1. PAT 1 (มี.ค. 56) 1
PAT 1 (มี.ค. 56)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน
1. กําหนดให้ ܲ แทน ประพจน์ “ถ้า ‫ܣ‬ ∪ ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ แล้ว ‫ܣ‬ ⊂ ‫ܤ‬ เมือ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตใดๆ”
และให้ ܳ แทน ประพจน์ “ถ้า ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ แล้ว ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܣ‬ และ ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܤ‬ เมือ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตใดๆ”
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ประพจน์ ሾ(ܲ ∨ ܳ) ∧ ~ܳሿ ⇔ ܲ มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ประพจน์ (ܲ ⇒ ܳ) ⇒ (~ܲ ∧ ~ܳ) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
2. กําหนดให้ ࣯ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และให้ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตใดๆใน ࣯ พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ‫ܣ‬ − ሾ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ሿ = ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬
(ข) เพาเวอร์เซตของเซต ‫ܣ‬ − (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ เท่ากับเพาเวอร์เซตของเซต (‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ − ‫ܥ‬
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

2. 2 PAT 1 (มี.ค. 56)
3. กําหนดให้ ܲ(‫)ݔ‬ แทน ቚ
௫ିଶ
௫ାଶ
ቚ < 2 และให้ ܳ(‫)ݔ‬ แทน |2‫ݔ‬ + 1| > ‫ݔ‬ − 1
เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนีทีทําให้ ∀‫ݔ‬ሾܳ(‫)ݔ‬ሿ ⇒ ∃‫ݔ‬ሾܲ(‫)ݔ‬ሿ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. (−∞, −4) 2.(−5, −1) 3. (−3, 2) 4. (−1, ∞)
4. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ ‫ܣ‬ = { ‫ݔ‬ ∈ R | |2‫ݔ‬ − 5| + |‫|ݔ‬ ≤ 7 } และ
‫ܤ‬ = { ‫ݔ‬ ∈ R | ‫ݔ‬ଶ
< 12 + |‫|ݔ‬ }
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ⊂ { ‫ݔ‬ ∈ R | 1 ≤ ‫ݔ‬ < 4 }
(ข) ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ เป็นเซตจํากัด (finite set)
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

3. PAT 1 (มี.ค. 56) 3
5. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให้ ‫ݎ‬ = ቄ (‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ∈ R × R ቚ ඥ12 − |‫|ݔ‬ + ඥ‫ݕ‬ + 1 = 3 ቅ
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) D௥ ∩ R௥ ⊂ (−1, 8)
(ข) D௥ − R௥ = { ‫ݔ‬ ∈ R | 8 < ‫ݔ‬ ≤ 12 }
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
6. ให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซต โดยทีจํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เท่ากับ 4 และ 5 ตามลําดับ
และจํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ เท่ากับ 7 พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ความสัมพันธ์ใน ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ มี 4 ความสัมพันธ์
(ข) ความสัมพันธ์จาก ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ ไป ‫ܤ‬ − ‫ܣ‬ มี 64 ความสัมพันธ์
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

4. 4 PAT 1 (มี.ค. 56)
7. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ความสัมพันธ์ { (‫,ݔ‬ ‫)ݕ‬ ∈ R × R | ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 4 , ‫ݕݔ‬ > 0 } เป็นฟังก์ชัน
(ข) ถ้า ݂(‫)ݔ‬ = ൜
‫ݔ‬ − 2 , ‫ݔ‬ ≤ 0
‫ݔ‬ଶ
, ‫ݔ‬ > 0
และ ݃(3‫ݔ‬ − 1) = 2‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݔ‬ สําหรับ ‫ݔ‬ ∈ R
แล้วค่าของ (݃ ∘ ݂ିଵ)(25) = 14
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
8. ให้พาราโบลา ܲ มีสมการเป็น ‫ݕ‬ଶ
− 2‫ݕ‬ + 6‫ݔ‬ + 4 = 0 ถ้าวงกลมวงหนึงผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา ܲ และ
สัมผัสกับเส้นตรง 3‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ − 6 = 0 ณ จุด (4, 3) แล้วสมการของวงกลมตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ − 55 = 0 2. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ + 82‫ݕ‬ + 55 = 0
3. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ + 82‫ݕ‬ − 55 = 0 4. 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ + 55 = 0

5. PAT 1 (มี.ค. 56) 5
9. พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ାୱ୧୬ଵ଴°
= sec 20° − tan 20°
(ข) √3 cot 20° = 1 + 4 cos 20°
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
10. ถ้า ‫ݔ‬ เป็นจํานวนจริงทีมากสุด โดยที 0 < ‫ݔ‬ < 1 และสอดคล้องกับ
arctan(1 − ‫)ݔ‬ + arccot ቀ
ଵ
ଶ௫
ቁ = 2 arcsec ඥ1 + 2‫1(ݔ‬ − ‫)ݔ‬ แล้ว ค่าของ cos ߨ‫ݔ‬ ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. −1 2. 0 3. ଵ
ଶ
4. √ଷ
ଶ
11. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ = ቐ
ଵ
௫
, |‫|ݔ‬ <
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
+
ଵ
௫
, |‫|ݔ‬ ≥
ଵ
ଶ
ค่าของ ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ−
ଵ
ଷ
ቁ൰ቇ ตรงกับข้อใดต่อไปนี
1. −6 2. 6 3. −3 4. 3

6. 6 PAT 1 (มี.ค. 56)
12. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ‫ܣ‬ เป็นเซตคําตอบของอสมการ log௫ ቀ
ଶ
௫ିଵ
ቁ ≥ 1
แล้ว ‫ܣ‬ เป็นสับเซตในข้อใดต่อไปนี
1. { ‫ݔ‬ ∈ R | |‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 3| = 3 − 2‫ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ
} 2. { ‫ݔ‬ ∈ R | |2‫ݔ‬ + 5| > 9 }
3. { ‫ݔ‬ ∈ R | 0 ≤ |‫ݔ‬ + 3| ≤ 5 } 4. { ‫ݔ‬ ∈ R | ‫ݔ‬ଷ
> 3‫ݔ‬ଶ
}
13. กําหนดให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเมทริกซ์ มีมิติ 3×3 โดยที det(‫)ܣ‬ = 2 และ ‫ܤ‬ = ൥
1 3 2
0 −1 ‫ݔ‬
0 −2 ‫ݕ‬
൩ เมือ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็น
จํานวนจริง ถ้า ‫ܤܣ‬ + 3‫ܣ‬ = 2I เมือ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ทีมีมิติ 3×3 แล้ว ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 2. −1 3. −2 4. −2.5

7. PAT 1 (มี.ค. 56) 7
14. กําหนดให้ ܲ = ܽ(‫ݔ‬ + ‫)ݕ‬ + 6‫ݕ‬ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ ≤ 48 , ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ ≤ 22 , 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ ≤ 42 , ‫ݔ‬ ≥ 0 และ ‫ݕ‬ ≥ 0
ถ้า ܲ มีค่ามากสุดเท่ากับ 288 แล้ว ค่ามากทีสุดของ ܽ ทีเป็นจํานวนเต็มบวกเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 20 2. 18 3. 16 4. 14
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ให้เวกเตอร์ ‫ݓ‬ഥ = ܽଓ̅ + ܾଔ̅ + ܿ݇ത เมือ ܽ, ܾ และ ܿ เป็นจํานวนจริงและให้เวกเตอร์ ‫ݑ‬ത = ଓ̅ + 2ଔ̅ + ݇ത
และ ‫̅ݒ‬ = ଓ̅ − ଔ̅ + ݇ത ถ้าเวกเตอร์ ‫ݓ‬ഥ ตังฉากกับเวกเตอร์ ‫ݑ‬ത และเวกเตอร์ ‫̅ݒ‬ แล้ว ܽ + ܾ + ܿ = 1
(ข) ให้เวกเตอร์ ‫ݑ‬ത = 2ଓ̅ + ଔ̅ และ ‫̅ݒ‬ = ܽଓ̅ + ܾଔ̅ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า |‫̅ݒ‬| =
ଷ
√ହ
และ ‫ݑ‬ത ∙ ‫̅ݒ‬ = 3
แล้วเวกเตอร์ ‫ݑ‬ത ทํามุม 60° กับเวกเตอร์ ‫̅ݒ‬
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

