1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tọa độ của vectơ và của điểm:
Cho
( ; ; )
( ; ; )
u x y z u xi y j zk
M x y z OM u xi y j zk
 = ⇔ = + +

= ⇒ = = + +
Nếu ( )( ; ; ), ( ; ; ) ; ;A A A B B B B A B A B AA x y z B x y z AB x x y y z z= = → = − − −
Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
Cho 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= = .
Khi đó
( )1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2
1 2
1 2
; ;
( ; ; ),
( ; ; ), ,
; ( ) ( ) ( )A B A B A B
u v x x y y z z
ku kx ky kz k
mu nv mx nx my ny mz nz m n
u x y z v x y z AB x x y y z z
x x
u v y y
z z
± = ± ± ±
= ∈
± = ± ± ± ∈
= + + = + + → = − + − + −
=

= ⇔ =
 =
ℝ
ℝ
Hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= = cùng phương
2 1
2 2 2
2 1
1 1 1
2 1
:
x kx
x y z
k v ku y ky hay
x y z
z kz
=

⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =
 =
ℝ
Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho 1 1 1 2 2 2( ; ; ), ( ; ; )u x y z v x y z= = .
Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi ( ) 1 2 1 2 1 2. .cos ,u v u v u v x x y y z z= = + +
Từ đó suy ra ( ) 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos , . 0 0
.
x x y y z zu v
u v u v u v x x y y z z
u v x y z x y z
+ +
= = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
+ + + +
Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho: = − = − = − − =(1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,a b c i j k d i
a) Xác định k để véctơ = −(2;2 1;0)u k cùng phương với .a
b) Xác định các số thực m, n, p để: = − +d ma nb pc
c) Tính +; ; 2a b a b
Hướng dẫn giải:
a) Để u cùng phương với
1 1 1
2 2 1 2
a k
k
−
⇔ = ⇔ = −
−
b) 2 (1; 2; 1); (1;0;0)c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒
01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
3
2( ; ;0) 1
1
( ; ;2 ) 2 0
2
2 0( ; 2 ; ) 1
m
ma m m m n p
nb n n n d ma nb pc m n p n
n ppc p p p p

= = − + + =   
= − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =  
  − − == − −  = −


c) 2 2 2 2 2
1 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6a b= + − = = − + + =
2 2 2
2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2+ = − − + + = − → + = − + + = =a b a b
Ví dụ 2: Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có (1; 2;1)AB DC= = − nên ABCD là hình bình hành
Lại có 0
. 1.2 2.1 0.1 0 . 90AB BC AB BC ABC= − + = → ⇔ = . Vậy ABCD là hình chữ nhật
2 2 2 2 2
. 1 1 2 . 2 1 30ABCDS AB BC= = + + + =
b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3
Ta có (1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1)AB BC AC= − = = −
Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900
nên ta có:
( )
( )
( )
1
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2
1.2 2.1 1.0
cosφ cos ; 0
1 2 1 . 1 2
1.3 2.1 1.1 6
cosφ cos ;
661 2 1 . 1 1 3
2.3 1.1 0.1 5
cosφ cos ;
552 1 . 1 1 3
AB BC
AB AC
BC AC
− +
= = =
+ + +
+ +
= = =
+ + + +
− +
= = =
+ + +
c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0) (1; 1 ;1), (2; 3 ;2)IA y IB y→ = − − = − −
I cách đều A và B khi 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7
1 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;0
2 2
IA IB IA IB y y y I
− − 
= ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →  
 
Ví dụ 3: Cho: ( ) ( ) ( )2 5 3 0 2 1 1 7 2− −= = =; ; ; ; ; ;, ,a b c . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
a)
1
4 3
2
= − +u a b c b) 4 2= − −u a b c c)
2
4
3
= − +u b c
d) 3 5= − +u a b c e)
1 4
2
2 3
= − −u a b c f)
3 2
4 3
= − −u a b c
Ví dụ 4: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( )1 11 4 0 1 3 2 1= − = − = −; ; , ; ; , ; ;a b c . Tìm:
a) ( ).a b c b) ( )2
.a b c c) 2 2 2
+ +a b b c c a
Ví dụ 5: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( )2 11 0 3 4 1 3= = − = +; ; , ; ; , ; ;a b c m m . Tìm m để
a) 2 3 2 69+ − =a b c (Đ/s: m = 2)
b) ( )3 . 0+ =a c b
c) ( ) 22
cos ; 2
3045
+ − =a b b c (Đ/s: m = 1)
Ví dụ 6: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( )1 3 4 2 1 1 2 1= = − − =; ; , ; ; , ; ;a b c m m . Tìm m để
a) 2 74+ =a c (Đ/s: m = 1)
b) ( ) ( )2 . 2 0+ − =b c a c (Đ/s: m = –2)
Ví dụ 7: Cho hai vectơ ,a b . Tính X, Y khi bieát:

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
4 6 = =

= −
,a b
X a b
b)
2 1 2 6 4 = − − = − =

= +
( ; ; ), ,a b a b
Y a b
Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1).
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 3 2 0+ − =MA MB CM
Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm (3;1;0), ( 2;4;1)−A B Đ/s:
11
0; ;0
6
 
 
 
M
Ví dụ 10: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)− −A B C
Đ/s:
5 7
;0;
6 6
 
− 
 
M
Ví dụ 12: Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với ( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0)− − −A B O
Đ/s:
96 80 192
; ;
41 41 41
 
− 
 
H
Ví dụ 13: Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3).
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Đ/s:
6
2
=S
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. Đ/s: D(2;2;2;)
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 2 ,− + =MA MB MC MD với D(4; 3; 2) Đ/s:
1
1; ;0
2
 
 
 
M
Ví dụ 14: Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với (1;1;2), ( 1;2;5)−A B Đ/s: ( )2;0;0−C
Ví dụ 15: Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với (2; 1;0), (1; 1;1)− −A B Đ/s: ( )0;3;0C