Download to read offline
gatpat
- 1. PAT 1 (มี.ค.56) PAT 1 (มี.ค. 56) รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) วันเสาร์ ที 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 - 16.00 น. ตอนที 1 ข้ อ 1 - 25 ข้ อละ 5 คะแนน 1. กําหนดให้ ܲ แทน ประพจน์ “ถ้ า ܥ ∪ ܤ ⊂ ܥ ∪ ܣแล้ ว ܤ ⊂ ܣเมือ ܤ ,ܣและ ܥเป็ นเซตใดๆ” และให้ ܳ แทน ประพจน์ “ถ้ า ܤ ∪ ܣ ⊂ ܥแล้ ว ܣ ⊂ ܥและ ܤ ⊂ ܥเมือ ܤ ,ܣและ ܥเป็ นเซตใดๆ” พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) ประพจน์ ሾ(ܲ ∨ ܳ) ∧ ~ܳሿ ⇔ ܲ มีคาความจริ งเป็ น จริง ่ (ข) ประพจน์ (ܲ ⇒ ܳ) ⇒ (~ܲ ∧ ~ܳ) มีคาความจริ งเป็ น เท็จ ่ ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 2. พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) − ܣሾ()ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ( ∩ )ܤ ∩ ܣሿ = ܤ − ܣ (ข) ܲሾ)ܥ ∪ ܤ( − ܣሿ = ܲሾ(ܥ − )ܤ − ܣሿ ข้ อความใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 1
- 2. 2 PAT 1(มี.ค. 56) 3. เอกภพสัมพัทธ์ในข้ อใดต่อไปนีทีทําให้ ∀ݔሾ |2 1 − ݔ > |1 + ݔሿ → ∃ ݔቂቚ௫ିଶቚ < 2ቃ มีคาความจริ งเป็ นเท็จ ่ ௫ାଶ 2.(−5, −1) 3. (−3, 2) 4. (−1, ∞) 1. (−∞, −4) 4. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง ให้ ∈ ݔ { = ܣR | |2} 7 ≤ |ݔ| + |5 − ݔ ∈ ݔ { = ܤR | ݔଶ < 12 + |} |ݔ พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) ∈ ݔ { ⊂ ܤ ∩ ܣR | 1 ≤ } 4 < ݔ (ข) ܤ − ܣเป็ นเซตจํากัด (finite set) ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
- 3. PAT 1 (มี.ค.56) 5. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง กําหนดให้ = ݎቄ ( ∈ )ݕ ,ݔR × R ቚ ඥ12 − | + |ݔඥ 3 = 1 + ݕቅ พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) D ∩ R ⊂ (−1, 8) (ข) D − R = { ∈ ݔR | 8 < } 21 ≤ ݔ ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 6. ให้ ܣและ ܤเป็ นเซต โดยทีจํานวนสมาชิกของเซต ܣและ ܤเท่ากับ 4 และ 5 ตามลําดับ และจํานวนสมาชิกของเซต ܤ ∪ ܣเท่ากับ 7 พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) ความสัมพันธ์ใน ܤ ∩ ܣมี 4 ความสัมพันธ์ (ข) ความสัมพันธ์จาก ܤ − ܣไป ܣ − ܤมี 64 ความสัมพันธ์ ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 3
- 4. 4 PAT 1(มี.ค. 56) 7. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง พิจารณาข้ อความต่อไปนี (ก) ความสัมพันธ์ { ( ∈ )ݕ ,ݔR × R | ݔଶ + ݕଶ = 4 , 2−ݔ , 0≤ݔ (ข) ถ้ า ݂( = )ݔ൜ ݔଶ , 0 > ݔและ แล้ วค่าของ (݃ ∘ ݂ ିଵ )(25) = 14 ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก } 0 > ݕݔ เป็ นฟั งก์ชน ั ݃(3 ݔ2 = )1 − ݔଶ + 3ݔ สําหรับ ∈ݔR 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 8. ให้ พาราโบลา ܲ มีสมการเป็ น ݕଶ − 2 0 = 4 + ݔ6 + ݕถ้ าวงกลมวงหนึงผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา ܲ และ สัมผัสกับเส้ นตรง 3 0 = 6 − ݕ2 − ݔณ จุด (4, 3) แล้ วสมการของวงกลมตรงกับข้ อใดต่อไปนี 1. 7 ݔଶ + 7 ݕଶ − 40 = 55 − ݕ28 − ݔ 2. 7 ݔଶ + 7 ݕଶ + 40 = 55 + ݕ28 + ݔ 3. 7 ݔଶ + 7 ݕଶ − 40 = 55 − ݕ28 + ݔ 4. 7 ݔଶ + 7 ݕଶ + 40 = 55 + ݕ28 − ݔ
- 5. PAT 1 (มี.ค.56) 9. พิจารณาข้ อความต่อไปนี ଵ° (ก) ୡ୭ୱ ଵ°ିୱ୧୬ ଵ° = sec 20° − tan 20° ୡ୭ୱ ଵ°ାୱ୧୬ (ข) √3 cot 20° = 1 + 4 cos 20° ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 10. ถ้ า ݔเป็ นจํานวนจริ งทีมากสุด โดยที 0<1<ݔ 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด และสอดคล้ องกับ arctan(1 − + )ݔarccot ቀଶ௫ቁ = 2 arcsec ඥ1 + 2)ݔ − 1(ݔ 1. −1 11. กําหนดให้ 1. ଵ −6 2. ݂( = )ݔቐଵ ଵ ௫ + ଶ ଵ ௫ 0 3. , | < |ݔଶ 2. , |≥ |ݔ 6 ଵ ଵ ଶ ค่าของ ଵ ଶ ଵ แล้ ว ค่าของ ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ− ଷቁ൰ቇ 3. −3 cos ߨݔ 4. ตรงกับข้ อใดต่อไปนี √ଷ ଶ ตรงกับข้ อใดต่อไปนี 4. 3 5
