ΠΛΗ 12 - Πρόσθεση πινάκων,βαθμωτός πολλαπλασιασμός,γινόμενο,ανάστροφος ενός πίνακα - Σημειώσεις - onlearn.gr

1. Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα Τ.Κ. 10681 Τηλ:2121069039 Φαξ:2110123481 email:info@onlearn.gr
www.onlearn.gr
1.1 Πρόσθεση πινάκων, βαθμωτός πολλαπλασιασμός, γινόμενο
πινάκων, ανάστροφος ενός πίνακα
Η έννοια του πίνακα. Ένας πίνακας Α με διαστάσεις mxn, δηλαδή με m γραμμές και n στήλες,
με στοιχεία πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς έχει τη μορφή:
11 1
1
n
m mn
 
 
 
  =  
  
και συμβολίζεται ως εξής: Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n.
Το στοιχείο αij βρίσκεται στην i-γραμμή και στην j-στήλη του πίνακα Α.
Μορφές πινάκων. Εκτός από τη γενική του μορφή του ένας πίνακας μπορεί να πάρει και τις
παρακάτω απλοποιημένες μορφές:
i) Πίνακας γραμμή. Είναι ο πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για
παράδειγμα ο  2 1 0 = − .
ii) Πίνακας στήλη. Είναι ο πίνακας που έχει μία μόνο στήλη. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για
παράδειγμα ο
3
0
4
2
 
 
  =
 
 
 
.
iii) Πίνακας στοιχείο. Είναι ο πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο. Ένας τέτοιος πίνακας είναι για
παράδειγμα ο Ζ=[5].
Ισότητα πινάκων. Δύο πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], όπου i=1,2,...,m και
j=1,2,...,n είναι ίσοι αν και μόνο αν έχουν τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή:
Α=Β  αij= βij για κάθε i=1,2,...,m και j=1,2,...,n.
Πρόσθεση πινάκων. Έστω ότι έχουμε δύο πίνακες Α,Β ιδίων διαστάσεων mxn. Τότε ορίζουμε
το άθροισμά τους ως εξής: Α+Β=Γ. Ο πίνακας Γ έχει τις ίδιες διαστάσεις των πινάκων Α,Β
δηλαδή mxn και το κάθε στοιχείο του υπολογίζεται ως εξής: γij=αij+βij, δηλαδή για να βρούμε
ένα οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Γ προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία των πινάκων Α,Β.
Πίνακες διαφορετικών διαστάσεων δε μπορούν να προστεθούν.

2. Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα Τ.Κ. 10681 Τηλ:2121069039 Φαξ:2110123481 email:info@onlearn.gr
www.onlearn.gr
Παράδειγμα. Να προσθέσετε τους παρακάτω πίνακες:
2 1 3
4 2 1
 
 =  − − 
,
0 6 2
2 3 4
 
 =  − 
.
Λύση. Έχουμε:
2 1 3
4 2 1
 
 − − 
+
0 6 2
2 3 4
 
 − 
=
2 0 1 6 3 2
4 2 2 3 1 4
+ + + 
 + − − − + 
=
2 7 5
6 5 3
 
 − 
Ιδιότητες της πρόσθεσης πινάκων. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij],
Γ=[γij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
i) Αντιμεταθετική Ιδιότητα. Α+Β=Β+Α
ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα. (Α+Β)+Γ=Α+(Β+Γ)
iii) Ουδέτερο Στοιχείο. Α+0=0+Α=Α, όπου 0 είναι ο μηδενικός πίνακας, δηλαδή ο πίνακας του
οποίου όλα τα στοιχεία είναι 0.
iv) Αντίθετος. Α+(-Α)=(-Α)+Α=0, όπου ο -Α είναι ο αντίθετος πίνακας του Α, δηλαδή ο
πίνακας της μορφής: -Α==[-αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n.
Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός. Είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού έστω λ με έναν πίνακα
έστω Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Άρα έχουμε: λΑ=[λαij], όπου i=1,2,...,m και
j=1,2,...,n.
Παράδειγμα. Έστω ο πίνακας
2 6 0
1 3 4
 
 =  − − 
. Να υπολογίσετε το γινόμενο -3Α.
Λύση. Έχουμε: ( )
2 6 0 6 18 0
3
1 3 4 3 9 12
− −   
− =   − − −   
Ιδιότητες του βαθμωτού πολλαπλασιασμού. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij],
Β=[βij], Γ=[γij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n και για κάθε αριθμούς λ,μ ισχύουν οι παρακάτω
ιδιότητες:
i) (λ+μ)Α=λΑ+μΑ
ii) λ(Α+Β)=λΑ+λΒ
iii) λ(μΑ)=(λμ)Α
iv) 1Α=Α

3. Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα Τ.Κ. 10681 Τηλ:2121069039 Φαξ:2110123481 email:info@onlearn.gr
www.onlearn.gr
v) λ0=0, όπου 0 είναι ο μηδενικός πίνακας
vi) 0Α=0
vii) Αν λΑ=0λ=0 ή Α=0
viii) (-λ)Α=λ(-Α)=-λΑ
Διαφορά πινάκων. Έστω δύο πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], όπου i=1,2,...,m
και j=1,2,...,n. Η διαφορά τους ορίζεται ως εξής: Α-Β=Α+(-Β)
Πορίσματα. Για κάθε πίνακες ιδίων διαστάσεων mxn Α=[αij], Β=[βij], Γ=[γij], Χ=[χij], όπου
i=1,2,...,m και j=1,2,...,n ισχύουν τα παρακάτω πορίσματα:
i) Α+Β=Α+Γ  Β=Γ
ii) Χ+Β=Α  Χ=Β-Α
Γινόμενο πινάκων. Έστω ο πίνακας Α με διαστάσεις rxm και ο πίνακας Β με διαστάσεις kxn.
Για να μπορέσει να γίνει ο πολλαπλασιασμός των πινάκων Α∙Β θα πρέπει το πλήθος των στηλών
του πρώτου πίνακα, δηλαδή του πίνακα Α να ισούται με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου
πίνακα, δηλαδή του πίνακα Β. Θα πρέπει δηλαδή να ισχύει: m=k. Σε αυτήν την περίπτωση το
γινόμενο Α∙Β είναι ένας νέος πίνακας Γ με διαστάσεις rxn. Κάθε στοιχείο γij του πίνακα Γ
ισούται με το εσωτερικό γινόμενο της αντίστοιχης i-γραμμής του πίνακα Α επί την αντίστοιχη j-
στήλη του πίνακα Β.
Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο των παρακάτω πινάκων:
2 1
3 0
 
 =  
 
,
1 4 3
1 2 0
 
 =  − 
.
Λύση. Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α είναι 2x2, ενώ ο πίνακας Β είναι 2x3. Άρα λοιπόν ο
πολλαπλασιασμός των Α και Β μπορεί να γίνει και θα προκύψει μάλιστα ένας Γ 2x3 ο οποίος θα
έχει τη μορφή:
11 12 13
21 22 23
  
  
 
 =  
 

4. Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα Τ.Κ. 10681 Τηλ:2121069039 Φαξ:2110123481 email:info@onlearn.gr
www.onlearn.gr
Έχουμε: 11 2 1 1 ( 1) 1 =  +  − = , 12 2 4 1 2 10 =  +  = , 13 2 3 1 0 6 =  +  =
21 3 1 0 ( 1) 3 =  +  − = , 22 3 4 0 2 12 =  +  = , 23 3 3 0 0 9 =  +  =
Άρα:
2 1 1 4 3 1 10 6
3 0 1 2 0 3 12 9
     
 =     −     
Παρατηρούμε ότι ο πολλαπλασιασμός Β∙Α εδώ δε μπορεί να γίνει γιατί ο πίνακας είναι 2x3, ενώ
ο πίνακας Α είναι 2x2.
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι στον πολλαπλασιασμό δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα,
δηλαδή ΑΒ≠ΒΑ.
Ιδιότητες γινομένου πινάκων. Με την προϋπόθεση ότι τα αθροίσματα και τα γινόμενα που
ακολουθούν ορίζονται, τότε για τους πίνακες Α,Β,Γ και για τον αριθμό λ ισχύουν οι παρακάτω
ιδιότητες:
i) Προσεταιριστική Ιδιότητα. (ΑΒ)Γ=Α(ΒΓ)
ii) Επιμεριστική Ιδιότητα Από Αριστερά Ως Προς Την Πρόσθεση. Α(Β+Γ)=ΑΒ+ΑΓ
iii) Επιμεριστική Ιδιότητα Από Δεξιά Ως Προς Την Πρόσθεση. (Β+Γ)Α=ΒΑ+ΓΑ
iv) (λΑ)Β=Α(λΒ)=λ(ΑΒ)
Παρατήρηση. Έστω ότι για δύο πίνακες Α,Β ισχύει η σχέση Α=Β. Τότε μπορούμε να
πολλαπλασιάσουμε αυτή τη σχέση είτε από δεξιά είτε από δεξιά, οπότε σε θα έχουμε αντίστοιχα:
ΓΑ=ΓΒ πολλαπλασιάζοντας από αριστερά και ΑΓ=ΑΒ πολλαπλασιάζοντας από δεξιά.
Προσοχή. Δε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε το ένα μέλος από τα αριστερά και το άλλο από
τα δεξιά γιατί ΑΓ≠ΓΒ.
Ανάστροφος ενός πίνακα. Έστω ένας πίνακας mxn Α=[αij], όπου i=1,2,...,m και j=1,2,...,n. Ο
ανάστροφός του είναι ένας πίνακας nxm που συμβολίζεται ΑΤ
και ορίζεται ως εξής: ΑΤ
=[αji],
όπου j=1,2,...,n και i=1,2,...,m, είναι ο πίνακας δηλαδή που προκύπτει από τον πίνακα Α όταν οι
γραμμές του γίνουν στήλες και οι στήλες του γραμμές με την ίδια ακολουθία.
Παράδειγμα. Να βρείτε τον ανάστροφο του πίνακα
2 3
.1 0
0 1
 
  = − 
  

5. Eμμανουήλ Μπενάκη 76, Αθήνα Τ.Κ. 10681 Τηλ:2121069039 Φαξ:2110123481 email:info@onlearn.gr
www.onlearn.gr
Λύση. Έχουμε:
2 1 0
3 0 1
 − 
 =  
 
Ιδιότητες της αναστροφής ως προς τις πράξεις των πινάκων. Για τους πίνακες Α,Β και για
τον αριθμό λ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
i) (ΑΤ
)Τ
=Α
ii) (Α+Β)Τ
=ΑΤ
+ΒΤ
iii) (λΑ)Τ
=λΑΤ
iv) (ΑΒ)Τ
= ΒΤ
ΑΤ
Γενικά για k-προσθετέους ή k-παράγοντες ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, εφόσον οι πίνακες
είναι κατάλληλου τύπου ώστε να ορίζονται οι πράξεις:
• (Α1+Α2+...+Αk)Τ
=Α1
Τ
+Α2
Τ
+...+Αk
Τ
• (Α1Α2...Αk)Τ
= Αk
Τ
...Α2
Τ
Α1
Τ