Il documento presenta soluzioni a vari quesiti di matematica, tra cui il calcolo del terzo lato di un triangolo utilizzando la formula di Erone, la determinazione del dominio di una funzione con disequazioni, e la ricerca dell'equazione di una retta con una data distanza da un punto. Viene anche discusso il calcolo del volume di un tronco di piramide e l'effetto di un aumento delle dimensioni su un volume. Infine, si analizzano problemi di permutazioni e minimizzazione di funzioni.

1. Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 1
Si ha un triangolo di lati a=2; b=3 e area A=3. Si vuole determinare il
terzo lato c.
Utilizzando la formula di Erone per il calcolo delle aree di un triangolo si
ha:
A =
√
p(p − a)(p − b)(p − c)
dove p il semiperimetro del triangolo.
Da qui, moltiplicando e risolvendo rispetto alla c si trova l’equazione
biquadratica:
c4
− 26c2
+ 169 = 0
Da qui si ottengono le due soluzioni reali√
13 −
√
13
di cui l’unica ammissibile
c =
√
13
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 2
Si vuole calcolare il dominio della funzione
f(x) =
√
1 −
√
2 −
√
3 − x
Il dominio sara ottenuto mettendo a sistema le tre seguenti disequazioni
1 −
√
2 −
√
3 − x ≥ 0 2 −
√
3 − x ≥ 0 3 − x ≥ 0
Le qui soluzioni sono rispettivamente:
x ≤ 2 x ≤ −1 x ≤ 3
Da cui si ottiene la soluzione
−1 ≤ x ≤ 2
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 3
Si cerca l’equazione della retta passante per il punto B(-6;-8 ) che abbia
distanza massima dal punto A(2;-1).
Chiamata r : y = mx + q la retta cercata, abbiamo, per l’appartenenza
del punto B, che
−8 = −6m + q (1)
Ora dobbiamo imporre la massima distanza dal punto A di r. La distanza
c data da d = y0−mx0−q√
1+m2 dove y0 e x0 sono le coordinate del punto A. Dunque
basta cercare i punti di massimo della funzione
d = −1−2m−q√
1+m2 = 7−8m√
1+m2 ottenuta tenendo conto della condizione (1)
studiandone il segno della derivata
d
′
=
−8
√
1+m2−
(7−8m)2m
2
√
1+m2
1+m2
1

2. Cose facendo si ottiene m = −8
7
; q = −104
7
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 4
Di un tronco di piramide retta si conoscono l’altezza h e i lati delle basi
a e b.Si Cerca il volume V.
Si ha per il volume di un tronco di piramide retto che il volume uguale a
V = h
3
(A + a +
√
A ∗ a)
dove A e a sono le aree delle due basi, quindi nel nostro caso una sar a2
e una b2
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 5
Un aumento delle dimensioni lineari di una valigia ne causa un relativo
aumento del volume e dunque della capacit. Infatti il volume dipende lin-
earmente da ognuna delle dimensioni della valigia. Quindi un aumento ad
esempio del 10delle dimensioni lineari far aumentare il volume di circa il 33
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 6
Il numero pi piccolo che possiamo ottenere 1234567.
Per ottenere il numero che occupa la settima posizione basta tener pre-
sente che le permutazionipossibili delle ultime tre cifre (5, 6 e 7) sono 6.
Quindi il numero immediatamente pi grande si otterr scambiando il posto
del 4 e del 5 ed :
1235467.
Per quanto riguarda la 721 posizione teniamo presente che 6! = 720, e
sarebbero tutte le permutazioni delle ultime sei cifre partendo sempre dal
numero pi piccolo possibile 1234567.
Quindi il numero che occupa la 721a posizione sar quello ottenuto inver-
tendo l’1 ed il 2 e cio:
2134567.
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 7
Abbiamo un foglio rettangolare di dimensioni a e b di aria 1 metro
quadrato.
Dividendo il foglio otteniamo due rettangoli simili a quello iniziale. (Saranno
quindi uguali i rapporti delle dimensioni) Se consideriamo a il lato minore, a
rimane uguale mentre b si dimezza.
Per individuare quindi le due dimensioni bisogna risolvere il sistema dato
dalle due equazioni:
2

3. a ∗ b = 1
a
b
=
b
2
a
Otteniamo nella seconda:
2a2
= b2
Risolvendo il sistema otteniamo:
a = 1
4√
2
b = 4
√
2
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 8
Vogliamo calcolare per quale valore di x positivo la funzione
g(x) =
∫ x
0
f(t)dt ha un minimo.
Studiamo il segno della sua derivata che la funzione f(x).
Dal grafico vediamo che si annulla in 0, 2 e 4. Per avere un minimo, la
derivata deve essere negativa prima del punto stazionario e positiva dopo.
Quindi dal grafico possiamo evincere che la x positiva che corrisponde ad un
minimo di g(x) x=4.
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Matematica indirizzo ordinario - Soluzione quesito 9
limx→0 4sin x cos x−sin x
x2 = limx→0 4sin x(cos x−1)
x2
Sfruttando i due limiti notevoli:
limx→0
sin x
x
= 1
e
limx→0
1−cos x
x
= 0
possiamo dedurre che:
limx→0 4sin x cos x−sin x
x2 = 0
3