Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Tugas final tik jahratunnisa & zurida

334 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Tugas final tik jahratunnisa & zurida

  1. 1. “INTEGRAL”Oleh :Jahratun Nisa & ZuridaXII IPA - 1
  2. 2. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANTujuanMenyelesaikan integral taktentu dan integral tentufungsi aljabar dan fungsitrigonometri. Serta mampumengaplikasikannya dalamkehidupan sehari-hari.
  3. 3. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri1. Integral Tak Tentu FungsiAljabara. Integral merupakan lawan dari turunan.Jika F′(x) = f(x) maka : ∫ = lambang integral yangmenyatakanoperasIantidiferensial f(x) = fungsi integran, yaitu fungsi yangdicari antiturunannya C = konstanta∫f(x) d(x) = F(x) + C
  4. 4. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMaterib. Rumus integral tak tentu fungsi aljabar∫ xn dx = xn+1 + Cc. Sifat-sifat dalam mengintegralkan fungsi1. ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx2. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx3. ∫(f(x) – g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫ g(x) dx4. ∫ un.u΄dx = un du = ∫ (u(x))n+1 + C5. ∫ u dv = uv - ∫ v du
  5. 5. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri2. Integral Tak Tentu FungsiTrigonometriRumus-rumus yang digunakan sebagai berikut.a. ∫ cos x dx = sin x + Cb. ∫ sin x dx = -cos x + Cc. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + Cd. ∫ sin (ax - b) dx = - cos (ax + b) + Ce. ∫ cos u .u΄ dx = ∫ cos u du = sin u + Cf. ∫ sin u . u΄ dx = ∫ sin u du = -cos u + C
  6. 6. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri3. Integral Tentua. Jika ∫ f(x) dx = F(x) + C makaf(x) dx = F(b) – F(a)b. Sifat-sifat integral tentu sebagai berikut.1. kf(x) dx = k f(x) dx2. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx3. (f(x) – g(x)) dx = f(x) dx – g(x) dx4. f(x) dx = 05. f(x) dx = - f(x) dx6. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
  7. 7. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateriMenentukan Luas Daerah1. Menentukan Luas Daerah di AtasSumbu-xMisalkan R daerah yang dibatasi oleh kurvay = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x =b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luasdaerah R adalah sebagai berikut.badxxfRL
  8. 8. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik kurva di atas sumbu -xy = f(x)L(R)ab
  9. 9. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri2. Menentukan Luas Daerah di BawahSumbu-xMisalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b,dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telahdibahas di subbab D.1, maka luas daerah SadalahbadxxfSL
  10. 10. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik kurva di bawah sumbu-xy = f(x)a bLuas daerah di bawah sumbuS
  11. 11. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri3. Menentukan Luas Daerah yang TerletakDibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-xMisalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y =f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c,dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b,c], maka luas daerah T adalahbabadxxfdxxfTL
  12. 12. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Rumus ini didapat denganmembagi daerah T menjadi T1dan T2 masing- masing padainterval [a, b] dan [b, c]. Kaliandapat menentukan luas T1sebagai luas darah yang terletakdi atas sumbu-x dan luas T2sebagai luas daerah yangterletak di bawah sumbu-x.
  13. 13. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik kurva y = f(x) dan sumbu-xy = f(x)a cbT1T2Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu x
  14. 14. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak diAntara Dua Kurva Luas daerah U pada gambar di bawah adalah L(U) = Luas ABEF - Luas ABCDbaU
  15. 15. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurvay1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehinggaLuas ABEF Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasioleh kurva y2 = g(x), x = a, x = b, dan y = 0sehinggaLuas ABEFbadxxfbadxxg
  16. 16. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateriDengan demikian, luasdaerah U adalahbababadxxgxfdxxgdxxfUL
  17. 17. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateriMenentukan volume BendaPutar 1. Menentukan Volume Benda Putar yangDiputar Mengelilingi Sumbu-x Secara umum, volume dinyatakan sebagailuas alas dikali tinggi. Secara matematis,ditulisV = A . h
  18. 18. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri perhatikan sebuah benda yangbersifat bahwa penampang-penampang tegak lurusnya padasuatu garis tertentu memiliki luastertentu. Misalnya, garis tersebutadalah sumbu-x dan andaikanluas penampang di x adalah A(x)dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a,b] dengan titik-titik bagi a = x0 <x1< x2< ... < xn = b.