8. 8 PAT 1 (มี.ค. 56)
16. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมใดๆ ถ้าด้านตรงข้ามมุม A ยาว 14 หน่วย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลียม
เท่ากับ 30 หน่วยและ 3 sin‫ܤ‬ = 5 sin ‫ܥ‬ แล้ว sin 2‫ܣ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −
ଵ
ଶ
2. −
√ଷ
ଶ
3. ଵ
ଶ
4. √ଷ
ଶ
17. กําหนดให้ 9‫ݔ‬ଶ
− 16‫ݕ‬ଶ
− 18‫ݔ‬ + 64‫ݕ‬ − 199 = 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึงมีแกน
สมมาตรขนานแกน ‫ݕ‬ ตัดแกน ‫ݔ‬ ทีจุด (1, 0) และผ่านจุดยอดทังสองของไฮเพอร์โบลาทีกําหนดให้ แล้ว จุดในข้อใด
ต่อไปนีไม่อยู่บนพาราโบลา
1. (2,
ଵ
଼
) 2. (−1,
ଵ
ଶ
) 3. (3,
ଵ
ଶ
) 4. (4,
ଵ
ସ
)
18. กําหนดให้ {ܽ௡} เป็นลําดับของจํานวนจริงโดยที ܽ௡ =
ଵ
ସା଼ାଵଶା⋯ାସ௡
สําหรับ ݊ = 1, 2, 3, …
ผลบวกของอนุกรม ܽଵ + ܽଶ + ܽଷ + ⋯ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଵ
ଶ
2. ଷ
ସ
3. ଷ
ଶ
4. 2

9. PAT 1 (มี.ค. 56) 9
19. ค่าของ ∞→x
lim ቀඥ‫ݔ(ݔ‬ − 1) − ‫ݔ‬ + 2ቁ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0 2. ଵ
ଶ
3. 1 4. ଷ
ଶ
20. กําหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง ‫ݕ‬ =
ଷ௫రିଶ
௫య เมือ ‫ݔ‬ > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงทีสัมผัสกับเส้นโค้ง C ทีจุด (1, 1)
ถ้าเส้นตรง L ตัดกับพาราโบลา ‫ݔ(ݔ‬ − 1) = ‫ݕ‬ − 1 ทีจุด A และจุด B
แล้วระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 4√82 2. 8√82 3. 4√41 4. 8√41
21. กําหนดให้ ܲ(‫)ܧ‬ แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ‫ܧ‬ ถ้า ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิลสเปซ
โดยที ܲ(‫)ܣ‬ =
ଵ
ଶ
, ܲ(‫ܤ‬ᇱ) =
ହ
଼
และ ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∩ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଵ
ସ
พิจารณาข้อความต่อไปนี
(ก) ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫)ܤ‬ =
ହ
଼
(ข) ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଷ
ସ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

10. 10 PAT 1 (มี.ค. 56)
22. ในการโยนลูกเต๋าสองลูกจํานวนหนึงครัง ความน่าจะเป็นทีจะได้ผลคูณของแต้มบนลูกเต๋าทังสอง หารด้วย 4 ลงตัว
เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଺
ଷ଺
2. ଵଵ
ଷ଺
3. ଵହ
ଷ଺
4. ଶ଻
ଷ଺
23. ครอบครัวหนึงมีสมาชิก 6 คน มีอายุเฉลีย 34 ปี ส่วนเบียงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 8 ปี อีก 6 ปีต่อมามีญาติ
สองคนมาขออยู่อาศัยด้วย โดยทีญาติทังสองคนนีมีอายุเท่ากัน เท่ากับอายุเฉลียของคนทัง 6 คนในครอบครัวนีพอดี
สัมประสิทธิการแปรผันของอายุของคนทัง 8 คนนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. √ଷ
ଵ଴
2. ଵ଴
√ଷ
3. √ଷ
ଶ଴
4. ଶ଴
√ଷ
24. กําหนดให้ข้อมูลชุดหนึงมีดังนี 2 , 4 , 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. มัธยฐานน้อยกว่าฐานนิยม 2. ค่าเฉลียเลขคณิตมากกว่ามัธยฐาน
3. ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน 4. ฐานนิยมมากกว่าค่าเฉลียเลขคณิต

11. PAT 1 (มี.ค. 56) 11
25. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = ඥ7√5
య
, ‫ܤ‬ = ඥ5√7
య
, ‫ܥ‬ = ඥ5√7
య
และ ‫ܦ‬ = ඥ7√5
య
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ‫ܦ‬ > ‫ܥ‬ > ‫ܣ‬ > ‫ܤ‬ 2. ‫ܣ‬ > ‫ܥ‬ > ‫ܤ‬ > ‫ܦ‬
3. ‫ܣ‬ > ‫ܤ‬ > ‫ܦ‬ > ‫ܥ‬ 4. ‫ܥ‬ > ‫ܣ‬ > ‫ܦ‬ > ‫ܤ‬
ตอนที 2 ข้อ 26 - 50 ข้อละ 7 คะแนน
26. กําหนดให้ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซตจํากัด โดยที ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ≠ ∅
สับเซตของ ‫ܣ‬ ทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทังหมด 10 เซต และสับเซตของ ‫ܤ‬ ทีมีสมาชิก 2 ตัว มีทังหมด 6 เซต
ถ้า จํานวนสมาชิกชอง ܲ൫ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬൯ เท่ากับ 16 เมือ ܲ(ܵ) แทน เพาเวอร์เซตของ ܵ
แล้ว จํานวนสมาชิกของเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ เท่ากับเท่าใด
27. ถ้า ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวกทีสอดคล้องกับสมการ 5൫௫ିଶಲ൯2௬ಲ
= (16)଺ସ
เมือ ‫ܣ‬ =
୪୭୥ ௬
୪୭୥ ௫
แล้ว ค่าของ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ เท่ากับเท่าใด

12. 12 PAT 1 (มี.ค. 56)
28. กําหนดให้ ‫ݔ‬ เป็นจํานวนจริง โดยที sin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
ถ้า (1 + tanଶ
‫)ݔ‬ cot ‫ݔ‬ =
௔
௕
เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนเต็ม โดยที ห.ร.ม. ของ ܽ และ ܾ เท่ากับ 1
แล้ว ܽଶ
+ ܾଶ
เท่ากับเท่าใด
29. ให้ R แทนเซตชองจํานวนจริง ถ้า ‫ܣ‬ = ൛‫ݔ‬ ∈ R ห log√ଷ(‫ݔ‬ − 1) − log √ଷ
య (‫ݔ‬ − 1) = 1ൟ และ
‫ܤ‬ = ൛‫ݔ‬ ∈ R ห √‫ݔ‬ + 1 + √‫ݔ‬ − 1 = 2ൟ
แล้วสามเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ทังหมดเท่ากับเท่าใด
30. กําหนดให้ ‫ܣ‬ แทนเซตคําตอบของสมการ 5൫ଵା√௫మିସ௫ିଵ൯
+ 5
൬
ఱశరೣషೣమ
మశඥೣమషరೣషభ
൰
= 126
ผลบวกของสมาชิกในเซต ‫ܣ‬ ทังหมดเท่ากับเท่าใด

13. PAT 1 (มี.ค. 56) 13
31. กําหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที (0, 0) และมีโฟกัส Fଵ และ Fଶ อยู่บนแกน ‫ݔ‬ จุด A(4, 1) เป็นจุดบนวงรีโดยที
ผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทังสองมีค่าเท่ากับ 6√2 ให้เส้นตรง L ตัดแกน ‫ݔ‬ ทีจุด (4.5, 0)
และสัมผัสกับวงรีทีจุด A(4, 1) ถ้า ݀ เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ ݀ଶ|AFଵ||AFଶ|
เท่ากับเท่าใด
32. กําหนดให้ 0 < ߠ <
గ
ଶ
โดยที ߠ = arctanቀ
√௫ାଵ
ଵି√௫
ቁ − arctan൫√‫ݔ‬൯ เมือ 0 < ‫ݔ‬ < 1
ค่าของ tan ߠ + cot ߠ เท่ากับเท่าใด
33. ให้ ܵ เป็นเซตของจํานวนจริง ‫ݔ‬ ทังหมดทีทําให้เมทริกซ์ ൥
4 −2 7
‫ݔ‬ −1 3
2 0 ‫ݔ‬
൩ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
และให้ ‫ݕ‬ เท่ากับผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต ܵ
ถ้า ‫ܣ‬ = ൤
‫ݕ‬ 1
−1 ‫ݕ‬
൨ แล้ว ค่าของ det(((‫ܣ‬௧)ିଵ)௧)ିଵ
เท่ากับเท่าใด

