1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG
TSĐH 2002-2014:Giải các PT sau:
1. A_2002: 5
cos3 sin3
sin 3 cos2
1 2sin2
x x
x x
x
+ 
+ = + ÷
+ 
2. B_2002: sin2
3x-cos2
4x=sin2
5x-cos2
6x
3. D_2002: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0
4. DB_A1_2002: Định m để PT sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc[0;π/2]:
2(sin 4
x+cos 4
x)+cos4x+2sin2x+m=0
5. DB_A2_2002:
4 4
sin x cos x) 1 1
cot 2
5sin2 2 8sin 2
x
x x
+
= −
6. DB_B1_2002:
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
7. DB_B2_2002: tanx+cosx-cos 2
x=sinx(1+tanx.tan
x
2
)
8. DB_D1_2002: Cho phương trình:
2sinx+cosx+1
=a
sinx 2cosx+3−
.GPT khi a=1/3 và tìm
a để PT có nghiệm
9. DB_D2_2002:
2
1
sin
8cos
x
x
=
10. A_2003 :
2cos2x 1
cotx-1= sin sin 2
1+tanx 2
x x+ −
11. B_2003:
2
cotx-tanx+4sin2x=
sin2x
12. D_2003 :
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c
π 
− − = ÷
 
13. DB_A1_2003: 3-tanx(tanx+2sinx)+6cosx=0
14. DB_A2_2003: cos2x+cosx(2tan2
x-1)=2
15. DB_B1_2003: 3cos4x-8cos6
x +2cos2
x+3=0 .
16. DB_ B2_2003:
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 4 1
2cos 1
x
x
x
π
− − −
=
−
17. DB_D1_2003:
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
18. DB_D2_2003: cotx=tanx+
2cos4
sin 2
x
x
19. B_2004 : 5sinx-2=3(1-sinx) 2
tan x
20. D_2004: (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx
21. DB_A1_2004: sin4xsin7x=cos3xcos6x
22. DB_A2_2004: 1 sin 1 cos 1x x− + − =
23. DB_B1_2004:4(sin3
x+cos3
x)=cosx+3sinx
24. DB_B2_2004
1 1
2 2 cos( )
cos sin 4
x
x x
π
− = +
25. DB_D1_2004:sinx+sin2x= 3 (cosx+cos2x)
26. DB_D2_2004:sin2x-2 2 (sinx+cosx)-5=0
27. A_2005: 2 2
os 3 os2x cos 0c x c x− =
28. B_2005:1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0
29. D_2005: cos4
x+sin4
x+cos(x − π/4)sin(3x − π/4) − 3/2=0
30. DB_A1_2005:4sin2
(x/2)- 3 cos2x=1+2cos2
[x-(3π/4)]
31. DB_A2_2005:2 2 cos3
(x- π/4) − 3cosx-sinx=0
32. DB_B1_2005: sinxcos2x+ cos2
x(tan2
x − 1)+2 sin3
x=0
33. DB_B2_2005:tan(π/2+x) − 3tan2
x= 2
cos2 1
cos
x
x
−
34. DB_D1_2005: tan(3π/2 − x) +
sin
1 cos
x
x+
=2
35. DB_D2_2005:sin2x+cos2x+3sinx − cosx − 2=0
36. A_2006 :
( )6 6
2 sin os sinxcosx
0
2 2sinx
x c x+ −
=
−
37. B_2006:cotx+sinx(1+tanx tan
2
x
)=4
38. D_2006: cos3x+cos2x-cosx-1=0
39. DB_A1_2006: cos3x.cos3
x − sin3x.sin3
x=(2+3 2 )/8
40. DB_A2_2006: 2sin(2x
6
π
− )+4sinx+1=0
41. DB_B1_2006: (2sin2
x-1)tan2
2x+3(2cos2
x − 1)=0
42. DB_B2_2006: cos2x+(1+2cosx)(sinx − cosx)=0
43. DB_D1_2006: cos3
x+sin3
x+2sin2
x=1
44. DB_D2_2006:4sin3
x+4sin2
x+3sin2x+6cosx=0
45. A_2007: ( ) ( )2 2
1 sin osx+ 1+cos sinx=1+sin2xx c x+
46. B_2007: 2
2sin 2 sin7 1 sinxx x+ − =
47. D_2007:
2
x
os 3 osx=2
2 2
x
sin c c
 
+ + ÷
 
48. DB_A1_2007:sin2x+sinx −
1 1
2cot 2
2sin sin2
x
x x
− =
49. DB_A2_2007:2cos2
x+2 3 sinxcosx+1=3(sinx+ 3 cosx)
50. DB_B1_2007:sin(
5
2 4
x π
− ) − cos(
2 4
x π
− )= 2 cos(
3
2
x
)
51. DB_B2_2007:
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
52. DB_D1_2007: 2 2 sin(x −
12
π
)cosx=1
53. DB_D2_2007:(1 − tanx)(1+sin2x)=1+tanx
54. A_2008:
1 1 7
4sin
3sinx 4
sin
2
x
x
π 
+ = − ÷π   − ÷
 
