ordinally differential equation

1. Nama: Ruhmaa Mufida
NIM: 12610101
Makul/Kelas: PDB/ Matematika C
Study kasus
Menurut hukum pendinginan newton, laju dimana suatu substansi mendingin dalam udara yang bergerak, sebanding dengan beda antara temperatur substansi dan udara. Jika temperatur udara 300K dan temperatur sunbstansi mendingin dari 370K ke 340K dalam 15 menit, bilamanakah temperaturnya menjadi 310K.
Hukum Pendinginan Newton
Hukum Newton tentang pendinginan menyatakan bahwa laju sebuah benda mendingin (atau memanas) berbanding lurus dengan selisih suhu di antara benda tersebut dengan medium sekelilingnya. Secara spesifik, misalkan sebuah benda dengan suhu awal T0 diletakkan di ruang yang suhunya adalah 훼 . jika T(t) menyatakan suhu benda pada waktu t, maka hukum Newton tentang pendinginan mengatakan bahwa 푑푇 푑푡 =−푘 푇−훼
Untuk mendapatkan formula T(t), persamaan diatas dapat kita selesaikan dengan dua metode, yaitu (a) PD dapat pisah, dan (b) PD linier orde satu.
a. PD dapat pisah
푑푇 푑푡 =−푘 푇−훼 푑푇 푇−훼 =−푘 푑푡

2. 푑푇 푇−훼 = −푘 푑푡 ln 푇−훼 =−푘푡+푐 푇−훼=푒−푘푡+푐 푇−훼=푒−푘푡 ∙푒푐
Kita asumsikan bahwa 푒푐 adalah C, sehingga 푇=퐶∙푒−푘푡+훼
Berdasarkan kasus yang disediakan, diketahui bahwa 훼=300 , T(0) = 370K, T(15) = 340K. Kita akan mencari nilai C, kemudian menentukan nilai kefisien k.
푇 0 =퐶∙푒−푘∙0+300=370 퐶=370−300=70 푇=70∙푒−푘푡+300 푇 0 =70∙푒−푘∙0+300=370 푇 15 =70∙푒−푘∙15+300=340 ln74=15∙푘=0.56,푘=0.0373 푇=70∙푒−0.0373∙푡+300
Selanjutnya kita hitung nilai t saat T = 310K 310=70∙푒−0.0373∙푡+300 푒−0.0373∙푡= 17 푡= ln70.0373=52.1227 푚푒푛푖푡
Temperatur akan berubah menjadi 310K setelah berada dalam ruangan bertemperatur 300K selama 52.1227 menit.
b. PD linier orde satu

3. 푑푇 푑푡 =−푘 푇−훼 푑푇 푑푡 +푘푇=훼푘 푝=푘, 푘 푑푡=푘푡 푄=훼푘, 훼푘∙푒푘푡푑푡=훼푒푘푡 푇푒푘푡=훼푒푘푡+퐶 푇= 훼푒푘푡+퐶 푒푘푡 푇= 훼+퐶푒푘푡 푇=70∙푒−0.0373∙푡+300
c. Interpretasi Grafik
Berdasarkan gambar diatas, dapat diketahui bahwa pada kasus ini ternyata temperatur suatu substansi akan bergerak ke arah negatif secara eksponensial. Untuk setiap t mendekati tak hingga maka T

4. akan berada sedekat-dekatnya dengan 300K akan tetapi tidak akan mencapai angka 300. Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan menggunakan limit t menuju tak hingga.
lim 푡→∞ 70∙푒−0.0373∙푡+300=300
Artinya, secara umum perubahan temperatur suatu substansi akan bergerak sedekat-dekatnya menuju temperatur udara pada saat t menuju tak hingga. Apabila temperatur substansi lebih kecil dari temperatur udara maka terjadi pemanasan (temperatur naik), dan apabila temperatur substansi lebih besar maka terjadi pendinginan (temperatur turun).