14. 14 PAT 1 (มี.ค. 56)
34. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡ , … เป็นลําดับเรขาคณิตของจํานวนจริงบวก โดยมี ‫ݎ‬ เป็นอัตราส่วนร่วม และ
௔భା௔య
௔మା௔ర
+
௔యା௔ఱ
௔రା௔ల
+
௔ఱା௔ళ
௔లା௔ఴ
+ … +
௔మబభభା௔మబభయ
௔మబభమା௔మబభర
= 2012
ค่าของ 1 + 5‫ݎ‬ + 12‫ݎ‬ଶ
+ 22‫ݎ‬ଷ
+ ⋯ เท่ากับเท่าใด
35. ถ้า ‫ݖ‬ เป็นจํานวนเชิงซ้อนทีอยู่ในควอดรันต์ (quadrant) ทีหนึงบนระนาบเชิงซ้อน
โดยที ቚ
(௭ାଵ)(ଵା୧)
௭(ଵା୧)ାହା୧
ቚ = 1 และ |‫|ݖ‬ = √65 แล้วผลบวกของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ ‫ݖ‬ เท่ากับเท่าใด
36. กําหนดให้ ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, ܽସ, ܽହ และ ܾଵ, ܾଶ, ܾଷ, ܾସ, ܾହ, ܾ଺ เป็นลําดับเลขคณิตของจํานวนจริงบวก
โดยที ܽଵ = ܾଶ , ܽହ = ܾହ และ ܽଵ ≠ ܽହ ถ้า (௕లି௕ర)ା(௕లି௕భ)
௔రି௔మ
=
௫
௬
เมือ ห.ร.ม. ของ ‫ݔ‬ กับ ‫ݕ‬ เท่ากับ 1
แล้ว ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
เท่ากับเท่าใด

15. PAT 1 (มี.ค. 56) 15
37. สําหรับ ݊ = 2, 3, 4, … ให้ ܽ௡ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ݊
ค่าของ ∞→n
lim
௔మ௔య௔ర…௔೙
(௔మିଵ)(௔యିଵ)(௔రିଵ)…(௔೙ିଵ)
เท่ากับเท่าใด
38. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ = ቐ
ଶ௫ି଼
ଶ௫ି√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
, ‫ݔ‬ < 4
௞௫
ଷ
, ‫ݔ‬ ≥ 4
โดยที ݇ เป็นจํานวนจริง ถ้า ݂ เป็นฟังก์ชันต่อเนืองทีจุด ‫ݔ‬ = 4
แล้ว ݂(݇ + 1) เท่ากับเท่าใด
39. ให้ ݂ เป็นฟังก์ชันซึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจํานวนจริง โดยทีอัตราการเปลียนแปลงของ ݂(‫)ݔ‬ เทียบกับ ‫ݔ‬
เท่ากับ ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܾ‫ݔ‬ เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริง และให้ ݃(‫)ݔ‬ = (‫ݔ‬ଷ
+ 2‫)ݔ(݂)ݔ‬ ถ้า ݂ᇱ(1) = 18 ,
݂ᇱᇱ(0) = 6 และ ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) แล้วค่าของ ݃ᇱ(−1) เท่ากับเท่าใด

16. 16 PAT 1 (มี.ค. 56)
40. กําหนดให้ ݂(‫)ݔ‬ เป็นพหุนามกําลังสาม ซึงมีสัมประสิทธิเป็นจํานวนจริง โดยทีมี ‫ݔ‬ + 1 เป็นตัวประกอบของ ݂(‫)ݔ‬
5 + 2i เป็นคําตอบชองสมการ ݂(‫)ݔ‬ = 0 และ ݂(0) = 58 ค่าของ
2
0
∫ ሾ݂(‫)ݔ‬ − ݂(−‫)ݔ‬ሿ݀‫ݔ‬ เท่ากับเท่าใด
41. ต้องการนําเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 ทัง 6 ตัวมาจัดเรียงเป็นจํานวนทีมี 6 หลัก จะสร้างจํานวนทีมี 6 หลักได้ทังหมด
กีจํานวน เมือ เลข 1 ทังสองตัวไม่ติดกันและเลข 3 ทังสองตัวไม่ติดกัน
42. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ และ ݀ เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที ܽ < 2ܾ , ܾ < 5ܿ , ܿ < 6݀ และ ݀ < 100
ค่าของ ܽ มีค่ามากทีสุดเท่ากับเท่าใด

17. PAT 1 (มี.ค. 56) 17
43. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ ∈ {1, 2, … , 9} จงหาจํานวน 3 หลัก ܾܽܿ ทีมีค่ามากสุด
โดยทีสอดคล้องกับสมการ ܾܽܿ = ܾܽ + ܾܽ + ܽܿ + ܿܽ + ܾܿ + ܾܿ
(หมายเหตุ ܾܽܿ แทนจํานวน 3 หลัก และ ܾܽ, ܾܽ, ܽܿ, ܿܽ, ܾܿ, ܾܿ แทนจํานวน 2 หลัก)
44. จังหวัดแห่งหนึงมีอําเภอ 6 อําเภอ แต่ละอําเภอส่งผู้แทนอําเภอละ 2 คนเป็นชาย 1 คนและเป็นหญิง 1 คน ถ้า
ต้องการคัดเลือกกรรมการ 4 คน เป็นชาย 2 คน และหญิง 2 คน จากตัวแทนทัง 12 คน โดยในบรรดากรรมการ 4 คน
นีจะต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย 1 คู่ มาจากอําเภอเดียวกัน จะมีวิธีการคัดเลือกกีวิธี
45. กําหนดให้ ܽത, ܾത และ ܿ̅ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซึงกําหนดโดย ܽത = ‫ݔ‬ଓ̅ +
ଵଶ
ହ
ଔ̅ , ܾത = 6ଓ̅ + ‫ݕ‬ଔ̅ และ ܿ̅ = 2ଓ̅ + ଔ̅
เมือ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริง ถ้า หܾത − ܿ̅ห = 5 , เวกเตอร์ ܽത ตังฉากกับเวกเตอร์ ܾത และ ܽത ∙ ܿ̅ > 0
แล้วค่าของ ห5ܽത + ܾതห
ଶ
เท่ากับเท่าใด

18. 18 PAT 1 (มี.ค. 56)
46. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึงมีการแจกแจงปกติ นาย ก. และนาย ข. เป็นนักเรียนในห้องนี ถ้า
มีนักเรียนในห้องนี ร้อยละ 9.48 สอบได้คะแนนมากกว่าคะแนนสอบของ นาย ก. มีนักเรียนร้อยละ 10.64 สอบได้
คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ข. และ นาย ข. สอบได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของนาย ก. อยู่ 51
คะแนน แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครังนีเท่ากับเท่าใด
เมือกําหนดพืนทีใต้เส้นโค้งปกติ ระกว่าง 0 ถึง ‫ݖ‬ ดังตารางต่อไปนี
47. จากการสํารวจคะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ทีมีคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ (‫ݔ‬௜) และคะแนนสอบวิชา
คณิตศาสตร์ (‫ݕ‬௜) ปรากฏว่าค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์เท่ากับ 9 คะแนน ค่าเฉลียเลขคณิตของ
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 6 คะแนน และ
6
1=
∑
i
‫ݔ‬௜‫ݕ‬௜ = 428 ,
6
1=
∑
i
‫ݔ‬௜
ଶ
= 694 และ
6
1=
∑
i
‫ݕ‬௜
ଶ
= 268
ถ้าคะแนนสอบวิชาทังสองมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง และนักเรียนคนหนึงทีมีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์
เท่ากับ 7.5 คะแนน แล้วคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ โดยประมาณควรจะมีค่าเท่ากับเท่าใด
‫ݖ‬ 0.24 0.27 1.24 1.31
พืนที 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052

19. PAT 1 (มี.ค. 56) 19
48. สําหรับ ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ {0, 1, 2, 3. …} กําหนดให้ ‫,ݔ(ܨ‬ ‫)ݕ‬ เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที
‫,ݔ(ܨ‬ ‫)ݕ‬ = ቐ
‫,1(ܨ‬ ‫ݕ‬ − 1) , ‫ݔ‬ = 0, ‫ݕ‬ ≠ 0
‫ݔ‬ + 1 , ‫ݕ‬ = 0
‫ݔ(ܨ(ܨ‬ − 1, ‫,)ݕ‬ ‫ݕ‬ − 1) , ‫ݔ‬ ≠ 0, ‫ݕ‬ ≠ 0
ค่าของ ‫,1(ܨ‬ 2) + F(3, 1) เท่ากับเท่าใด
49. สําหรับ ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวกใดๆ กําหนดให้ ‫ݔ‬ ∗ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริงบวก ทีมีสมบัติต่อไปนี
(1) ‫ݔ‬ ∗ (‫)ݕݔ‬ = (‫ݔ‬ ∗ ‫ݕ)ݔ‬
(2) ‫ݔ‬ ∗ (1 ∗ ‫)ݔ‬ = 1 ∗ ‫ݔ‬
(3) 1 ∗ 1 = 1
ค่าของ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) เท่ากับเท่าใด
50. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ݂ : R → R เป็นฟังก์ชัน ซึงสอดคล้องกับ
(݂ ∘ ݂)(‫)ݔ‬ = 4 + ‫ݔ‬൫4 − ݂(‫)ݔ‬൯ สําหรับทุกจํานวนจริง ‫ݔ‬ แล้วค่าของ ݂(4) เท่ากับเท่าใด