- 6. 6 PAT 1(มี.ค. 56) ଶ 12. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้ า ܣเป็ นเซตคําตอบของอสมการ log ௫ ቀ௫ିଵቁ ≥ 1 แล้ ว ܣเป็ นสับเซตในข้ อใดต่อไปนี 1. { ∈ ݔR | | ݔଶ + 2 ݔ − ݔ2 − 3 = |3 − ݔଶ } 2. { ∈ ݔR | |2} 9 > |5 + ݔ 3. { ∈ ݔR | 0 ≤ |} 5 ≤ |3 + ݔ 4. { ∈ ݔR | ݔଷ > 3 ݔଶ } 13. 1 3 2 กําหนดให้ ܣและ ܤเป็ นเมทริ กซ์ มีมิติ 3×3 โดยที det( 2 = )ܣและ = ܤ0 −1 ݔ൩ เมือ ݔและ ݕเป็ น 0 −2 ݕ ิ จํานวนจริ ง ถ้ า 2 = ܣ3 + ܤܣI เมือ I เป็ นเมทริ กซ์เอกลักษณ์ ทีมีมติ 3×3 แล้ ว ݕ + ݔเท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. 0 2. −1 3. −2 4. −2.5
- 7. 14. กําหนดให้ ܲ =ܽ(ݕ6 + )ݕ + ݔ PAT 1 (มี.ค. 56) เป็ นฟั งก์ชนจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้ อจํากัดดังนี ั 3 0 ≥ ݔ , 24 ≤ ݕ2 + ݔ3 , 22 ≤ ݕ2 + ݔ , 84 ≤ ݕ4 + ݔและ 0 ≥ ݕ ถ้ า ܲ มีคามากสุดเท่ากับ 288 แล้ ว ค่ามากทีสุดของ ܽ ทีเป็ นจํานวนเต็มบวกเท่ากับข้ อใดต่อไปนี ่ 1. 20 2. 18 3. 16 4. 14 15. พิจารณาข้ อความต่อไปนี ത ത (ก) ให้ เวกเตอร์ ܽ = ݓଓ̅ + ܾଔ̅ + ܿ݇ เมือ ܽ, ܾ และ ܿ เป็ นจํานวนจริ งและให้ เวกเตอร์ = ݑଓ̅ + 2ଔ̅ + ݇ ഥ ത ത และ = ̅ݒଓ̅ − ଔ̅ + ݇ ถ้ าเวกเตอร์ ݓตังฉากกับเวกเตอร์ ݑและเวกเตอร์ ̅ݒแล้ ว ܽ + ܾ + ܿ = 1 ഥ ത ଷ (ข) ให้ เวกเตอร์ 2 = ݑଓ̅ + ଔ̅ และ ܽ = ̅ݒଓ̅ + ܾଔ̅ เป็ นเวกเตอร์ ในระนาบ ถ้ า |√ = | ̅ݒହ และ 3 = ̅ݒ ∙ ݑ ത ത แล้ วเวกเตอร์ ݑทํามุม 60° กับเวกเตอร์ ̅ݒ ത ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 7
- 8. 8 PAT 1(มี.ค. 56) 16. กําหนดให้ ABC เป็ นรูปสามเหลียมใดๆ ถ้ าด้ านตรงข้ ามมุม A ยาว 14 หน่วย ความยาวของเส้ นรอบรูปสามเหลียม เท่ากับ 30 หน่วยและ 3 sin 5 = ܤsin ܥแล้ ว sin 2 ܣเท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. − ଵ ଶ 2. − √ଷ ଶ 3. ଵ ଶ 4. √ଷ ଶ 17. กําหนดให้ 9 ݔଶ − 16 ݕଶ − 18 0 = 991 − ݕ46 + ݔเป็ นสมการของไฮเพอร์ โบลา ถ้ าพาราโบลารูปหนึงมีแกน สมมาตรขนานแกน ݕตัดแกน ݔทีจุด (1, 0) และผ่านจุดยอดทังสองของไฮเพอร์ โบลาทีกําหนดให้ แล้ ว จุดในข้ อใด ต่อไปนีไม่อยูบนพาราโบลา ่ ଵ 1. (2, ଼ ) 2. (−1, ଵ ) 3. (3, ଵ ) 4. (4, ଵ ) ଶ ଶ ସ ଵ 18. กําหนดให้ {ܽ } เป็ นลําดับของจํานวนจริ งโดยที ܽ = ସା଼ାଵଶା⋯ାସ สําหรับ ผลบวกของอนุกรม ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + ⋯ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. ଵ 2. ଷ 3. ଷ ଶ ସ ଶ ݊ = 1, 2, 3, … 4. 2
- 9. PAT 1 (มี.ค.56) 19. ค่าของ lim ቀඥ2 + ݔ − )1 − ݔ(ݔቁ เท่ากับข้ อใดต่อไปนี x →∞ 1. 0 2. ଵ ଶ 3. 1 4. ଷ ଶ 20. กําหนดให้ C เป็ นเส้ นโค้ ง = ݕଷ௫௫యିଶ เมือ 0 > ݔและให้ L เป็ นเส้ นตรงทีสัมผัสกับเส้ นโค้ ง C ทีจุด (1, 1) ถ้ าเส้ นตรง L ตัดกับพาราโบลา 1 − ݕ = )1 − ݔ(ݔทีจุด A และ จุด B แล้ วระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. 4√82 2. 8√82 3. 4√41 4. 8√41 ర 21. กําหนดให้ ܲ( )ܧแทนความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ ܧถ้ า ܣและ ܤเป็ นเหตุการณ์ใดๆในแซมเปิ ลสเปซ โดยที ܲ( = )ܣଵ , ܲ(ܤᇱ ) = ହ และ ܲ(ܣᇱ ∩ ܤᇱ ) = ଵ พิจารณาข้ อความต่อไปนี ଶ ଼ ସ ହ ᇱ (ก) ܲ(଼ = )ܤ ∪ ܣ (ข) ܲ(ܤ ∪ ܣᇱ ) = ଷ ସ ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 9
- 10. 10 PAT 1(มี.ค. 56) 22. ในการโยนลูกเต๋าสองลูกจํานวนหนึงครัง ความน่าจะเป็ นทีจะได้ ผลคูณของแต้ มบนลูกเต๋าทังสอง หารด้ วย 4 ลงตัว เท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. ଷ 2. ଵଵ 3. ଵହ 4. ଶ ଷ ଷ ଷ 23. ครอบครัวหนึงมีสมาชิก 6 คน มีอายุเฉลีย 34 ปี ส่วนเบียงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 8 ปี อีก 6 ปี ต่อมามีญาติ สองคนมาขออยูอาศัยด้ วย โดยทีญาติทงสองคนนีมีอายุเท่ากัน เท่ากับอายุเฉลียของคนทัง 6 คนในครอบครัวนีพอดี ่ ั สัมประสิทธิการแปรผันของอายุของคนทัง 8 คนนีเท่ากับข้ อใดต่อไปนี 1. √ଷ ଵ 2. ଵ √ଷ 24. กําหนดให้ ข้อมูลชุดหนึงมีดงนี 2 , 4 , ั ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 1. มัธยฐานน้ อยกว่าฐานนิยม 3. ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน 3. √ଷ ଶ 4. ଶ √ଷ 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4 2. ค่าเฉลียเลขคณิตมากกว่ามัธยฐาน 4. ฐานนิยมมากกว่าค่าเฉลียเลขคณิต
