本文档介绍了针对高二至高三学生的数学复习材料，特别强调了模拟考的进度对章节顺序的调整。内容包括解题提示、基本概念强化、小节测试等，旨在帮助学生轻松掌握解题重点。多种数学卷的设计提供了有效的复习策略，教师也可以配合使用。

1. MATH
÷÷
%
章節順序調整
符合模擬考進度
解題提示，強化概念
輕鬆掌握解題重點
小節測驗填充題設計
即時演練，提升基礎
數學B
複 習 講 義
掌握
陳秋錦 編著
教師用本

2. 目次
1040006
測驗卷 & 歷屆試題
調整章節順序，
完全符合模擬考進度
數學 B 測驗卷 (8 開，25 回 )
適用時機：高二∼高三，搭配複習進度使用
作 者：李建昌
1. 各回次順序重新調整，與模擬考同步，
更加符合高三複習進度安排。
2. 題數差異化設計，課堂時間也考得完。
以章分回 20 題、以冊分回 25 題。
3. 優質化佈題，該範圍考點一應俱全，
數學 B 複習分段卷，最首選 !!
特 色
數學 B 全真模擬測驗卷 (11 開，16 回 )
適用時機：高三，複習階段第二份卷子
作 者：廖志偉
1. 名師編著，鑑別度極佳！
各回難易度平均，品質更勝全國模考。
2. 前八回分冊演練，後八回全真模擬。
漸進式拉大範圍，逐漸熟悉統測題量。
特 色
【試在必得】數學 A、B 歷屆試題詳解
適用時機：高三，衝刺階段以熟悉統測
作 者：龍騰編輯小組
1. 貼心改變！各回解析移置於書末。
不只可以學生自己練習，也可以用來考試囉！
2. 附有歷年考情分析，權威名師聯合教戰。
掌握統測趨勢，熟悉大考方向，事半功倍。
特 色
三角函數的應用移置三角函數之後
不再侷限於課綱編排，
貼近教學現場進度安排

3. P.124
調整章節順序，
符合模考進度
觀念淺白易讀 P.93、124、256
例題提示，公式不用抄抄寫寫
【掌握】
數學B複習講義
陳秋錦 / 編著
貼心附 教師用－龍騰總複習題庫光碟
觀念說明淺白易讀
搭配實例，輔助教學
1040006
P.197
老師可以帶過重點，過程學生自讀也理解
例題提示，
公式不用抄抄寫寫
直接解題，省下抄寫時間，
複習不再趕趕趕 !!
例子輔助說明，抽象公式
好學好理解
P.80、153、197

4. 第3 章 三角函數的應用 45
3
Chapter 3 三角函數的應用
趨勢分析
主題簡介
(一)和差角公式與二倍角公式。
(二)正弦定理與餘弦定理。
(三)解三角形問題（含三角測量）。
最常考題型 (1)正弦定理。(2)餘弦定理。(3)解三角形問題。
次重要題型 (1)三角測量。(2)三角形面積。(3)倍角公式。
綜合分析 本單元在統測命題中，所佔份量有逐年升高的趨勢，應多加留意，而和差角公式與
二倍角公式是99 年課程的新單元，這兩年均有被命題。
和差角公式與二倍角公式
重點整理 和差角公式
1. 餘弦的和差角公式：
(1) ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + 。
(2) ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − 。
2. 正弦的和差角公式：
(1) ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + 。
(2) ( )sin sin cos cos sinα β α β α β− = − 。
3. 正切的和差角公式：
(1) ( )
tan tan
tan
1 tan tan
α βα β
α β
+
+ =
−
。
(2) ( )
tan tan
tan
1 tan tan
α βα β
α β
−
− =
+
。
3-1
QRcode 影音解題
(蘋果系列行動裝置無法觀看)

5. 46 第 3 章 三角函數的應用
試求cos15° 之值。
（提示： ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + 。）
( )cos15 cos 45 30° = °− °
cos45 cos30 sin45 sin30= ° °+ ° °
2 3 2 1
2 2 2 2
= × + ×
6 2
4
+
=
試求cos75° 之值。
( )cos75 cos 45 30° = °+ °
cos45 cos30 sin45 sin30= ° ° − ° °
2 3 2 1
2 2 2 2
= × − ×
6 2
4
−
=
試求cos100 cos20 sin100 sin 20° °− ° ° 。
（提示： ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − 。）
設 100α = ° ， 20β = ° ，則
原式 cos cos sin sinα β α β= −
( ) ( )cos cos 100 20α β= + = °+ °
1
cos120
2
= ° = −
試求cos320 cos50 sin320 sin50° °+ ° °。
設 320α = ° ， 50β = ° ，則
原式 cos cos sin sinα β α β= +
( ) ( )cos cos 320 50α β= − = °− °
cos270 0= ° =
試求sin 75° 之值。
（提示： ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + 。）
( )sin75 sin 45 30° = °+ °
sin45 cos30 cos45 sin30= ° °+ ° °
2 3 2 1
2 2 2 2
= × + ×
6 2
4
+
=
試求sin15° 之值。
( )sin15 sin 45 30° = °− °
sin45 cos30 cos45 sin30= ° ° − ° °
2 3 2 1
2 2 2 2
= × − ×
6 2
4
−
=
試求 7 5 7 5
sin cos cos sin
12 12 12 12
π π π π
− 。
（提示： ( )sin sin cos cos sinα β α β α β− = − 。）
設 7
12
π
α = ， 5
12
π
β = ，則
原式 sin cos cos sinα β α β= −
( )sin α β= −
7 5
sin
12 12
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
sin
6 2
π
= =
試求 3 2 3 2
sin cos cos sin
5 5 5 5
π π π π
+ 。
設 3
5
π
α = ， 2
5
π
β = ，則
原式 sin cos cos sinα β α β= +
( )sin α β= +
3 2
sin
5 5
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
sinπ= 0=
2
1
3
4