20. 20 PAT 1 (มี.ค. 56)
เฉลย
1. 2 11. 2 21. 1 31. 162 41. 42
2. 1 12. 3 22. 3 32. 2 42. 5927
3. 2 13. 4 23. 1 33. 2 43. 396
4. 3 14. 2 24. 2 34. 16 44. 135
5. 4 15. 4 25. 3 35. 11 45. 200
6. 3 16. 2 26. 7 36. 205 46. 20
7. 1 17. 4 27. 20 37. 3 47. 12
8. 4 18. 1 28. 373 38. 24 48. 10
9. 1 19. 4 29. 5 39. 354 49. 6
10. 3 20. 2 30. 4 40. 168 50. 4
แนวคิด
1. 2
ܲ เป็นเท็จ เช่น ‫ܥ‬ = {1} , ‫ܣ‬ = {1} , ‫ܤ‬ = {} และ ܳ ก็เป็นเท็จ เช่น ‫ܥ‬ = {1, 2} , ‫ܣ‬ = {1} , ‫ܤ‬ = {2}
จะได้ (ก) คือ ሾ(F) ∧ Tሿ ⇔ F ≡ T ถูกต้อง และ (ข) คือ (T) ⇒ (T) ≡ T ผิด
2. 1
ก. เนืองจาก ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ ⊂ ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫ܥ‬ ดังนัน (‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ = ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬
ดังนัน ‫ܣ‬ − ሾ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ ∩ (‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ሿ = ‫ܣ‬ − (‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ → ก. ถูก
ข. ‫ܣ‬ − (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ = ‫ܣ‬ ∩ (‫ܤ‬ ∪ ‫)ܥ‬ᇱ
= ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ᇱ
∩ ‫ܥ‬ᇱ
= (‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ − ‫ܥ‬ → ข. ถูก
3. 2
เป็นเท็จ เมือ T → F
ข้างหน้า จะได้ 2‫ݔ‬ + 1 > ‫ݔ‬ − 1 หรือ 2‫ݔ‬ + 1 < −(‫ݔ‬ − 1) หรือ ‫ݔ‬ − 1 ≤ 0
ได้ (−2, ∞) ∪ (−∞, 0) ∪ (−∞, 1ሿ = R ดังนัน ∀‫ݔ‬ሾ |2‫ݔ‬ + 1| > ‫ݔ‬ − 1 ሿ ยังไงก็จริง
ข้างหลัง ยกกําลังสองได้ (เพราะเป็นบวกทังสองข้าง) ได้ ቀ
௫ିଶ
௫ାଶ
ቁ
ଶ
< 2ଶ
ตัวหารห้ามเป็น 0 → ‫ݔ‬ ≠ −2
คูณ (‫ݔ‬ + 2)ଶ
ตลอดได้ (เป็นบวก ไม่ต้องกลับเครืองหมาย) แล้วย้ายข้าง ได้ (‫ݔ‬ − 2)ଶ
− (2‫ݔ‬ + 4)ଶ
< 0
→ (3‫ݔ‬ + 2)(−‫ݔ‬ − 6) < 0 ได้คําตอบคือ (−∞, −6) ∪ (−
ଶ
ଷ
, ∞)
ดังนัน เอกภพสัมพัทธ์ทีจะทําให้ข้างหลังเป็นเท็จ ต้องไม่มีส่วนไหนอยู่ในช่วง (−∞, −6) ∪ (−
ଶ
ଷ
, ∞) → ตอบ 2
4. 3
‫ܣ‬ แบ่งกรณี กรณี (−∞, 0) ได้ −3‫ݔ‬ ≤ 2 → ‫ݔ‬ ≥ −
ଶ
ଷ
→ ሾ−
ଶ
ଷ
, 0)
กรณี ሾ0,
ହ
ଶ
) ได้ −‫ݔ‬ ≤ 2 → ‫ݔ‬ ≥ −2 → ሾ0,
ହ
ଶ
)
กรณี ሾ
ହ
ଶ
, ∞) ได้ 3‫ݔ‬ ≤ 12 → ‫ݔ‬ ≤ 4 → ሾ
ହ
ଶ
, 4ሿ รวมทุกกรณีได้ ‫ܣ‬ = ሾ−
ଶ
ଷ
, 4ሿ
‫ܤ‬ แบ่งกรณี กรณี (−∞, 0) ได้ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 12 < 0 → (‫ݔ‬ + 4)(‫ݔ‬ − 3) < 0 → ‫ݔ‬ ∈ (−4, 3) → (−4, 0)
กรณี ሾ0, ∞) ได้ ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ − 12 < 0 → (‫ݔ‬ − 4)(‫ݔ‬ + 3) < 0 → ‫ݔ‬ ∈ (−3, 4) → ሾ0, 4)
รวมทุกกรณี ได้ ‫ܤ‬ = (−4, 4)
‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ = ሾ−
ଶ
ଷ
, 4) → ก ผิด , ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ = {4} → ข ถูก

21. PAT 1 (มี.ค. 56) 21
5. 4
หา D௥ : เนืองจาก ผลรูท ≥ 0 ดังนัน ඥ12 − |‫|ݔ‬ = 3 − ඥ‫ݕ‬ + 1 ≤ 3
ยกกําลังสองทังสองข้าง และเนืองจาก ในรูท ≥ 0 จะได้ 0 ≤ 12 − |‫|ݔ‬ ≤ 9
ลบ 12 แล้วคูณ −1 ได้ 3 ≤ |‫|ݔ‬ ≤ 12 จะได้ D௥ = ሾ−12, −3ሿ ∪ ሾ3, 12ሿ
หา R௥ : ทําแบบเดียวกัน จะได้ ඥ‫ݕ‬ + 1 = 3 − ඥ12 − |‫|ݔ‬ ≤ 3
และจะได้ 0 ≤ ‫ݕ‬ + 1 ≤ 9 จะได้ R௥ = ሾ−1, 8ሿ
D௥ ∩ R௥ = ሾ3, 8ሿ มี 8 ดังนัน ก ผิด , D௥ − R௥ = ሾ−12, −3ሿ ∪ (8, 12ሿ มีเลขลบด้วย ดังนัน ข ผิด
6. 3
ก. ݊(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = 4 + 5 – 7 = 2 → มี 2ଶ×ଶ
= 16 → ก ผิด
ข. ݊(‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ = 4 – 2 = 2 , ݊(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ = 5 – 2 = 3 → มี 2ଶ×ଷ
= 64 → ข ถูก
7. 1
ก. เป็นวงกลมทีเอาเฉพาะเส้นภายใน Qଵ กับ Qଷ ลากแนวดิงตัดไม่เกิน 1 จุด → ก. ถูก
ข. หา ݂ିଵ(25) ให้ ‫ݔ‬ − 2 = 25 ได้ ‫ݔ‬ = 27 ขัดกับเงือนไข ‫ݔ‬ ≤ 0
ให้ ‫ݔ‬ଶ
= 25 ได้ ‫ݔ‬ = ±5 ถ้าจะให้ตรงกับเงือนไข ‫ݔ‬ > 0 จะได้ ‫ݔ‬ = 5 ดังนัน ݂ିଵ(25) = 5
หา ݃(5) ให้ 3‫ݔ‬ − 1 = 5 ได้ ‫ݔ‬ = 2 แทนใน 2‫ݔ‬ଶ
+ 3‫ݔ‬ จะได้ 14 → ข. ถูก
8. 4
พาราโบลาคือ (‫ݕ‬ − 1)ଶ
= −6 ቀ‫ݔ‬ +
ଵ
ଶ
ቁ → F = (−
ଵ
ଶ
−
଺
ସ
, 1) = (−2, 1)
ลองเอา (−2, 1) แทน จะได้ 28 + 7 ± (−8) ± 82 ± 55 = 0 ต้องเป็น 28 + 7 + (−8) − 82 + 55 → ข้อ 4
ถ้าไม่เช็คตัวเลือก ให้วงกลมมี ศก ที (ܽ, ܾ) ดังนัน (ܽ + 2)ଶ
+ (ܾ − 1)ଶ
= (ܽ − 4)ଶ
+ (ܾ − 3)ଶ
→ ܽଶ
+ 4ܽ + 4 + ܾଶ
− 2ܾ + 1 = ܽଶ
− 8ܽ + 16 + ܾଶ
− 6ܾ + 9
→ 12ܽ + 4ܾ = 20 → 3ܽ + ܾ = 5 …(1)
และจากความชัน จะได้ ௕ିଷ
௔ିସ
= −
ଶ
ଷ
→ 3ܾ − 9 = −2ܽ + 8 → 2ܽ + 3ܾ = 17 …(2)
3(1) – (2) : 7ܽ = −2 → ܽ = −
ଶ
଻
→ ܾ =
ସଵ
଻
ได้ ‫ݎ‬ଶ
= ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
ได้สมการวงกลมคือ ቀ‫ݔ‬ +
ଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ‫ݕ‬ −
ସଵ
଻
ቁ
ଶ
= ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
จัดรูปได้ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+
ସ௫
଻
−
଼ଶ௬
଻
+ ቀ
ଶ
଻
ቁ
ଶ
+ ቀ
ସଵ
଻
ቁ
ଶ
− ቀ
ଵଶ
଻
ቁ
ଶ
− ቀ
ଷସ
଻
ቁ
ଶ
= 0
→ 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ − ቀ
ଵସ∙ଵ଴
଻
ቁ + ቀ
଻ହ∙଻
଻
ቁ = 0
→ 7‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 82‫ݕ‬ + 55 = 0
9. 1
ก) ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ାୱ୧୬ଵ଴°
∙
ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
ୡ୭ୱ ଵ଴°ିୱ୧୬ଵ଴°
=
ୡ୭ୱమ ଵ଴°ାୱ୧୬మ ଵ଴°ିଶୱ୧୬ଵ଴° ୡ୭ୱ ଵ଴°
ୡ୭ୱమ ଵ଴°ିୱ୧୬మ ଵ଴°
=
ଵିୱ୧୬ଶ଴°
ୡ୭ୱ ଶ଴°
= sec 20° − tan 20° → ถูก
ข) √3 cot 20° =
√ଷ ୡ୭ୱ ଶ଴°
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶ൬
√య
మ
ୡ୭ୱ ଶ଴°൰
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶ൬
√య
మ
ୡ୭ୱ ଶ଴° ି
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°൰
ୱ୧୬ ଶ଴°
=
ଶቀୱ୧୬଺଴°ୡ୭ୱ ଶ଴° ିୡ୭ୱ ଺଴°ୱ୧୬ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶቀୱ୧୬ସ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°
=
ଶቀଶ ୱ୧୬ଶ଴° ୡ୭ୱ ଶ଴° ା
భ
మ
ୱ୧୬ଶ଴°ቁ
ୱ୧୬ଶ଴°

