1. Masalah Nilai Awal dan Sayarat Batas
Integral Fourier
A. Teorema Integral Fourier
Jika f(x) fungsi kontinu pada setiap pada setiap interval berhingga, memiliki
derivative kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik dan integral
0 b
lim  f  x  dx  lim  f  x  dx , dan kita asumsikan kondisi yang berikut pada
a   a b  0
f(x) :
1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L)

2.  f x dx

konvergen, jika f(x) integrasi absolute dalam (-L,L).
maka teorema Integral Fourier :

f  x    A  cos x  B  sin xd
0
 
 A    f  x  cos xdx
1
  
dimana  
 B   1 f  x  sin xdx

  
di titik mana f(x) tak kontinu, maka nilai interval sama dengan rata-rata dari
limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut.
Contoh :
Cari representasi integral Fourier dari fungsi
1, jika x 1
f x   
0, jika x 1

2. Penyelesaian :
1 
 1 1 
A    f (( x)cosxdx    0 cos xdx   1 cos xdx   ()) cos xdx 
1
    1 1 
1  1
  2 sin 
1
   (1) cos xdx   sin x 1 1  sin   sin     sin   sin   
1 1

  1     
1 
 1 1 
B    f ( x) sin xdx    (0) sin xdx   (1) sin xdx   (0) sin xdx 
1
    1 1 
1  1  
1 1
   (1) sin xdx     cos x   1  cos   cos( ) 
  1   
   1 

1
 cos   cos    0


f  x    A  cos x  B sin xd
0
 
 2 sin    2 sin   cosxdx
f ( x)     cos x  0dx  
0 
    0 
B. Integral Cosinus Fourier
Jika f(x) fungsi genap, maka integral f ( x ) cos xdx merupakan fungsi genap
dalam x, dan f ( x ) sin xdx fungsi ganjil dalam x.
Dengan demikian :

1
B ( ) 
  f ( x) sin xdx  0

 
A    f x cosxdx    f x cosxdx
1 2
  0

f  x    A  cos x  B sin xd
0

f  x    A  cos x  0 xd
0

f  x    A  cos xd Integral Cosinus Fourier
0

3. Contoh :
Cari Integral Cosinus Fourier dari :
f ( x)  e  kx , ( x  0, k  0)
Penyelesaian :
  
A    f x cosxdx    f ( x) cosxdx    e cosxdx
1 2 2  kx
 0 0
p
 e  kx
p

A   . lim  e cos xdx  . lim   k  cos x   sin x 
2  kx 2
 p  0  p   k 2   2
 0
2   e  kp  e0 
A   . lim   k cos p   sin p    k cos  0   sin  0 
  p    k 2   2
   k   
2 2


2  2k  1 
A   0  k 2   2  k   .0    . k 2   2 
1
   
Maka Integral Cosinus Fourier :

f  x    A  cos xd
0
 
2k  1  2k  cos x 
f ( x)   . 2 2 
cos xd    2 d
0
 k    0 k   2 

C. Integral Sinus Fourier
Jika f(x) fungsi ganjil, maka integral f ( x ) cos x merupakan ffngsi ganjil
dalam x, dan f ( x ) sin xdx fungsi genap dalam x.
Dengan demikian :

A    f  x  cos xdx  0
1
 
 
1 2
B( )   f ( x) sin xdx   f ( x) sin xdx
   0

f  x    A  cos x  B sin xd
0

f  x    0 x  B sin xd
0

f x    B  sin xd Integral Sinus Fourier
0

4. Contoh :
Cari Integral Sinus Fourier dari :
f ( x)  e  kx , ( x  0, k  0)
Penyelesaian :
  
B   f  x  sin xdx 
1 2 2 kx
 

 f ( x) sin xdx    e sin xdx
 0 0
p
 e  kx
p

B    . lim  e sin xdx  . lim   k sin x   cos x 
2  kx 2
 p  0  p    k 2   2
 0
2   e  kp  e0 
B    . lim   k sin p   cos p    k sin 0   cos 0 
  p     k 2   2
   k   
2 2


B   
2 
.0  2
1
 k .0   .1  2 . 2  2 
  k   
  k  2
  
Maka Integral Sinus Fourier :

f x    B  sin xd
0
 
2    2   sin x 
f ( x)   . 2 2 
cos xd    2 d
0
 k    0 k   2 

D. Soal Latihan
1. Cari Representasi Integral Cosinus Fourier fungsi :
1, jika 0  x  1
f x   
 0, jika x  1
 
A    f x cos xdx    f ( x) cos xdx
1 2
 0
2 
1 
A     (1) cos xdx   (0) cos xdx 
 0 1 
2 1 
1
A   x sin x   0
 
 0
2 1  2  sin  
A  
1
 .1. sin    .0. sin 0     
  
Maka Integral Cosinus Fourier :

5. 
f  x    A  cos xd
0
 
2  sin   2  sin  . cos x 
f x       cos xd       d
 0  0  
2. Cari representasi Integral Sinus Fourier dari :
e x jika 0  x  1
f ( x)  
 0 jika x  1
Penyelesaian :

f x   f  x  sin xdx
2
0
2 x 

 
1
B     e sin xdx   (0) sin xdx 
 0 1 
2 x 1 
1
B   e . . cos x  e . 2 . cosx   0
x 1
   0
2  ex  1
B    sin x   cos x 
 1   2
 0
2 e 
B    1   2 sin    cos    1   2 0   
1
 
2 e  
B    1   2 sin    cos    1   2 
 
Maka Integral Sinus Fourier :

f x    B  sin xd
0
2   e cos   sin  

f x  
 
0  1  2  sin xd