6. 第3 章 三角函數的應用 47
3
設0 90α° °，90 180β° °且 4
sin
5
α = ，
5
cos
13
β = − ，試求 ( )cos α β− 之值。
（提示： Iα ∈ ⇒sin α ，cosα 均為正
IIβ ∈ ⇒sin β 為正，cos β 為負。）
因為0 90α° ° 且 4
sin
5
α = ，所以 3
cos
5
α =
又90 180β° ° 且 5
cos
13
β = − ，所以 12
sin
13
β =
( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = +
3 5 4 12 33
5 13 5 13 65
⎛ ⎞
= × − + × =⎜ ⎟
⎝ ⎠
設180 270α° °，270 360β° ° 且
3
sin
5
α = − ， 12
cos
13
β = ，試求 ( )sin α β+ 之值。
因為180 270α° ° 且 3
sin
5
α = − ，
所以 4
cos
5
α = −
又270 360β° ° 且 12
cos
13
β = ，所以 5
sin
13
β = −
( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = +
3 12 4 5
5 13 5 13
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − × + − × −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
16
65
= −
試求tan 75° 之值。
（提示： ( )
tan tan
tan
1 tan tan
α β
α β
α β
+
+ =
−
。）
( )tan75 tan 45 30° = °+ °
tan45 tan30
1 tan45 tan30
° + °
=
− ° °
1
1
3 13
1 3 11 1
3
+
+
= =
−− ×
2 3= +
試求tan15° 之值。
( )tan15 tan 45 30° = °− °
tan45 tan30
1 tan45 tan30
° − °
=
+ ° °
1
1
3
1
1 1
3
−
=
+ ×
3 1
3 1
−
=
+
2 3= −
重點整理 二倍角公式
1. 正弦的二倍角公式：
( )sin sin cosin 2 s cos s 2sin oi sn cθ θ θ θθ θθ θθ+ = + == 。
2. 餘弦的二倍角公式：
2 2 2 2
cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1θ θ θ θ θ= − = − = − 。
3. 正切的二倍角公式：
2
2tan
tan 2
1 tan
θ
θ
θ
=
−
。
5
6

7. 48 第 3 章 三角函數的應用
已知 1
sin cos
5
θ θ− = ，求sin 2θ 之值。
（提示：sin 2 2sin cosθ θ θ= 。）
將原式兩邊平方，得( )
2
2 1
sin cos
5
θ θ
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ 2 2 1
sin 2sin cos cos
25
θ θ θ θ− + =
⇒ 1
1 sin2
25
θ− =
故 24
sin2
25
θ =
求8sin 7.5 cos 7.5 cos15° ° °之值。
原式 ( )4 2sin 7.5 cos 7.5 cos15= ° ° °
4sin15 cos15= ° °
( )2 2sin15 cos15= ° °
2sin 30= °
1
2
2
= ×
1=
試求 2 2
cos 22.5 sin 22.5°− °之值。
（提示： 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1θ θ θ θ= − = − 。）
令 22.5θ = ° ，則
原式 2 2
cos sinθ θ= −
( )cos 2 cos 2 22.5θ= = × °
2
cos45
2
= ° =
已知sec 4θ = ，試求cos2θ 之值。
由sec 4θ = 得 1
cos
4
θ =
又 2
cos2 2cos 1θ θ= −
2
1
2 1
4
⎛ ⎞
= × −⎜ ⎟
⎝ ⎠
7
8
= −
已知sin 2cos 0θ θ− = ，試求tan 2θ 之值。
（提示： 2
2tan
tan 2
1 tan
θ
θ
θ
=
−
。）
由sin 2 cos 0θ θ− =
得sin 2cosθ θ=
兩邊同除以cosθ 得
sin
2
cos
θ
θ
= ，即tan 2θ =
得 2
2tan
tan2
1 tan
θ
θ
θ
=
−
2
2 2 4
1 2 3
×
= = −
−
已知2sin cos 0θ θ− = ，試求cot 2θ 之值。
由2sin cos 0θ θ− =
得2sin cosθ θ=
兩邊同除以cosθ
得 sin
2 1
cos
θ
θ
× = ，即 1
tan
2
θ =
得 2
2tan
tan2
1 tan
θ
θ
θ
=
−
2
1
2 42
31
1
2
×
= =
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
故 1 3
cot2
tan2 4
θ
θ
= =
7
8
9

8. 第3 章 三角函數的應用 49
3
重點整理 正弦與餘弦函數的疊合
1. 實例：
將 sin cosy x x= + 化成正弦函數的形式：
1 1
sin cos 2 sin cos
2 2
y x x x x
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin
4
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得，當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最大值 2 ；當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最小值 2− 。
也可將 sin cosy x x= + 化成餘弦函數的形式：
sin cosy x x= +
1 1
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin sin cos cos
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 cos
4
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得，當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最大值 2 ；當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最小值 2− 。
一般而言，當a 與b 是不全為0 的實數時，函數 sin cosy a x b x= + ，可以寫成
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
因為
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
，所以存在一個角θ ，0 2θ π≤ ，使得 2 2
cos
a
a b
θ =
+
，
2 2
sin
b
a b
θ =
+
，於是
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
( )
2 2
sin cos cos sina b x xθ θ= + +
( )
2 2
sina b x θ= + +
當 ( )sin 1x θ+ = 時，y 有最大值 2 2
a b+ ；
當 ( )sin 1x θ+ = − 時，y 有最小值 2 2
a b− + 。
同理， sin cosy a x b x= + 亦可化為 ( )
2 2
cosy a b x θ= + − 的形式。討論如前。
綜合上述，結論如下：
若a、b 是不全為0 的實數，則函數 sin cosy a x b x= + 有最大值 2 2
a b+ ，最小值 2 2
a b− + 。

9. 50 第 3 章 三角函數的應用
試將 sin 3cosy x x= − 化成 ( )siny r x θ= − 的
形式，其中 0r ，0 2θ π≤ ，並求r 、θ 及y
的最大、最小值。
（提示：先提 ( )
2
2
1 3 2+ − = 。）
sin 3cosy x x= −
1 3
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
3 3
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2sin
3
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 2r = ， 3
π
θ = ，且
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最大值2
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最小值 2−
試將 2 3cos 2siny x x= − 化成
( )cosy r x θ= + 的形式，其中 0r ，
0 2θ π≤ ，並求r 、θ 及y 的最大、最小值。
因為 ( ) ( )
2 2
2 3 2 4+ − = ，所以
3 1
4 cos sin
2 2
y x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 cos cos sin sin
6 6
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
4cos
6
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 4r = ， 6
π
θ = ，且
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最大值4
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時，y 有最小值 4−
試求 3sin 4cosy x x= − 的最大、最小值。
（ 提示： sin cosy a x b x= + 的最大值為
2 2
a b+ ，最小值為 2 2
a b− + 。）
最大值 ( )
22
3 4 5M = + − =
最小值 ( )
22
3 4 5m = − + − = −
試求 12cos 5siny x x= − 的最大、最小值。
最大值 ( )
22
12 5 13M = + − =
最小值 ( )
22
12 5 13m = − + − = −
10
11