- 11. య 25. กําหนดให้ = ܣඥ7√5 , 1. ܤ > ܣ > ܥ > ܦ 3. ܥ > ܦ > ܤ > ܣ య = ܤඥ5√7 , = ܥඥ5√7 య PAT 1 (มี.ค. 56) และ = ܦඥ7√5 ข้ อใดต่อไปนีถูกต้ อง 2. ܦ > ܤ > ܥ > ܣ 4. ܤ > ܦ > ܣ > ܥ య ตอนที 2 ข้ อ 26 - 50 ข้ อละ 7 คะแนน 26. กําหนดให้ ܣและ ܤเป็ นเซตจํากัด โดยที ∅ ≠ ܤ ∩ ܣ สับเซตของ ܣทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทงหมด 10 เซต และสับเซตของ ܤทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทงหมด 6 เซต ั ั ถ้ า จํานวนสมาชิกชอง ܲ൫ܲ()ܤ ∩ ܣ൯ เท่ากับ 16 เมือ ܲ(ܵ) แทน เพาเวอร์ เซตของ ܵ แล้ ว จํานวนสมาชิกของเซต ܤ ∪ ܣเท่ากับเท่าใด 27. ถ้ า ݔและ ݕเป็ นจํานวนจริ งบวกทีสอดคล้ องกับสมการ แล้ ว ค่าของ ݕ + ݔเท่ากับเท่าใด 5൫௫ିଶ ൯ 2௬ = (16)ସ ಲ ಲ เมือ =ܣ ୪୭ ௬ ୪୭ ௫ 11
- 12. 12 PAT 1(มี.ค. 56) 28. กําหนดให้ ݔเป็ นจํานวนจริ ง โดยที sin + ݔcos = ݔସ ଷ ଶ ถ้ า (1 + tan )ݔcot = ݔ เมือ ܽ และ ܾ เป็ นจํานวนเต็ม โดยที ห.ร.ม. ของ ܽ และ ܾ เท่ากับ 1 แล้ ว ܽଶ + ܾଶ เท่ากับเท่าใด 29. ให้ R แทนเซตชองจํานวนจริ ง ถ้ า = ܣ൛ ∈ ݔR ห log √ଷ( − )1 − ݔlog య ଷ (1 = )1 − ݔൟ √ = ܤ൛ ∈ ݔR ห √2 = 1 − ݔ√ + 1 + ݔൟ แล้ วสามเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต ܤ ∪ ܣทังหมดเท่ากับเท่าใด మ 5൫ଵା√௫ ିସ௫ିଵ൯ 30. กําหนดให้ ܣแทนเซตคําตอบของสมการ ผลบวกของสมาชิกในเซต ܣทังหมดเท่ากับเท่าใด +5 ൬ ఱశరೣషೣమ ൰ మశඥೣమ షరೣషభ = 126 และ
- 13. PAT 1 (มี.ค.56) 31. กําหนดให้ วงรี มีจดศูนย์กลางอยูที (0, 0) และมีโฟกัส Fଵ และ Fଶ อยูบนแกน ݔจุด A(4, 1) เป็ นจุดบนวงรี โดยที ุ ่ ่ ่ ผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทังสองมีคาเท่ากับ 6√2 ให้ เส้ นตรง L ตัดแกน ݔทีจุด (4.5, 0) และสัมผัสกับวงรี ทีจุด A(4, 1) ถ้ า ݀ เป็ นระยะห่างระหว่างจุด (0. 0) กับเส้ นตรง L แล้ ว ค่าของ ݀ଶ |AFଵ ||AFଶ | เท่ากับเท่าใด 32. กําหนดให้ 0 < ߠ < గ โดยที ߠ = arctan ቀ√௫ାଵቁ − arctan൫√ݔ൯ เมือ ଶ ଵି√௫ ค่าของ tan ߠ + cot ߠ เท่ากับเท่าใด 4 −2 7 ܵ เป็ นเซตของจํานวนจริ ง ݔทังหมดทีทําให้ เมทริ กซ์ 3 1− ݔ൩ 2 0 ݔ และ ݕเท่ากับผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต ܵ 1 ݕ ถ้ า = ܣ−1 ݕ൨ แล้ ว ค่าของ det(((ܣ௧ )ିଵ )௧ )ିଵ เท่ากับเท่าใด 33. ให้ 0<1<ݔ เป็ นเมทริกซ์เอกฐาน 13
- 14. 14 PAT 1(มี.ค. 56) 34. กําหนดให้ భ ାయ మ ାర ค่าของ ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ , … , ܽ , … + య ାఱ ర ାల + ఱ ାళ ల ାఴ เป็ นลําดับเรขาคณิตของจํานวนจริงบวก โดยมี ݎเป็ นอัตราส่วนร่วม และ +…+ మబభభ ାమబభయ మబభమ ାమబభర 1 + 5 ݎ21 + ݎଶ + 22 ݎଷ + … = 2012 เท่ากับเท่าใด 35. ถ้ า ݖเป็ นจํานวนเชิงซ้ อนทีอยูในควอดรันต์ (quadrant) ทีหนึงบนระนาบเชิงซ้ อน ่ (௭ାଵ)(ଵା୧) โดยที ቚ௭(ଵା୧)ାହା୧ቚ = 1 และ | 56√ = |ݖแล้ วผลบวกของส่วนจริ งและส่วนจินตภาพของ ݖเท่ากับเท่าใด 36. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, ܽସ, ܽହ และ ܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, ܾସ, ܾହ, ܾ เป็ นลําดับเลขคณิตของจํานวนจริ งบวก ௫ ర โดยที ܽଵ = ܾଶ , ܽହ = ܾହ และ ܽଵ ≠ ܽହ ถ้ า (లି )ା(లିభ) = ௬ เมือ ห.ร.ม. ของ ݔกับ ݕเท่ากับ 1 ర ିమ แล้ ว ݔଶ + ݕଶ เท่ากับเท่าใด
- 15. PAT 1 (มี.ค.56) 37. สําหรับ ݊ = 2, 3, 4, … ให้ ܽ = 1 + 2 + 3 + … + ݊ మ య ర ค่าของ lim ( ିଵ)(ିଵ)( … ିଵ) เท่ากับเท่าใด ିଵ)…( n→∞ మ 38. กําหนดให้ แล้ ว ݂(= )ݔ య ర ଶ௫ି଼ మ ቐଶ௫ି√ସ௫ ିଷ௫ାଵଶ ௫ ଷ ݂(݇ + 1) เท่ากับเท่าใด , 4<ݔ , 4≥ݔ โดยที ݇ เป็ นจํานวนจริ ง ถ้ า ݂ เป็ นฟั งก์ชนต่อเนืองทีจุด 4 = ݔ ั 39. ให้ ݂ เป็ นฟั งก์ชนซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจํานวนจริ ง โดยทีอัตราการเปลียนแปลงของ ݂( )ݔเทียบกับ ݔ ั เท่ากับ ܽ ݔଷ + ܾ ݔเมือ ܽ และ ܾ เป็ นจํานวนจริ ง และให้ ݃( ݔ( = )ݔଷ + 2 )ݔ(݂)ݔถ้ า ݂ ᇱ (1) = 18 , ݂ ᇱᇱ (0) = 6 และ ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) แล้ วค่าของ ݃ᇱ (−1) เท่ากับเท่าใด 15
