0
x= am3
m2
+m+1
x= 6944000(1,125)3
=
(1,125)2
+ 1,125+ 1
6944000 (1,423828125) =2916000 p.
3,390625
10. Вариант 5
Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей.
Погашение кредита происходит раз в год
равными суммами
(кроме, может быть, последней) после
начисления процентов. Ставка процента 10 %
годовых. На какое минимальное количество
лет может Тимофей взять кредит, чтобы
ежегодные выплаты были не более 270 тысяч
рублей?
11. Вариант 6
1 января 2015 года Михаил Юрьевич взял в
банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты
кредита следующая –
1 числа каждого следующего месяца банк
начисляет 2 % на оставшуюся сумму долга (то
есть увеличивает долг на 2 %), затем Михаил
Юрьевич переводит в банк платеж. На какое
минимальное количество месяцев Михаил
Юрьевич может взять кредит, чтобы
ежемесячные выплаты были не более 250
тысяч рублей?
12. Вариант 7
31 декабря 2014 года Олег взял в банке
некоторую сумму в кредит под некоторый
процент годовых. Схема выплаты кредита
следующая – 31 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся
сумму долга
(то есть увеличивает долг на а %), затем Олег
переводит очередной транш. Если он будет
платить каждый год по 328 050 рублей, то
выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей,
то за 2 года. Под какой процент Олег взял
деньги в банке?
13. Годовой % k
Кредит а
m = 1+ 0,01k
Если n = 4, то x1
= 328050 р.
Если n = 2, то х= 587250 р.
Годовой % k =?
Решение:
Если n = 2, то a2
= am2
-(1+m)x (остаток, равный 0)
Отсюда а = (1+m)x
m2
Если n = 4, то a4
= (am3
-m2
x1
-mx1
-x1
)m -x1
(остаток, равный 0)
Отсюда а = (m3
+m2
+m+1)x1
= (m+1) (m2
+1)x1
m4
m4
Решив уравнение, найдём m
(1+m)x = (m+1) (m2
+1)x1
m2
m4
x m2
=x1
(m2
+1)
x m2
- x1
(m2
+1) = 0
m2
= __ x1
__
x - x1
m2
= 328050 = 1,265625 m=1,125 k=(1,125 -1):0,01=12,5
259200
k=12,5%
14. Вариант 8
31 декабря 2014 года Сергей взял в банке
некоторую сумму в кредит под 10 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая – 31
декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на 10 %),
затем Сергей переводит в банк 2 662 000
рублей. Какую сумму взял Сергей в банке,
если он выплатил долг тремя равными
платежами
(то есть за три года)?
15. Вариант 9
31 декабря 2014 года Георгий взял в банке 1
млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая –
31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на а %), затем
Георгий переводит очередной транш. Георгий
выплатил кредит за два транша, переведя в
первый раз 570 тыс. рублей, во второй 599,4
тыс. рублей. Под какой процент банк выдал
кредит Георгию?
16. Вариант 10
31 декабря 2014 года Леонид взял в банке 1
млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая –
31 декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на а %), затем
Леонид переводит очередной транш. Леонид
выплатил кредит за два транша, переведя в
первый раз 700 тыс. рублей, во второй 440 тыс.
рублей. Под какой процент банк выдал кредит
Леониду?