10. 第3 章 三角函數的應用 51
3
1. 試求sin105° 之值為 6 2
4
+
。
2. 試求sec15° 之值為 6 2− 。
3. 若0 90α° °，90 180β° °且 3
cos
5
α = ， 12
sin
13
β = ，則 ( )sin α β− =
56
65
− 。
4. 承第3題，求 ( )tan α β− =
56
33
− 。
5. 試求 tan100 tan 215
1 tan100 tan 215
°+ °
− ° °
之值為 1− 。
6. 已知90 180θ° ° 且 4
sin
5
θ = ，則tan 2θ =
24
7
。
7. 求8cos20 cos40 cos80° ° ° 之值為 1 。
8. 試求 2
1 2 sin 22.5− °之值為 2
2
。
9. 已知 1
sin cos
3
θ θ+ = ，則sin 2θ 之值為 8
9
− 。
10. 求函數 3sin 3cos 2y x x= − + 的最大值為 3 2 2+ 。
實力測驗１

11. 52 第 3 章 三角函數的應用
正弦與餘弦定理
重點整理 正弦定理
1. 定理：
ABC△ 中，若a、b 、c 分別表示 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長，而R 為 ABC△ 的外接圓半徑，
則 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 。
2. 推論：
(1) 比例型： : : sin : sin : sina b c A B C= 。
(2) 邊化角： 2 sina R A= ， 2 sinb R B= ， 2 sinc R C= 。
(3) 角化邊：sin
2
a
A
R
= ，sin
2
b
B
R
= ，sin
2
c
C
R
= 。
ABC△ 中，若 70A∠ = °、 80B∠ = °、 5AB = 公
分，試求 ABC△ 之外接圓半徑。
（提示：利用 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 。）
∵ 70A∠ = °、 80B∠ = °
∴ 180 70 80 30C∠ = °− °− °= °
又 5c AB= = （公分）
由正弦定理知： 5
2
sin30
R=
°
⇒2 sin30 5R ° = ⇒ 5R = （公分）
ABC△ 中，若 65B∠ = °、 70C∠ = °、 5 2BC =
公分，試求 ABC△ 之外接圓半徑。
∵ 65B∠ = ° 、 70C∠ = °
∴ 180 65 70 45A∠ = °− °− °= °
又 5 2a BC= = （公分）
由正弦定理知： 5 2
2
sin45
R=
°
⇒2 sin 45 5 2R ° =
⇒ 5R = （公分）
ABC△ 中，已知 : : 1:3: 2A B C∠ ∠ ∠ = ，
試求 : :a b c 。
（提示： : : sin : sin : sina b c A B C= 。）
因為三角形內角和為180°
所以 1
180 30
1 3 2
A∠ = °× = °
+ +
3
180 90
1 3 2
B∠ = °× = °
+ +
2
180 60
1 3 2
C∠ = °× = °
+ +
由正弦定理得
: : sin30 :sin90 :sin60a b c = ° ° °
1 3
:1:
2 2
=
1: 2: 3=
ABC△ 中，已知 : : 1:1: 2A B C∠ ∠ ∠ = ，
試求 : :a b c 。
因為三角形內角和為180°
所以 1
180 45
1 1 2
A∠ = °× = °
+ +
1
180 45
1 1 2
B∠ = °× = °
+ +
2
180 90
1 1 2
C∠ = °× = °
+ +
由正弦定理得
: : sin45 :sin45 :sin90a b c = ° ° °
1 1
: :1
2 2
=
1:1: 2=
3-2
2
1

12. 第3 章 三角函數的應用 53
3
重點整理 餘弦定理
1. 定理：
ABC△ 中，可用兩邊一夾角表示第三邊，即 2 2 2
2 cosa b c bc A= + − 、 2 2 2
2 cosb c a ca B= + − 、
2 2 2
2 cosc a b ab C= + − 。
2. 推論：
若 ABC△ 之三邊長a 、b 、c 為已知，則可求得三內角之餘弦函數值為
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ −
= ，
2 2 2
cos
2
a c b
B
ac
+ −
= ，
2 2 2
cos
2
a b cC
ab
+ −
= 。
ABC△ 中，已知 60A∠ = °， 4AB = ， 5AC = ，
試求BC 之長。
（提示：利用餘弦定理。）
由餘弦定理知
2 2 2
2 cosBC AB AC AB AC A= + − × × ×
2 2
4 5 2 4 5 cos60= + − × × × °
21=
得 21BC =
ABC△ 中，已知 3BC = ， 5AC = ，
120C∠ = °，試求AB 之長。
由餘弦定理知
2 2 2
2 cosAB BC AC BC AC C= + − × × ×
2 2
3 5 2 3 5 cos120= + − × × × °
9 25 15= + +
49=
得 7AB =
ABC△ 中，若sin :sin :sin 7 :8:13A B C = ，
試求
(1) : :a b c 。(2) cosC 之值。
（提示：由sin : sin : sin : :A B C a b c= ，
且
2 2 2
cos
2
a b cC
ab
+ −
= 。）
(1) 由正弦定理知
: : sin :sin :sin 7 :8:13a b c A B C= =
(2) 設 7a k= ， 8b k= ， 13c k= （ 0k ）
得 ( ) ( ) ( )
2 2 2
7 8 13
cos
2 7 8
k k k
C
k k
+ −
=
× ×
1
2
= −
ABC△ 中，三邊長為a 、b 、c ，若
( ) ( ) ( ): : 5: 7 :6a b b c c a+ + + = ，試求
(1) : :a b c 。(2) cos A之值。
(1) 令 5a b k+ =
7b c k+ = ，（ 0k ）
6c a k+ =
+ − 得2 6b k= ，得 3b k=
代入 得 2a k= ，代入 得 4c k=
故得 : : 2:3: 4a b c =
(2) 由餘弦定理得
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 2 7
cos
2 3 4 8
k k k
A
k k
+ −
= =
× ×
3
4