55. B_2008: 3 3 2 2
sin 3 os sinxcos 3sin osxx c x x xc− = −
56. D_2008: 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
57. DB_A1_2008: 2
tan cot 4cos 2x x x= +
58. DB_A2_2008: sin(2x- π/4)=sin(x- π/4)+ 2 /2
59. DB_B1_2008 : 2sin(x+π/3)-sin(2x- π/6)=1/2
60. DB_B2_2008 :
2
3sin cos2 sin2 4sin cos
2
x
x x x x+ + =
61. DB_D1_2008 : 4 4
4(sin cos ) cos4 sin2 0x x x x+ + + =
62. DB_D2_2008:
2
2
tan tan 2
sin( )
2 4tan 1
x x
x
x
π+
= +
+
63. A_2009:
(1 2sin ) osx
3
(1 2sin )(1 sin x)
x c
x
−
=
+ −
64. B_2009: 3
sin cos sin 2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x+ + = +
65. D_2009: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x− − =
66. A_2010:
(1 sin cos2 )sin( )
14 cos
1 tan 2
x x x
x
x
π
+ + +
=
+
67. B_2010 : (sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx=0
68. D_2010 : sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1=0
69. CĐ_ABD_2009 : (1+2sinx)2
cosx=1+sinx+cosx
70. CĐ_ABD_2010 :
5 3
4cos cos 2(8sin 1)cos 5
2 2
x x
x x+ − =
71. CĐ_ABD_2008: sin3x- 3 cos3x=2sin2x
72. Mẫu A_2009 : 3 (2cos2
x+cosx-2)+(3-2cosx)sinx=0
73. Mẫu BD_2009: (1+2cos3x)sinx+sin2x=2sin2
(2x+
4
π
)
74. A_2011: 2
1 sin 2 cos2
2sin sin 2 .
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
75. B_2011: sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x+ = + +
76. D_2011:
s n2 2cos sin 1
0
tan 3
i x x x
x
+ − −
=
+
.
77. CĐ_ABD_2011: cos4x + 12sin2
x -1 =0
78. A,A1_2012: 3sin2x+cos2x=2cosx-1
79. B_2012: 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1.x x x x x+ = − +
80. D_2012:sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
81. CĐ_A A1 BD_2012: 2cos2x + sinx = sin3x
82. A,A1_2013: 1+tanx=2 2 sin(x+ π/4)
83. B_2013: 2
sin5 2cos 1x x+ =
84. D_2013: cos2x + sin3x – sinx=0
85. CĐ_A A1 BD_2013: cos(π/2 − x) +sin2x=0
86. A,A1_2014 sin 4cos 2 sin2x x x+ = +
87. B_2014: ( )2 sin 2cos 2 sin2xx x− = −
88. Cho góc α thỏa
π α
α π α
α
< <
+ 2
3 tan
vaøsin = . Tính A=
2 5 1 tan
1

2. ♫CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
♥PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thức lượng giác cơ bản
1. 2 2
sin x cos x 1+ =
2.
sin x
tan x
cos x
=
3.
cos x
cot x
sin x
=
4. tan x.cot x 1=
5.
2
2
1
1 tan x
cos x
+ =
6.
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
II. Các cung liên kết:
1.ĐỐI● sin( x) sin x− = − ● cos( x) cos x− =
● ● tan( x) tan x− = − ● cot( x) cot x− = −
2.BÙ● sin( x) sin xπ − = ● tan( x) tan xπ − = −
● cos( x) cos xπ − = − ● cot( x) cot xπ − = −
3.PHỤ● sin x cos x
2
π 
− = ÷
 