- 16. 16 PAT 1(มี.ค. 56) 40. กําหนดให้ ݂()ݔ เป็ นพหุนามกําลังสาม ซึงมีสมประสิทธิเป็ นจํานวนจริ ง โดยมี 1 + ݔเป็ นตัวประกอบของ ݂()ݔ ั 5 + 2i เป็ นคําตอบชองสมการ ݂(0 = )ݔ และ ݂(0) = 58 2 ค่าของ ∫ 0 ሾ݂()ݔ−(݂ − )ݔሿ݀ݔ เท่ากับเท่าใด 41. ต้ องการนําเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 ทัง 6 ตัวมาจัดเรี ยงเป็ นจํานวนทีมี 6 หลัก จะสร้ างจํานวนทีมี 6 หลักได้ ทงหมด ั กีจํานวน เมือเลข 1 ทังสองตัวไม่ติดกัน และเลข 3 ทังสองตัวไม่ตดกัน ิ 42. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ, ݀ เป็ นจํานวนเต็มบวกซึง ค่าของ ܽ มีคามากสุดเท่ากับเท่าใด ่ ܽ < 2ܾ , ܾ < 5ܿ , ܿ < 6݀ , ݀ < 100
- 17. 43. กําหนดให้ ܽ,ܾ, ܿ ∈ {1, 2, … , 9} จงหาจํานวน 3 หลัก ܾܽܿ ทีมีคามากทีสุด ่ โดยสอดคล้ องกับเงือนไข ܾܽܿ = ܾܽ + ܾܽ + ܽܿ + ܿܽ + ܾܿ + ܾܿ *หมายเหตุ ܾܽܿ คือ เลข 3 หลัก และ ܾܽ, ܾܽ, … คือ เลข 2 หลัก PAT 1 (มี.ค. 56) 44. จังหวัดแห่งหนึงมีอาเภอ 6 อําเภอ แต่ละอําเภอส่งผู้แทนอําเภอละ 2 คน เป็ นชาย 1 คน และเป็ นหญิง 1 คน ถ้ า ํ ต้ องการคัดเลือกกรรมการ 4 คน เป็ นชาย 2 คน และหญิง 2 คน จากตัวแทนทัง 12 คน โดยในบรรดากรรมการ 4 คน นี จะต้ องเป็ นชายและหญิงอย่างน้ อย 1 คู่ มาจากอําเภอเดียวกัน จะมีวธีการคัดเลือกกีวิธี ิ ത 45. กําหนดให้ ܽ ܾ และ ܿ̅ เป็ นเวกเตอร์ บนระนาบซึงกําหนดโดย ܽ = ݔଓ̅ + ଵଶ ଔ̅ , ܾ = 6ଓ̅ + ݕଔ̅ และ ത, ത ത ହ ത ത เมือ ݔและ ݕเป็ นจํานวนจริ ง ถ้ า หܾ − ܿ̅ห = 5 , เวกเตอร์ ܽ ตังฉากกับเวกเตอร์ ܾ และ ܽ ∙ ܿ̅ > 0 ത ത ଶ แล้ วค่าของ ห5ܽ + ܾห เท่ากับเท่าใด ത ത ܿ̅ = 2ଓ̅ + ଔ̅ 17
- 18. 18 PAT 1(มี.ค. 56) 46. ถ้ าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนห้ องหนึงมีการแจกแจงปกติ นาย ก. และ นาย ข. เป็ นนักเรี ยนในห้ องนี ั ถ้ ามีนกเรี ยนในห้ องนีร้ อยละ 9.48 สอบได้ คะแนนมากกว่าคะแนนสอบของนาย ก. มีนกเรี ยนร้ อยละ 10.64 สอบ ั ได้ คะแนนน้ อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ข. และ นาย ข. สอบได้ คะแนนน้ อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ก. อยู่ 51 คะแนน แล้ วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครังนีเท่ากับเท่าใด เมือกําหนดพืนทีใต้ เส้ นโค้ งปกติ ระกว่าง 0 ถึง ݖดังตารางต่อไปนี ݖ พืนที 0.24 0.0948 0.27 1.24 0.1064 0.3936 1.31 0.4052 47. จากการสํารวจคะแนนสอบของนักเรี ยน 6 คน ทีมีคะแนนสอบวิชาฟิ สกส์ (ݔ ) และ คะแนนสอบวิชา ิ คณิตศาสตร์ (ݕ ) ปรากฏว่าค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิ สกส์เท่ากับ 9 คะแนน ค่าเฉลียเลขคณิตของ ิ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ เท่ากับ 6 คะแนน และ ∑ ݔ ݕ = 428 , ∑ ݔଶ = 694 และ ∑ ݕଶ = 268 6 6 6 i =1 i =1 i =1 ถ้ าคะแนนสอบวิชาทังสองมีความสัมพันธ์เชิงฟั งก์ชนแบบเส้ นตรง และนักเรี ยนคนหนึงทีมีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ ั เท่ากับ 7.5 คะแนน แล้ วคะแนนสอบวิชาฟิ สกส์ โดยประมาณ ควรจะมีคาเท่ากับเท่าใด ิ ่
- 19. 48. สําหรับ }….3 ,2 ,1 ,0{ ∈ ݕ ,ݔกําหนดให้ )ݕ ,ݔ(ܨเป็ นจํานวนเต็มบวก โดยที PAT 1 (มี.ค. 56) )1 − ݕ ,1(ܨ , 0 ≠ ݕ ,0 = ݔ 1+ݔ , 0=ݕ = )ݕ ,ݔ(ܨቐ 0 ≠ ݕ ,0 ≠ ݔ , )1 − ݕ ,)ݕ ,1 − ݔ(ܨ(ܨ ค่าของ + )2 ,1(ܨF(3, 1) เท่ากับเท่าใด 49. สําหรับ ݔและ ݕเป็ นจํานวนจริงบวกใดๆ กําหนดให้ (1) ݕ)ݔ ∗ ݔ( = )ݕݔ( ∗ ݔ (2) ݔ ∗ 1 = )ݔ ∗ 1( ∗ ݔ (3) 1 ∗ 1 = 1 ค่าของ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) เท่ากับเท่าใด ݕ∗ݔ เป็ นจํานวนจริ งบวก ทีมีสมบัติตอไปนี ่ 50. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริ ง ถ้ า ݂ : R → R เป็ นฟั งก์ชน ซึงสอดคล้ องกับ ั (݂ ∘ ݂)(ݔ + 4 = )ݔ൫4 − ݂()ݔ൯ สําหรับทุกจํานวนจริ ง ݔแล้ วค่าของ ݂(4) เท่ากับเท่าใด 19