13. 54 第 3 章 三角函數的應用
ABC△ 中，三邊長a、b、c 滿足 2 0a b c− + = ，
且3 2 0a b c+ − = ，試求最大角的度量。
（提示：由加減消去法，求出 : :a b c 。）
由 2 0a b c− + =
3 2 0a b c+ − =
2× + 得5 3 0a b− = ⇒ 5
3
b a=
代入 得 7
3
c a=
⇒ 5 7
: : : :
3 3
a b c a a a=
3:5:7=
由此可得 C∠ 是最大角
設 3a k= ， 5b k= ， 7c k= （ 0k ）
由餘弦定理知
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 5 7 1
cos
2 3 5 2
k k k
C
k k
+ −
= = −
× ×
得 120C∠ = °
ABC△ 中，三邊長a、b、c 滿足 2 0a b c− + = ，
且3 4 5 0a b c+ − = ，試求最大角的度量。
由 2 0a b c− + =
3 4 5 0a b c+ − =
2× + 得5 3 0a c− = ⇒ 3
5
a c=
代入 得3
2 0
5
c b c− + = ⇒ 4
5
b c=
所以 3 4
: : : :
5 5
a b c c c c=
3: 4:5=
由此可知 C∠ 為最大角
設 3a k= ， 4b k= ， 5c k= （ 0k ）
由餘弦定理知
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 5
cos 0
2 3 4
k k k
C
k k
+ −
= =
× ×
得 90C∠ = °
重點整理 三角形的面積公式
1. 已知兩邊一夾角，求三角形面積：
ABC△ 中，若已知兩邊一夾角，則 ABC△ 的面積為 1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ab C bc A ca BΔ = = = 。
2. 海龍公式（已知三邊長，求三角形面積）：
ABC△ 中，若已知三邊長a 、b 、c ，且令 ( )
1
2
s a b c= + + ，則 ABC△ 的面積為
( )( )( )s s a s b s cΔ = − − − ，此式稱為海龍公式。
ABC△ 中， 5AB = 、 8AC = 、 45A∠ = °，試
求 ABC△ 的面積。
（提示：利用 1
sin
2
bc AΔ = 。）
由已知 5c AB= = 、 8b AC= = 、 45A∠ = °，
故 1
8 5 sin45 10 2
2
Δ = × × × ° =
ABC△ 中， 120A∠ = °、 4AB = 、 3AC = ，試
求 ABC△ 的面積。
由已知 4c AB= = 、 3b AC= = 、 120A∠ = °，
故 1
3 4 sin120
2
Δ = × × × °
1 3
3 4
2 2
⎛ ⎞
= × × ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3 3=
5
6

14. 第3 章 三角函數的應用 55
3
ABC△ 中，已知 3AB = 、 5BC = 、 6CA = ，
試求 ABC△ 的面積。
（提示：令 ( )
1
2
s a b c= + + ，
則 ( )( )( )s s a s b s cΔ = − − − 。）
已知 5a BC= = 、 6b CA= = 、 3c AB= =
令 ( )
1
5 6 3 7
2
s = + + =
故 ( )( )( )7 7 5 7 6 7 3 2 14Δ = − − − =
ABC△ 中，已知 5AB = 、 6BC = 、 7CA = ，
試求 ABC△ 的面積。
由已知
6a BC= = 、 7b CA= = 、 5c AB= =
令 ( )
1
6 7 5 9
2
s = + + =
故 ( )( )( )9 9 6 9 7 9 5 6 6Δ = − − − =
ABC△ 中，已知 6AB = ， 3AC = ， 90A∠ = °，
A∠ 的內角平分線交BC 於D，求AD 的長。
（提示： ABC△ 的面積 ABD=△ 的面積+
ACD△ 的面積。）
因為AD 為 A∠ 的內角平分線且 90A∠ = °
所以 45BAD CAD∠ =∠ = °
如右圖所示：
ABC ABD ACDΔ =Δ +Δ
得1
6 3 sin90
2
× × × °
1 1
6 sin45 3 sin45
2 2
AD AD= × × × ° + × × × °
⇒ 9 2
9
4
AD=
⇒ 2 2AD =
ABC△ 中， A∠ 的內角平分線交BC 於D，若
6AB = ， 2 3AD = ， 60A∠ = °，求AC 的長。
因為AD 為 A∠ 的內角平分線且 60A∠ = °
所以 30BAD CAD∠ =∠ = °
如右圖所示：
ABC ABD ACDΔ =Δ +Δ
得1
6 sin60
2
AC× × × °
1 1
6 2 3 sin30 2 3 sin30
2 2
AC= × × × ° + × × × °
⇒3 3 3
3 3
2 2
AC AC= +
⇒ 3AC =
7
8

15. 56 第 3 章 三角函數的應用
1. ABC△ 中， 60A∠ = °，其外接圓半徑為2 3 公分，則邊長BC = 6 公分。
2. ABC△ 中，已知a、b、c 為其三邊長，且 6 4 0a b c− + = ，5 2 4 0a b c+ − = ，則sin :sin :sinA B C =
2:3: 4 。
3. 續上題，若最大角為θ ，則cosθ =
1
4
− 。
4. 在 ABC△ 中，若 5AB = 、AC b= 、BC a= 、 60A∠ = °，且 7a b+ = ，
如右圖所示，則a =
13
3
。
5. ABC△ 中 ， a 、 b 、 c 分 別 表 示 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的 對 邊 長 ， 若
( ) ( ) ( )2 2a b c a b c ab+ + + − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，求 C∠ 的度量為 135° 。
6. ABC△ 中， 8AB = 、 10BC = 、 12CA = ，則 ABC△ 的面積為 15 7 。
7. ABC△ 中， A∠ 的內角平分線交BC 於D，且 4AB = ， 5AC = ， 120A∠ = °，則AD 的長為
20
9
。
8. ABC△ 中， A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長分別為a、b 、c，若 2 2 2
sin sin sinA B C+ = ，試求 C∠
的度量為 90° 。
（提示：由 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = ，得sin
2
a
A
R
= ，sin
2
b
B
R
= ，sin
2
c
C
R
= 。）
9. 設 ABC△ 為直角三角形，以斜邊BC 為一邊向外作正方形BCDE ，若
5BC = 、 4CA = 、 3AB = ，如右圖所示，則sin ACD∠ = 4
5
。
10. 續上題， ACD△ 的面積為 8 。
實力測驗２