22. 22 PAT 1 (มี.ค. 56)
=
ସ ୱ୧୬ ଶ଴°ୡ୭ୱ ଶ଴° ା ୱ୧୬ଶ଴°
ୱ୧୬ଶ଴°
= 4 cos 20° + 1 → ถูก
10. 3
ใส่ tan ตลอด ได้ ଵି௫ ା ଶ௫
ଵି(ଵି௫)(ଶ௫)
=
ଶඥଶ௫(ଵି௫)
ଵିଶ௫(ଵି௫)
→ 1 + ‫ݔ‬ = 2ඥ2‫1(ݔ‬ − ‫)ݔ‬ → 1 + 2‫ݔ‬ + ‫ݔ‬ଶ
= 8‫ݔ‬ − 8‫ݔ‬ଶ
→ 9‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݔ‬ + 1 = 0 → (3‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 0 → ‫ݔ‬ =
ଵ
ଷ
→ cos
గ
ଷ
=
ଵ
ଶ
11. 2
ቚ−
ଵ
ଷ
ቚ <
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂ ቆ݂ ൬݂ ቀ−
ଵ
ଷ
ቁ൰ቇ = ݂൫݂(−3)൯
|−3| ≥
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂൫݂(−3)൯ = ݂ ቀ
ଵ
ଶ
+
ଵ
ିଷ
ቁ = ݂ ቀ
ଵ
଺
ቁ
ቚ
ଵ
଺
ቚ <
ଵ
ଶ
ดังนัน ݂ ቀ
ଵ
଺
ቁ = 6
12. 3
หลัง log เป็นลบไม่ได้ ดังนัน ‫ݔ‬ > 1 จะได้ ଶ
௫ିଵ
≥ ‫ݔ‬
คูณ ‫ݔ‬ − 1 ทังสองข้างได้ ไม่ต้องกลับเครืองหมาย เพราะ ‫ݔ‬ > 1 ทําให้ ‫ݔ‬ − 1 เป็นบวก → 2 ≥ ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬
→ 0 ≥ (‫ݔ‬ − 2)(‫ݔ‬ + 1) → ‫ݔ‬ ∈ ሾ−1, 2ሿ → แต่ ‫ݔ‬ > 1 ดังนัน คําตอบคือ (1, 2ሿ
ลองเอา ‫ݔ‬ = 2 แทนดู ข้อ 1. ได้ฝังขวาติดลบ ไม่จริงแน่นอน ข้อ 2. ได้ 9 > 9 ไม่จริง ข้อ 3. ได้ 0 < 5 < 5 จริง
ข้อ 4. ได้ 8 > 12 ไม่จริง → ตอบข้อ 3
หมายเหตุ ถ้าจะแก้ ข้อ 1. อยู่ในรูป |‫|ܣ‬ = −‫ܣ‬ จะได้ ‫ܣ‬ ≤ 0 ดังนัน ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 3 < 0
แยกได้ (‫ݔ‬ + 3)(‫ݔ‬ − 1) → ሾ−3, 1ሿ
13. 4
ได้ ‫ܤ(ܣ‬ + 3I) = 2I → 2อ
4 3 2
0 2 ‫ݔ‬
0 −2 ‫ݕ‬ + 3
อ = 2ଷ
→ (2)(8‫ݕ‬ + 24 + 8‫)ݔ‬ = 8 → ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ = −2.5
14. 2
จุดตัดอยู่ใกล้กัน ต้องหาทุกจุดตัด ไม่งันรูปจะไม่ถูก
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48 กับ ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22 ตัดกันที (4, 9)
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22 กับ 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42 ตัดกันที (10, 6)
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48 กับ 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42 ตัดกันที (12, 3)
จุดมุม คือ (0, 0), (0, 11), (4, 9), (12, 3), (14, 0)
ได้ ܲ = 0 , 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ
จับแต่ละตัว = 288 แล้วแก้หา ܽ ได้ ܽ = 18 จาก 13ܽ + 54 กับ ܽ = 18 จาก 15ܽ + 18
ลองแทน ܽ = 18 จะได้ 288 มากสุดในบรรดา 11ܽ + 66 , 13ܽ + 54 , 15ܽ + 18 , 14ܽ
15. 4
ก. ตังฉาก = ดอทกันได้ 0 → ܽ + 2ܾ + ܿ = 0 และ ܽ − ܾ + ܿ = 0 จับลบกัน ได้ ܾ = 0
แทนกลับไป ได้ ܽ + ܿ = 0 ดังนัน ܽ + ܾ + ܿ = 0 → ก ผิด
14 16 22
11
12
21
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 22
3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ = 42
3‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ = 48

