1. 1.2
NISBAH TRIGONOMETRI
TAJUK : Trigonometri
TUJUAN:
Kertas penerangan ini adalah bertujuan untuk mempelajari serta memahami takrifan – takrifan dan
nisbah-nisbah penting dalam trigonometri seperti sinus, kosinus, tangent, sekan, kosekan dan kotengen
serta menentukan nilai-nilainya serta menyelesaikan masalah sukuan – sukuannya.
PENERANGAN
PENGENALAN
Teorem Pythagoras merupakan satu kaedah yang digunakan bagi mengira panjang sisi – sisi bagi satu
segi tiga bersudut tepat atau tegak. Oleh yang demikian, konsep trigonemetri digunakan bagi menentukan
nisbah – nisbah sisi segi tiga bersudut tegak. Tiga nisbah trigonometri asas ialah sinus, kosinus dan
tangen dan tiga konsep inilah yang menjadi asas bagi mempelajari konsep-konsep lain dalam
trigonometri dengan lebih mudah.
1.2 NISBAH-NISBAH TRIGONOMETRI DAN TAKRIFANNYA.
Berpandukan gambarajah 1, merupakan sebuah segi tiga yang bersudut tegak ABC dan salah satu
sudutnya yang dilabelkan dengan ‘θ’, maka ‘a’ disebut sisi bersebelahan, ‘c’ disebut sisi bertentangan.
Manakala b pula adalah sisi yang bertentangan dengan sudut tegak disebut sebagai hipotenus.
Gambarajah 1.
89
θ
b
c
C
a
B
R
A
2. Gambarajah 2.
Berpandukan gambarajah 2 diatas, didapati bahawa ada 2 segitiga iaitu OAB dan OCD. Sudut θ adalah
seperti dalam gambarajah 2. Oleh itu dengan jelas kita dapat mentakrifkan nisbah – nisbah trigonometri
iaitu :-
i. Sin θ =
OA
AB
=
OC
CD
Cuba perhatikan nisbah di atas, kita dapati bahawa nisbah tersebut adalah sama bagi kedua – dua segi
tiga. Kita namakan nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus bagi satu segi tiga bersudut tegak sebagai
nisbah sinus atau juga disebut sin. Nisbah sinus bagi sesuatu sudut adalah sama tanpa mengira saiz
segi tiga bersudut tegak. Oleh itu Sin bagi sesuatu sudut adalah ditakrifkan sebagai:
Prinsip yang sama digunakan untuk mendapatkan nisbah jarak sisi bersebelahan dengan satu sudut θ
berbanding dengan hipotenus dalam satu segi tiga bersudut tegak. Nisbah ini disebut nisbah kosinus
atau kos.
ii. kos θ =
OA
OB
=
OC
OD
90
θ
B
D
O
R
A
C
Sin θ = sisi bertentangan = AB = CD
Hipotenus OA OC
kos θ = sisi bersebelahan = OB = OD
Hipotenus OA OC
3. Nisbah yang ketiga bagi konsep trigonometri ialah tangen (tan) dan tangen bagi sesuatu sudut
adalah nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan bagi satu segi tiga bersudut tegak atau tan
ditakrifkan sebagai:
Nisbah tangen juga boleh didapati dengan mengira nisbah sin berbanding dengan nisbah kos.
tan θ = sisi bertentangan
sisi bersebelahan
sisi bertentangan
= hipotenus
sisi bersebelahan
hipotenus
Oleh itu
Contoh 1.
Dengan berpandukan gambarajah diatas dapatkan sin, kos dan tan bagi θ sekiranya θ adalah
bersamaan dengan o
45
Penyelesaian contoh 1
i. Sin θ = sisi bertentangan
Hipotenus
Sin θ =
AB
AC
=
2
1
91
tan θ = sisi bertentangan
sisi bersebelahan
tan θ = θ
θ
kos
sin
θ
√2
1
C
1
B
R
A
5. i. kos θ = sisi bersebelahan
Hipotenus
kos θ =
AB
CB
=
2
1
ii. tan θ = sisi bersetentang
sisi bersebelahan
tan θ =
CB
AC
=
1
1
Contoh 2.
Dapatkan sin, kos dan tan bagi θ sekiranya θ adalah bersamaan dengan o
30
Penyelesaian contoh 2.