16. 第3 章 三角函數的應用 57
3
解三角形問題（含三角測量）
重點整理 三角形的解法
一個三角形有三個邊、三個角，由已知的邊和角，求其餘的邊和角，稱為解三角形，其原則如下：
1. 當已知條件為二角一邊（即A. A. S .或A. S . A.）時：
可由內角和180° ，求出第三個角，再由正弦定理求出另二邊。
2. 當已知條件為二邊一夾角（即S . A. S .）或三邊長（即S . S . S .）時：
可利用餘弦定理，求出其他的邊角。
3. 當已知條件為二邊一對角（即S . S . A.）時：
(1) 若由餘弦定理可得一個一元二次方程式，則由此方程式可得三角形可能有二解、一解或
無解。
(2) 若用正弦定理，則先求出另外的角（可能二解、一解或無解）。
ABC△ 中，已知 45B∠ = ° 、 105C∠ = ° 、
5BC = ，試求AC 之長。
（提示：已知條件為二角一邊，故可由正弦定
理，求其他的邊長。）
∵ 45B∠ = ° 、 105C∠ = °、 5a BC= =
∴ 180 45 105 30A∠ = °− °− °= °
由正弦定理得 5
sin30 sin45
b
=
° °
⇒ sin30 5 sin45b× ° = × °
⇒ 1 2
5
2 2
b× = × ⇒ 5 2b =
即 5 2AC b= =
在 ABC△ 中，若a、b 、c 分別為 A∠ 、 B∠ 、
C∠ 之 對 邊 長 ， 若 6c = 、 30A∠ = ° 、
105B∠ = °，試求a 之值。
∵ 30A∠ = °、 105B∠ = °
∴ 180 30 105 45C∠ = °− °− °= °
由正弦定理得 6
sin30 sin45
a
=
° °
⇒ sin45 6 sin30a× ° = × °
⇒ 2 1
6
2 2
a× = × ⇒ 3 2a =
3-3
1

17. 58 第 3 章 三角函數的應用
ABC△ 中， 3 1AB = − 、 2AC = 、 30A∠ = °，
試求
(1) BC 之長。(2) B∠ 的度量。
（提示：已知二邊一夾角時，可由餘弦定理，
求其他的邊角。）
(1)
2 2 2
2 cosBC AB AC AB AC A= + − × × ×
⇒ ( ) ( )
22 2
3 1 2 2 3 1 2 cos30BC = − + − × − × × °
4 2 3 4 6 2 3 2= − + − + =
⇒ 2BC =
(2) 由正弦定理知sin sin
BC AC
A B
=
得 2 2
sin30 sin B
=
°
⇒ 1
sin
2
B =
⇒ 45B∠ = ° 或135°
因為AC 是最大邊，所以 B∠ 為最大角
故 135B∠ = °
ABC△ 中 ， 6AB = 、 3 1AC = + 、
45A∠ = °，試求
(1) BC 之長。(2) C∠ 的度量。
(1) 由餘弦定理知
2 2 2
2 cosBC AB AC AB AC A= + − × × ×
( ) ( ) ( )
2 2
6 3 1 2 6 3 1 cos45= + + − × × + × °
6 4 2 3 6 2 3 4= + + − − =
⇒ 2BC =
(2) 由正弦定理知sin sin
BC AB
A C
=
得 2 6
sin45 sinC
=
°
⇒ 3
sin
2
C =
⇒ 60C∠ = °或120°
因為AC 是最大邊，所以 B∠ 為最大角
故 60C∠ = °
ABC△ 中，已知 3AB = 、 7BC = 、 5CA = ，
試求 A∠ 的度量。
（提示：已知三邊長，可由餘弦定理，求角。）
由已知 7a BC= = ， 5b CA= = ， 3c AB= =
得
2 2 2
5 3 7 1
cos
2 5 3 2
A
+ −
= = −
× ×
故 120A∠ = °
ABC△ 中，已知 7AB = 、 3BC = 、 8CA = ，
試求 C∠ 的度量。
由已知 3a BC= = ， 8b CA= = ， 7c AB= =
得
2 2 2
3 8 7 1
cos
2 3 8 2
C
+ −
= =
× ×
故 60C∠ = °
在 ABC△ 中，已知 2AB = 、 2 3BC = 、
120A∠ = °，試求AC 之長。
（提示：已知條件為二邊一對角時，若求邊則
利用餘弦定理較佳。）
已知 2c AB= = 、 2 3a BC= = 、 120A∠ = °
由餘弦定理得
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
⇒( )
2
2 2
2 3 2 2 2 cos120b b= + − × × × °
⇒ 2
2 8 0b b+ − = ⇒( )( )2 4 0b b− + =
⇒ 2b = 或 4− （不合）
即 2AC =
ABC△ 中，已知 2a = 、 2 3b = 、 30A∠ = °，
試求邊長c 。
由餘弦定理知
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
⇒ ( )
2
2 2
2 2 3 2 2 3 cos30c c= + − × × × °
⇒ 2
4 12 6c c= + −
⇒ 2
6 8 0c c− + =
⇒( )( )2 4 0c c− − =
⇒ 2c = 或 4c =
2
3
4