- 20. 20 PAT 1(มี.ค. 56) เฉลย 1. 2 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 6. 3 7. 1 8. 4 9. 1 10. 3 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 2 3 4 2 4 2 4 1 4 2 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1 3 1 2 3 7 20 373 5 4 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 162 2 2 16 11 205 3 24 354 168 แนวคิด 1. 2 ܲ เป็ นเท็จ เช่น }{ = ܤ , }1{ = ܣ , }1{ = ܥและ ܳ ก็เป็ นเท็จ เช่น , }2 ,1{ = ܥ จะได้ (ก) คือ ሾ(F) ∧ Tሿ ⇔ F ≡ T ถูกต้ อง และ (ข) คือ (T) ⇒ (T) ≡ T ผิด 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 48 5927 396 135 200 20 12 10 6 4 }2{ = ܤ , }1{ = ܣ 2. 1 ก. เนืองจาก ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ ⊂ ܤ ∩ ܣดังนัน (ܤ ∩ ܣ = )ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ( ∩ )ܤ ∩ ܣ ดังนัน − ܣሾ()ܥ ∪ ܤ ∪ ܣ( ∩ )ܤ ∩ ܣሿ = → ܤ − ܣ = )ܤ ∩ ܣ( − ܣก. ถูก ข. )ܥ ∪ ܤ( ∩ ܣ = )ܥ ∪ ܤ( − ܣᇱ = ܤ ∩ ܣᇱ ∩ ܥᇱ = ( → ܥ − )ܤ − ܣข. ถูก 3. 2 เป็ นเท็จ เมือ T → F ข้ างหน้ า จะได้ 2 1 − ݔ > 1 + ݔหรื อ ได้ (−2, ∞) ∪ (−∞, 0) ∪ (−∞, 1ሿ = R 2)1 − ݔ(− < 1 + ݔ หรื อ ଶ ข้ างหลังต้ องเป็ นเท็จ ได้ ቚ௫ିଶቚ ≥ 2 ยกกําลังสองได้ เพราะเป็ นบวกทังสองข้ าง ได้ ቀ௫ିଶቁ ௫ାଶ ௫ାଶ ଶ ଶ ଶ ตัวหารห้ ามเป็ น 0 → 2 ≠ ݔและคูณ ( )2 + ݔตลอดได้ (0 ≥ )4 + ݔ2( − )2 − ݔ ଶ → (3 0≥ )6 − ݔ−()2 + ݔได้ คําตอบคือ ሾ −6, − ଷ ሿ – {−2} → ตอบข้ อ 2 4. 0≤1−ݔ − 2ଶ ≥ 0 3 กรณี (−∞, 0) ได้ −3 − ≥ ݔ → 2 ≤ ݔଶ → ሾ− ଶ , 0) ଷ ଷ ହ ହ กรณี ሾ0, ଶ ) ได้ − → 2− ≥ ݔ → 2 ≤ ݔሾ0, ଶ ) กรณี ሾହ , ∞) ได้ 3 → 4 ≤ ݔ → 21 ≤ ݔሾ ହ , 4ሿ รวมทุกกรณีได้ = ܣሾ− ଶ , 4ሿ ଶ ଶ ଷ ଶ ܤแบ่งกรณี กรณี (−∞, 0) ได้ )0 ,4−( → )3 ,4−( ∈ ݔ → 0 < )3 − ݔ()4 + ݔ( → 0 < 21 − ݔ + ݔ กรณี ሾ0, ∞) ได้ ݔଶ − → )4 ,3−( ∈ ݔ → 0 < )3 + ݔ()4 − ݔ( → 0 < 21 − ݔሾ0, 4) รวมทุกกรณี ได้ )4 ,4−( = ܤ ଶ = ܤ ∩ ܣሾ− , 4) → ก ผิด , → }4{ = ܤ − ܣข ถูก ଷ ܣแบ่งกรณี 5. 4 หา D : ඥ − 3 = 1 + ݕඥ12 − | − 3 → |ݔඥ12 − |21 ≤ |ݔ| ≤ 3 → 9 ≤ |ݔ| − 21 ≤ 0 → 0 ≥ |ݔ
- 21. PAT 1 (มี.ค.56) 21 จะได้ D = ሾ−12, −3ሿ ∪ ሾ3, 12ሿ หา R : ඥ12 − | − 3 = |ݔඥ − 3 ≤ 0 → 1 + ݕඥ ≤ 21√ − 3 → 21√ ≤ 1 + ݕඥ3 ≤ 1 + ݕ แต่ 3 − √12 เป็ นลบ ยังไงก็จริง → −1 ≤ 8 ≤ ݕจะได้ R = ሾ−1, 8ሿ D ∩ R = ሾ3, 8ሿ มี 8 ดังนัน ก ผิด , D − R = ሾ−12, −3ሿ ∪ (8, 12ሿ มีเลขลบด้ วย ดังนัน ข ผิด 6. 3 ก. ݊( → 2 = 7 – 5 + 4 = )ܤ ∩ ܣมี 2ଶ×ଶ = 16 → ก ผิด ข. ݊( → 3 = 2 – 5 = )ܣ − ܤ(݊ , 2 = 2 – 4 = )ܤ − ܣมี 2ଶ×ଷ = 64 → ข ถูก 7. 1 ก. เป็ นวงกลมทีเอาเฉพาะเส้ นภายใน Qଵ กับ Qଷ ลากแนวดิงตัดไม่เกิน 1 จุด → ก. ถูก ข. หา ݂ ିଵ(25) ให้ 52 = 2 − ݔได้ 72 = ݔขัดกับเงือนไข 0 ≤ ݔ ให้ ݔଶ = 25 ได้ 5± = ݔถ้ าจะให้ ตรงกับเงือนไข 0 > ݔจะได้ 5 = ݔดังนัน ݂ ିଵ (25) = 5 หา ݃(5) ให้ 3 5 = 1 − ݔได้ 2 = ݔแทนใน 2 ݔଶ + 3 ݔจะได้ 14 → ข. ถูก 8. 4 พาราโบลาคือ ()1 − ݕଶ = −6 ቀ + ݔଵቁ → F = (− ଵ − , 1) = (−2, 1) ଶ ଶ ସ ลองเอา (−2, 1) แทน จะได้ 28 + 7 ± (−8) ± 82 ± 55 = 0 ต้ องเป็ น 28 + 7 + (−8) − 82 + 55 → ข้ อ 4 ถ้ าไม่เช็คตัวเลือก ให้ วงกลมมี ศก ที (ܽ, ܾ) ดังนัน (ܽ + 2)ଶ + (ܾ − 1)ଶ = (ܽ − 4)ଶ + (ܾ − 3)ଶ → ܽଶ + 4ܽ + 4 + ܾ ଶ − 2ܾ + 1 = ܽଶ − 8ܽ + 16 + ܾ ଶ − 6ܾ + 9 → 12ܽ + 4ܾ = 20 → 3ܽ + ܾ = 5 …(1) และจากความชัน จะได้ ିଷ = ିସ ଶ − ଷ → 3ܾ − 9 = −2ܽ + 8 → 2ܽ + 3ܾ = 17 …(2) ଶ 3(1) – (2) : 7ܽ = −2 → ܽ = − → ܾ = ଶ ได้ ଵଶ ଶ จัดรูปได้ + ቀ− ݕ → 70 = 55 + ݕ28 − ݔ4 + ݕ7 + ݔ 9. ก) ข) = = ଷସ ଶ ݎଶ = ቀ ቁ + ቀ ቁ ସଵ ଶ ଵଶ ଶ ଷସ ଶ ቁ =ቀቁ +ቀቁ ସ௫ ଼ଶ௬ ଶ ଶ ସଵ ଶ ଵଶ ଶ ଷସ ଶ ݔଶ + ݕଶ + − +ቀ ቁ +ቀ ቁ −ቀ ቁ −ቀ ቁ ଵସ∙ଵ ହ∙ ଶ ଶ 7 − ݕ28 − ݔ4 + ݕ7 + ݔቀ ቁ + ቀ ቁ = 0 ଶ ଶ ได้ สมการวงกลมคือ ቀ + ݔଶቁ → ସଵ =0 1 ୡ୭ୱ ଵ°ିୱ୧୬ ଵ° ୡ୭ୱ ଵ°ିୱ୧୬ ଵ° ୡ୭ୱమ ଵ°ାୱ୧୬మ ଵ°ିଶ ୱ୧୬ ଵ° ୡ୭ୱ ଵ° ଵିୱ୧୬ ଶ° ∙ ୡ୭ୱ ଵ°ିୱ୧୬ ଵ° = = ୡ୭ୱ ଶ° = ୡ୭ୱ ଵ°ାୱ୧୬ ଵ° ୡ୭ୱమ ଵ°ିୱ୧୬మ ଵ° √3 cot 20° = √య భ √య భ ଶ൬ ୡ୭ୱ ଶ°൰ ଶ൬ ୡ୭ୱ ଶ° ି ୱ୧୬ ଶ° ା ୱ୧୬ ଶ°൰ √ଷ ୡ୭ୱ ଶ° మ మ మ మ = ୱ୧୬ ଶ° = ୱ୧୬ ଶ° ୱ୧୬ ଶ° భ మ ଶቀୱ୧୬ ° ୡ୭ୱ ଶ° ିୡ୭ୱ ° ୱ୧୬ ଶ° ା ୱ୧୬ ଶ°ቁ ୱ୧୬ ଶ° ସ ୱ୧୬ ଶ° ୡ୭ୱ ଶ° ା ୱ୧୬ ଶ° = ୱ୧୬ ଶ° = భ మ ଶቀୱ୧୬ ସ° ା ୱ୧୬ ଶ°ቁ 4 cos 20° + 1 → ถูก ୱ୧୬ ଶ° = sec 20° − tan 20° → భ మ ଶቀଶ ୱ୧୬ ଶ° ୡ୭ୱ ଶ° ା ୱ୧୬ ଶ°ቁ ୱ୧୬ ଶ° ถูก
