Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ • Θεωρία • Άλυτες Ασκήσεις • Θέματα εξετάσεων
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου           Γενικό Λύκειο Νεστορίου    1Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γνωρίζου...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου               Γενικό Λύκειο Νεστορίου   2   Κάθε μιγαδικός αριθμός z=α+βi είναι άθροισμ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                      Γενικό Λύκειο Νεστορίου      3ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ    Κά...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                       Γενικό Λύκειο Νεστορίου                   4Γραφική παράσταση πρόσθ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Γενικό Λύκειο Νεστορίου             5       α + β i (α + β...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                Γενικό Λύκειο Νεστορίου           6                      ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                           Γενικό Λύκειο Νεστορίου   7    Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αρ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου              Γενικό Λύκειο Νεστορίου    8Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                             Γενικό Λύκειο Νεστορίου                9ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Γενικό Λύκειο Νεστορίου 10     και, επειδή η τελευταία ισό...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                         Γενικό Λύκειο Νεστορίου 11ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ   ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου         Γενικό Λύκειο Νεστορίου 12   |z-z 0 |=ρ , ρ>0    Ο γεωμετρικός τόπος είναι    κ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου        Γενικό Λύκειο Νεστορίου 13   |z-z 1 |=|z-z 2 |    Ο γεωμετρικός τόπος είναι η με...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου              Γενικό Λύκειο Νεστορίου 14ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΟΥ |z| ΚΑΙ ΤΟΥ |z 1 –z 2 | ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                     Γενικό Λύκειο Νεστορίου 15 Αν οι εικόνες των μιγαδικών z 1 και z 2 ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                              Γενικό Λύκειο Νεστορίου 16  Β. ΜΕΡΟΣ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ  Α. ΟΜΑΔΑ : ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                                                            Γενικό Λύκειο Νεστορίου 17   ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                               Γενικό Λύκειο Νεστορίου 18     ζ) (α + α i )ά + (α − α i )...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                          Γενικό Λύκειο Νεστορίου 19  ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ –z∈ℜ, z∈I20) ✍ Να...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Γενικό Λύκειο Νεστορίου 2027) ✍ Να βρείτε τους πραγματικούς α...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου         Γενικό Λύκειο Νεστορίου 21  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ  ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΣΥ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου             Γενικό Λύκειο Νεστορίου 22  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ  ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Γενικό Λύκειο Νεστορίου 23     ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ Ο...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                            Γενικό Λύκειο Νεστορίου 24       αριθμός.       β) Ο αριθμός ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                       Γενικό Λύκειο Νεστορίου 25                                        ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                    Γενικό Λύκειο Νεστορίου 26  ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ: (Χωρίς μέτρο )95) ✍ Να...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου              Γενικό Λύκειο Νεστορίου 27                                                 ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                 Γενικό Λύκειο Νεστορίου 28114) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημεί...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                             Γενικό Λύκειο Νεστορίου 29  Β. ΟΜΑΔΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ  ΝΑ Β...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου                Γενικό Λύκειο Νεστορίου 30  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΕ ΜΕΤΡΟ125) ✍ Να ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου               Γενικό Λύκειο Νεστορίου 31  ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (να βρεθεί και γραφική παράσ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου              Γενικό Λύκειο Νεστορίου 32     ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (Ευθεία –Κύκλος)147) ✍ Έστ...
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου               Γενικό Λύκειο Νεστορίου 33155) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ...
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Migadfikoi arithmoi karaferis
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Migadfikoi arithmoi karaferis

787 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Migadfikoi arithmoi karaferis

  1. 1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ • Θεωρία • Άλυτες Ασκήσεις • Θέματα εξετάσεων