18. 第3 章 三角函數的應用 59
3
ABC△ 中，已知 2AB = 、 2 3BC = 、
120A∠ = °，試求 B∠ 的度量。
（提示：已知條件為二邊一對角時，若求角，
則利用正弦定理較佳。）
由正弦定理知
sin sin
a c
A C
=
得 2 3 2
sin120 sinC
=
°
⇒2 3 sin 2 sin120C× = × °
⇒ 1
sin
2
C =
⇒ 30C∠ = °或150°（不合）
故得 180 120 30 30B∠ = °− °− °= °
ABC△ 中， 2a = 、 2 3b = 、 30A∠ = °，
試求 C∠ 的度量。
由正弦定理知
sin sin
a b
A B
=
得 2 2 3
sin30 sin B
=
°
⇒2 sin 2 3 sin30B× = × °
⇒ 3
sin
2
B =
⇒ 60B∠ = ° 或120°
當 60B∠ = ° 時， 180 30 60 90C∠ = °− °− °= °
當 120B∠ = °時， 180 30 120 30C∠ = °− °− °= °
重點整理 三角測量
1. 名詞介紹：
(1) 視線（觀測線）：觀測點與目標物的連線。
(2) 仰角：由低處仰望目標物時，視線與水平線的夾角（如下圖(一)所示）。
(3) 俯角：由高處俯視目標物時，視線與水平線的夾角（如下圖(二)所示）。
(4) 方位：利用南北或東西為基準線，而定出目標物所在之方向稱為方位，例如：東30° 北，
南40°西（如下圖(三)所示）。
圖(一) 圖(二) 圖(三)
2. 三角測量的解法原則：
(1) 依題意作圖，轉化成解三角形的問題。
(2) 若三角形為直角三角形，則利用商高定理及三角函數的定義即可，若三角形不是直角三
角形，則利用正、餘弦定理。
5

19. 60 第 3 章 三角函數的應用
小龍於地面 A 處測得一鐵塔塔頂的仰角為
30°，自A向鐵塔前進50公尺到B 處，再測得
塔頂的仰角為45°，試求此鐵塔的高度。
（提示：作圖，再利用三角函數的定義。）
如右圖所示：
50AB =
設塔高PQ h=
APQ△ 中，cot30
AP
h
° =
⇒ cot30 3AP h h= ° =
BPQ△ 中，cot45
BP
h
° =
⇒ cot45BP h h= ° =
由 50 3AB AP BP h h= = − = −
⇒( )3 1 50h− =
⇒ ( )
50
25 3 1
3 1
h = = +
−
（公尺）
小虎於地面 A 處測得一電塔塔頂的仰角為
30° ，自A 向電塔前進100公尺到B 處，再測
得塔頂的仰角為60° ，試求此電塔的高度。
如右圖所示：
100AB =
設塔高PQ h=
APQ△ 中，cot30
AP
h
° =
⇒ cot30 3AP h h= ° =
BPQ△ 中，cot60
BP
h
° =
⇒ cot60
3
h
BP h= ° =
由 100 3
3
h
AB AP BP h= = − = −
同乘以 3 得100 3 3h h= −
⇒ 50 3h = （公尺）
阿龍在高20 公尺的樓頂上，測得正東的大榕
樹A之俯角為45°，在正南的小榕樹B 的俯角
為30° ，試求兩樹A與B 的距離。
（提示：作圖，再利用直角△的邊角關係。）
如右圖所示：
PQ 表阿龍所在的樓高
即 20PQ =
因為樹A的俯角為45°
故 45QAP∠ = °
⇒ 20cot45 20PA = ° =
又樹B 的俯角為30°
故 30QBP∠ = °
⇒ 20cot30 20 3PB = ° =
而 ABP△ 中， 90BPA∠ = °
⇒ ( )
22 2
20 20 3 1600AB = + =
⇒ 40AB = （公尺）
阿哲在高50公尺的鐵塔上，測得正西方水塔基
底的俯角為45° ，正南方電塔基底的俯角為
30° ，試求水塔與電塔之距離。
如右圖所示：
PQ 表鐵塔，即 50PQ =
A表水塔基底，因為俯角為45°
所以 45QAP∠ = °
⇒ 50cot45 50PA = ° =
B 表電塔基底，因為俯角為30°
所以 30QBP∠ = °
⇒ 50cot30 50 3PB = ° =
又 ABP△ 中， 90BPA∠ = °
⇒ ( )
22 2
50 50 3 10000AB = + =
⇒ 100AB = （公尺）
6
7

20. 第3 章 三角函數的應用 61
3
在南北向的海岸一段，一船停泊於岸外，一人
立於岸邊，見船在正西，此人向南行50 公尺
後，見船在其北60° 西，試求此船與海岸的距
離。
（提示：作圖，再利用直角△邊角關係。）
如右圖所示：
設船與岸的距離為x
則tan60
50
x
° =
⇒ 50 tan60 50 3x = × ° = （公尺）
有一船向北航行，在北30° 東的方位發現一燈
塔後，繼續向北前進10公里，此時燈塔的方位
為南60° 東，試求此時船與燈塔的距離。
設船在A處，測得燈塔C 之方位為北30° 東，航行
10 公里後，於B 處測得燈塔C 之方位為南60° 東，
此時船與燈塔之距離為BC
而 10AB = ， 90ACB∠ = °
如右圖所示：
故得sin30
10
BC
° =
⇒ 10 sin30 5BC = × ° = （公里）
一漁船在湖上等速前進，已知上午8點整，漁
船在觀測點O 的北65° 西4 浬處，上午9 點
整，則在觀測點O的北55° 東2 浬處，試求此
船的時速。
（提示：依題意作圖，再利用餘弦定理。）
設上午8 點整漁船在A點，上午9 點整在B 點，如
右圖所示：
則 OAB△ 中
4OA = 、 2OB =
65 55 120AOB∠ = °+ °= °
由餘弦定理得
2 2 2
4 2 2 4 2 cos120AB = + − × × × °
28=
⇒ 2 7AB = （浬）
故時速為2 7 （浬／小時）
小龍開著汽艇在湖上等速前進，小英在岸上用
儀器測得汽艇在觀測點O的西40° 南200 公尺
處，10 秒後，於原地再測得汽艇在O點的西
20° 北100公尺處，試求此汽艇在10秒內，行
駛多少公尺？
設汽艇原來位置在A點，10 秒鐘後在B 點，
如右圖所示：
則 OAB△ 中
200OA = 、 100OB =
40 20 60AOB∠ = °+ °= °
由餘弦定理知
2 2 2
200 100 2 200 100 cos60AB = + − × × × °
( )
2 2
100 4 1 2 100 3= + − = ×
⇒ 100 3AB = （公尺）
8
9

