một số dạng thường gặp

1. Mũ_Logarit 1
Phương trình mũ.
Dạng tổng quát: x
a b (với 0 1a  )
0b  Phương trình vô nghiện
0b  Phương trình có nghiệm duy nhất logax b
I) Phương pháp 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
. Cách giải.
Sử dụng các công thức lũy thừa, mũ để đưa phương trình đã cho về dạng:
( ) ( ) 1
( ) ( )
f x g x a
f x g xa a

   
. Luyện tập.
Bài 1. Giải các pt sau:
1.
1 1
3 3 3 9477x x x 
   a)
1 1
2 3 6.3 3 9x x x 
   
2.
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3x x x x x x    
    
b)    
2 1 1
6 1
17 4 17 4
x x
x x
 

  
3. 5 3 3 2 7 2 4 3x x x x
      
c)
2
2 1 4 8 2 8 78
4 5 5 10x x x x   
  
4.
2
8 2 1
2 8x x x  

d)
2 8 8
4 3 2
1
3 243 9
9
x x
x x
 
 
  
5.
2 25 125
5 8 64
x x
   
    
    e)
1 21
2 5 10
5
x x x 
  
Bài 2. Giải các pt sau:
1.
 
2 8
1
3 3 3
81
xx 
 
  
  a)
1 1
1
1
2 4 16
8
x x x
x
 

  
2.
8 1 6 7
3 33 4
3 3 3 3 3 3 9 27
x x 
   
       
b)
1
5 8 100x x
 
3. 2 3 216x x
 
c)
1 3 1 20 60
4 3 5
27
x x x  
  
4.
     
2 2 1
1
3 4 2
2 . 2 . 4 2
x
x x x
x


 d)
2 2 2 2
1 2 1
2 2 3 3x x x x  
  
5.
 
2 1
7
1
8 0,25 2
x
x
x


  e)
8 191 1
22 2 4
16 0,25 2
x
x x x

  

 

2. Mũ_Logarit 2
6.  
51
2 5 0,1 10x x x
  
f)
2 2 11 1
3 4 9 6 4 9
3 2
x x x x  
      
7.
2 8
5 125
x x
 g)
4 6 8 4
5 25
x x 

Bài 3. Giải các pt sau:
1.
 
8
3 2 2 3 2 2
x
   2.  
1 3
2 ( 2)
x x
x x
 
  
3.
   
8 1 5 6
5 2 6 5 2 6
x x 
  
4.
 
2
2
1
x
x x

 
5.
   
8 1
1 8
82 9 82 9
x x
x x
 
 
  
6.
   
22 48 5 2 2
3 6 9
x xx x
x x x
  
   
7.
   
2
2 9 2 7
7 48 7 48
x x x  
   8.
 
2
42
5 4 1
x
x x

  
II) Phương pháp 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
. Cách giải:
Dạng 1: ( )
( ) 0f x
P a  ↝ đặt ( )f x
t a (Đk: 0t  )
0
( ) 0
t
P t

 

(với ( )P t là đa thức bậc 2, 3 hoặc 4 ẩn là t)
 Dạng 2: 2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) 0f x f x f x
a a b b        ↝ Chia cả hai vế cho 2 ( )f x
a hoặc 2 ( )f x
b
( ) 2 ( )
2 ( ) ( )
0
0
f x f x
f x f x
b b
a a
a a
b b
  
  
    
        
   

           
    
↝ Dạng 1
 Dạng 3: ( ) ( )f x f x
a b c  với
1
0
a b
c
 


↝ đặt ( ) ( ) 1
0f x f x
t a b
t
   
21
1 0t c t ct
t
      
. Luyện tập.
Bài 1. Giải các pt sau:
1. 9 5.3 6 0x x
  
a)
12 2sincot
4 2 3 0xx
  
2.
 
2
7
6. 0,7 7
100
x
x
x
  b)
2 2
1 2sin 2cos
4 9.4 3x x 
 
3.
1 2
2 15.2 8 0x x
   c)
2 2
sin cos
25 25 26x x
 
4.
1
4.4 9.2 8 0x x
   d)
2 2
2 2
4 2.2 8 0x x 
  

3. Mũ_Logarit 3
5.
   7 4 3 2 3 6
x x
    e) 6 3
3. 2 0x x
e e  
6.
2 2
4 16 10.2x x 
 
f)
 
2
3
2. 0,3 3
100
x
x
x
 
7.
2 2
2 3.2 1 0x x
   g) 2
3 3 10 0x x 
  
8.
2 2
sin cos
9 9 6x x
  h)
2 2
2 2 15 0x x 
  
9.
1
5 5 4 0x x
   i)
1
3 3 4 0x x
  
Bài 2. Giải các pt sau:
1.    7 4 3 3 2 3 2 0
x x
    
2.
   5 2 6 5 2 6 10
x x
   
3.
   3 2 2 2 2 1 3
x x
   
4.
   
tan tan
8 3 7 8 3 7 16
 
   
5.
   