  2. 2. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 1Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γνωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρνητικήδιακρίνουσα δεν έχει λύση στο σύνολο ℜ των πραγματικώναριθμών. Ειδικότερα η εξίσωση x 2 = −1 δεν έχει λύση στο σύνολοℜ των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθεπραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Για ναξεπεράσουμε την “αδυναμία” αυτή, διευρύνουμε το σύνολο ℜ σεένα σύνολο C, το οποίο να έχει τις ίδιες πράξεις με το ℜ , τις ίδιεςιδιότητες των πράξεων αυτών και στο οποίο να υπάρχει μίατουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x 2 = −1 , δηλαδή ένα στοιχείο i ,τέτοιο, ώστε i 2 = −1 . Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές τοδιευρυμένο σύνολο C θα έχει ως στοιχεία:• Όλους τους πραγματικούς αριθμούς• Όλα τα στοιχεία της μορφής β i , που είναι γινόμενα τωνστοιχείων του ℜ με το i , δηλαδή τους φανταστικούς αριθμούς , τοσύνολο των οποίων θα συμβολίζουμε με Ι, δηλ. Ι={βi/β∈ℜ}, και• Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + β i , με α και β ,πραγματικούς αριθμούς.Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολοτων μιγαδικών αριθμών. Επομένως: Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου ℜ των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: • Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο ℜ , με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, 2 • Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i = −1 , • Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z α + β i , όπου α , β ∈ ℜ . =ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ  Κάθε αριθμός της μορφής α + β i,α , β ∈ℜ λέγεται μιγαδικός αριθμός.  Η μορφή α+βi ενός μιγαδικού αριθμού z λέγεται κανονική μορφή του z.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  3. 3. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 2  Κάθε μιγαδικός αριθμός z=α+βi είναι άθροισμα δυο αριθμόν του πραγματικού α και του φανταστικού βi.  Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re( z ) , ενώ ο β (και όχι ο βi) λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im( z ) .  Κάθε πραγματικός αριθμός α γράφεται σε κανονική μορφή ως α+0i.  Κάθε φανταστικός αριθμός βi γράφεται σε κανονική μορφή ως 0+βi.  Ένας μιγαδικός αριθμός z=α+βi, με α,β≠0 λέγεται καθαρά μιγαδικός αριθμός.  Ο αριθμός 0 είναι και φανταστικός αφού 0=0i αλλά και μιγαδικός με κανονική μορφή 0+0i.  Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z=α+βi, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.  Ένας μιγαδικός αριθμός z ∈ℜ⇔ Im(z)=0  Ένας μιγαδικός αριθμός z ∈ I⇔ Re(z)=0 Προσοχή!!!! Οι δύο παραπάνω ισοδυναμίες είναι πάρα πολύ χρήσιμες για τις ασκήσεις!!!!ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ  Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α+βi, δύο μιγαδικοί αριθμοί α + β i και γ + δ i είναι ίσοι, αν και μόνο αν α = γ και β = δ . Δηλαδή ισχύει: α + β i =γ + δ i ⇔ α = γ και β = δ .  Επομένως, επειδή 0= 0 + 0i , έχουμε α + β i = ⇔ α = 0 και β = 0 . 0  Στην επέκταση, όμως, από το ℜ στο C ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο ℜ εξακολουθούν να ισχύουν και στο C , εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέρονται.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  4. 4. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 3ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ  Κάθε μιγαδικό αριθμό z= α + β i μπορούμε να y τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M (α , β ) 1 ενός καρτεσιανού επιπέδου. M(α,β) ή Μ(z)  Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο M (α , β ) β του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + β i . Ο  Το σημείο M (α , β ) λέγεται εικόνα του a x μιγαδικού z= α + β i , και το συμβολίζουμε με M ( z) .  Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο.  Ο άξονας x′x λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (α ,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α= α + 0i .  Ο άξονας y′y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (0, β ) που είναι εικόνες των φανταστικών β i= 0 + β i .  Ένας μιγαδικός z α + β i παριστάνεται επίσης και με τη =  διανυσματική ακτίνα, OM , του σημείου M (α , β ) .ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,⋅,÷) Σύμφωνα με τον ορισμό του C η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμόςδύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχεςπράξεις με διώνυμα α + β x στο ℜόπου βέβαια αντί για x έχουμε i .Έτσι:  Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α + β i και γ + δ i έχουμε: (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i .  Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δ i από τον α + β i , επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ + δ i είναι ο μιγαδικός −γ − δ i , έχουμε: (α + β i ) − (γ + δ i ) = (α + β i ) + (−γ − δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i . Δηλαδή: (α + β i ) − (γ + δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i . Δηλαδή: z+w=Re(z+w)+Im(z+w)i με: Re(z+w)=Re(z)+Re(w) και : Im(z+w)=Im(z)+Im(w) Και: z-w=Re(z-w)+Im(z-w)i με: Re(z-w)=Re(z)-Re(w) και : Im(z-w)=Im(z)-Im(w)Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  5. 5. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 4Γραφική παράσταση πρόσθεσης:Αν M 1 (α , β ) και M 2 (γ , δ ) είναι οι εικόνες των y 2α + β i και γ + δ i αντιστοίχως στο μιγαδικό M(α+ γ, β+ δ) M2(γ,δ)επίπεδο, τότε το άθροισμα(α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i M1(α,β)παριστάνεται με το σημείο M (α + γ , β + δ ) .      Ο xΕπομένως, OM OM 1 + OM 2 , δηλαδή: =“Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + β iκαι γ + δ i είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”. y Μ2(γ,δ) 3Γραφική παράσταση διαφοράς:Επίσης, η διαφορά(α + β i ) − (γ + δ i ) = (α − γ ) + ( β − δ )i Μ1(α,β)παριστάνεται με το σημείο N (α − γ , β − δ ) . Ο x    Επομένως, = OM 1 − OM 2 , δηλαδή: ON Ν( α−γ, β−δ ) Μ3(−γ, −δ )“Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς τωνμιγαδικών α + β i και γ + δ i είναι η διαφορά των διανυσματικώνακτίνων τους”.  Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α + β i και γ + δ i έχουμε: (α + β i )(γ + δ i ) = α (γ + δ i ) + β i (γ + δ i ) = αγ + αδ i + βγ i + ( β i )(δ i ) = =αγ + αδ i + βγ i + βδ i 2 =αγ + αδ i + βγ i − βδ =(αγ − βδ ) + (αδ + βγ )i Δηλαδή: (α + β i )(γ + δ i ) = (αγ − βδ ) + (αδ + βγ )i .  Ειδικότερα, έχουμε: (α + β i )(α − β i ) =α 2 + β 2 . Ο αριθμός α − β i λέγεται συζυγής του α + β i και συμβολίζεται με α + βi . Δηλαδή: α + β i = − β i . α Επειδή είναι και α − β i =α + β i , οι α + β i , α − β i λέγονται συζυγείς μιγαδικοί. α + βi  Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο , όπου γ + δ i ≠ 0 , γ + δi στη μορφή κ + λi , πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε:Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  6. 6. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 5 α + β i (α + β i )(γ − δ i ) (αγ + βδ ) + ( βγ − αδ )i αγ + βδ βγ − αδ = = = + i γ + δ i (γ + δ i )(γ − δ i ) γ 2 +δ2 γ 2 +δ2 γ 2 +δ2 α + β i αγ + βδ βγ − αδ Δηλαδή, = + i. γ +δi γ 2 +δ 2 γ 2 +δ 2ΔΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται όπωςακριβώς οι δυνάμεις των πραγματικών.Δηλαδή:  z 0 1, µε z ≠ 0 =  z1 = z  z 2= z ⋅ z ,  zν =z z z ⋅ ⋅  ...... ν −φορ ές 1  z −ν = ν , όπου ν Ν* ,z≠0. zΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Παρότι οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη στους μιγαδικούς αριθμούςορίζονται όπως ακριβώς ορίζονται και στους πραγματικούς , ηαλήθεια είναι ότι με την κανονική μορφή ενός μιγαδικού πολύ λίγεςπεριπτώσεις μιγαδικών υψωμένων σε δύναμη μπορούμε ναυπολογίσουμε (χρειάζεται να ξέρουμε την τριγωνομετρική μορφήμιγαδικού που όμως είναι εκτός ύλης για τις εξετάσεις). Για τον λόγο που αναφέραμε παραπάνω θα δώσουμε θεωρητικάμερικές περιπτώσεις μιγαδικών που μπορούμε να βρούμε τη δύναμήτους.  Για τις δυνάμεις του i έχουμε: i 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = −1 , i 3 = i 2i = −i . Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: i 4 = i 2i 2 = 1, i 5 = i 4i = 1 ⋅ i = i, i 6 = i 4i 2 = 1 ⋅ i 2 = −1, i 7 = i 4i 3 = 1 ⋅ i 3 = −i δηλαδή, μετά το i 4 οι τιμές του iν επαναλαμβάνονται. Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i , γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή = 4 ρ + υ , όπου ρ το ν πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε:Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  7. 7. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 6  1 αν, 0υ =  iυ ,αν 1=  iν= i 4 ρ +υ i 4 ρ iυ (i 4 ) ρ iυ 1ρ iυ iυ  = = = = =  -1 αν , υ 2 =  −i ,αν υ3=  Για κάθε φανταστικό αριθμό z=βi μπορούμε να βρούμε οποιαδήποτε δύναμή του αφού ( β ⋅ i ) = β κ ⋅ iκ . κ  Για τις δυνάμεις z 2 , z 3 , z 4 , z 6 ,μπορούμε να τις υπολογίσουμε (θεωρητικά εύκολα αλλά πρακτικά με πολλές πράξεις) για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες : ( x ± y ) =x 2 ± 2 xy + y 2 , ( x ± y ) =x3 ± 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 , και την 2 3 παρατήρηση ότι : x 4 = ( x 2 ) και x 6 = ( x 2 ) . 2 3  Μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις μιγαδικών που είναι υψωμένοι σε άρτιο εκθέτη και ισχύει Re(z)=±Im(z). Για παράδειγμα : (α + α i ) 2ν αφού (α + α i ) = (α + α i ) 2ν ( )= 2 ν ( α 2 + 2α ⋅ α i + (α i ) ) = (α 2 ν 2 + 2α 2i − α 2 ) = ( 2α 2i ) = ( 2α 2 ) ⋅ iν . ν ν ν ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΕπειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενεςπαραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικώναριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς.ΟΡΙΣΜΟΣΓια έναν μιγαδικό αριθμό z=α+βi ορίζουμε ως συζυγή του αριθμούz τον μιγαδικό z= α − β i .ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ y  Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M (α , β ) και 4 M(z) M ′(α , − β ) δύο συζυγών μιγαδικών z α + β i = και z= α − β i είναι σημεία συμμετρικά ως Ο προς τον πραγματικό άξονα. x M ′(z )  Ισχύει: ( z ) = z (αφού (α − β i ) = + β i με εφαρμογή του α ορισμού)Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  8. 8. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 7  Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z α + β i και = 2α z= α − β i ισχύει : z + z = 2β z− z = i. Συνήθως στις ασκήσεις οι δυο πιο πάνω ιδιότητες θα χρησιμοποιούνται με τη μορφή: z + z =Re ( z ) , z − z 2 Im ( z ) ⋅ i , 2 = και πιο σπάνια στη μορφή z+z z−z Re ( z ) = , Im ( z ) = 2 2⋅i  Αν z1= α + β i και z2= γ + δ i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: 1. z1 + z2 = z1 + z2 2. z1 − z2 = z1 − z2 3. z1 ⋅ z2 =z1 ⋅ z2  z1  z1 4.  = .  z2  z2 Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων. Για παράδειγμα έχουμε: Απόδειξη της 1: z1 + z2 = (α + β i ) + (γ + δ i ) = (α + γ ) + ( β + δ )i = (α + γ ) − ( β + δ )i = (α − β i ) + (γ − δ i ) = z1 + z2 . 5. z1 + z2 +  + zν = z1 + z2 +  + zν (Γενίκευση της 1) 6. z1 ⋅ z2 ⋅ ... ⋅ zν = z1 ⋅ z2 ⋅ ...⋅ zν . (Γενίκευση της 3) 7. ( zν ) = ( z )ν (αν είναι z1 z2 ... zν= z , και εφαρμόσουμε = = = την ιδιότητα 6)ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: α z 2 + β z + γ =με α,β,γ∈ℜ , α≠0. 0Επειδή i 2 = −1 και (−i ) 2 == ,εύκολα, μπορούμε να i 2 −1διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού μεπραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C.Πράγματι, έστω η εξίσωση α z 2 + β z + γ =, με α , β , γ ∈ℜ και α ≠ 0 . 0Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  9. 9. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 8Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο ℜ και τημετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη β  ∆ 2 μορφή:  z +  =όπου ∆ β − 4αγ η διακρίνουσα της , = 2  2α  4α 2εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: • ∆ > 0 . Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: −β ± ∆ z1,2 = 2α −β • ∆ =0 . Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z = 2α 2 ∆ (−1)(−∆) i 2 ( −∆ ) 2  i −∆ • ∆ < 0 . Tότε, επειδή = = =   , 4α 2 4α 2 (2α ) 2  2α  2 β   i −∆  2  η εξίσωση γράφεται:  z +  =  .   2α   2α  − β ± i −∆ Άρα οι λύσεις της είναι: z1,2 = , οι οποίες είναι 2ασυζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ  Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: −β γz1 + z2 = και z1 ⋅ z2 = Τύποι του Vieta. α α Χρησιμοποιούνται συνήθως όταν σε μια 2ου βαθμού εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές ξέρουμε μια μιγαδική λύση και έχουμε άγνωστο συντελεστή στην εξίσωση!  Προσοχή!!!! Αν σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχουμε μιγαδικούς συντελεστές (έστω κι έναν) ή το συζυγή του άγνωστου μιγαδικού δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ούτε τη διακρίνουσα ούτε τους τύπους του Vieta. Τότε καταφεύγουμε στην παλιά καλή συνταγή της αντικατάστασης του άγνωστου μιγαδικού με x+yi.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  10. 10. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 9ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ y 5Έστω M ( x, y ) η εικόνα του μιγαδικού z= x + yiστο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z β M(x,y)την απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδή |z|   = | OM | |z| = x2 + y 2 Ο a xΌταν ο μιγαδικός z είναι της πραγματικός,δηλαδή της μορφής z = x + 0i = x ∈ℜ , τότε | z |= x 2 + 02 = | x | , πουείναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x.Αν z= x + yi , τότε z= x − yi , − z = x − yi και − z = x + yi , και άρα − −z =− z =z =− z , και z = x 2 + y 2 επίσης z ⋅ z = x 2 + y 2 άρα z = zz . 2 2ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ  Δύο προφανείς ιδιότητες από τα παραπάνω είναι: • | z | = z | =− z |=− z | | | | • | z |= z ⋅ z 2 Δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες για τις ασκήσεις παρακάτω, ειδικά για δύσκολα θέματα!!!!!  Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών. Αν z1 , z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε • | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 | z1 z1 • = z2 z2 Απόδειξη: Πράγματι, έχουμε: | z1 ⋅ z2 | = | z1 | ⋅ | z2 | ⇔ | z1 ⋅ z2 |2 = | z1 |2 ⋅ | z2 |2 ⇔ ( z1 ⋅ z2 )( z1 ⋅ z2 ) = z1 ⋅ z1 ⋅ z2 ⋅ z2 ⇔ z1 ⋅ z2 ⋅ z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z1 ⋅ z2 ⋅ z2Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  11. 11. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 10 και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική. Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα. Γενικά, αποδεικνύεται ότι : • z1 z2 ...zν = z1 z2 ... zν και ν ν • z = z  Από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και y M(z1+z2) 6 από τη γεωμετρική ερμηνεία του M2(z2) αθροίσματος z1 + z2 και της διαφοράς z1 − z2 δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: M1(z1) | | z1 | − | z2 || ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | Ο x αλλά και ότι | | z1 | − | z2 || ≤ | z1 − z2 | ≤ | z1 | + | z2 | N(z1 −z2 ) M3(−z2)  Επίσης, είναι  φανερό ότι το μέτρο του διανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος   M 2 M 1 . Επομένως: “Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους”. Δηλαδή: ( M 1M 2= | z1 − z2 | ) y 7 ρ,  Η εξίσωση z − z0 = με ρ>0 και z= x0 + y0i 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Κ ( z0 ) K(x0,y0) και ακτίνα ρ.  Ειδικά η εξίσωση z = ρ , με ρ>0 παριστάνει Ο x κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ρ. y  Η εξίσωση z − z1 = z − z2 , όπου z= x1 + y1i , 8 1 B(x2,y2) z= x2 + y2i , παριστάνει τη μεσοκάθετο του 2 τμήματος με άκρα τα σημεία Α ( z1 ) και Β ( z2 ) . A(x1,y1) Ο xΚαραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  12. 12. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 11ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ  z ∈ℜ ⇔ Im ( z ) = 0 , z ∈ I ⇔ Re ( z ) =0 Απόδειξη: z= z ⇔ α + β i= α − β i ⇔ 2β i= 0 ⇔ β = 0 ⇔ z ∈ℜ  z ∈ℜ ⇔ z = z , z ∈ I ⇔ z = z − Απόδειξη: z = ⇔ α + β i = + β i ⇔ 2a = a = z ∈ Ι −z −α 0⇔ 0⇔ (τις δυο παραπάνω σχέσεις όταν τις χρησιμοποιούμε πρέπει να αποδεικνύονται) ρ2  z = ρ > 0 ⇔ zz = ρ 2 ⇔ z = z  Αν z 1 , z 2 ∈C και ισχύει f ( z1 , z2 ) =( z1 , z2 ) = 0⇔ f 0,  Αν z 1 , z 2 ∈C και ισχύει f ( z1 , z2 ) = f ( z1 , z2 ) f ( z ) =g ( z ) ⇔ f ( z ) =g ( z ) ⇔ f ( z ) f ( z ) = ( z ) g ( z ) 2 2  g  z = z0 ⇔ z = z0 ⇔ z = v v v z0ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Γενικά όταν θέλουμε να βρούμε έναν γεωμετρικό τόπο ενός μιγαδικού z,τότε θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε μέσα από την σχέση που μαςδίνουν να βρούμε την σχέση που συνδέει τα x,y. Όμως υπάρχουν και μερικές σχέσεις οι όποιες μας φανερώνουν αμέσωςτον γεωμετρικό τόπο.Αυτές οι σχέσεις είναι:  |z|=ρ , ρ>0 Ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος Κ(0,0) και ακτίνα ρ.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  13. 13. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 12  |z-z 0 |=ρ , ρ>0 Ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(z 0 ) και ακτίνας ρ.  |z-z 0 |≤ρ Ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κυκλικός δίσκος Κ(z 0 ) και ακτίνας ρ.  |z-z 0 |>ρ Ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα εξωτερικά σημεία του κύκλου Κ(z 0 ) και ακτίνας ρ.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  14. 14. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 13  |z-z 1 |=|z-z 2 | Ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ με Α( ) και Β( ).  |z-z 1 |+|z-z 2 |=2α , με α>0 Ο γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με εστίες Ε 1 ( ) ,E( ) και σταθερό άθροισμα 2α.  ||z-z 1 |-|z-z 2 ||=2α ,α>0 Ο γεωμετρικός τόπος είναι υπερβολή με εστίες Ε 1 ( ) , E( ) και σταθερή διαφορά 2α.Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  15. 15. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 14ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΟΥ |z| ΚΑΙ ΤΟΥ |z 1 –z 2 | Έστω Μ , Μ 1 , Μ 2 οι εικόνες των μιγαδικών z 1 , z 2 , z 3 στο μιγαδικόεπίπεδο. Για να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο του μέτρου του z καιτης διαφοράς του μέτρου z 1 - z 2 πρέπει να γνωρίζουμε τους γεωμετρικούςτόπους πάνω στους οποίους βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών.Συγκεκριμένα : Αν το Μ βρίσκεται σε ευθεία ε τότε: min|z| =d(Ο,ε) Αν το Μ βρίσκεται σε κύκλο (Κ ,ρ) τότε: min|z|=(ΟΑ)=|(ΟΚ)-ρ| max|z|=(ΟΒ)=(ΟΚ)+ρ Aν το Μ βρίσκεται στην έλλειψη C: x2 y 2 + 2 = =α – γ τότε: 1 ,β 2 2 2 α 2 β min|z|=(OB)=(OΒ΄)=β max|z|=(OA)=(OΑ΄)=αΚαραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  16. 16. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 15 Αν οι εικόνες των μιγαδικών z 1 και z 2 βρίσκονται αντίστοιχα στους κύκλους (Κ 1 ,ρ 1 ) και (Κ 2, ρ 2 ) με Κ 1 Κ 2 > ρ 1 +ρ 2 τότε : min|z 1 -z 2 |=( Κ 1 Κ 2 )-ρ 1 -ρ 2 max|z 1 -z 2 |=( Κ 1 Κ 2 )+ρ 1 +ρ 2 Αν οι εικόνες των μιγαδικών z 1 και z 2 βρίσκονται αντίστοιχα στον κύκλο (Κ, ρ) και στην ευθεία ε τότε: min|z 1 -z 2 |=|d(K,ε)-ρ|Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  17. 17. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 16 Β. ΜΕΡΟΣ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΟΜΑΔΑ : ΟΡΙΣΜΟΙ-ΠΡΑΞΕΙΣ -ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ (Πρόσθεση- Αφαίρεση-Πολ/σμος – Διαίρεση)1) ✍ Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή: α) z1 = ( 4 − 3i ) + ( 3 − 2i ) β) z2 = ( −3 + 2i ) + ( −5 − i ) γ) z3 = (2 − i ) − (−3 + 2i ) δ) z4 = ( −1 − i ) − ( −3 + 2i ) ε) z5 = ( 2 + i ) ⋅ ( 4 − 2i ) στ) z6 = ( −2 − 3i ) ⋅ ( 5 − i ) ζ) z7 = 2 − 3i ⋅ (1 − 2i ) + 3i η) z8 =4 ⋅ ( 2 − i ) − 3i + i ⋅ ( 2 − 3i ) θ) z9 = ( 2 − 3i )( 4 − 5i ) + 7i − 1 ι) z10 = 2i ⋅ (1 − i ) ⋅ ( 2 − 3i )2) ✍ Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή: α) z1 = − i )(1 + i ) (1 β) z2 =+ 2i )( 3 − 2i ) (3 γ) z3 =− 3i )( 5 + 3i ) (5 ( )( 2 + i ) δ) z4 = 2 − i ( )( ε) z5 = 3 − 2i ⋅ 3 + 2i ) στ) z6 = ( −2 + 2 3i ) ⋅ ( −2 − 2 3i ) ζ) z7 = ( ( x − 2 ) + 2 yi ) ( ( x − 2 ) − 2 yi ) η) z8 = ( x − ( y − 3) i ) ( x + ( y − 3) i )3) ✍ Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή: 2 + 3i 3+i 1− i α) z1 = β) z2 = γ) z3 = 4 2i −i + 1 2 + 3i 5 − 2i 2 +i δ) z3 = ε) z5 = στ) z6 = 3−i 1 − 2i 2 − 3i 1 − xi 2 ζ) z7 = η) z8 = x+i ηµθ + iσυνθ 1 συνθ + iηµθ θ) z9 = ι) z10 = 2συνθ − 2iηµθ συνθ − ηµθ i ια) z11 = ( 2 + 3i )( −i + 1) ιβ) z 1 − 2i ⋅ 2i + 1 = 1 − 2i i + 3 3i + 1 12 12 + 8i 2i + 1 ιγ) z13 = + 2 − 3i 3i + 1 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  18. 18. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 17 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ( Χωρίς χρήση της τριγωνομετρικής μορφής μιγαδικού)4) ✍ Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στην κανονική τους μορφή: (1 + 2i ) ( 3 − 2i ) ( ) 2 α) z1 = β) z= γ) z3 = 1 − 2 3i 2 2 2 2 i −1 2 1− i  2 1 2  δ)= z4 − ε) z5 =   στ) =  + z6 i (1 − i )  i +1 2 i  2 2  ζ) z7 = (1 − i ) η) z= (2 − i) 3 3 85) ✍ Να υπολογιστούν τα αθροίσματα : 1 2 3 4 α) 1 + 2i 2 + 4i 4 + 5i 6 β) + + + i i 2 i3 i 4 γ) i 22 + i 2009 + i12 + i 2011 δ) i1955 + i1956 + i1957 + i1958 1 1 1 1 1 1 1 ε) 7 + 21 + 72 στ) 1975 + 1976 + 1977 + 1978 i i i i i i i6) ✍ Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα και γινόμενα : α) i + i 2 + i 3 + ... + i102 β) i − i 2 + i 3 − i 4 + i 5 − ......... + i 2ν +1 , v ∈ N * γ) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν , v ∈ N * δ) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν +1 , v ∈ N * ε) i + i 2 + i 3 + i 4 + ......... + i 4ν +3 , v ∈ N * στ) i ⋅ i 2 ⋅ i 3 ⋅ i 4 ⋅ .....i100 ζ) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 51 η) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 2012 θ) i ⋅ i 3 ⋅ i 5 ⋅ i 7 ⋅ .....i 20137) ✍ Να υπολογιστούν οι παρατάσεις : α) (1 + i ) β) (1 + i ) ( ) δ) ( 2 − i ) ( 2 + i ) 6 γ) 2 −i 20 21 5 5 ( x + i) ( x + i) 5 7 ε) ( 2 − i ) ( 2 + i ) ( ) (1 + 3i ) 5 6 στ) 1 − 3i ζ) η) 5 6 (1 − xi ) (1 − xi ) 5 88) ✍ Να υπολογιστούν οι παρατάσεις : α) (1 + i ) − (1 − i ) β) (1 + i ) − (1 − i ) 20 20 10 10 γ) ( 2 + 2i ) + ( 2 − 2i ) δ) ( 2 + 2i ) + ( 2 − 2i ) 20 20 10 10 ε) (1 + i ) − (1 − i ) στ) (1 + i ) + (1 − i ) 2010 2010 2008 2008 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  19. 19. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 18 ζ) (α + α i )ά + (α − α i ) , κ ∈ Ν & κ = ρτιος 2κ 2κ η) (α + α i )ό + (α − α i ) , κ ∈ Ν & κ =περιττ ς 2κ 2κ9) ✍ Να αποδείξετε ότι : (α + β i ) + ( β − α i ) =όπου α ,β ∈ℜ. 0, 20 2010) ✍ Να αποδείξετε ότι : ( 2 + 3i ) + ( 3 − 2i ) = όπου α ,β ∈ℜ. 0, 1002 100211) ✍ Αν ν∈Ν και f ( v = iν + i −ν , να αποδείξετε ότι : ) f ( 4κ ) + f ( 4κ + 1) + f ( 4κ + 2 ) + f ( 4κ + 3) = 0. 4ν 4ν λ +i   i−λ 12) ✍ Αν λ∈ℜ και ν∈Ν*, να αποδείξετε ότι :    +  = 2.  1 − λi   1 + λi 13) ✍ Αν ν∈Ν*, z∈C και f ( z ) iν ⋅ z , να αποδείξετε ότι : = f ( 4κ ) + f ( 4κ + 1) + f ( 4κ + 2 ) + f ( 4κ + 3) = 0.14) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 − z + 1 = να αποδείξετε 0 ότι: α) z 3 = −1 και β) z 62 − z121 + 1 =015) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 − z + 1 = να αποδείξετε 0 1 ότι: α) z 3 = −1 β) z 40 + z 20 + 1 = γ) z 70 + 0 = −1 z 7016) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 − z + 1 = να αποδείξετε 0 ότι: α) z 3 = −1 β) z 6κ + 2 = 0, που ό + z 6 λ +1 + 1 κ,λ ∈ℜ17) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 2 + z + 1 = να αποδείξετε 0 1 ότι: α) z 3 = 1 β) z 2012 + z 2011 + 1 = γ) z 70 + 0 = −1 z 70 118) ✍ Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z + =1 να αποδείξετε ότι: − z α) z 3 = 1 β) z 200 + z100 + 1 =019) ✍ Έστω z, w δύο μιγαδικοί αριθμοί . α) Να εξετάσετε πότε ισχύει z 2 + w2 =0. β) Να αποδείξετε ότι: z + w = 2010 2010 0 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  20. 20. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 19 ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ –z∈ℜ, z∈I20) ✍ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε ο z = ( λ + 3i ) ⋅ ( 2 − i ) να είναι: α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός.21) ✍ Να βρεθεί ο x∈ℜ αν ο αριθμός z= (x 2 − 5 x + 4 ) + ( x 2 + x − 2 ) i είναι διάφορος του μηδενός και επιπλέον είναι : α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός22) ✍ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = x 2 − x − 9i και w= 2 − y 2i , x,y∈ℜ. α) Να βρείτε τους x,y ώστε z=w. β) Να βρείτε τον z.23) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός z = 6i − ( 3 − 4i ) x − 3 yi − ( 3i − 2 ) x + ( 4 − 2 yi ) x,y∈ℜ. α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις : i)Re(z)=0, ii)Im(z)=0 iii)Re(z)=Im(z) iv) z=024) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=(2+i)x+(y-1)i-5, x,y∈ℜ. α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi. β) Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im(z)=0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Re(z)=Im(z).25) ✍ Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x όταν: x 2 + 5 + ( x 2 − 5 x + 1) i = 6 + 7i26) ✍ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x − 2 + 2 yi = 2i + 2 − yi − β) y + 2i =3 − ( 2 + i ) x γ) 4 y − 3 yi − 2 x = − 5 xi + 9i 2 δ) ( x 2 + 1) i + 2 x = x 2 − 2 xi − 3 ε) 2 x − 3 + 4 yi = 3 + ( 2 y − 8 ) i στ) 4 x + 3 y + 2 + ( 5 x + y + 2 ) i = x + y − 1 + ( 3 x + 2 y + 7 ) i Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  21. 21. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 2027) ✍ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) ( x + y ) + ( x − y ) i = − i 3 β) 3 x 2 + x − 6 + ( x 2 − 3) i = 2 + i γ) 9 − 27i = ( 3 x + 2 y ) − yi δ) ( 3 − 2i ) − ( x + yi ) =x − yi 2 ε) ( 3 − 2i ) + ( 2 x − yi= 2 ( 2 x − yi ) + 2i − 1 ) στ) (1 − 2i ) + ( x − yi ) =(1 − i ) − xi 2 2 + 3i  2 ζ)  1   − =i 2−3  3 − 2i  x − yi28) ✍ Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y ώστε να ισχύει x y 5 + 6i + =. 1 + 2i 3 + 2i 8i − 1 12 + 5i29) ✍ Να βρεθούν τα α, β ∈ℜ, ώστε (α + β i ) = . 2 i 1 + 7i30) ✍ Να βρεθούν τα α, β ∈ℜ, ώστε (α + β i ) =. 2 1− i31) ✍ Αν x + yi = ( 3 − 2i ) , x,y∈ℜ , να δείξετε ότι: 13 α) x − yi = ( 3 + 2i ) β) x 2 + y 2 = . 13 131332) ✍ Αν x + yi =(1 − 2i ) , x,y∈ℜ και ν∈Ν*, να δείξετε ότι 2v 25ν x2 + y 2 = .33) ✍ Να βρεθούν τα x,y∈ℜ, ώστε οι μιγαδικοί z1 = + 2 y − i και x z2 = − ( 4 x − y ) i να είναι συζυγείς. 11 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  22. 22. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 21 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ (Με αντικατάσταση)34) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z − (1 − i )(1 + i ) = i ( z − 2 ) .35) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z z+ =i ) . (1 + 3 (1 − i )36) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z (1 − i ) − 1 = . iz37) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z −1 = i −1. 2z − i38) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα zz + 2i ( z + z ) = 20 + 8i .39) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα zz + ( z − z ) = + 2i . 340) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z 2 − z + 2 =. 041) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς z=x+yi, x,y∈ℜ για τους οποίους ισχύει: z 2 + 2 z + 1 = . 042) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα zz + 2iz − 2i = 0.43) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z2 + 2z + 9 = z − z .44) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z = z2 .45) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z = z3 .46) ✍ Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα z 3 = 3z . Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  23. 23. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 22 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ (Με παραγοντοποίηση - διακρίνουσα – σχήμα Horner )47) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − z + 2 =. 048) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − 2 z + 4 =. 049) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : 2 z 2 − 4 z + 7 =050) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 − 6 z + 25 = 0.51) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 + 1 = . 052) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 4 = 1 .53) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 2 + 4 =. 054) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 4 − 16 = 0.55) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 + 1 = . 056) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 − 1 = . 057) ✍ Να λυθεί στο σύνολον των μιγαδικών η εξίσωση : z 3 + z 2 − 2 =. 058) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 + 3z 2 + 3z + 2 =. 059) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 3z 2 + z + 2 =. 060) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 10 z − 12 = 0.61) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 + 2 z 2 + 7 z + 6 =. 062) ✍ Να λυθεί στο C η εξίσωση : z 3 − 3z 2 + 2 =. 063) ✍ Η εξίσωση z 2 + α z + β = α,β∈ℜ έχει ρίζα τον μιγαδικό 2-i. 0, α) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης β) Να βρείτε τα α και β.64) ✍ Η εξίσωση 2 z 2 + κ z + λ = όπου κ, λ∈ℜ ,έχει ρίζα τον μιγαδικό 0, αριθμό 3+2i. α) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης β) Να βρείτε τα κ και λ.65) ✍ Η εξίσωση 3 z 2 + κ z + λ =, κ, λ∈ℜ, έχει ρίζα τον μιγαδικό 2-3i. 0 α) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης β) Να βρείτε τα κ και λ. Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  24. 24. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΕΤΕ ΟΤΙ: (Ν.α.ο πραγματικός ή ν.α.ο. φανταστικός ή με συζυγείς )66) ✍ Να δείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και αντιστρόφως δηλαδή : z= z ⇔ z ∈ℜ .67) ✍ Να δείξετε ότι κάθε φανταστικός αριθμός είναι αντίθετος από το συζυγή του και αντιστρόφως δηλαδή : z = z ⇔ z ∈ I . −68) ✍ Αν z φανταστικός αριθμός με z≠-i, να αποδείξετε ότι ο αριθμός z3 − i w= είναι πραγματικός αριθμός. z +i z69) ✍ Να δείξετε ότι αν w = και ο w είναι πραγματικός τότε ο z z+i είναι φανταστικός αριθμός.70) α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. β) Ο αριθμός u = ( 3 − 2i ) + ( 3 + 2i ) είναι πραγματικός. 2012 201271) ✍ Να αποδείξετε ότι: α) Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός αριθμός. ( ) ( ) v v β) Ο αριθμός u = 4 − 3i − 4 + 3i , v ∈ N * είναι φανταστικός.72) ✍ Να αποδείξετε ότι: α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. β) Ο αριθμός u = ( z − w ) + ( z − w ) είναι πραγματικός. 15 1573) ✍ Να αποδείξετε ότι: α) Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός αριθμός. β) Ο αριθμός u = ( z − w ) − ( z − w ) είναι φανταστικός. 15 1574) ✍ Να αποδείξετε ότι: α) Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. β) Ο αριθμός u= 5 ( ( z 50 − i ) + i + ( z ) ) 50 5 είναι πραγματικός.75) ✍ Να αποδείξετε ότι: α) Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  25. 25. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 24 αριθμός. β) Ο αριθμός u= 5 ( ( z 50 − i ) − i + ( z ) ) 50 5 είναι φανταστικός.76) ✍ Αν z ,w είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί = ( zw + zw ) και v = ( zw − zw ) είναι πραγματικοί και ειδικότερα u≥0 2 2 u και v≤0. z z77) ✍ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός. z z z z78) ✍ Να αποδείξετε ότι ο αριθμός − είναι φανταστικός. z z79) ✍ Αν z ,w είναι μιγαδικοί αριθμοί με z≠1, και ισχύει w = w και w − zw zz = 1 , να αποδείξετε ότι ο αριθμός u = είναι πραγματικός. 1− z80) Έστω οι μιγαδικοί z και w για τους οποίους γνωρίζουμε ότι zz = 1 και ww = 1 ενώ zw ≠ −1. Να αποδείξετε ότι : z+w α) ο αριθμός u = είναι πραγματικός. 1 + zw z−w β) ο αριθμός u = είναι φανταστικός. 1 + zw z z81) ✍ Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός u = είναι w w φανταστικός αριθμός για κάθε z, w μιγαδικούς αριθμούς. z z82) ✍ Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός u = είναι −w w πραγματικός αριθμός για κάθε z, w μιγαδικούς αριθμούς. α + βi  83) ✍ Αν z = , με α, β, γ, δ ∈ℜ και u = (α , β ) , v = ( γ , δ ) , να γ + δi   δείξετε ότι: z ∈ℜ ⇔ u // v 1 184) ✍ Αν z∈C* και w= z − ,να δείξετε ότι : w ∈ Iή ⇔ z ∈ I z =. z z z +z85) ✍ Αν z1 , z2 ∈ C * και z1 ⋅ z2 ∈ℜ , και w = 1 2 να δείξετε ότι : w∈ℜ . z1 − z2 z3 − z 386) ✍ Αν z∈C και w = ,να δείξετε ότι : w ∈ I . 1 + zz z − iz87) ✍ Αν z∈C και w = ,να δείξετε ότι : w∈ℜ . z − iz z − iz88) ✍ Αν z∈C* και w = να δείξετε ότι : w ∈ I . z + iz Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  26. 26. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 25 z1 + z289) ✍ Αν z1 , z2 ∈ C , z1 z1 z= 4 , και w = = 2 z2 να δείξετε ότι : w ∈ I . z1 − z2 z90) ✍ Έστω z∈C και f ( z= z 2 + ,να δείξετε ότι : ) i Im ( f ( z ) ) = z ) ⋅  2Im ( z ) + 1 . − Re (  91) ✍ Αν x, y∈ℜ & ν∈Ν* να αποδείξετε ότι ο αριθμός u = ( x + yi ) + ( y + xi ) είναι πραγματικός. 4v 4v92) ✍ Έστω z1 , z2 ∈ C με z12013 = 1 + 2i και z2 = 2 + i . Να αποδείξετε ότι 2013 z1 ο αριθμός w = δεν είναι πραγματικός. z2 1+ z   193) ✍ Να αποδείξετε ότι   −  z +  =− z . 1  z   z94) ✍ Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z2 και z3 ισχύουν z1 + z2 + z3 =και z12 + z2 + z3 =να αποδείξετε ότι: z= z= z3 0 2 2 0 3 1 3 2 3 Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  27. 27. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 26 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ: (Χωρίς μέτρο )95) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: α) z − z = 6i β) z + z = 4 γ) z 2 = z 2 δ) z 2 = − z 2 ε) z 3 = z 3 στ) z 3 = − z 396) ✍ Αν η εικόνα του μιγαδικού z =λ + (λ − 1)i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y=4x+1, να βρεθεί ο λ∈ℜ.97) ✍ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = ( λ − 2 ) + 2λi , όπου λ∈ℜ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.98) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(2λ+1)+(2λ−1)i , λ∈ℜ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈ℜ .99) ✍ Έστω ένας μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ για τον οποίο ισχύει η σχέση zz + 3 z − 5 z = z ) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) 8i Im( βρίσκονται σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.100) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: ( z + z ) + ( z − z ) = 15 + zz . 2 2101) ✍ Δίνεται η συνάρτηση f με f ( z= z 2 + z , z∈C. Να βρείτε το ) γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: α) f ( z ) = f ( z ) β) Re ( f ( z ) ) = 1 + Re ( z ) .102) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi, x,y∈ℜ. z + 8i α) Να γράψετε στη μορφή α+βi τον μιγαδικό w = . z+6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Im(w)=0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y αν Re(w)=0 δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. z+2103) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με z −i z≠i.Να αποδείξετε ότι: α) Αν ο w είναι πραγματικός, τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. β) Αν ο w είναι φανταστικός, τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε κύκλο. Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  28. 28. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 27 z +1104) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με 2z − i z≠i/2. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. 2z − 1105) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με z≠i. iz + 1 Αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z. z + 2z106) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = 2 με z z≠0. Αν ο w είναι φανταστικός αριθμός , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z. iz + 1107) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και ο αριθμός w = με z≠i. z −i Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε ευθείες γραμμές.108) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει : 1 1 α) Re( z + ) = z ) β) Im( z + ) = 5Re( −3Im( z ) z z109) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει : 1 1 α) Re( z − ) = −3Re( z ) β) Im( z − = 2Re(i ⋅ z ) ) z z110) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και y≠0 για τον οποίο ισχύει Re( zz ) = Im( z ) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.111) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=x+yi, x,y∈ℜ και z≠0 για τον οποίο ισχύει i Re( z + )= Re( z + 1) . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,y) z βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.112) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ, y) του επιπέδου για τα οποία ο μιγαδικός αριθμός = 3 z − ( z ) είναι αρνητικός 2 u πραγματικός, όπου z ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi .113) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία 1 έχουμε z + ∈ℜ όπου z=x+yi . z Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  29. 29. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 28114) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία 1 έχουμε z + ∈ Ι όπου z=x+yi . z115) ✍Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία z −i έχουμε ∈ℜ όπου z=x+yi . z −1116) ✍Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) για τα οποία z −i έχουμε ∈ Ι όπου z=x+yi . z −1117) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z όταν ξέρουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών i, z, iz είναι συνευθειακά σημεία.118) ✍ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z όταν ξέρουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 1, z+i, iz+1 είναι συνευθειακά σημεία.119) ✍ Αν η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία ε: y=2x-1, να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού w = iz − (1 − i ) z − i 2013 . Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  30. 30. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 29 Β. ΟΜΑΔΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ120) ✍ Να βρείτε το μέτρο τον παρακάτω μιγαδικών αριθμών: α) z1 = 1 + i β) z2 = 1 − i γ) z3= 3 − 4i δ) z4= 6 + 8i121) ✍ Να βρείτε το μέτρο τον παρακάτω μιγαδικών αριθμών: α) z1 = 5 β) z2 = −4 γ) z3 = −4i δ) z4 = 8i122) ✍ Να βρείτε το μέτρο τον παρακάτω μιγαδικών αριθμών: 1+ i α) z1 = β) z2 =− i ) (1 + i ) (1 2 4 1− i 3+i γ) z3 = 2 − i )(1 + 2i ) ( δ) z4 = 4 − 3i123) ✍ Να βρείτε το μέτρο τον παρακάτω μιγαδικών αριθμών: 2013 1+ i  4  2 2  α) z1 =   β) z2  = − i 1− i   2 2  (1 − 2i ) 7  3+i  2012 γ) z3 =   δ) z4 =  1 − 3i  ( 2 + i ) ( 3 − 4i ) 3 v 1 3 2  λ + µi  ε) z5=  + i  ( −5 + 12i )( 8=  − 6i ) στ) z6  , λ , µ ∈ℜ 6  2 2   λ − µi 124) ✍ Αν z= 3 − 4i και w =−1 − i 3 να βρείτε το μέτρο των παρακάτω z2 μιγαδικών: α) z β) w −3 γ) 3 δ) i ( w ) 3 5 w Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  31. 31. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 30 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΕ ΜΕΤΡΟ125) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 = − z 2 .126) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + i = . iz127) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z − i =z . 2128) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 + z = 0.129) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z 2 − 4 z + 3 =. 0130) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + z + 1 + i = . 0131) ✍ Να λυθεί στο σύνολο C η εξίσωση: z + z = 2 + i . 1132) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = = 1− z . z133) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = z 2 = 1 − z . 1+ i 3134) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z= = 2− z . iz135) ✍ Να βρείτε το μιγαδικό z για τον οποί ισχύει : z = z − 1 + i ( z − 8 ) . Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  32. 32. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 31 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (να βρεθεί και γραφική παράσταση)136) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z 2 = z 2 .137) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − 1 =. z138) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + i =z . 2139) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − i = 1.140) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + 1 + 2i = . 3141) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z ≥ 2 .142) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 2 < z < 4 .143) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + 1 = z − 2i .144) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − i > z + 1 .145) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 2 z + 1 < z + i .146) ✍ Να βρεθεί και παρασταθεί γραφικά ο γεωμετρικός τόπος τον εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z − 1 =1 + Re ( z ) . Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  33. 33. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 32 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ (Ευθεία –Κύκλος)147) ✍ Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύει z1= 2 z2 + 1 . Να z2 δειχθεί ότι, όταν η εικόνα του z1 κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνας ρ=1, τότε η εικόνα του z2 κινείται πάνω σε μια ευθεία.148) ✍ Θεωρούμε τους μιγαδικούς z=λ+2+(3λ-3)i, λ∈ℜ. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει : w=z+(1+i). γ) Να βρείτε το μιγαδικό z πού έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων.149) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με α,β∈ℜ ώστε α+β=4. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w=(1+i)z-3i, βρίσκονται σε μια ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.150) ✍ Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, με α,β∈ℜ, με α,β≠0 για τον οποίο 1 ισχύει z − 1 = .Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w = 1 z κινούνται σε μια ευθεία και να βρεθεί η εξίσωσή της.151) ✍ Έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους i ισχύει w iz − και για το Μ ισχύει z = 1 (δηλαδή κινείτε σε = z μοναδιαίο κύκλο), να δείξετε ότι το σημείο Ν κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα .152) ✍ Έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους 1 ισχύει w= z + και για το Μ ισχύει z = 1 (δηλαδή κινείτε σε z μοναδιαίο κύκλο), να δείξετε ότι το σημείο Ν κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα .153) ✍ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 2 + 3i και z2= 2 − 3i , και − z=x+yi, x,y∈ℜ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + z1 = z + z2 , και να βρεθεί ποιος απ αυτούς έχει το μικρότερο μέτρο.154) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z − 4i = z + 2 . Ποιος απ’ αυτούς τους μιγαδικούς έχει το μικρότερο μέτρο; Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 
  34. 34. Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Γενικό Λύκειο Νεστορίου 33155) ✍ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z + 1 = z + 4i . Ποιος απ’ αυτούς τους μιγαδικούς έχει το μικρότερο μέτρο;156) ✍ Δίνεται η εξίσωση z − 1 = z − 3i , με z μιγαδικό αριθμό. α) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α(1,0) και Β(0,3). β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x-3y+4=0. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του z για τον οποίο το z είναι ελάχιστο.157) ✍ Έστω ε η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 στο μιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z1 + z2 = − 2i και 1 z1 − z2 = − 4i . Να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό w που η εικόνα του 3 βρίσκεται στην ευθεία ε και έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο.158) ✍ Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει (1 − z ) =ν∈Ν* είναι η zv , v 1 ευθεία x = . 2159) ✍ Έστω z = ( 2 x − 3) + ( 2 y − 1) i με x,y∈ℜ. Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) που είναι τέτοια ώστε 2 z − 1 + 3i = είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το 3 κέντρο και την ακτίνα του.160) ✍ Έστω z = x + ( 2 y − 1) i με x,y∈ℜ. Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό 2 επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) που είναι τέτοια ώστε z − 1 − i = 5 είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την 2 ακτίνα του.161) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με την ιδιότητα z − 4i = 2. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z. β) Ποίος απ’ τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο και ποίος το μικρότερο μέτρο;162) ✍ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z με την ιδιότητα z − 2 − 2i = 2 . 3 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ του z. β) Ποίος απ’ τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο και ποίος το μικρότερο μέτρο; Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηματικός 

×