23. PAT 1 (มี.ค. 56) 23
ข. 3 = |‫ݑ‬ത||‫̅ݒ‬| cos ߠ → cos ߠ =
ଷ
√ହቀ
య
√ఱ
ቁ
= 1 → ߠ = 0 → ข ผิด
16. 2
จากกฎของ sin ได้ ଵସ
ୱ୧୬஺
=
௕
ୱ୧୬ ஻
=
ଵ଺ି௕
ୱ୧୬ ஼
และจากทีโจทย์ให้ จะได้ ୱ୧୬஻
ୱ୧୬஼
=
ହ
ଷ
ได้ ୠ
ଵ଺ିୠ
=
ହ
ଷ
→ 3ܾ = 80 – 5ܾ
→ ܾ = 10 , ܿ = 6 → กฏของ cos ได้ 14ଶ
= 10ଶ
+ 6ଶ
− 2(10)(6) cos ‫ܣ‬ → cos ‫ܣ‬ = −
ଵ
ଶ
มุมในสามเหลียม มี 0° < ‫ܣ‬ < 180° ได้ ‫ܣ‬ = 120° → sin 2‫ܣ‬ = −
√ଷ
ଶ
17. 4
จัดรูปได้ 9(‫ݔ‬ − 1)ଶ
− 16(‫ݕ‬ − 2)ଶ
= 199 + 9 − 64 →
(௫ିଵ)మ
ସమ −
(௬ିଶ)మ
ଷమ = 1 → V = (−3, 2), (5, 2)
ผ่าน (−3, 2), (5, 2) แสดงว่าจุดยอด คือ (1, ?) โจทย์บอกผ่าน (1, 0) แสดงว่าจุดยอดคือ (1, 0)
ได้สมการคือ (‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 4ܿ‫ݕ‬ → แทน (5, 2) ได้ ܿ = 2 → (‫ݔ‬ − 1)ଶ
= 8‫ݕ‬ → ข้อ 4 แทนแล้วไม่จริง
18. 1
ܽ௡ =
ଵ
ସ∙
೙(೙శభ)
మ
=
ଵ
ଶ௡(௡ାଵ)
→ เทเลสโคป ได้ ܽ௡ =
ଵ
ଶ
ቀ
ଵ
௡
−
ଵ
௡ାଵ
ቁ → ได้ผลบวก =
ଵ
ଶ
ቀ
ଵ
ଵ
ቁ =
ଵ
ଶ
19. 4
=
∞→x
lim
ቀඥ௫(௫ିଵ)ି௫ቁቀඥ௫(௫ିଵ)ା௫ቁ
ඥ௫(௫ିଵ)ା௫
+ 2 =
∞→x
lim
ି௫
ඥ௫(௫ିଵ)ା௫
+ 2 =
∞→x
lim
ିଵ
ටଵቀଵି
భ
ೣ
ቁାଵ
+ 2 = −
ଵ
ଶ
+ 2 =
ଷ
ଶ
20. 2
‫ݕ‬ = 3‫ݔ‬ − 2‫ݔ‬ିଷ
→ ‫ݕ‬ᇱ
= 3 + 6‫ݔ‬ିସ
→ ที (1, 1) ชัน 9 → ผ่าน (1, 1) ได้ L : ‫ݕ‬ = 9‫ݔ‬ − 8
แก้หาจุดตัด ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ = 9‫ݔ‬ − 8 − 1 → ‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 9 = 0 → ‫ݔ‬ = 9, 1 → (9, 73), (1, 1)
ได้ระยะห่าง = √8ଶ + 72ଶ = 8√1 + 9ଶ = 8√82
21. 1
จากแผนภาพ จะได้ ܲ(‫)ܣ‬ + ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ + ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∩ ‫ܤ‬ᇱ) = 1 → ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ = 1 −
ଵ
ସ
−
ଵ
ଶ
=
ଵ
ସ
จาก ܲ(‫ܤ‬ᇱ
) =
ହ
଼
ได้ ܲ(‫)ܤ‬ =
ଷ
଼
ได้ ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ = ܲ(‫)ܤ‬ − ܲ(‫ܤ‬ − ‫)ܣ‬ =
ଷ
଼
−
ଵ
ସ
=
ଵ
଼
และได้ ܲ(‫ܣ‬ − ‫)ܤ‬ = ܲ(‫)ܣ‬ − ܲ(‫ܣ‬ ∩ ‫)ܤ‬ =
ଵ
ଶ
−
ଵ
଼
=
ଷ
଼
ดังนัน ܲ(‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫)ܤ‬ =
ଵ
଼
+
ଵ
ସ
+
ଵ
ସ
=
ହ
଼
→ ก ถูก และ ܲ(‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ᇱ) =
ଷ
଼
+
ଵ
଼
+
ଵ
ସ
=
ଷ
ସ
→ ข ถูก
22. 3
กรณีลูกแรกออก 1, 3, 5 → ลูกหลังต้องออก 4 → 3 แบบ
กรณีลูกแรกออก 2, 6 → ลูกหลังต้องออก 2, 4, 6 → 6 แบบ
กรณีลูกแรกออก 4 → ลูกหลังออกอะไรก็ได้ → 6 แบบ → รวม 15 แบบ

24. 24 PAT 1 (มี.ค. 56)
23. 1
6 ปีต่อมา ทัง 6 คน อายุเฉลียเพิมเป็น 40 ปี แต่ ‫ݏ‬ เท่าเดิม = 8
ดังนัน ට
∑(௫೔ିସ଴)మ
଺
= 8 จะได้ ∑(‫ݔ‬௜ − 40)ଶ
= 8ଶ
∙ 6
เนืองจากอีก 2 คนใหม่ทีเพิมมา มีอายุ = ‫̅ݔ‬ = 40 ดังนัน ∑(‫ݔ‬௜ − 40)ଶ
ของทัง 8 คน จะยังเท่าเดิม = 8ଶ
∙ 6
ดังนัน ‫ݏ‬ ของทัง 8 คน คือ = ට
଼మ∙଺
଼
= √8 ∙ 6 = 4√3
ดังนัน สัมประสิทธิการแปรผัน =
௦
௫̅
=
ସ√ଷ
ସ଴
=
√ଷ
ଵ଴
24. 2
เรียงได้ 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 12, 18 → Mode = 4 , Med = 4.5 , ‫̅ݔ‬ =
଻ସ
ଵଶ
= 6.17
25. 3
ยกกําลัง 6 ตลอด ได้ 7ଷ
∙ 5 , 5ଷ
∙ 7 , 5ଶ
∙ 7 , 7ଶ
∙ 5 เอา 5 ∙ 7 หารตลอด เหลือ 7ଶ
, 5ଶ
, 5, 7
26. 7
แก้สมการ ൫௔
ଶ
൯ = 10 ได้ ݊(‫)ܣ‬ = 5 กับ ൫௕
ଶ
൯ = 6 ได้ ݊(‫)ܤ‬ = 4
ย้อนสูตร 2௡
สองเทียว จะได้ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ มี 2 ตัว ดังนัน ݊(‫ܣ‬ ∪ ‫)ܤ‬ = 5 + 4 – 2 = 7
27. 20
ข้อนี ถ้าจะคิดจริงๆ มีได้หลายคําตอบตอบ คนออกข้อสอบ น่าจะอยากจะให้เราทํา โดยการเทียบเลขชีกําลัง
เนืองจากทางขวา 16଺ସ
= 2ଶହ଺
= 5଴
2ଶହ଺
ดังนัน ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 และ ‫ݕ‬஺
= 256 (ปกติทําแบบนีไม่ได้นะ - -")
จาก ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 จะได้ ‫ݔ‬ = 2஺
ยกกําลัง ‫ܣ‬ ทังสองข้าง ได้ ‫ݔ‬஺
= 2஺మ
…(1)
จาก ‫ܣ‬ =
୪୭୥ ௬
୪୭୥ ௫
= log௫ ‫ݕ‬ ดังนัน ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬஺
แทนใน (1) ได้ ‫ݕ‬ = 2஺మ
ยกกําลัง ‫ܣ‬ อีก ได้ ‫ݕ‬஺
= 2஺య
แต่ ‫ݕ‬஺
= 256 ดังนัน 256 = 2஺య
ได้ ‫ܣ‬ଷ
= 8 ได้ ‫ܣ‬ = 2
แทน ‫ܣ‬ = 2 ใน ‫ݔ‬ − 2஺
= 0 และ ‫ݕ‬஺
= 256 ได้ ‫ݔ‬ = 4 , ‫ݕ‬ = 16 ดังนัน คําตอบ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ คือ 20
(แต่จริงๆ ข้อนีมีคําตอบอืนอีก เช่น ‫ݔ‬ = 78.46162 , ‫ݕ‬ = 78.46162)
28. 373
(1 + tanଶ
‫)ݔ‬ cot ‫ݔ‬ =
ୡ୭ୱ ௫
ୱ୧୬௫
+
ୱ୧୬௫
ୡ୭ୱ ௫
=
ଵ
ୱ୧୬ ௫ ୡ୭ୱ ௫
เอาสมการ sin ‫ݔ‬ + cos‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
มายกกําลังสองสองข้าง จะได้ 1 + 2 sin ‫ݔ‬ cos ‫ݔ‬ =
ଵ଺
ଽ
จะได้ ଵ
ୱ୧୬௫ ୡ୭ୱ ௫
=
ଵ଼
଻
จะได้ ܽଶ
+ ܾଶ
= 18ଶ
+ 7ଶ
= 373
29. 5
‫ܣ‬ :
(௫ିଵ)మ
(௫ିଵ)య = 3 → ‫ݔ‬ =
ସ
ଷ
, ‫ܤ‬ : ‫ݔ‬ + 1 = 4 + ‫ݔ‬ − 1 − 4√‫ݔ‬ − 1 → ‫ݔ‬ =
ହ
ସ
→ ตอบ 5