2 2
2 3 2 3 4
x x
   
6.
   
cot cot
2 3 2 3 4
x x
   
7.
   5 24 5 24 10
x x
    8.
2
3 3 5 5x x
  
Bài 3. Giải các pt sau:
1. 8 2 4 2 2 0x x x
      2. 2 1
25 10 2x x x
 
3.
2
2
9 10 4
2 4
x
x

 4. 2 2
4 2 6 18 3x x x
   
5. 2
8 2
5
4
x x
x

 6. 2 4 2 2
3 45 6 9 2 0x x x 
    
7. 3 9 7 6 6 4 0x x x
      8. 64 9 84 12 27 16 0x x x
     
9.
1 1 1
4 6 2 9
x x x
x x x
  
   10.
1 1 1
4 6 9x x x
 
III) Dạng 3. Phương pháp logarit hóa.
. Cách giải:
Dạng 1:
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
log 0
1
log 0
f x f x g x
af x f x g x
f x f x g x
b
a b
a b
a b



  
  
  
 
 
( ) ( ) ( ) log 0 ( ) 1 ( ) log 0
( ) log ( ) ( ) 0 ( ) log ( ) 0
a a
b b
f x f x g x b f x g x b
f x a f x g x f x a g x
        
  
       
(đưa về phương trình tích)

4. Mũ_Logarit 4
Dạng 2:
( ) ( ) ( )f x f x g x
a b 

   ( ) ( ) g(x)
( ) 0
log log (x) log ( ) ( )
( ) log
f x f x
b b b
a
f x
a b f a f x g x
g x b


        
...
. Luyện tập: giải các phương trình sau bằng phương pháp logarit.
1.
2
4 2
2 5 1x x 
 
1.
1
3 8 36
x
x x
  1.
2
5 6 3
5 2x x x  

2.
2
2 8
2
3 4 18
x
x x


  2.
3
2 1
5 2 4
x
x x 
 
2.
4 1 8 2
2 1
5 7
x x 
   
   
   
3.
2
1 1
8 5
8
x x 
 
3.
4 1 8 2
2 1
5 7
x x 
   
   
   
3.
2
4 2
2 5x x 

4.
2
3 2 1x x
  4.
2
3 5 6
2 3x x x  
 4.
2
16 4
3 5x x 

5.
3
2
3 2 6
x
x x
  5.
2 34 2
22 5 3
5 7 0
xx x  
  5.
2 1
1 2
4 9 3 2
x
x


  
6.
2
2 3
2 3
2
x x x
  6.
42
8 4 3
x
xx 
  6. 22
8 36 3
x
xx 
 
IV) Dạng 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
. Cách giải:
Chú ý: cho hàm số mũ  0 1x
y a a  
Nếu 0 1a  Thì x
y a là hàm luôn nghịch biến x ℝ
Nếu 1a  Thì x
y a là hàm luôn đồng biến x  ℝ
Xét phương trình ( ) 0f x  . Giả sử hàm số ( )y f x có TXĐ là D.
Hàm số ( )y f x đơn điệu (ĐB hoặc NB) trên khoảng  ;a b D .
Nếu tồn tại  0 ;x a b sao cho 0( ) 0f x  0x là nghiệm duy nhất của phương trình.
. Luyện tập: giải các phương trình sau:
1. 3 5 2x
x 
a)
2
2 3 1
x
x
  i.
   2 3 2 3 4
x x
x
   
2. 4 3 5x x x
 
b)
2
3 4 5
x
x
  ii.
1 1
2 2
x
x
 
  
 
3.
6
7 2x
x
  c) 2 3 0x
x  
iii.
2
1 5x
x x  
Tham khảo thêm trong SGK+SBT Giải tích lớp 12 nâng cao

5. Mũ_Logarit 5
Phương trình logarit.
Dạng tổng quát: loga x b (với 0 1a  )
Phương trình luôn có nghiệm là: 0b
x a 
I) Phương pháp 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
. Cách giải.
Sử dụng các công thức logarit để đưa phương trình đã cho về dạng:

( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
 
    
 

( ) 0 ( ) 0
log ( )
log ( ) log ( )
a b b
a a
f x f x
f x b
f x a f x a
 
   
 
. Luyện tập:
 3log 2 1 2x   
 2
3log 8 9 2x x   
   2 2log 2 log 2 2x x   
 1
4
4
1
log 3 1 logx
x
  
     2
log 2 3 log 3 log 1x x x x       2 2 2log log 6 log 7x x  
   25 5 52log 3 11 log 27 3 log 8x x      4log 2 log 2 1xx   
3
3
5 0,2 25
log log log 7x x  
   2 2
5
1
log 3 log 1
log 2
x x   
 2
2 2
5
log log 25 0
5
x
x
x

  

27 3
3
log 3 3log 2log
4
x x x 
   1
2
2
2log 1 log 1x x      2
2 2log 3 log 6 10 1 0x x    
 9 3log log 2 1 1x x        1
2
2
2 2
1
log 1 log 4 log 3
2
x x x    
   3 5 3log 2 log 2log 2x x x   
9
2 1
log
1 2
x
x


     2
2 4 2log 1 2log 2 1 log 5 4x x x x         2 2log 3 log 1 3x x   
     2 42
1
log 1 log 1 2log 2 1
2
x x x      2 2 2
log 9 4 log 3 log 3x
x  
     2 9 3 3
log 5 log 2 log 1 log 2x x x         2
2 5 2log log 3 log 5x x x   
   1
2
2
2log 8 log 1 1 2 0x x x      
 2 2
1
log 4 15 2 27 2log 0
4 2 3
x x
x
 
     
  

6. Mũ_Logarit 6
II) Phương pháp 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
. Cách giải.
Đặt log ( )at f x
. Luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.
1) 2
2 2log 4log 3 0x x   1) 2
2 4
1
log 2log 0x
x
 
2) 3 2
log 10 log 10 6log 10 0x x x   2) 3 2
log 2log 2 logx x x   
3) 2
2 4log 6log 4x x  3) 1
2
2
22
log 3log log 2x x x  
4) 3
1
2
log 22
22log 5log 3 0x x  
4)  1
2
2
2
2log 4 log 8
8
x
x
 
  
 
5)    
22
2 2 2log 1 3log 1 log 32 0x x     5)    1
4
2
2log 2 8log 2 5x x   
6) 4
7
log 2 log 0
6
x x   6)  2
5 25log 4log 5 5 0x x  
7) 2 2
4 44log 2log 1 0x x   7) 2
9 9log 8log 1 0
9
x
x   
Bài 2: Giải các phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.
1)
1 2
1
5 log 1 logx x
 
 
1) 2 9log 3 log 1x
x 
2)  3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
xx
x
   

2)    2
2
25log 125 2log 5 5x
x x 
3)
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
 
 
3) 2
log 5 5 1,25 log 5x x 
4)
1 2
1
4 log 2 logx x
 
 
4)  2 2log 2 log 4 3
x
x 
5)
   2 3
2 4
1 2
1 0
3 log 4 2 log 16x x
  
 
5)  2 23 log log 4 0x x 
6) 7
1
log log 2
7
xx   6) 1 1
3 3
log 3 log 2 0x x  
7)    1
2
42 2 2
2log log 3 0x x x x     7) 2
2 2log log 1 1x x  
Bài 3: Giải các phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.
 2
2 2log 1 log 6 2x x x x         2
3 3log 1 5 log 1 2 6x x x x     
1
2
2
2
2 log 4
1
log 4 1 log
x
x x

 

 2
2 2log 2 1 log 4 0x x x x   
   2 2 2 2
1
3
2
3log 4 2 3 log 4 2 3 2 0x x x x x x x x   
              2
3 32 log 1 4 1 log 1 16x x x x     

7. Mũ_Logarit 7
III) Phương pháp 3. Phương pháp mũ hóa.
. Lý thuyết.
Dạng 1: log ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( ) 0
log ( ) ( )
( )aa f x g x g x
f x f x
f x g x
a a f x a
  
   
 
Dạng 2: log ( ) log ( )a bf x g x
Đặt t log ( ) log ( ) ta bf x g x   . Phương trình
( )
( )
t
t
f x a
g x b
 
 

Biểu diễn PT theo ẩn t
. Luyện tập.
 2log 9 2 3x
x    2
2 4log 1 1x x  
 1
3log 3 26 2x
x
  
 2
3
1
log 3 1 2
2
x x x    
 7log 6 7 1x
x
    2
log 2 1x x  
 1
3log 4 3 1 2 1x
x
     2
log 2 7 12 2x x x  
 2log 12 2 5x
x    2
5 3log 6 2 logx x x  
 2log 3 2 1 2 1x
x     7 3log log 2x x 
 1
4log 3 2 5x
x
    4
6 42log logx x x 
 1
5x log 5 20 2x
      2 2
3 2log 2 1 log 2x x x x   
 1
5
1
log 6 36 2x x
   5log 3
2 x
x

 3log 9 8 2x
x  
IV) Phương pháp 4. Phương pháp sử dụng đồ thị, tính đơn điệu của hàm số.
. Lý thuyết.
 Cho hàm logarit logay x với 0 1a  , TXĐ:  0;D  
TH1: 1a  Hàm số logay x luôn đồng biến trên D
TH1: 0 1a  Hàm số logay x luôn nghịch biến trên D
 Cho phương trình ( ) ( )f x g x nếu ( )y f x là hàm tăng trên D và ( )y g x là
hàm giảm trên D (hoặc ngược lại) thì phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm.
Xét phương trình ( ) ( )f u f v có miền xác định D .
Gọi phương trình đặc trung là ( )f t nếu ( )f t đơn điệu trên D
( ) ( )f u f v u v    ...
. Luyện tập. SGK/SBT