● tan x cot x
2
π 
− = ÷
 
● cos x sin x
2
π 
− = ÷
 
● cot x tan x
2
π 
− = ÷
 
4. HƠN KÉM π
● sin(x ) sin x+ π = − ● tan(x ) tan x+ π =
● cos(x ) cosx+ π = − ● cot(x ) cot x+ π =
III. Công thức cộng:
1. sin(x y) sin x cos y cos xsin y± = ±
2. cos(x y) cos x cos y sin xsin y± = m
3.
tan x tan y
tan(x y)
1 tan x tan y
±
± =
m
IV. Công thức nhân đôi, hạ bậc
1.
2 2
2
2
cos2x cos x sin x
cos2x 2cos x 1
cos2x 1 2sin x
= −
= −
= −
2. sin 2x 2sin x cos x=
3. 2
2tan x
tan 2x
1 tan x
=
−
4. 2 1 cos2x
sin x
2
−
=
5. 2 1 cos2x
cos x
2
+
=
V. Công thức nhân ba, hạ bậc:
1. 3
sin3x 3sin x 4sin x= −
2. 3 3sin x sin3x
sin x
4
−
=
3. 3
cos3x 4cos x 3cos x= −
4. 3 3cos x cos3x
cos x
4
+
=
VI.Tính sinx, cosx,tanx theo t=tan(x/2):(chia đôi)
2
2t
sin x
1 t
=
+
;
2
2
1 t
cosx
1 t
−
=
+
; 2
2t
tan x
1 t
=
−
VII.Công thức biến đổi tổng thành tích:
x y x y
1)cos x cos y 2cos cos
2 2
x y x y
2)cos x cos y 2sin sin
2 2
x y x y
3)sin x sin y 2sin cos
2 2
x y x y
4)sin x sin y 2cos sin
2 2
sin(x y)
5) tan x tan y
cos xcos y
sin(x y)
6)cot x cot y
sin xsin y
sin(x y)
7) tan x tan y
cos x cos y
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
+
+ =
−
− =
sin(y x)
8)cot x - cot y
sin xsin y
−
=
● Trường hợp riêng:
2
π π
1.sinx+cosx= 2sin x+ = 2cos x
4 4
π π
2.sinx-cosx= 2sin x = 2cos x+
4 4
3.1 sin2x=(sinx cosx)
   
− ÷  ÷
   
   
− − ÷  ÷
   
± ±
VIII.Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
1.cos xcos y cos(x y) cos(x y)
2
1
2.sin xsin y cos(x y) cos(x y)
2
1
3.sin xcos y sin(x y) sin(x y)
2
= + + −
= − + − −
= + + −
• Một số công thức thường gặp
(phải chứng minh khi sử dụng)

4 4 21
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = −

6 6 23
sin x cos x 1 sin 2x
4
+ = −

1 tan x
tan x
1 tan x 4
+ π 
= + ÷
−  
-
 4 4
cos x sin x cos2x− =

6 6 33 1
sin x cos x cos2x cos 2x
4 4
− = − −

2
cot x tan x
sin 2x
cot x tan x 2cot 2x
+ =
− =
IX. Phương trình lượng giác gốc
(với k∈ Z)
1. sin x 1 x k2
2
π
= ⇔ = + π
2. sin x 1 x k2
2
π
= − ⇔ = − + π
3. sin x 0 x k= ⇔ = π
4. cos x 1 x k2= ⇔ = π
5. cosx 1 x k2= − ⇔ = π + π
6. cosx 0 x k
2
π
= ⇔ = + π
7. sinx= ± 1 ⇔ cosx=0
8. cosx= ± 1 ⇔ sinx=0
X.Phương trình lượng giác cơ bản:
1.
x k2
sin x sin (k Z)
x k2
=α+ π
= α⇔ ∈ =π−α+ π
2.
x k2
cos x cos (k Z)
x k2
=α+ π
= α⇔ ∈ =−α+ π
3. tan x tan x k (k Z)= α⇔=α+π ∈
(cosx ≠ 0)
4. cot x cot x k (k Z)= α⇔=α+π ∈
(sinx ≠ 0)
XI. PT bậc 2 theo một hàm số lượng giác:
Dạng: 2
a sin x b sin x c 0+ + = , trong đó sin x có
thể là cosx , tan x hoặc cot x .(với a≠0)
Cách giải: Đặt t sin x= , khi đó phương trình
đã cho trở thành: at2
+bt+c=0
Chú ý: Nếu t sin x= hoặc t=cosx thì ta có
điều kiện [ ]t 1;1∈ −
XII.P/ trình bậc nhất theo sinx và cosx:
Dạng: a sin x b cos x c+ =
, với điều kiện ab 0≠
Điều kiện của pt có nghiệm là: 2 2 2
a b c+ ≥
Cách giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2
a b+
và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ
bản.
XIII.PTđẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: 2 2
a sin x b sin x cos x c cos x d+ + = (ac ≠ 0)
Cách giải:
- Kiểm tra xem cos x 0= có thỏa mãn pt hay
không?
- Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của
pt cho 2
cos x ta được pt bậc 2 theo tanx
Chú ý: Khi cosx 0= thì ta có: 2
sin x 1=
XIV. Phương trình đối xứng,tựa đối xứng:
Dạng: a (sin x cos x) b sin x cos x c 0± + + =
Cách giải:Đặt t sin x cosx= ± , với
t 2; 2 ∈ −  . Khi đó ta có:
2 21
t 1 2sin xcos x sin x cos x (t 1)
2
= ± ⇒ = ± −
-Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối
với ẩn t
XV.Gía trị lượng giác đặc biệt
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sinx 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosx 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tanx 0 √3/3 1 √3
P
cotx P √3 1 √3/3 0
1 2
cos sin ( )
2 3 6
π π
− = = −
3 5
cos sin ( )
2 6 3
π π
− = = −
2 3
cos sin ( )
2 4 4
π π
− = = −
3 tan( ) cot ( )
3 6
π π
− = − = −
3
tan( ) cot( )
3 6 3
π π
− = − = −
= = =Hết = = =
2