1. BÀI TẬP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI
Bµi 1: a)So s¸nh : 3 5 vµ 4 3
b)Rót gän biÓu thøc:
3 5 3 5
3 5 3 5
A
+ −
= −
− +
Bài 2 : a) So sánh : 2012 2011− với 2011 2010−
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
7 6 x
M
x 2
−
=
+
.
Bài 3: a. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A= 25 9+ , B = 2
( 5 1) 5− −
b. Rót gän biÓu thøc P =
2 1
:
x y xy
x y x y
+ +
+ −
víi x> 0 ; y> 0 vµ x≠ y
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x = 2012; y=2011
Bài 4:
Rút gọn các biểu thức sau:
A 2 5 3 45 500= + −
1 15 12
B
5 23 2
−
= −
−+
Bài 5: Tính: a) 12 75 48− +
b) Tính giá trị biểu thức: A = (10 3 11)(3 11 10)− + .
Bài 6: 1-Thực hiện phép tính :( )12 75 48 : 3− +
2-Trục căn thức ở mẫu :
1 5
15 5 3 1
+
− + −
3- Rút gọn biểu thức
6 3 5 5 2
( ): .
2 1 5 1 5 3
Q
− −
= +
− − −
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
1/ ( )= +A 32 3 18 : 2
2/
− +
= −
− +
15 12 6 2 6
B
5 2 3 2
Bài 8:
Cho biểu thức
3 1 x 3
A
x 1x 1 x 1
−
= − −
−+ −
với x ≥ 0 và x ≠ 1.
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của A khi x 3 2 2.= −
Bài 9: Cho biểu thức:
1 1 1
1
1 1
P
a a a
  
= − + ÷ ÷
− +  

2. a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P >
1
2
.
Bài 10: Cho biểu thức B =
2
1
:)
4
14
22
(
+−
−
+
−
−
+ bb
b
b
b
b
b
1. Rút gọn biểu thức B
2. Tính giá trị của B tại b = 6 + 4 2
Bài 11: Cho biểu thức: P = )1(3
42
8
x
xx
xx
−+
++
−
, với x ≥ 0
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =
P
P
−1
2
nhận giá trị nguyên
Bài 12: Cho biểu thức A =
( )
2
1 1 1
:
1 1
x
x x x x
+ 
+ ÷
− −  −
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A =
1
3
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x
Bài 13:
2 1
1)
1 2 3 2 2
1 1 1 2
2) 1 .
11 1
)
) 3.
xx x x
a
b x
= +
+ +
   
= + + − ÷  ÷−+ −   
=
Rót gän biÓu thøc: A
ChobiÓu thøc: B
Rót gän biÓu thøc B
T×m gi¸ trÞcña ®ÓbiÓu thøc B
.
Bài 14:
Cho
x 10 x 5
A
x 25x 5 x 5
= − −
−− +
Với x 0,x 25≥ ≠ .
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm x để
1
A
3
< .
Bài 15: Cho biểu thức :
3 x 1 1 1
P :
x 1 x 1 x x
 −
= − ÷
− − + 
với x 0 và x 1> ≠
1/ Rút gọn biểu thức P .
2/ Tìm x để 2P – x = 3
Bài 16:

3. Thu gọn các biểu thức sau:
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
A
− +
= +
+ −
2 28 4 8
3 4 1 4
x x x x x
B
x x x x
− + − +
= − +
− − + −
( 0, 16)x x≥ ≠
Bài 17
1) Đơn giản biểu thức: A
2 3 6 8 4
2 3 4
+ + + +
=
+ +
2) Cho biểu thức:
1 1
( );( 1)
1 1
P a a
a a a a
= − − ≥
− − + −
Rút gọn P và chứng tỏ P ≥ 0
Bài 18:
Cho các số a, b, c đều lớn hơn
25
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 5 2 5 2 5
a b c
Q
b c a
= + +
− − −
.
Bài 19:
Cho các số dương x, y , z . Chứng minh bất đẳng thức :
2>
+
+
+
+
+ yx
z
zx
y
zy
x
Bài 20:
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
3 3 3
x y z
x x yz y y xz z z yx
+ + ≤
+ + + + + +
1
Bài 21: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
.
Bài 22:
Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = 1006.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2012
(b c) (c a) (a b)
2012a 2012b 2012c 2.
2 2 2
≤
− − −
+ + + + +
Câu 1:

4. a) ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1 . Rút gọn: A =
1x
x
−
b) A =
1
3
<=> ( )1 1 9
3 1
3 4
x
x x x
x
−
= ⇔ − = ⇒ = (thỏa mãn)
c) P = A - 9 x =
1x
x
−
- 9 x = 1 –
1
9 x
x
 