Dalam menyelesaikan masalah ini, gambarajah hendaklah dilakarkan terlebih dahulu.
i. Sin θ = sisi bertentangan
Hipotenus
Sin θ =
AB
AC
=
2
1
ii. kos θ = sisi bersebelahan
Hipotenus
kos θ =
AB
CB
=
1
2
93
30
2
1
C
√2
B
R
A
6. i. tan θ = sisi bersetentang
sisi bersebelahan
tan θ =
CB
AC
=
2
1
1.1 Nisbah trigonometri untuk Sukuan
1.1.1 Nisbah Trigonometri pada sukuan pertama (θ< 90°)
Gambarajah 3
Degan berpandukan gambarajah 3 diatas, θ adalah terletak di sukuan pertama, di mana 0o
<θ<90o
.
Dalam sukuan ini, kedua – dua nilai pada paksi x dan y adalah positif dan didapati:.
sin θ =
c
a
= + ve
kos θ =
c
b
= + ve
tan θ =
b
a
= + ve
Jadi semua nisbah adalah positif apabila θ terletak dalam sukuan pertama.
Code No. MK 2011-LE3-IS3a Muka : 6 drp : 16
94
7. 1.1.2 Nisbah Trigonometri pada sukuan kedua (90°<θ< 180°)
Gambarajah 4
Degan berpandukan gambarajah 4 diatas, θ adalah terletak di sukuan kedua, di mana 90o
<θ<180o
.
Dalam sukuan ini, nilai pada paksi x adalah negitif dan y adalah positif. Oleh kerana θ adalah sudut
cakah, kita perlu mencari sudut rujukan. Biarkan sudut rujukkan β = 180o
.- θ
Oleh itu,
sin θ =
c
a
= sin β
kos θ =
c
b−
= -kos β
tan θ =
b
a
−
= -tan β
Nisbah sinus adalah positif di sukuan kedua.
Contoh 3.
Cari nilai sin 140°.
Penyelesaian contoh 3:
sin 140° = sin (180° - 140°)
= sin 40°
= 0.6428
95
8. sin θ =
c
a−
= -sin β
∴ sin θ = - sin ( θ - 180°)
kos θ =
c
b−
= -kos β
∴ kosθ = - kos (θ - 180°)
tan θ =
b
a
−
−
= tan β
∴ tan θ = tan (θ - 180°)
Nisbah tangen adalah positif di sukuan ketiga.
Contoh 6:-
Cari nilai kos 250°
Penyelesaian contoh 6:
kos 250° = - kos ( 250° - 180°)
= - kos 70°
= -0.3420
Contoh 7.
Cari nilai sin 220°.
Penyelesaian contoh 7:
sin 220° = - sin ( 220° - 180°)
= - sin 40°
= - 0.6428
Contoh 8
Cari nilai tan 210°
Penyelesaian contoh 8:
tan 210° = tan (210° -180°)
= tan 30°
= 0.5774
Contoh 4
Cari nilai kos 102°
Penyelesaian contoh 4:
kos θ = - kos (180° - θ)
kos 102° = - kos (180° - 102°)
= - kos 78°
= - 0.2079
Contoh 5
Cari nilai tan 150°
Penyelesaian contoh 5:
tan θ = -
b
a
= - tan β = - tan (180° - θ)
∴ tan θ = - tan (180° - θ)
tan 150° = - tan (180° -150°)
= - tan 30°
= - 0.5774
1.1.2 Nisbah Trigonometri pada sukuan ketiga ( 180°<θ< 270°)
Degan berpandukan gambarajah 5 diatas, θ adalah terletak di sukuan ketiga, di mana 180o
<θ<270o
.
Dalam sukuan ini, kedua-dua nilai pada paksi x dan y adalah negitif. Oleh kerana θ adalah sudut
cakah, kita perlu mencari sudut rujukan dan katakan sudut rujukkan β = θ-180o
Sudut rujukan θ adalah β = θ - 180o
. Oleh itu,
96
s
0.6
cm
P
Q
O
0.4rad
10. 1.1.3 Nisbah Trigonometri pada sukuan keempat ( 270°<θ< 360°)
Gambarajah 6
Degan berpandukan gambarajah 6 diatas, θ adalah terletak di sukuan ketiga, di mana 270o
<θ<360o
.
