PERSAMAAN LAPIS BATAS LAMINAR

1. PERSAMAAN LAPIS BATAS
LAMINAR DI ATAS PLAT RATA

2. Recall the convection overview
 Local heat flux is:
where h is the local heat
transfer coefficient
)(  TThq s

3. PERSAMAAN LAPIS BATAS LAMINAR DI
ATAS PLAT RATA
 Persamaan Kontinyuitas (Continuity Equation/Conservation of Mass)
 Persamaan Momentum (Momentum Equation)
 Persamaan Energi (Energy Equation)
Asumsi yg digunakan untuk menurunkan ketiga persamaan tersebut:
 Fluida bersifat tak mampat (incompressible)
 Sifat-sifat fluida konstan
 Kondisi aliran tunak (Steady)
 Aliran dalam dua dimensi
 Gaya geser dan perubahan tekanan dalam arah y diabaikan

4. VOLUME ATUR
dy
dx
v
u
V
Volume atur:
dx.dy.1
y
v
y
u
,
x
v
y
u
,
x
u
y
u
and;















 vu
Velocity boundary layer
x
T
y
T





Thermal boundary layer

5. PERSAMAAN KONTINYUITAS
𝜌udy 𝜌u +
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u dx dy
𝜌vdx
𝜌v +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌v dy dx
Dari kesetimbangan massa yang masuk dan keluar dari
volume atur diperoleh persamaan kontinyuitas:
𝜕u
𝜕𝑥
+
𝜕v
𝜕y
= 0

6. PERSAMAAN MOMENTUM
Resultan gaya luar:
𝜏 𝑦𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜏 𝑦𝑥 dy dx − 𝜏 𝑦𝑥dx + pdy − p +
𝜕p
𝜕𝑥
dx dy =
𝜕
𝜕𝑦
𝜏 𝑦𝑥 −
𝜕p
𝜕x
dx. dy
Laju momentum dalam arah x:
𝜌u2 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u2 dx dy − 𝜌u2dy + u𝜌v +
𝜕
𝜕𝑦
u𝜌v dy dx − u𝜌vdx =
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u2 +
𝜕
𝜕𝑦
u𝜌v dx. dy
𝜌u2dy 𝜌u2
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u2
dx dy
u𝜌vdx
u𝜌v +
𝜕
𝜕𝑦
u𝜌v dy dx
pdy
𝜏 𝑦𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜏 𝑦𝑥 dy dx
𝜏 𝑦𝑥dx
p +
𝜕p
𝜕𝑥
dx dy

7. PERSAMAAN MOMENTUM
Dari kedua persamaan sebelumnya, diperoleh:
𝜕
𝜕𝑦
𝜏 𝑦𝑥 −
𝜕p
𝜕x
dx. dy =
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u2
+
𝜕
𝜕𝑦
u𝜌v dx. dy
Karena: 𝜏 𝑦𝑥 = 𝜇
𝜕u
𝜕y
maka:
𝜕
𝜕𝑦
𝜇
𝜕u
𝜕y
−
𝜕p
𝜕x
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜌u2 +
𝜕
𝜕𝑦
u𝜌v
dan karena sifat-sifat fluida konstan, maka:
𝜕u2
𝜕𝑥
+
𝜕uv
𝜕y
= −
1
𝜌
𝜕p
𝜕x
+ 𝜗
𝜕2
u
𝜕y2
Atau
u
𝜕u
𝜕𝑥
+ v
𝜕u
𝜕y
= −
1
𝜌
𝜕p
𝜕x
+ 𝜗
𝜕2
u
𝜕y2
Jika tekanan dan kecepatan aliran bebas adalah konstan, maka:
u
𝜕u
𝜕𝑥
+ v
𝜕u
𝜕y
= 𝜗
𝜕2
u
𝜕y2

8. PERSAMAAN ENERGI
Untuk menyederhanakan analisis, asumsi lain yg digunakan adalah perpindahan kalor arah x diabaikan.
Kesetimbangan energy adalah:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑖𝑟𝑖
+ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ
+ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑢𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ + 𝐾𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟
= 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛
+ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑡𝑎𝑠
+ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑑𝑢𝑘𝑠𝑖 𝑦𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑡𝑎𝑠
𝜌𝑐 𝑝uTdy 𝜌𝑐 𝑝 u +
𝜕u
𝜕𝑥
dx T +
𝜕T
𝜕𝑥
dx dy
−𝑘
𝜕T
𝜕𝑦
dx
−𝑘dx
𝜕T
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑦
𝜕T
𝜕𝑦
dy
u𝜇
𝜕u
𝜕𝑦
dx +
𝜕
𝜕𝑦
u𝜇
𝜕u
𝜕𝑦
dx dy
u𝜇
𝜕u
𝜕𝑦
dx
𝜌𝑐 𝑝 v +
𝜕v
𝜕𝑦
dy T +
𝜕T
𝜕𝑦
dy dx
𝜌𝑐 𝑝vTdx

9. PERSAMAAN ENERGI
Kesetimbangan energy menjadi:
𝜌𝑐 𝑝 u
𝜕T
𝜕𝑥
+ v
𝜕T
𝜕𝑦
+ 𝑇
𝜕u
𝜕𝑥
+
𝜕v
𝜕𝑦
dxdy = 𝑘
𝜕2
T
𝜕y2
dxdy + 𝜇
𝜕u
𝜕y
2
dxdy
atau:
u
𝜕T
𝜕𝑥
+ v
𝜕T
𝜕𝑦
= 𝛼
𝜕2T
𝜕y2
+
𝜇
𝜌𝑐 𝑝
𝜕u
𝜕y
2
dimana 𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐 𝑝
= difusivitas termal
Untuk kecepatan aliran rendah (Mach < 0.2), kerja viskos dpt diabaikan.
Sehingga persamaan energy lapis batas menjadi:
u
𝜕T
𝜕𝑥
+ v
𝜕T
𝜕𝑦
= 𝛼
𝜕2
T
𝜕y2

10. PERSAMAAN LAPIS BATAS LAMINAR DI
ATAS PLAT RATA
 Persamaan Kontinyuitas (Continuity Equation/Conservation of Mass)
𝜕u
𝜕𝑥
+
𝜕v
𝜕y
= 0
 Persamaan Momentum (Momentum Equation)
u
𝜕u
𝜕𝑥
+ v
𝜕u
𝜕y
= −
1
𝜌
𝜕p
𝜕x
+ 𝜗
𝜕2u
𝜕y2
 Persamaan Energi (Energy Equation)
u
𝜕T
𝜕𝑥
+ v
𝜕T
𝜕𝑦
= 𝛼
𝜕2T
𝜕y2
+
𝜇
𝜌𝑐 𝑝
𝜕u
𝜕y
2