21. 62 第 3 章 三角函數的應用
1. ABC△ 中， 30A∠ = °、 45B∠ = °、 2BC = ，則AC = 2 2 。
2. ABC△ 中， 2AB = 、 3 1AC = + 、 60A∠ = °，則BC = 6 。
3. 續第2 題，則 C∠ 的度量為 45° 。
4. ABC△ 中，已知 2a = 、 2b = 、 30A∠ = °，則c = 3 1± 。
5. ABC△ 中，已知 2a = 、 3b = 、 60B∠ = °，則 C∠ 的度量為 75° 。
6. 海邊二瞭望臺A、B 相距80公尺，今由A、B 二處瞭望海面上一船C ，測得 60BAC∠ = °、
75ABC∠ = °，則BC 之長為 40 6 公尺。
7. 小龍放風箏，放出20 公尺的線，而風箏的仰角為45°，則此風箏的高度為 10 2 公尺。
8. 小明於地面A處測得一鐵塔塔頂的仰角為45°，自A向鐵塔前進20 公尺到B 處，再測得塔頂
的仰角為60° ，則此鐵塔的高度為 ( )10 3 3+ 公尺。
9. 根據氣象預報，賀伯颱風於某日下午6 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方300公里處，暴風
半徑為250 公里，以每小時50公里的速率朝「北30° 西」等速直線前進，設此颱風的速度、
方向及暴風半徑都不變，求鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有 8 小時。
10. 小龍在一鐵塔的正東A處測得塔頂的仰角為45°，他向正南走20 公尺後再測得塔頂的仰角為
30° ，試求鐵塔的高度為 10 2 公尺。
實力測驗３

22. 第3 章 三角函數的應用 63
3
（ D ）1. 試求sin50 cos40 cos50 sin 40° °+ ° ° 之值為 (A) 1− (B)0 (C)1
2
(D)1。
（ A ）2. ABC△ 中，已知 1
tan
3
A = ， 1
tan
2
B = ，則tan C 之值為 (A) 1− (B)0 (C)1
2
(D)1。
（ B ）3. 設 1
sin
5
α = ， 1
sin
10
β = 且α 、β 皆為銳角，請利用公式
( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ，試求α β+ = (A)30° (B)45° (C)60°
(D)90° 。
（ A ）4. 求8sin cos cos
16 16 8
π π π
之值為 (A) 2 (B)2 2 (C)3 2 (D)4 2 。
（ C ）5. 已知 4 4 1
cos sin
2
θ θ− = ，則cos2θ 之值為 (A) 1
4
− (B) 1
2
− (C)1
2
(D)1
4
。
（ D ）6. 已知 5sin 12cos 10y x x= − + 的最大值為 M ，最小值 m ，則數對 ( ),M m =
(A)( )13, 13− (B)( )16, 10− (C)( )18, 8− (D)( )23, 3− 。
（ D ）7. 若a 、b 、c 為 ABC△ 的三邊長，且2 3 4a b c= = ，則sin :sin :sinA B C =
(A)4:3: 2 (B)3:4:6 (C)2:3: 4 (D)6: 4:3。
（ C ）8. 設a 、b 、c 表 ABC△ 之三邊長，若 ( )
22
b c a ca− − = ，試求 B∠ 的度量為
(A)30° (B)45° (C)60° (D)120° 。
（ A ）9. ABC△ 中，已知 10a = 、 10 3b = 、 60B∠ = °，則 A∠ = (A)30° (B)45° (C)60°
(D)90° 。
（ D ）10. 承上題， ABC△ 的面積為 (A)20 3 (B)25 3 (C)30 3 (D)50 3 。
（ C ）11. 一船停泊在東西向的碼頭外，一人立於碼頭，見船在正北，此人向西行60 公尺後，
見船在東60° 北，則此船與碼頭的距離為 (A)20 3 (B)40 3 (C)60 3 (D)120
公尺。
（ B ）12. 一汽艇在湖上沿直線等速前進，小龍用儀器在岸上先測得汽艇在觀測點O的西37° 南
300公尺處，一分鐘後，於原地再測得汽艇在O點的西23°北200 公尺處，則此汽艇
在一分鐘內行駛多少公尺？ (A)100 5 (B)100 7 (C)100 13 (D)100 19 公
尺。
（ A ）13. 自一塔頂測得正西 A點俯角為45° ，正南 B 點俯角為30° ，若 60AB = 公尺，則塔高
為 (A)30 (B)40 (C)50 (D)60 公尺。
（ B ）14. 氣象局測出在20 小時期間，颱風中心的位置由恆春東南方400 公里直線移動到恆春
南15° 西的 200 公里處，則颱風移動的平均時速為 (A)5 3 (B)10 3 (C)15 3
(D)20 3 公里／小時。
綜合實力評量

23. 64 第 3 章 三角函數的應用
（ D ）15. 已知 ABC△ 中， 90C∠ = ° ， D在 BC 線段上，且線段長 2BD = ，
1DC = ， 3AC = ，如右圖所示。令 BAD θ∠ = ，求cosθ =
(A) 1
10
(B) 1
5
(C) 2
10
(D) 2
5
。
（ B ）16. 判斷下列各數值中，何者小於0 ？（參考公式： ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ）
(A)cos100 sin 2011° − ° (B) 2 2
cos 100 sin 100°− ° (C) 2 2
cos 2011 sin 2011°− °
(D)cos100 cos2011 sin100 sin 2011° ° − ° ° 。
（ C ）17. 下列選項中何者的值最大？ (A)sin 20 cos20° ° (B)sin35 cos35° ° (C)sin50 cos50° °
(D)sin 65 cos65° °。
（ C ）18. 坐標平面上以原點O為圓心的圓上有三相異點 ( )1, 0A 、 B 、C ，且 AB BC= ，已知
銳角 OAB△ 的面積為
3
10
，則 OAC△ 的面積為 (A) 9
25
(B)10
25
(C)12
25
(D)14
25
。

24. 第3 章 三角函數的應用 65
3
（ D ）1. 已知某銳角θ 滿足
4
cos
5
θ = ，求tan 2θ = (A)13
12
(B) 4
3
(C)12
5
(D) 24
7
。
【103 統測(B)】
（ A ）2. 已知一矩形的長為 2cos1 cos2° ° ，寬為 2sin1 csc4° ° ，則此矩形面積為何？ (A)1
(B)2 (C)3 (D)4 。 【103 統測(B)】
（ C ）3. 已知 ABC△ 三邊長a 、b 、c 滿足( ) ( )
2 2
2 3a b c ab− = − + ，若 C∠ 為邊長c 所對應
的角，則 C∠ = (A)30° (B)60° (C)150° (D)120° 。 【103 統測(B)】
（ D ）4. 已知平面上兩點
3 3
cos ,sin
4 4
A
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
、 cos ,sin
12 12
B
π π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
，求線段 AB 之長。 (A)1
(B) 3 1
2
+
(C) 2 (D) 3 。 【102 統測(B)】
（ A ）5. 已知 ABC△ 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C = ，求cos A之值。 (A)11
14
(B)5
7
(C) 9
14
(D) 4
7
。 【102 統測(B)】
（ D ）6. 已 知 AC 垂 直 B C′ ， 點 A′ 、 B 分 別 在 AC 、 B C′ 上 ，
13AB A B′ ′= = ，如右圖。若 2B A C BAC′ ′∠ = ∠ ，且 ABC△ 的面
積為 39 ，則 A B C′ ′△ 的面積為何？ (A)48 (B)42 (C)36
(D)30。 【102 統測(B)】
（ B ）7. 已知 ABC△ 中 6AC = ， 2 3BC = ， 30A∠ = °， 90B∠ ° ，則
ABC△ 之面積為何？ (A)2 3 (B)3 3 (C)4 3 (D)6 3 。 【101 統測(B)】
（ C ）8. 已知三角形 1△ 的三邊長分別為8、7、5，面積為 x；三角形 2△ 的三邊長分別為8、
6 、6 ，面積為 y ；三角形 3△ 的三邊長分別為9、7 、4 ，面積為 z ，則下列何者正
確？ (A) y z (B)x z (C)x y (D) 800x y z+ + = 。 【101 統測(B)】
（ A ）9. 已知 ABC△ 中，sin :sin :sin 1: 3 : 2A B C = ，則下列何者正確？
(A)2 3 2 3BC CA AB= = (B) : : 1: 3 : 2AB BC CA =
(C)cos :cos :cos 1: 3 : 2A B C = (D) 60A∠ = °， 30B∠ = ° ， 90C∠ = °。
【100 統測(B)】
（ B ）10. 已知 ABC△ 中， 90C∠ = °， D在 BC 線段上，且 50AC = ，
30ABC∠ = °， 45ADC∠ = °，如右圖所示，則 BD =
(A)50 (B) ( )50 3 1− (C)50 3 (D)100。
【100 統測(B)】
（ B ）11. 若 ABC△ 中， sin :sin :sin 1: 3 : 2A B C = ，則 sin cos sinA B C+ + = (A)1 (B)2
(C)3 (D)4 。 【99 統測(B)】
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25. 66 第 3 章 三角函數的應用
（ C ）12. 若 ABC△ 中， 6BC = ， 2 3AC = ，且 60A∠ = °，則 ABC△ 之面積為何？
(A)2 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)8 3 。 【99 統測(B)】
（ A ）13. 已知 ABC△ 中 8AB = ， 45B∠ = °， 60C∠ = °，則 BC =
(A) 4 6
4 2
3
+ (B) 4 6
4 2
3
− (C) 6
4 2
3
+ (D) 6
4 2
3
− 。 【98 統測(B)】
（ A ）14. 甲生於地面 A點處，測得某一個山頂 P 點之仰角為30°，若甲生朝
山頂正下方的山腳C 點方向，直線向前走1000公尺後到達 B 點（如
右圖），再測得此山頂 P 點之仰角為45°，則此山的高度為何？
(A) ( )500 3 1+ 公尺 (B) ( )500 3 2+ 公尺 (C) ( )250 3 3+ 公尺
(D) ( )250 3 4+ 公尺。 【98 統測(B)】
（ B ）15. 設
5
sin
5
α = ，
10
sin
10
β = ，且α 、β 皆為銳角，請使用複角公式 ( )sin α β+ =
sin cos cos sinα β α β+ ，試求α β+ = (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 。
【95 統測】
（ A ）16. 設 ABC△ 中， BC a= 、 AC b= 、 AB c= ，若 : : 5:7 :8a b c = ，試求 B∠ = (A)60°
(B)90° (C)120° (D)150° 。 【95 統測】
（ D ）17. 在 ABC△ 中，設 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 之對應邊長分別為a、b、c，若 120B∠ = °、 5a = 、
3c = ，則 ABC△ 的外接圓面積為何？ (A) 7
3
π
(B) 49
3
π
(C)7
3
π
(D) 49
3
π
。
【95 統測】
（ D ）18. 有一測量員發現：當他從 A點測量時，山是在他的東邊偏北60°，且山的仰角為45°；
若由 A點向東直行200 公尺到 B 點測量時，則山在他的西邊偏北60°。試求山高是多
少公尺？（若由低處觀測點仰望高處的目標物時，則目標物和觀測點的連線與水平
線的夾角稱為仰角） (A)100 (B)100 2 (C)100 3 (D)200 。 【95 統測】
（ C ）19. 在 ABC△ 中，設 a 、 b 、 c 分別為 A∠ 、 B∠ 、 C∠ 的對邊長。若 2 0a b c− + = 且
3 2 0a b c+ − = ， 則 下 列 何 者 正 確 ？ (A) A B C∠ ∠ ∠ (B) B C A∠ ∠ ∠
(C) C B A∠ ∠ ∠ (D) C A B∠ ∠ ∠ 。 【94 統測】
（ A ）20. 某湖邊上有三點 A、B 和C，若從C 點處測出 60ACB∠ = °、AC 長為200 公尺及 BC
長為100公尺，則 AB 長為多少公尺？ (A)100 3 (B)200 3 (C)100 (D)200 。
【94 統測】