25. PAT 1 (มี.ค. 56) 25
30. 4
ให้ √‫ݔ‬ଶ − 4‫ݔ‬ − 1 = ݇ → 5ଵା௞
+ 5
రషೖమ
మశೖ = 126 → 5ଵା௞
+ 5ଶି௞
= 126 → คูณ 5௞
ตลอด
ได้ 5൫5ଶ௞
൯ − 126൫5௞
൯ + 25 = 0 → ൫5൫5௞
൯ − 1൯൫5௞
− 25൯ = 0 → ݇ = −1, 2 แต่ ݇ เป็นรูท ≥ 0
ได้ √‫ݔ‬ଶ − 4‫ݔ‬ − 1 = 2 → ‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ − 5 = 0 → ‫ݔ‬ = −1 , 5 → ตอบ 4
31. 162
ได้แกนเอก = 6√2 → ܽ = 3√2 → ผ่าน (4, 1) แสดงว่า ସమ
൫ଷ√ଶ൯
మ +
ଵ
௕మ = 1 → ܾ = 3
L ชัน ଵି଴
ସିସ.ହ
= −2 ผ่านจุด (4, 1) ได้ ‫ݕ‬ = −2‫ݔ‬ + 9 → 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 9 = 0 → ݀ =
|ଶ(଴)ା଴ିଽ|
√ଶమାଵమ
=
ଽ
√ହ
วงรี มี ܿ = ට൫3√2൯
ଶ
− 3ଶ = 3 → โฟกัส (3, 0), (−3, 0) → |AFଵ||AFଶ| = ൫√2൯൫√50൯ = 10
ได้ ݀ଶ|AFଵ||AFଶ| = ቀ
ଽ
√ହ
ቁ
ଶ
10 = 162
32. 2
ใส่ tan ตลอด ได้ tan ߠ =
√ೣశభ
భష√ೣ
ି √௫
ଵା൬
√ೣశభ
భష√ೣ
൰൫√௫൯
=
√ೣశభష√ೣశೣ
భష√ೣ
భష√ೣశೣశ√ೣ
భష√ೣ
=
ଵା௫
ଵା௫
= 1 และ cot ߠ =
ଵ
୲ୟ୬ ఏ
= 1
ดังนัน tan ߠ + cot ߠ = 1 + 1 = 2
33. 2
จะได้ −4‫ݔ‬ − 12 + 14 + 2‫ݔ‬ଶ
= 0 → ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ + 1 = 0 → ‫ݔ‬ = 1 → ‫ݕ‬ = 1
ดังนัน det(((‫ܣ‬௧)ିଵ)௧)ିଵ
= det ‫ܣ‬ = 1 + 1 = 2
34. 16
ดึง ‫ݎ‬ ออกจากตัวส่วน ได้ ௔భା௔య
௥(௔భା௔య)
+
௔యା௔ఱ
௥(௔యା௔ఱ)
+
௔ఱା௔ళ
௥(௔ఱା௔ల)
+ … +
௔మబభభା௔మబభయ
௥(௔మబభభା௔మబభయ)
= 2012
ฝังซ้ายได้ ଵ
௥
บวกกัน =
ଶ଴ଵଵିଵ
ଶ
+ 1 = 1006 ตัว → ‫ݎ‬ =
ଵ଴଴଺
ଶ଴ଵଶ
=
ଵ
ଶ
ให้ ‫ݔ‬ = 1 +
ହ
ଶ
+
ଵଶ
ଶమ +
ଶଶ
ଶయ + … (1) → หาร 2 จะได้ ௫
ଶ
=
ଵ
ଶ
+
ହ
ଶమ +
ଵଶ
ଶయ +
ଶଶ
ଶర + … (2)
(1) – (2) :
௫
ଶ
= 1 +
ସ
ଶ
+
଻
ଶమ +
ଵ଴
ଶయ + … (3) → หาร 2 จะได้ ௫
ସ
=
ଵ
ଶ
+
ସ
ଶమ +
଻
ଶయ +
ଵ଴
ଶర + … (4)
(3) – (4) :
௫
ସ
= 1 +
ଷ
ଶ
+
ଷ
ଶమ +
ଷ
ଶయ + … = 1 +
య
మ
ଵି
భ
మ
= 4 → ‫ݔ‬ = 16
35. 11
ቚ
(௭ାଵ)(ଵା୧)
௭(ଵା୧)ାହା୧
ቚ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
ఱశ౟
భశ౟
ቤ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
(ఱశ౟)(భష౟)
(భశ౟)(భష౟)
ቤ = ቤ
௭ାଵ
௭ା
లషర౟
మ
ቤ = ቚ
௭ାଵ
௭ାଷିଶ୧
ቚ =
ඥ(௔ାଵ)మା௕మ
ඥ(௔ାଷ)మା(௕ିଶ)మ
= 1
→ (ܽ + 1)ଶ
+ ܾଶ
= (ܽ + 3)ଶ
+ (ܾ − 2)ଶ
→ 2ܽ + 1 = 6ܽ + 9 − 4ܾ + 4 → ܾ = ܽ + 3
จาก |‫|ݖ‬ = √65 จะได้ ܽଶ
+ (ܽ + 3)ଶ
= 65 → ܽଶ
+ 3ܽ − 28 = 0 → (ܽ + 7)(ܽ − 4) = 0
‫ݖ‬ อยู่ Qଵ ได้ ܽ = 4, ܾ = 7 → ตอบ 4 + 7 = 11

26. 26 PAT 1 (มี.ค. 56)
36. 205
จะได้ ܽହ − ܽଵ = ܾହ − ܾଶ → 4݀௔ = 3݀௕ →
ௗ್
ௗೌ
=
ସ
ଷ
(௕లି௕ర)ା(௕లି௕భ)
௔రି௔మ
=
ଶௗ್ାହௗ್
ଶௗೌ
=
଻ௗ್
ଶௗೌ
=
଻
ଶ
∙
ସ
ଷ
=
ଵସ
ଷ
→ 14ଶ
+ 3ଶ
= 205
37. 3
จะได้ ܽ௡ =
௡(௡ାଵ)
ଶ
ดังนัน ௔೙
௔೙ିଵ
=
೙(೙శభ)
మ
೙(೙శభ)
మ
ି ଵ
=
೙(೙శభ)
మ
೙మశ೙షమ
మ
=
௡(௡ାଵ)
(௡ାଶ)(௡ିଵ)
ดังนัน ௔మ௔య௔ర…௔೙
(௔మିଵ)(௔యିଵ)(௔రିଵ)…(௔೙ିଵ)
=
௔మ
௔మିଵ
∙
௔య
௔యିଵ
∙
௔ర
௔రିଵ
∙ … ∙
௔೙
௔೙ିଵ
=
(ଶ)(ଷ)
(ସ)(ଵ)
∙
(ଷ)(ସ)
(ହ)(ଶ)
∙
(ସ)(ହ)
(଺)(ଷ)
∙
(ହ)(଺)
(଻)(ସ)
∙ … ∙
௡(௡ାଵ)
(௡ାଶ)(௡ିଵ)
จะตัดกันได้ เหลือ ଷ
ଵ
∙
௡
௡ାଶ
ดังนัน ลิมิตของลําดับ = 3
38. 24
ଶ௫ି଼
ଶ௫ି√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
∙
ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ
=
(ଶ௫ି଼)൫ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ൯
ସ௫మିସ௫మାଷ௫ିଵଶ
=
ଶ൫ଶ௫ା√ସ௫మିଷ௫ାଵଶ൯
ଷ
ดังนัน
ଶቀଶ(ସ)ାඥସ(ସ)మିଷ(ସ)ାଵଶቁ
ଷ
= ݇ ∙
ସ
ଷ
→ ݇ = 8 → ݂(8 + 1) =
଼(ଽ)
ଷ
= 24
39. 354
݂ᇱ(‫)ݔ‬ = ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܾ‫ݔ‬ , ݂ᇱᇱ(‫)ݔ‬ = 3ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ จาก ݂ᇱᇱ(0) = 6 จะได้ ܾ = 6
จาก ݂ᇱ(1) = 18 จะได้ ܽ + 6 = 18 → ܽ = 12 → ݂(‫)ݔ‬ = 3‫ݔ‬ସ
+ 3‫ݔ‬ଶ
+ ܿ
จาก ݂(2) = ݂(1) + ݂(0) จะได้ 48 + 12 + ܿ = 3 + 3 + ܿ + ܿ → ܿ = 54
݃ᇱ(‫)ݔ‬ = (‫ݔ‬ଷ
+ 2‫ݔ21()ݔ‬ଷ
+ 6‫)ݔ‬ + (3‫ݔ‬ଶ
+ 2)(3‫ݔ‬ସ
+ 3‫ݔ‬ଶ
+ 54)
จะได้ ݃ᇱ(−1) = (−1 − 2)(−12 − 6) + (3 + 2)(3 + 3 + 54) = 354
40. 168
จะได้ 5 – 2i เป็นคําตอบด้วย → ݂(‫)ݔ‬ = ݇(‫ݔ‬ + 1)൫‫ݔ‬ − (5 + 2i)൯൫‫ݔ‬ − (5 − 2i)൯
= ݇(‫ݔ‬ + 1)(‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 29) จาก ݂(0) = 58 จะได้ ݇(0 + 1)(0 − 0 + 29) = 58 → ݇ = 2
ดังนัน ݂(‫)ݔ‬ = 2(‫ݔ‬ + 1)(‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 29) = 2‫ݔ‬ଷ
− 18‫ݔ‬ଶ
+ 38‫ݔ‬ + 58
จะได้ ݂(−‫)ݔ‬ = −2‫ݔ‬ଷ
− 18‫ݔ‬ଶ
− 38‫ݔ‬ + 58 ดังนัน ݂(‫)ݔ‬ − ݂(−‫)ݔ‬ = 4‫ݔ‬ଷ
+ 76‫ݔ‬
อินทิเกรตได้ ‫ݔ‬ସ
+ 38‫ݔ‬ଶ
→ ตอบ ൫2ସ
+ 38(2ଶ)൯ − (0 + 0) = 168
41. 42
= แบบทังหมด – แบบที 1 ติดกัน – แบบที 3 ติดกัน + แบบที 1 ติดกันและ 3 ติดกัน
=
଺!
ଶ!ଶ!ଶ!
−
ହ!
ଶ!ଶ!
−
ହ!
ଶ!ଶ!
+
ସ!
ଶ!
= 90 – 30 – 30 + 12 = 42 แบบ
42. 5927
݀ มากสุด 99 → ܿ < 594 → ܿ มากสุด 593 → ܾ < 2965 → ܾ มากสุด 2964 → ܽ < 5928

27. PAT 1 (มี.ค. 56) 27
43. 396
100ܽ + 10ܾ + ܿ = 10ܽ + ܾ + 10ܾ + ܽ + 10ܽ + ܿ + 10ܿ + ܽ + 10ܾ + ܿ + 10ܿ + ܾ
78ܽ = 12ܾ + 21ܿ → 26ܽ = 4ܾ + 7ܿ ≤ 36 + 63 = 99 → ܽ ≤ 3
ܽ = 3 ได้ 4ܾ + 7ܿ = 78 ไล่แทน ܾ = 9 ลงมา จนกว่าจะเจอทีหารด้วย 7 ลงตัว ได้ ܾ = 9 , ܿ = 6
44. 135
= แบบทังหมด – แบบทีไม่มีคู่ไหนมาจากอําเภอเดียวกัน
= ൫଺
ଶ
൯൫଺
ଶ
൯ − ൫଺
ଶ
൯൫ସ
ଶ
൯ = 225 – 90 = 135
45. 200
หܾത − ܿ̅ห = ඥ4ଶ + (‫ݕ‬ − 1)ଶ = 5 → ‫ݕ‬ = 4, −2 และจาก ܽത ⊥ ܾത จะได้ 6‫ݔ‬ +
ଵଶ௬
ହ
= 0 → ‫ݔ‬ = −
଼
ହ
,
ସ
ହ
แต่ ܽത ∙ ܿ̅ > 0 จะได้ 2‫ݔ‬ +
ଵଶ
ହ
> 0 → ‫ݔ‬ > −
଺
ହ
→ เหลือ ‫ݔ‬ =
ସ
ହ
และ ‫ݕ‬ = −2
5ܽത + ܾത = (4ଓ̅ + 12ଔ̅) + (6ଓ̅ − 2ଔ̅) = 10ଓ̅ + 10ଔ̅ → |5ܽത + ܾതห
ଶ
= 10ଶ
+ 10ଶ
= 200
46. 20
จะได้พืนทีของนาย ก. คือ 0.5 – 0.0948 = 0.4052 → ‫ݖ‬ก = 1.31
จะได้พืนทีของนาย ข. คือ −(0.5 – 0.1064) = −0.3937 → ‫ݖ‬ข = −1.24
‫ݖ‬ก − ‫ݖ‬ข = 1.31 – (−1.24) = 2.55 =
௫กି௫ข
௦
=
ହଵ
௦
→ ‫ݏ‬ =
ହଵ
ଶ.ହହ
= 20
47. 12
ทํานาย ฟิสิกส์ (‫ݔ‬௜) จาก คณิตศาสตร์ (‫ݕ‬௜) ต้องใช้ ܺ෠ = ܽ + ܾܻ
จะได้ ∑‫ݔ‬௜ = 54 และ ∑‫ݕ‬௜ = 36 จะได้ระบบสมการคือ 54 = 6ܽ + 36ܾ และ 428 = 36ܽ + 268ܾ
ตัดเป็นอย่างตํา ได้ 9 = ܽ + 6ܾ และ 107 = 9ܽ + 67ܾ แทน ܽ จากสมการแรก ได้ 107 = 9(9 – 6ܾ) + 67ܾ
→ 26 = 13ܾ → ܾ = 2 , ܽ = −3 → ตอบ −3 + 2(7.5) = 12
48. 10
ค่อยๆหาไล่จาก ‫ݕ‬ น้อยๆ เริมจากกลุ่ม ‫ݕ‬ = 0 ใช้เงือนไขทีสอง
‫)0,0(ܨ‬ = 1 , ‫)0,1(ܨ‬ = 2 , ‫)0,2(ܨ‬ = 3 , ‫)0,3(ܨ‬ = 4 , ‫)0,4(ܨ‬ = 5
พวก ‫ݕ‬ = 1 : ‫)1,0(ܨ‬ = ‫)0,1(ܨ‬ = 2
‫)1,1(ܨ‬ = ‫,)1,0(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,2(ܨ‬ 0) = 3
‫)1,2(ܨ‬ = ‫,)1,1(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,3(ܨ‬ 0) = 4
‫)1,3(ܨ‬ = ‫,)1,2(ܨ(ܨ‬ 0) = ‫,4(ܨ‬ 0) = 5
พวก ‫ݕ‬ = 2 : ‫)2,0(ܨ‬ = ‫)1,1(ܨ‬ = 3
‫)2,1(ܨ‬ = ‫,)2,0(ܨ(ܨ‬ 1) = ‫)1,3(ܨ‬ = 5
ดังนัน ‫,1(ܨ‬ 2) + F(3, 1) = 5 + 5 = 10

28. 28 PAT 1 (มี.ค. 56)
49. 6
จาก (1) แทน ‫ݔ‬ = 1 จะได้ 1 ∗ ‫ݕ‬ = (1 ∗ 1)‫ݕ‬ = ‫ݕ‬ เปลียนชือ ‫ݕ‬ เป็น ‫ݔ‬ ได้ 1 ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬
แทน 1 ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬ ในข้อ (2) ได้เป็น ‫ݔ‬ ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬
แทน ‫ݔ‬ ∗ ‫ݔ‬ = ‫ݔ‬ ในข้อ (1) ได้เป็น ‫ݔ‬ ∗ (‫)ݕݔ‬ = ‫ݕݔ‬
ถ้าจะหา 5 ∗ 6 ก็แทน ‫ݔ‬ = 5 , ‫ݕ‬ =
଺
ହ
จะได้ 5 ∗ 6 = 5 ∗ ቀ5 ∙
଺
ହ
ቁ = 5 ∙
଺
ହ
= 6
จะเห็นว่า เครืองหมาย ∗ คือให้ตอบตัวหลังนันเอง ดังนัน 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) = 6
50. 4
จะได้ ݂൫݂(‫)ݔ‬൯ = 4 + ‫ݔ‬൫4 − ݂(‫)ݔ‬൯ …(1)
แทน ‫ݔ‬ ด้วย 0 จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 + 0൫4 − ݂(0)൯ = 4 …(2)
จาก (2) ใส่ ݂ ทังสองข้าง ได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = ݂(4) …(3)
แทน ‫ݔ‬ ใน (1) ด้วย ݂(0) จะได้ ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0) ቀ4 − ݂൫݂(0)൯ቁ …(4)
แต่จาก (2) จะได้ ݂൫݂(0)൯ = 4 ดังนัน ݂ ቀ݂൫݂(0)൯ቁ = 4 + ݂(0)(4 − 4) = 4 …(5)
จาก (3) และ (5) จะได้ ݂(4) = 4
เครดิต
ขอบคุณ คุณ สนธยา เสนามนตรี , คุณ ณัฐสรณ์ เส็งเฮ้า , คุณ Quest Internal , คุณ Ntt Dks และ อีกคนหนึงทีมา
โพสท์ข้อสอบบนวอลผม (เค้าบอกผมว่าถ้าผมโหลดเสร็จให้ลบทิง ผมจําชือเค้าไม่ได้ เพราะผมลบโพสเค้าไปแล้ว = ="
ขอโทษนะครับ _/_ ) ขอบคุณ คุณ Kue Kung สําหรับข้อสอบฉบับเต็ม
ขอบคุณ ท่านอาจารย์ Sila Sookrasamee และ คุณ Weetip Tanarat ทีช่วยตรวจคําตอบ ด้วยนะครับ