Sumber dari buku cengel

1. Mekanika Fluida Dasar
B.C Putra Mbulu
Fakultas Teknik Jurusan Mesin

2. Persamaan diferensial umum
STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Persamaan keseimbangan dan gaya luar pada
arah vertikal:
atau
Ini adalah persamaan intensitas tekanan, dimana itensitas tekanan berkurang
terhadap ketinggian.
PA - (P +
𝝏𝑷
𝝏𝒛
𝒅𝒛) 𝑨 – ρgAdz = 0
dP = – ρg dz (5)
(P +
𝝏𝑷
𝝏𝒛
𝒅𝒛) 𝑨
𝑷. 𝑨
dz
ρgA dz
g
𝝏𝑷
𝝏𝒛
=– ρg = - γ
Itensitas tekanan akan tetap jika tidak ada perubahan elevasi.

3. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Persamaan (5) dapat di integralkan untuk fluida dengan massa jenis
konstan, yaitu:
dimana
‫׬‬
𝟏
𝟐
𝒅𝒑 = – ρg ‫׬‬
𝟏
𝟐
𝒅𝒛
𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = – ρg (z2 - z1)
Δ𝑷 = ρgh 𝒉 = (z1 – z2)
Δ𝑷
ρg
= - Δz
𝑷
ρg
+ z =
𝑷𝟏
ρg
+ z1 =
𝑷𝟐
ρg
+ z2 = Konstan

4. Tekanan pada satu titik
STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Ps δs
y
x
θ
δy
δx
δs
Py δx
Px δy
γ δx δy
𝟐
W = γ . Volume
W = γ .
δx δy
𝟐
δz = γ .
δx δy
𝟐
Persamaan gerak – hukum Newton II :
ΣF = m . a dimana m = ρ .
δx δy
𝟐
δz
Karena Fluda diam maka ΣF = 0 dan a
dianggap tidak ada.
Gaya yang bekerja pada arah x :
ΣFx = Px δy - Ps δs sin θ = 0 δs sin θ = δy
Px δy - Ps δy = 0 Px = Ps (6)

5. Gaya yang bekerja pada arah y :
STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Ps δs
y
x
θ
δy
δx
δs
Py δx
Px δy
γ δx δy
𝟐
ΣFy = Py δx - Ps δs cos θ -
γ δx δy
𝟐
= 0
diabaikan
Py δx - Ps δx = 0 Py = Ps (7)
γ δx δy
𝟐
≈ 0
Menggabungkan persamaan (6) dan (7)
didapatkan :
Ps = Px = Py (8)
Dapat disimpulkan bahwa: ketika ukuran δx dan δy sangat kecil atau
mendekati 0 atau mendekati ukuran suatu titik, maka tekanan pada suatu
titik dalam fluida diam adalah sama besar dan tidak tergantung arah.

6. Variasi Tekanan
STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
δFy = -
𝜹𝑷
𝜹𝒚
δxδyδz - γ δxδyδz (9)
Gaya yang bekerja pada y :
(P +
𝝏𝑷
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝟐
) δxδz
(P -
𝝏𝑷
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝟐
) δxδz
γ δy𝜹x𝜹z
𝜹x
𝜹y
𝜹z
δFx = -
𝜹𝑷
𝜹𝒙
δxδyδz (10)
Gaya yang bekerja pada x :
δFz = -
𝜹𝑷
𝜹𝒛
δxδyδz (11)
Gaya yang bekerja pada x :
δF = i δFx + j δFy + k δFz (12)
Vektor gaya dari ketika komponen :
δF = - 𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
δxδyδz - 𝒋.γ δxδyδz (13)
Dengan i,j,k adalah vektor satuan, sehingga:
𝒙
𝒛
𝒚

7. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
δF
δV
= - 𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
− 𝒋.γ (14)
Jika δxδyδz = δV sangat kecil hingga lim δV → 0, maka gaya per satuan
volume didapatkan:
Dimana, 𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= ഥ
𝛁𝑷 (15)
Maka :
δF
δV
= -(ഥ
𝛁𝑷) − 𝒋.γ (16)
-ഥ
𝛁𝐏 adalah gradient tekanan
Sehingga - 𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
− 𝒋.γ= 0 (17)
Dimana untuk fluida diam :
δF
δV
= 0
𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= −𝒋.γ
ഥ
𝛁𝑷 = −𝒋.γ
atau

8. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Variasi tekan ke arah x dan z = 0, atau tidak ada tekanan pada arah
horizontal (hukum pascal), maka:
𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
= 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= 𝟎
Dapat ditulis menjadi : dp = − γ dy (18)
𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
= −𝒋.γ
sehingga tekanan pada arah (y):
𝜕𝑷
𝜹𝒙
=
𝜕𝑷
𝜹𝒛
= 𝟎
atau
𝜕𝑷
𝜹𝒚
= −γ
atau
𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= 0 −𝒋.γ

9. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Untuk fluida bergerak tanpa adanya viscositas atau fluida yang bergerak
pada setiap tempat, serta tegangan geser = 0 [Benda Kaku], maka mengacu
pada hukum Newton II → ΣF = m . a didapatkan:
∂F
∂V
=
𝝏𝒎
𝝏V
. 𝒂
Jika dihubungkan dengan persamaan (16) didapatkan hubungan :
persamaan (19) dasar gerakan fluida tanpa viskositas, digunakan pada
keseimbangan relatif dan juga merupakan penurunan persamaan Euler.
-(ഥ
𝛁𝑷) − 𝒋.γ = 𝛒 . 𝒂 (19)
∂F
∂V
= 𝛒 . 𝒂
atau (ഥ
𝛁𝑷) = − (𝛒 . 𝒂 + 𝒋.γ)

10. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Variasi tekan ke arah x dan z = −𝛒 . 𝒂, serta tidak ada tegangan geser pada
arah horizontal, maka:
𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
= 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= −𝛒 . 𝒂
Dapat ditulis menjadi : dp = −𝛒(𝒂 + g) dy
𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
= −𝛒𝒂 − 𝒋.γ
sehingga tekanan pada arah (y):
𝜕𝑷
𝜹𝒙
=
𝜕𝑷
𝜹𝒛
= −𝛒 . 𝒂
atau
𝜕𝑷
𝜹𝒚
= −𝛒(𝒂 + g)
atau
𝒊
𝜹𝑷
𝜹𝒙
+ 𝒋
𝜹𝑷
𝜹𝒚
+ 𝒌
𝜹𝑷
𝜹𝒛
= −(𝛒 . 𝒂 + 𝒋.γ)

11. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
PERCEPATAN PADA ARAH MENDATAR
Karena tekanan tidak bergantung pada x, maka tekanan diferensial total yaitu :
sehingga persamaan gerak fluida :
𝜕𝑷
𝜹𝒛
= −𝛒 . 𝒂 ;
𝜕𝑷
𝜹𝒙
= 0, dan
𝜕𝑷
𝜹𝒚
= −𝛒(𝒂 + g)
𝜹x
𝜹y
𝜹z
𝒅𝑷 = −𝝆𝒂𝒛𝒅𝒛 − 𝝆 g +𝒂𝒚 𝒅𝒚 (20)
Untuk 𝜌 = konstan, perbedaan tekanan antara titik 1 dan tititk 2 di dalam fluida
ditentukan oleh integrasi:
𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = −𝝆𝒂𝒛 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 − 𝝆 g +𝒂𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 (21)
Mengambil titik 1 (z=0, y=0) dimana tekanannya adalah 𝑷𝟎 dan titik 2 menjadi titik dimana
pun didalam fluida (tidak ada notasi/nama), distribusi tekanan dapat dinyatakan sebagai :
Variasi tekanan : 𝑷 = 𝑷𝟎 − 𝝆𝒂𝒛𝒛 − 𝝆 g +𝒂𝒚 𝒚 (22)

12. STATIKA FLUIDA
Mekanika
Fluida
Dasar
Kenaikan (atau penurunan) permukaan bebas vertikal relatif pada titik 2 terhadap titik 1,
dapat ditentukan dengan memilih titk 1 dan 2 pada permukaan bebas (sehingga 𝑷𝟏 = 𝑷𝟐),
dan pemecahan Persamaan (21) untuk 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ditulis menjadi :
Kenaikan permukaan vertikal : 𝜟𝒚𝒔 = 𝒚𝒔𝟐 − 𝒚𝒔𝟏 = −
𝒂𝒛
g + 𝒂𝒚
𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 (23)
Persamaan untuk permukaan pada tekanan konstan (isobaris),
didapatkan dari persamaan (21) dengan mengatur dP = 0, serta
mengganti (y) menjadi 𝒚𝒊𝒔𝒐𝒃𝒂𝒓𝒊𝒔, dan ditulis menjadi:
Permukaan dari tekanan konstan :
𝒅𝒚
𝒅𝒛
= −
𝒂𝒛
g +𝒂𝒚
= 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧 (24)
Dapat disimpulkan bahwa isobaris (termasuk permukaan bebas)
berada dalam fluida incompresible dengan percepatan konstan
dalam gerakan linier, pada permukaan paralel yang kemiringannya
pada bidang (yz) yaitu:
Kemiringan (slope) dari isobaris : 𝑠𝑙𝑜𝑝𝑒 =
𝒅𝒚𝒊𝒔𝒐𝒃𝒂𝒓𝒊𝒔
𝒅𝒛
= −
𝒂𝒛
g +𝒂𝒚
= −𝐭𝐚𝐧 𝜭 (25)
𝐭𝐚𝐧 𝜭 =
𝒚𝐬𝟐 − 𝒚𝐬𝟏
𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
=
𝒅𝒚
dz
KESIMPULAN : permukaan bebas fluida adalah permukaan datar, kecuali kalau 𝑎𝑧 = 0 (percepatan hanya dalam arah vertikal). Serta
kekekalan massa dengan asumsi ketidakmampatan (ρ = konstan) mensyaratkan volume fluida tetap konstan sebelum dan selama
akselerasi (percepatan). Oleh karena itu, kenaikan level fluida di satu sisi harus diimbangi dengan penurunan level fluida di sisi lain.

13. SOAL
PENDAHULUAN
Mekanika
Fluida
Dasar
Tangki ikan setinggi 80 cm dengan penampang 2 m x 0,6 m yang terisi dengan air harus
diangkut di belakang truk. Truk berakselerasi dari 0 hingga 90 km/jam, dalam waktu 10
detik. Jika diinginkan tidak ada air yang tumpah selama akselerasi, tentukan ketinggian awal
air yang diizinkan di dalam tangki?
Apakah yang Anda rekomendasikan perihal peletakan tangki terhadap arah gerak? apakah
disejajarkan secara paralel pada bagian sisi panjang atau sisi pendeknya?
𝜹x
𝜹y
𝜹z
Arah gerakan