Dalam sukuan ini, nilai pada paksi x adalah positif dan y adalah negitif. Oleh kerana θ adalah sudut
cakah, kita perlu mencari sudut rujukan dan katakan sudut rujukkan α = β = 360-θ
Sudut rujukan θ adalah β = 360o
- θ . Oleh itu,
sin θ =
c
a−
= -sin β
∴ Sin θ = - sin ( 360 - θ)°
kos θ =
c
b
= kos β
∴ kos θ = kos ( 360 - θ)°
tan θ =
b
a−
= -tan β
∴ tan θ = - tan (360 - θ)°
Nisbah kosinus adalah positif di sukuan keempat
Contoh 9
Cari nilai sin 285°
Penyelesaian contoh 9:
sin 285° = - sin (360° - 285°)
= - sin 75°
= -0.9659
98
11. Contoh 10.
Cari nilai kos 300
kos 300 =kos(360-300)
=kos 60
=0.5
CONTOH 11
Cari nilai tan 325
tan 325= -tan(360-325)
= -tan 35
= -0.7
Oleh itu rinigkasan tanda bagi sudut-sudut dalam keempat-empat sukuan adalah seperti berikut;
Sin(+)
Kos(-)
Tan(-)
Sin(+)
Kos(+)
Tan(+0
Tan(+)
Kos(-)
Sin(-)
Kos(+)
Tan(-)
Sin(-)
99
12. NISBAH SALINGAN
Daripada 3 nisbah trigonometri asas ini, kita akan mentakrifkan nisbah trigonometri yang lain iaitu sekan,
kosekan dan kotangen. Kita ringkaskan hubungan antara nisbah trigonometri ini seperti berikut :-
Kosekan θ =
θsinus
1
Sekan θ =
θkosinus
1
Kotangen θ = θtangen
1
Contoh 13:-
Cari panjang sisi AC dalam gambarajah dibawah.
Penyelesaian contoh 14:
sin 30° =
sendeng
setentang
=
AC
BC
=
AC
10
AC =
°30sin
10
= 10 kosek 30°
= 20 cm.
100
13. Contoh 14
Cari panjang sisi PR bagi gambarajah dibawah
Gambarajah 15
Penyelesaian contoh 14
kos 40° =
sendeng
anbersebelah
=
PR
PQ
=
PR
20
PR =
°40kos
20
= 20 sek 40°
= 26.1 cm.
Contoh 15
Dapatkan kosek A, Sek A dan Kot A bagi rajah segitiga berikut dan sisi segi tiga
adalah dalam cm.
101
a) b)
6
A
10
13
5
8
12
A
15. Contoh 16
Dengan menggunakan kalkulator nilaikan yang berikut :-
a) Sek 150o
b) Kosek 225o
c) Kot 300o
Penyelesaian contoh 16
a) Sek 150o
o
Kos 150
1
=
= -1.1547
b) Kosek 225o
o
Sin 225
1
=
= -1.4142
c) Kot 300o
o
Tan 300
1
=
= -0.5774
Soalan
1. Kirakan nilai-nilai berikut:
a. sin 30° e. kos 1000°
b. sin 170° f. tan 75°
c. sin (-70°) g. tan (-100°)
d. kos 100° h. tan 285°
2. Kirakan nilai-nilai berikut
a. kosek 30° e. - sek 300°
b. kosek 120° f. kot 60°
c. se 75° g. kot 600°
d. sek 310° h. - kot 130°
3. Tapak bagi satu segitiga kaki sama ialah 10 cm dan sisinya yang sama ialah 15 cm. Kira
a. Tinggi tegaknya, dan
b. Ketiga-tiga sudut segitiga itu.
103
16. 4. Kirakan panjang sisi-sisi yang bertanda x dalm rajah berikut:
a. c. x
x 30°
50°
6cm
4cm
b. x d. x
40° 35°
8cm
5 cm
5. ABCD ialah sebuah segiempat dengan ∠ ABD = ∠ BCD = 90°, ∠ BCD = 40°, AD = 10 cm.
Kirakan
a. Panjang BC, dan
b. ∠ ABD
RUJUKAN :
1. Ibrahim bin Samad, Matematik untuk Juruteknik Elektrik Jilid 1, DBP 1988.
2. Jasbir Kaur dan Sim I- Jee, Aset Peperiksaan Matematik, Longman 2000, ISBN 9837415622
3. Ang Siew Ling, Matematik Tambahan, Pan Asia Publication 1995, ISBN 9838142239
4. Nota Matematik Politeknik Malaysia.
5. Lim Swee Hock, Matematik SPM, Fajar Bakti Sdn. Bhd., 1999
6. Yoong Kwee Soon, Yang Chor Chaw, Khoo Choong Quan, Matematik SPM 4&5, Sasbadi Sdn. Bhd.,
2005
104