- 22. 22 PAT 1(มี.ค. 56) 10. 3 ใส่ tan ตลอด ได้ ଵି௫ ା ଶ௫ ଶඥଶ௫(ଵି௫) = ଵିଶ௫(ଵି௫) ଵି(ଵି௫)(ଶ௫) ଶ (3ݔ → 9 ݔଶ − 6→ 0 = 1 + ݔ 11. 2 ଵ ଵ ቚ− ଷቚ < ଶ |−3| ≥ ଵ ଵ ቚ ቚ < ଶ ଵ ଶ ดังนัน → 1 + 2 = ݔඥ2 ݔ + ݔ2 + 1 → )ݔ − 1(ݔଶ = 8 ݔ8 − ݔଶ − 1) = 0 → = ݔ ଵ ଷ గ ଷ → cos = ଵ ଶ ଵ ଷ ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ− ቁ൰ቇ = ݂൫݂(−3)൯ ଵ ดังนัน ݂൫݂(−3)൯ = ݂ ቀଵ + ିଷቁ = ݂ ቀଵቁ ଶ ଵ ดังนัน ݂ ቀቁ = 6 12. 3 ଶ หลัง log เป็ นลบไม่ได้ ดังนัน 1 > ݔจะได้ ௫ିଵ ≥ ݔ คูณ 1 − ݔทังสองข้ างได้ ไม่ต้องกลับเครื องหมาย เพราะ 1 > ݔทําให้ 1 − ݔเป็ นบวก → 2 ≥ ݔଶ − ݔ → 0 ≥ ( ∈ ݔ → )1 + ݔ()2 − ݔሾ−1, 2ሿ → แต่ 1 > ݔดังนัน คําตอบคือ (1, 2ሿ ลองเอา 2 = ݔแทนดู ข้ อ 1. ได้ ฝังขวาติดลบ ไม่จริ งแน่นอน ข้ อ 2. ได้ 9 > 9 ไม่จริ ง ข้ อ 3. ได้ 0 < 5 < 5 จริ ง ข้ อ 4. ได้ 8 > 12 ไม่จริ ง → ตอบข้ อ 3 หมายเหตุ ถ้ าจะแก้ ข้ อ 1. อยูในรูป | ܣ− = |ܣจะได้ 0 ≤ ܣดังนัน ݔଶ + 20 < 3 − ݔ ่ แยกได้ ( → )1 − ݔ()3 + ݔሾ−3, 1ሿ 13. ได้ 4 4 3 2 0 2 ݔอ = 2ଷ → (2)(85.2− = ݕ + ݔ → 8 = )ݔ8 + 42 + ݕ 3 + ܤ(ܣI) = 2I → 2อ 0 −2 3 + ݕ 14. 2 จุดตัดอยูใกล้ กน ต้ องหาทุกจุดตัด ไม่งนรูปจะไม่ถก ่ ั ั ู 21 3 84 = ݕ4 + ݔกับ 22 = ݕ2 + ݔตัดกันที (4, 9) 324 = ݕ2 + ݔ 12 22 = ݕ2 + ݔกับ 3 24 = ݕ2 + ݔตัดกันที (10, 6) 11 3 84 = ݕ4 + ݔกับ 3 24 = ݕ2 + ݔตัดกันที (12, 3) 22 = ݕ2 + ݔ จุดมุม คือ (0, 0), (0, 11), (4, 9), (12, 3), (14, 0) 14 16 22 384 = ݕ4 + ݔ ได้ ܲ = 0 , 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ จับแต่ละตัว = 288 แล้ วแก้ หา ܽ ได้ ܽ = 18 จาก 13ܽ + 54 กับ ܽ = 18 จาก 15ܽ + 18 ลองแทน ܽ = 18 จะได้ 288 มากสุดในบรรดา 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ 15. 4 ก. ตังฉาก = ดอทกันได้ 0 → ܽ + 2ܾ + ܿ = 0 และ ܽ − ܾ + ܿ = 0 จับลบกัน ได้ ܾ = 0 แทนกลับไป ได้ ܽ + ܿ = 0 ดังนัน ܽ + ܾ + ܿ = 0 → ก ผิด ത ข. 3 = | | ̅ݒ||ݑcos ߠ → cos ߠ = ଷ య ቁ = 1 → ߠ = 0 → ข ผิด √ହቀ √ఱ
- 23. 16. 2 จากกฎของ sinได้ PAT 1 (มี.ค. 56) ଵସ ୱ୧୬ → ܾ = 10 , ܿ = 6 → มุมในสามเหลียม มี 17. 4 18. 1 = ୱ୧୬ = ଵି ୱ୧୬ กฏของ cos ได้ และจากทีโจทย์ให้ จะได้ ୱ୧୬ ୱ୧୬ = ହ ଷ ได้ ୠ ହ = ଵିୠ ଷ 23 → 3ܾ = 80 – 5ܾ ଵ 14ଶ = 10ଶ + 6ଶ − 2(10)(6) cos → ܣcos − = ܣଶ 0° < °081 < ܣได้ → °021 = ܣsin 2− = ܣ √ଷ ଶ จัดรูปได้ 9()1 − ݔଶ − 16()2 − ݕଶ = 199 + 9 − 64 → (௫ିଵ) − (௬ିଶ) = 1 → V = (−3, 2), (5, 2) ସమ ଷమ ผ่าน (−3, 2), (5, 2) แสดงว่าจุดยอด คือ (1, ?) โจทย์บอกผ่าน (1, 0) แสดงว่าจุดยอดคือ (1, 0) ได้ สมการคือ ()1 − ݔଶ = 4ܿ → ݕแทน (5, 2) ได้ ܿ = 2 → ()1 − ݔଶ = 8 → ݕข้ อ 4 แทนแล้ วไม่จริ ง ܽ = 19. 4 మ = lim x →∞ 20. ଵ (శభ) ସ∙ మ ଵ = ଶ(ାଵ) → ଵ ଵ เทเลสโคป ได้ ܽ = ଵ ቀ − ାଵቁ ଶ ቀඥ௫(௫ିଵ)ି௫ቁቀඥ௫(௫ିଵ)ା௫ቁ ඥ௫(௫ିଵ)ା௫ 2 ି௫ + 2 = lim x → ∞ ඥ௫(௫ିଵ)ା௫ ି ݔ2 − ݔ3 = ݕଷ → ݕᇱ = 3 + 6ି ݔସ → ที (1, 1) ชัน 9 → మ ได้ ผลบวก = ଵ ቀଵቁ = ଵ ଶ ଵ ଶ + 2 = lim → ିଵ x → ∞ ටଵቀଵିభቁାଵ ผ่าน (1, 1) ได้ แก้ หาจุดตัด ݔଶ − ݔ → 1 − 8 − ݔ9 = ݔଶ − 100 = 9 + ݔ ได้ ระยะห่าง = √8ଶ + 72ଶ = 8√1 + 9ଶ = 8√82 ೣ ଵ ଷ + 2 = −ଶ + 2 = ଶ L : 8 − ݔ9 = ݕ → )1 ,1( ,)37 ,9( → 1 ,9 = ݔ 21. 1 จากแผนภาพ จะได้ ܲ(ܣ(ܲ + )ܣ − ܤ(ܲ + )ܣᇱ ∩ ܤᇱ ) = 1 → ܲ( − 1 = )ܣ − ܤଵ − ଵ = ଵ ସ ଶ ସ ହ ଷ ଷ ଵ ଵ ᇱ จาก ܲ( ଼ = ) ܤได้ ܲ( ଼ = )ܤได้ ܲ( − ଼ = )ܣ − ܤ(ܲ − )ܤ(ܲ = )ܤ ∩ ܣସ = ଼ และได้ ܲ( = )ܤ ∩ ܣ(ܲ − )ܣ(ܲ = )ܤ − ܣଵ − ଵ = ଷ ଶ ଼ ଼ ଵ ଵ ଵ ହ ᇱ ดังนัน ܲ( + ଼ = )ܤ ∪ ܣସ + ସ = ଼ → ก ถูก และ ܲ(ܤ ∪ ܣᇱ ) = ଷ + ଵ + ଵ = ଷ → ข ถูก ଼ ଼ ସ ସ 22. 3 กรณีลกแรกออก 1, 3, 5 → ลูกหลังต้ องออก 4 → 3 แบบ ู กรณีลกแรกออก 2, 6 → ลูกหลังต้ องออก 2, 4, 6 → 6 แบบ ู กรณีลกแรกออก 4 → ลูกหลังออกอะไรก็ได้ → 6 แบบ → รวม 15 แบบ ู 23. 1 6 ปี ต่อมา ทัง 6 คน อายุเฉลียเพิมเป็ น 40 ปี แต่ ݏเท่าเดิม = 8 ௫ จะได้ ∑ మ − 40ଶ = 8ଶ → ∑ ݔଶ = 9984 สองคนทีเพิม อายุเท่า ̅ݔดังนัน ̅ݔไม่เปลียน ดังนัน ∑ ݔଶ ทีเพิมอีก 2 คน = 9984 + 2(40ଶ ) = 13184 → =ݏට ଵଷଵ଼ସ − ଼ 40ଶ = √48 = 4√3 → ตอบ ସ √ଷ ସ √ଷ = ଵ
- 24. 24 PAT 1(มี.ค. 56) 24. 2 เรี ยงได้ ସ 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 12, 18 → Mode = 4 , Med = 4.5 , = ̅ݔଵଶ = 6.17 25. 3 ยกกําลัง 6 ตลอด ได้ 7ଷ ∙ 5 , 5 ଷ ∙ 7 , 5 ଶ ∙ 7 , 7 ଶ ∙ 5 เอา 5 ∙ 7 หารตลอด เหลือ 26. 7 แก้ สมการ ൫൯ = 10 ได้ ݊( 5 = )ܣกับ ൫൯ = 6 ได้ ݊(4 = )ܤ ଶ ଶ ย้ อนสูตร 2 สองเทียว จะได้ ܤ ∩ ܣมี 2 ตัว ดังนัน ݊(7 = 2 – 4 + 5 = )ܤ ∪ ܣ 7ଶ , 5ଶ , 5, 7 27. 20 ข้ อนี ถ้ าจะคิดจริงๆ มีได้ หลายคําตอบตอบ คนออกข้ อสอบ น่าจะอยากจะให้ เราทํา โดยการเทียบเลขชีกําลัง เนืองจากทางขวา 16ସ = 2ଶହ = 5 2ଶହ ดังนัน 2 − ݔ = 0 และ ݕ = 256 (ปกติทาแบบนีไม่ได้ นะ ํ మ จาก 2 − ݔ = 0 จะได้ 2 = ݔ ยกกําลัง ܣทังสองข้ าง ได้ ݔ = 2 …(1) మ య จาก = ܣ୪୭ ௬ = log ௫ ݕดังนัน ݔ = ݕ แทนใน (1) ได้ 2 = ݕ ยกกําลัง ܣอีก ได้ ݕ = 2 ୪୭ ௫ య แต่ ݕ = 256 ดังนัน 256 = 2 ได้ ܣଷ = 8 ได้ 2 = ܣ แทน 2 = ܣใน 2 − ݔ = 0 และ ݕ = 256 ได้ 61 = ݕ , 4 = ݔดังนัน คําตอบ ݕ + ݔคือ 20 (แต่จริงๆ ข้ อนีมีคาตอบอืนอีก เช่น )26164.87 = ݕ , 26164.87 = ݔ ํ 28. 373 (1 + tanଶ )ݔcot = ݔ ୡ୭ୱ ௫ ୱ୧୬ ௫ + ୡ୭ୱ ௫ ୱ୧୬ ௫ ସ cos = ݔଷ ଶ ଶ เอาสมการ sin + ݔ จะได้ ܽଶ + ܾଶ = 18 29. :ܣ 30. ให้ ได้ ได้ 31. 5 (௫ିଵ)మ (௫ିଵ)య 4 = ଵ ୱ୧୬ ௫ ୡ୭ୱ ௫ มายกกําลังสองสองข้ าง จะได้ + 7 = 373 1 + 2 sin ݔcos = ݔ ସ ଵ ଽ ହ = 3 → = ݔଷ , = ݔ → 1 − ݔ√4 − 1 − ݔ + 4 = 1 + ݔ : ܤସ → రషೖమ จะได้ ଵ ୱ୧୬ ௫ ୡ୭ୱ ௫ ตอบ 5 √ ݔଶ − 45 → ݇ = 1 − ݔଵା + 5 మశೖ = 126 → 5ଵା + 5ଶି = 126 → 5൫5ଶ ൯ − 126൫5 ൯ + 25 = 0 → ൫5൫5 ൯ − 1൯൫5 − 25൯ = 0 → √ ݔଶ − 4 ݔ → 2 = 1 − ݔଶ − 4→ 5 , 1− = ݔ → 0 = 5 − ݔ 162 ได้ แกนเอก = 6√2 L ชัน ଵି = −2 ସିସ.ହ → ܽ = 3√2 → ผ่านจุด (4, 1) ได้ วงรี มี ܿ = ට൫3√2൯ ଶ − 3ଶ = 3 → ผ่าน (4, 1) แสดงว่า ସమ మ ൫ଷ√ଶ൯ ตอบ 4 ଵ คูณ 5 ตลอด ݇ = −1, 2 แต่ ݇ เป็ นรู ท ≥ 0 + మ = 1 → ܾ = 3 = ݀ → 0 = 9 − ݕ + ݔ2 → 9 + ݔ2− = ݕ โฟกัส (3, 0), (−3, 0) = |ଶ()ାିଽ| √ଶమ ାଵమ = ଽ √ହ → |AFଵ ||AFଶ | = ൫√2൯൫√50൯ = 10 - -") ଵ଼
- 25. ได้ 32. PAT 1 (มี.ค.56) ଶ ݀ଶ |AFଵ ||AFଶ | = ቀ ቁ 10 = 162 ଽ √ହ 2 ใส่ tan ตลอด ได้ ดังนัน tan ߠ = √ೣశభ ି √௫ భష√ೣ √ೣశభ ଵା൬ ൰൫√௫൯ భష√ೣ tan ߠ + cot ߠ = 1 + 1 = 2 √ೣశభష√ೣశೣ భష√ೣ భష√ೣశೣశ√ೣ భష√ೣ = = ଵା௫ ଵା௫ 33. 2 จะได้ −4 ݔ2 + 41 + 21 − ݔଶ = 0 → ݔଶ − 20 = 1 + ݔ ดังนัน det(((ܣ௧ )ିଵ)௧ )ିଵ = det 2 = 1 + 1 = ܣ =1 และ cot ߠ = ଵ ୲ୟ୬ ఏ =1 → 1=ݕ → 1=ݔ 34. 16 ดึง ݎออกจากตัวส่วน ได้ (భାయ ) + (యାఱ ) + (ఱାళ ) + … + (మబభభ ାమబభయ ) = 2012 భ ାయ య ାఱ ఱ ାల మబభభ ାమబభయ ฝั งซ้ ายได้ ଵ บวกกัน = ଶଵଵିଵ + 1 = 1006 ตัว → = ݎଵ = ଵ ଶ ଶଵଶ ଶ ให้ + 1 = ݔହ + ଵଶ + ଶଶ + … (1) → หาร 2 จะได้ ௫ = ଵ + ଶହమ + ଵଶ + ଶଶ + … (2) ଶ ଶమ ଶయ ଶ ଶ ଶయ ଶర ௫ ସ ଵ ௫ ଵ ସ ଵ (1) – (2) : ଶ = 1 + ଶ + ଶమ + ଶయ + … (3) → หาร 2 จะได้ ସ = ଶ + ଶమ + ଶయ + ଶర + … (3) – (4) : 35. 25 11 ௫ ସ ଷ ଷ ଷ = 1 + ଶ + ଶమ + ଶయ + … = 1 + (௭ାଵ)(ଵା୧) ቚ௭(ଵା୧)ାହା୧ቚ = ቤ ௭ାଵ ఱశ ௭ା భశ ቤ=ቤ ௭ାଵ (ఱశ)(భష) ௭ା (భశ)(భష) ቤ=ቤ య మ భ మ ଵି ௭ାଵ లషర ௭ା మ = 4 → 61 = ݔ ௭ାଵ ቤ = ቚ௭ାଷିଶ୧ቚ = ඥ(ାଵ)మ ାమ ඥ(ାଷ)మ ା(ିଶ)మ (4) =1 → (ܽ + 1)ଶ + ܾ ଶ = (ܽ + 3)ଶ + (ܾ − 2)ଶ → 2ܽ + 1 = 6ܽ + 9 − 4ܾ + 4 → ܾ = ܽ + 3 จาก | 56√ = |ݖจะได้ ܽଶ + (ܽ + 3)ଶ = 65 → ݖอยู่ Qଵ ได้ ܽ = 4, ܾ = 7 → ตอบ 4 + 7 = 11 36. 205 จะได้ ܽହ − ܽଵ = ܾହ − ܾଶ (ల ିర )ା(ల ିభ ) ర ିమ 37. 3 = ଶௗ್ ାହௗ್ ଶௗೌ จะได้ ܽ = (ାଵ) ดังนัน ଶ ดังนัน → 4݀ = 3݀ → ௗ ସ = ଶௗ್ = ଶ ∙ ଷ = ೌ (శభ) ଵସ ଷ ௗ್ ௗೌ ܽଶ + 3ܽ − 28 = 0 → (ܽ + 7)(ܽ − 4) = 0 ସ =ଷ → 14ଶ + 3ଶ = 205 (శభ) (ାଵ) మ మ = (శభ) = మశషమ = (ାଶ)(ିଵ) ିଵ ିଵ మ మ మ య ర … మ య ర = ିଵ ∙ ିଵ ∙ ିଵ ∙ … ∙ ିଵ (మ ିଵ)(య ିଵ)(ర ିଵ)…( ିଵ) మ య ర ดังนัน ลิมิตของลําดับ = 3 (ଶ)(ଷ) (ଷ)(ସ) (ସ)(ହ) (ହ)() (ାଵ) = (ସ)(ଵ) ∙ (ହ)(ଶ) ∙ ()(ଷ) ∙ ()(ସ) ∙ … ∙ (ାଶ)(ିଵ) จะตัดกันได้ เหลือ ଷ ∙ ଵ ାଶ
- 26. 26 PAT 1(มี.ค. 56) 38. 24 ଶ௫ି଼ ଶ௫ି√ସ௫ మ ିଷ௫ାଵଶ ଶ௫ା√ସ௫ మ ିଷ௫ାଵଶ ଶ௫ା√ସ௫ మ ିଷ௫ାଵଶ ଶቀଶ(ସ)ାඥସ(ସ)మ ିଷ(ସ)ାଵଶቁ ดังนัน 39. ∙ 354 ଷ = =݇∙ (ଶ௫ି଼)൫ଶ௫ା√ସ௫ మ ିଷ௫ାଵଶ൯ ସ ଷ ସ௫ మ ିସ௫ మ ାଷ௫ିଵଶ ݂ จาก จาก = 18 จะได้ ଶ൫ଶ௫ା√ସ௫ మ ିଷ௫ାଵଶ൯ → ݇ = 8 → ݂(8 + 1) = ݂ ᇱ ( ݔܽ = )ݔଷ + ܾ ݂ , ݔᇱᇱ ( ݔܽ3 = )ݔଶ + ܾ ᇱ (1) = จาก ݂ ᇱᇱ (0) = 6 จะได้ ଷ ଼(ଽ) = ଷ 24 ܾ=6 ܽ + 6 = 18 → ܽ = 12 → ݂( ݔ3 + ݔ3 = )ݔଶ + ܿ ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) จะได้ ସ 48 + 12 + ܿ = 3 + 3 + ܿ + ܿ → ܿ = 54 ݃ᇱ ( ݔ( = )ݔଷ + 2 ݔ21()ݔଷ + 6 ݔ3( + )ݔଶ + 2)(3 ݔସ + 3 ݔଶ + 54) จะได้ ݃ᇱ (−1) = (−1 − 2)(−12 − 6) + (3 + 2)(3 + 3 + 54) = 354 40. 168 จะได้ 5 – 2i เป็ นคําตอบด้ วย → ݂()1 + ݔ(݇ = )ݔ൫2 + 5( − ݔi)൯൫2 − 5( − ݔi)൯ = ݇( ݔ()1 + ݔଶ − 10)92 + ݔ จาก ݂(0) = 58 จะได้ ݇(0 + 1)(0 − 0 + 29) = 58 → ݇ = 2 ดังนัน ݂( ݔ()1 + ݔ(2 = )ݔଶ − 10 ݔ2 = )92 + ݔଷ − 18 ݔଶ + 3885 + ݔ จะได้ ݂(− ݔ2− = )ݔଷ − 18 ݔଶ − 38 85 + ݔดังนัน ݂( ݔ4 = )ݔ−(݂ − )ݔଷ + 76ݔ อินทิเกรตได้ ݔସ + 38 ݔଶ → ตอบ ൫2ସ + 38(2ଶ )൯ − (0 + 0) = 168 41. 48 = แบบทังหมด – แบบที 1 ติดกัน – แบบที 3 ติดกัน + แบบที 1 ติดกันและ 3 ติดกัน ! ହ! ହ! ସ! = − ଶ!ଶ! − ଶ!ଶ! + ଶ! = 90 – 30 – 30 + 12 = 48 แบบ ଶ!ଶ!ଶ! 42. 5927 ݀ มากสุด 99 43. 396 → ܿ < 594 → ܿ มากสุด 593 → ܾ < 2965 → ܾ มากสุด 2964 → ܽ < 5928 100ܽ + 10ܾ + ܿ = 10ܽ + ܾ + 10ܾ + ܽ + 10ܽ + ܿ + 10ܿ + ܽ + 10ܾ + ܿ + 10ܿ + ܾ 78ܽ = 12ܾ + 21ܿ → 26ܽ = 4ܾ + 7ܿ ≤ 36 + 63 = 99 → ܽ ≤ 3 ܽ = 3 ได้ 4ܾ + 7ܿ = 78 ไล่แทน ܾ = 9 ลงมา จนกว่าจะเจอทีหารด้ วย 7 ลงตัว ได้ ܾ = 9 , ܿ = 6 44. 135 = แบบทังหมด – แบบทีไม่มีคไหนมาจากอําเภอเดียวกัน ู่ = ൫൯൫൯ − ൫൯൫ସ൯ = 225 – 90 = 135 ଶ ଶ ଶ ଶ 45. 200 ത หܾ − ܿ̅ห = ඥ4ଶ + ()1 − ݕଶ = 5 → 2− ,4 = ݕ แต่ ܽ ∙ ܿ̅ > 0 ത จะได้ 2+ ݔ ଵଶ ହ > 0 → − > ݔହ และจาก ܽ ⊥ ܾ จะได้ 6 + ݔଵଶ௬ = 0 ത ത ହ ସ → เหลือ = ݔହ และ 2− = ݕ ଼ → − = ݔହ , ସ ହ
- 27. PAT 1 (มี.ค.56) തଶ 5ܽ + ܾ = (4ଓ̅ + 12ଔ̅) + (6ଓ̅ − 2ଔ̅) = 10ଓ̅ + 10ଔ̅ → |5ܽ + ܾห = 10ଶ + 10ଶ = 200 ത ത ത 46. 20 จะได้ พืนทีของนาย ก. คือ จะได้ พืนทีของนาย ข. คือ 0.5 – 0.0948 = 0.4052 → ݖก = 1.31 −(0.5 – 0.1064) = −0.3937 → ݖข = −1.24 ݖก − ݖข = 1.31 – (−1.24) = 2.55 = ௫ก ି௫ข ௦ = ହଵ ௦ ହଵ → = ݏଶ.ହହ = 20 47. 12 ทํานาย ฟิ สกส์ (ݔ ) จาก คณิตศาสตร์ (ݕ ) ต้ องใช้ ܺ = ܽ + ܾܻ ิ จะได้ ∑ݔ = 54 และ ∑ݕ = 36 จะได้ ระบบสมการคือ 54 = 6ܽ + 36ܾ และ 428 = 36ܽ + 268ܾ ตัดเป็ นอย่างตํา ได้ 9 = ܽ + 6ܾ และ 107 = 9ܽ + 67ܾ แทน ܽ จากสมการแรก ได้ 107 = 9(9 – 6ܾ) + 67ܾ → 26 = 13ܾ → ܾ = 2 , ܽ = −3 → ตอบ −3 + 2(7.5) = 12 48. 10 ค่อยๆหาไล่จาก ݕน้ อยๆ เริ มจากกลุม 0 = ݕใช้ เงือนไขทีสอง ่ 5 = )0,4(ܨ , 4 = )0,3(ܨ , 3 = )0,2(ܨ , 2 = )0,1(ܨ , 1 = )0,0(ܨ พวก : 1 = ݕ พวก : 2 = ݕ ดังนัน 2 = )0,1(ܨ = )1,0(ܨ 3 = )0 ,2(ܨ = )0 ,)1,0(ܨ(ܨ = )1,1(ܨ 4 = )0 ,3(ܨ = )0 ,)1,1(ܨ(ܨ = )1,2(ܨ 5 = )0 ,4(ܨ = )0 ,)1,2(ܨ(ܨ = )1,3(ܨ 3 = )1,1(ܨ = )2,0(ܨ 5 = )1,3(ܨ = )1 ,)2,0(ܨ(ܨ = )2,1(ܨ + )2 ,1(ܨF(3, 1) = 5 + 5 = 10 49. 6 จาก (1) แทน 1 = ݔจะได้ 1 ∗ ݕ = ݕ)1 ∗ 1( = ݕเปลียนชือ ݕเป็ น ݔได้ 1 ∗ ݔ = ݔ แทน 1 ∗ ݔ = ݔในข้ อ (2) ได้ เป็ น ݔ = ݔ ∗ ݔ แทน ݔ = ݔ ∗ ݔในข้ อ (1) ได้ เป็ น ݕݔ = )ݕݔ( ∗ ݔดังนัน ܽ ∗ ܾ = ܽ ∗ ቀܽ ∙ ቁ = ܽ ∙ สรุป เครื องหมาย ∗ คือให้ ตอบตัวหลังนันเอง ดังนัน 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) = 6 50. 4 จะได้ ݂൫݂()ݔ൯ = 4 + ݔ൫4 − ݂()ݔ൯ …(1) แทน ݔด้ วย 0 จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 + 0൫4 − ݂(0)൯ = 4 …(2) จาก (2) ใส่ ݂ ทังสองข้ าง ได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = ݂(4) …(3) แทน ݔใน (1) ด้ วย ݂(0) จะได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0) ቀ4 − ݂൫݂(0)൯ቁ …(4) แต่จาก (2) จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 ดังนัน ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0)(4 − 4) = 4 …(5) จาก (3) และ (5) จะได้ ݂(4) = 4 = ܾ 27
- 28. 28 PAT 1(มี.ค. 56) เครดิต ขอบคุณ คุณ สนธยา เสนามนตรี , คุณ ณัฐสรณ์ เส็งเฮ้ า , คุณ Quest Internal , คุณ Ntt Dks และ อีกคนหนึงทีมา โพสท์ข้อสอบบนวอลผม (เค้ าบอกผมว่าถ้ าผมโหลดเสร็ จให้ ลบทิง ผมจําชือเค้ าไม่ได้ เพราะผมลบโพสเค้ าไปแล้ ว = =" ขอโทษนะครับ _/_ ) ขอบคุณ ท่านอาจารย์ Sila Sookrasamee ทีช่วยตรวจคําตอบ ด้ วยนะครับ