+ ÷
 
Áp dụng BĐT Côsi :
1
9 2.3 6x
x
+ ≥ =
=> P ≥ -5. Vậy MaxP = -5 khi x =
1
9
Câu 5 .Ta có 3 ( ) ( )( )+ = + + + = + +x yz x y z x yz x y x z (vì x + y +z = 3)
Theo bất đẳng thức BunhiaCopxki ta có :
2
( yx) ( )( )
yx ( )( )
yx 3
yx 3
3 yx
xz x y z x
xz x y z x
xz x yz
x xz x x yz
x x x
x x yz x xz x y z
+ ≤ + +
⇒ + ≤ + +
⇒ + ≤ +
⇒ + + ≤ + +
⇒ ≤ =
+ + + + + +
Chứng minh tương tự
3
yy
y y xz x y z
≤
+ + + +
;
3
z z
z z xy x y z
≤
+ + + +
Cộng các vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều ta được
1
3 3 3
x y z
x x yz y y xz z z xy
+ + ≤
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 5 : ( 1 điểm )
Cho các số dương x, y , z . Cm : 2>
+
+
+
+
+ yx
z
zx
y
zy
x
Áp dụng BĐT Cosi ta có :
zyx
x
zy
x
x
zyxx
zy
x
zy
++
≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.
zyx
y
zx
y
y
zyxy
zx
y
zx
++
≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.

5. zyx
z
xy
z
z
zyxz
xy
z
xy
++
≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.
Cộng vế với vế ta có : 2
)(2
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ zyx
zyx
xy
z
zx
y
zy
x
dấu bằng xảy ra
y+ z = x
x+ z = y  x + y + z = 0
y+ x = z
Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra .
=> 2>
+
+
+
+
+ xy
z
zx
y
zy
x
với mọi x, y , z > 0 ( Đpcm )
Bài 5.
(0,5đ) Ta có: ( ) ( ) ( )
2 2 2
b c b c b c
2012a 2012a bc 2012a
2 2 2
− + +
+ = + − ≤ + (vì bc ≥ 0)
⇒ ( ) ( )
2 2
b c 1006 a
2012a 2012a
2 2
− −
+ ≤ +
⇒ ( ) ( )
2 2
b c 1006 a
2012a
2 2
− +
+ ≤
⇒ ( )
2
b c 1006 a
2012a
2 2
− +
+ ≤ dấu = xảy ra ⇔
bc 0
a b c 1006
=

+ + =
Tương tự:
( )
2
c a 1006 b
2012b
2 2
− +
+ ≤
( )
2
c b 1006 c
2012c
2 2
− +
+ ≤ Vậy:
( ) ( ) ( )
2 2 2
b c c a a b 3.1006 a b c
2012a 2012b 2012c
2 2 2 2
− − − + + +
+ + + + + ≤
⇒ ( ) ( ) ( )
2 2 2
b c c a a b 4.1006
2012a 2012b 2012c 2012 2
2 2 2 2
− − −
+ + + + + ≤ =
Dấu = xảy ra ⇔
a b c 1006
ab bc ca 0
+ + =

= = =
(Khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1006 và hai số bằng 0).
5
Do a, b, c >
25
4
(*) nên suy ra: 2 5 0a − > , 2 5 0b − > , 2 5 0c − >

6. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
2 5 2
2 5
a
b a
b
+ − ≥
−
(1)
2 5 2
2 5
b
c b
c
+ − ≥
−
(2)
2 5 2
2 5
c
a c
a
+ − ≥
−
(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: 5.3 15Q ≥ = .
Dấu “=” xẩy ra 25a b c⇔ = = = (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 25a b c⇔ = = =
Nội dung trình bày
Có: ( ) 2
1 .a b c c a b c c ac bc c+ + = ⇒ = + + = + +
⇒ 2
( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + + = ( )( )c a c b+ +
⇒
( )( ) 2
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
+
+ += ≤
+ + +
Tương tự:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +
( )( ) 2
( )( ) 2
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
+
+ +⇒ = ≤
+ + +
+
+ += ≤
+ + +
⇒ P ≤
2
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
+ + + + +
+ + + + + + =
2
a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + + =
3
2
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c= = =
Từ đó giá trị lớn nhất của P là
3
2
đạt được khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =

7. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
2 5 2
2 5
a
b a
b
+ − ≥
−
(1)
2 5 2
2 5
b
c b
c
+ − ≥
−
(2)
2 5 2
2 5
c
a c
a
+ − ≥
−
(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: 5.3 15Q ≥ = .
Dấu “=” xẩy ra 25a b c⇔ = = = (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 25a b c⇔ = = =
Nội dung trình bày
Có: ( ) 2
1 .a b c c a b c c ac bc c+ + = ⇒ = + + = + +
⇒ 2
( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + + = ( )( )c a c b+ +
⇒
( )( ) 2
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
+
+ += ≤
+ + +
Tương tự:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +
( )( ) 2
( )( ) 2
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
+
+ +⇒ = ≤
+ + +
+
+ += ≤
+ + +
⇒ P ≤
2
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
+ + + + +
+ + + + + + =
2
a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + + =
3
2
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c= = =
Từ đó giá trị lớn nhất của P là
3
2
đạt được khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =