O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, determinação de valores de incógnitas, e valores de expressões logarítmicas.
2. São fornecidas as definições e propriedades básicas de logaritmos necessárias para resolver os exercícios.
3. Os exercícios abordam vários tipos de problemas envolvendo logaritmos, como cálculo de logaritmos, determinação de bases e argumentos, e operações com logaritmos.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento descreve os passos para estudar uma função racional. Estes incluem determinar o domínio, estudar a continuidade, encontrar interseções com os eixos, analisar simetrias, monotonia e extremos, pontos de inflexão, assímptotas e esboçar o gráfico. A função dada é f(x)=1/2(x+1/x) e seu estudo segue esta sequência de procedimentos.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
1) O documento apresenta a resolução de 5 questões sobre medidas de dispersão, incluindo desvio médio, desvio padrão e variância.
2) As resoluções seguem os passos de calcular a média, construir o conjunto de desvios e aplicar as fórmulas corretas.
3) Os valores de resposta variam entre 2,4 e 11,6 de acordo com os conjuntos de dados e medidas de dispersão especificadas em cada questão.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
The document introduces two algorithms for constructing a suffix array: SA-IS and SA-DS. SA-IS uses induced sorting of longest common prefix substrings, while SA-DS uses radix sorting of fixed-length substrings. The document provides pseudocode for the algorithms and explains various terms and data structures used, including longest minimal suffixes, L-type and S-type characters, and buckets for sorting.
O documento descreve um programa sobre análise de estruturas por meio do método dos elementos finitos. O programa aborda 1) conceitos sobre elementos finitos, 2) construção do modelo matemático, 3) elementos utilizados na discretização, 4) malha de elementos finitos, 5) análise CAE, 6) análise dinâmica por elementos finitos e 7) diferentes tipos de análises estruturais que podem ser realizadas. O documento fornece os fundamentos teóricos e etapas para solução de problemas estruturais
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
1. O documento apresenta exercícios resolvidos sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, determinação de valores de incógnitas, e valores de expressões logarítmicas.
2. São fornecidas as definições e propriedades básicas de logaritmos necessárias para resolver os exercícios.
3. Os exercícios abordam vários tipos de problemas envolvendo logaritmos, como cálculo de logaritmos, determinação de bases e argumentos, e operações com logaritmos.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento descreve os passos para estudar uma função racional. Estes incluem determinar o domínio, estudar a continuidade, encontrar interseções com os eixos, analisar simetrias, monotonia e extremos, pontos de inflexão, assímptotas e esboçar o gráfico. A função dada é f(x)=1/2(x+1/x) e seu estudo segue esta sequência de procedimentos.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
1) O documento apresenta a resolução de 5 questões sobre medidas de dispersão, incluindo desvio médio, desvio padrão e variância.
2) As resoluções seguem os passos de calcular a média, construir o conjunto de desvios e aplicar as fórmulas corretas.
3) Os valores de resposta variam entre 2,4 e 11,6 de acordo com os conjuntos de dados e medidas de dispersão especificadas em cada questão.
O documento discute vários tipos de superfícies quádricas, incluindo elipsóides, hiperbolóides, parabolóides, superfícies cônicas e cilíndricas. Exemplos de equações para cada tipo de superfície são fornecidos junto com explicações gráficas. Alguns exercícios de identificação de superfícies a partir de equações são resolvidos.
The document introduces two algorithms for constructing a suffix array: SA-IS and SA-DS. SA-IS uses induced sorting of longest common prefix substrings, while SA-DS uses radix sorting of fixed-length substrings. The document provides pseudocode for the algorithms and explains various terms and data structures used, including longest minimal suffixes, L-type and S-type characters, and buckets for sorting.
O documento descreve um programa sobre análise de estruturas por meio do método dos elementos finitos. O programa aborda 1) conceitos sobre elementos finitos, 2) construção do modelo matemático, 3) elementos utilizados na discretização, 4) malha de elementos finitos, 5) análise CAE, 6) análise dinâmica por elementos finitos e 7) diferentes tipos de análises estruturais que podem ser realizadas. O documento fornece os fundamentos teóricos e etapas para solução de problemas estruturais
8. 第3 章 三角函數的應用 49
3
重點整理 正弦與餘弦函數的疊合
1. 實例:
將 sin cosy x x= + 化成正弦函數的形式:
1 1
sin cos 2 sin cos
2 2
y x x x x
⎛ ⎞
= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin
4
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得,當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值 2 ;當sin 1
4
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2− 。
也可將 sin cosy x x= + 化成餘弦函數的形式:
sin cosy x x= +
1 1
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin sin cos cos
4 4
x x
π π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 cos
4
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
由此可得,當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值 2 ;當cos 1
4
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2− 。
一般而言,當a 與b 是不全為0 的實數時,函數 sin cosy a x b x= + ,可以寫成
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
因為
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,所以存在一個角θ ,0 2θ π≤ ,使得 2 2
cos
a
a b
θ =
+
,
2 2
sin
b
a b
θ =
+
,於是
2 2
2 2 2 2
sin cos
a b
y a b x x
a b a b
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
( )
2 2
sin cos cos sina b x xθ θ= + +
( )
2 2
sina b x θ= + +
當 ( )sin 1x θ+ = 時,y 有最大值 2 2
a b+ ;
當 ( )sin 1x θ+ = − 時,y 有最小值 2 2
a b− + 。
同理, sin cosy a x b x= + 亦可化為 ( )
2 2
cosy a b x θ= + − 的形式。討論如前。
綜合上述,結論如下:
若a、b 是不全為0 的實數,則函數 sin cosy a x b x= + 有最大值 2 2
a b+ ,最小值 2 2
a b− + 。
9. 50 第 3 章 三角函數的應用
試將 sin 3cosy x x= − 化成 ( )siny r x θ= − 的
形式,其中 0r ,0 2θ π≤ ,並求r 、θ 及y
的最大、最小值。
(提示:先提 ( )
2
2
1 3 2+ − = 。)
sin 3cosy x x= −
1 3
2 sin cos
2 2
x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 sin cos cos sin
3 3
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2sin
3
x
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 2r = , 3
π
θ = ,且
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值2
當sin 1
3
x
π⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 2−
試將 2 3cos 2siny x x= − 化成
( )cosy r x θ= + 的形式,其中 0r ,
0 2θ π≤ ,並求r 、θ 及y 的最大、最小值。
因為 ( ) ( )
2 2
2 3 2 4+ − = ,所以
3 1
4 cos sin
2 2
y x x
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 cos cos sin sin
6 6
x x
π π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
4cos
6
x
π⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
得 4r = , 6
π
θ = ,且
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最大值4
當cos 1
6
x
π⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
時,y 有最小值 4−
試求 3sin 4cosy x x= − 的最大、最小值。
( 提示: sin cosy a x b x= + 的最大值為
2 2
a b+ ,最小值為 2 2
a b− + 。)
最大值 ( )
22
3 4 5M = + − =
最小值 ( )
22
3 4 5m = − + − = −
試求 12cos 5siny x x= − 的最大、最小值。
最大值 ( )
22
12 5 13M = + − =
最小值 ( )
22
12 5 13m = − + − = −
10
11