  19. 19. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Melalui titik-titik ini, luas bidang tegaklurus pada sumbu-x, sehinggadiperoleh pemotongan benda menjadilempengan yang tipis-tipis. Volumesuatu lempengan ini dapat dianggapsebagai volume tabung, yaitu,dengan .ii xxAViii xxx 1
  20. 20. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateriKita dapatkankemudian akan menjadintii xxAV1badxxAV
  21. 21. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri A(x) adalah luas alas bendaputar, oleh karena alas bendaputar ini berupa lingkaran, makajari-jari yang dimaksudmerupakan sebuah fungsi dalamxi misalnya f(x). Dengandemikian volume benda putardapat dinyatakan sebagaibadxxfV2
  22. 22. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafikfungsi f(x), sumbu-x, garis x = a, garis x = b,dengan a < b, maka volume benda putar yangdiperoleh dengan memutar daerah Rmengelilingi sumbu-x adalahdxxfV2
  23. 23. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri2. Menentukan Volume Benda Putaryang Diputar Mengelilingi Sumbu-yMisalkan S daerah yang dibatasi oleh grafikfungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x= b, dengan a < b, maka volume benda putaryang diperoleh dengan memutar daerah Smengelilingi sumbu-y adalah V.badyyfV
  24. 24. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik Volume Benda Putar yang DiputarMengelilingi Sumbu-yVolume benda putar mengelilingi sumbuy
  25. 25. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri3. Menentukan Volume Benda Putaryang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x)jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dang(x) dengan , pada interval [a, b] diputarmengelilingi sumbu-x seperti yang telahdijelaskan di subbab E.1, maka volumebenda putar yang diperoleh adalah sebagaiberikut.dxxgxfTV22
  26. 26. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik Volume Benda Putar yang DibatasiKurva f(x) dan g(x) jika Diputar MengelilingiSumbu-xVolume benda putar yang dibatasi kueva f(x) dan g(x) jika diputarmengelilingi sumbu x
  27. 27. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri4.Menentukan Volume Benda Putar yangDibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika DiputarMengelilingi Sumbu-y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dang(y) dengan pada interval [a, b] diputarmengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah dijelaskan di subbab sebelumnya maka volumebenda putar yang diperoleh adalah sebagaiberikut.badxxgxfUV22
  28. 28. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANMateri Grafik Volume Benda Putar yang DibatasiKurva f(y) dan g(y) jika Diputar MengelilingiSumbu-y
  29. 29. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal1. Hasil dari ∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx = . . . .A. (x2 + 3x)11 + CB. 2x (x2 + 3x)11 + CC. x (x2 + 3x)11 + CD. (x2 + 3x)11 + CE. x (x2 + 3x)11 + C(Ujian Nasional 2011/2012)Jawaban : A∫ (2x + 3)(x2 + 3x)10 dx= ∫ (x2 + 3x)10 d(x2 + 3x)= (x2 + 3x)11 + C
  30. 30. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal2. Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx =A. - sin5 2x + CB. - cos5 2x + CC. - cos5 2x + CD. cos5 2x + CE. sin5 2x + C(Ujian Nasioanal 2010/2011)Jawaban : B∫ cos4 2x sin 2x dx= - ∫cos4 2x d(cos 2x)= - . cos5 2x + C= - cos5 2x + C
  31. 31. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Tentukan hasil integral- integral berikut! Misal U = 2X -7» du = 2 dx dx =»Kunci: + c
  32. 32. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Misal: u = cos x du = -sin x dx maka -du = sin x dxJadiKunci
  33. 33. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalContoh 1: menghitung luasHitunglah luas daerah yangdibatasi kurva y = 3x2 + 6x ,sumbu X, dan garis-garis x =0 dan x = 2
  34. 34. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Penyelesaian:Sketsalah terlebih dahulu grafiky = 3x2 + 6xTitik potong dengan sumbu Xy = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0x = 0 atau x = -2sehingga titik potong dengan sumbu Xadalah di (0,0) dan (-2,0)
  35. 35. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Sketsa grafik y = 3x2 + 6xXYOy = 3x2 + 6xx =2-2
  36. 36. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalXYO-2L=?x =2y = 3x2 + 6xL =202)63( dxxx20233x xluassatuan200)2.32( 23
  37. 37. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal4cm6cm7cm12cm7cm5cmI II III IVsatu Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4bagian .bagian I dan III merupakan bentuk silinder yangtidak perlu dihitung dengan membagi-bagikembali ruangnya, bagian II dan IV perludiperhitungkan kembali. Bagian I: Bagian II:56)7)(4(2IL196)7)(4( 2IV288)12(122IIL3456121222IIV
  38. 38. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IVdiperlukan pembagian area , misalkan denganmengambil h=1 diperoleh: Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapatdiperoleh:108222)(4150iiIVII yyyhLL5.1187224122520iiIVII yyyhVV
  39. 39. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh Soal Luas permukaan dari botol adalah: Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah: Volume = 18924.78 cm34.175856010828810856IVIIIIII LLLLL60245.118734565.1187196IVIIIIII VVVVV
  40. 40. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalLuas daerah yang dibatasolehgrafik fungsi y = 2 – x2, dangarisy = x adalah…
  41. 41. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalPenyelesaian:Karena kedua titik batasPengintegralan belum diketahui,maka kita harus menentukannya,dengan cara menentukan titikpotong kedua grafikfungsi
  42. 42. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalPenyelesaian:Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2dan y = x sebagai berikut;2 – x2 = xx2 + x – 2 = 0(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1Luas daerah yang dimaksud sepertigambar berikut:
  43. 43. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalLuas daerah yang dimaksudSeperti gambar berikut:XYy = 2 - x22–21
  44. 44. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalL =122)2( dxxx12221331)(2x xx)1.1.1.2( 221331 221331)2.()2.()2.(2
  45. 45. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANContoh SoalL = )1.1.1.2( 221331 221331)2.()2.()2.(2)2( 21312)4( 382138316221398214Jadi,luasnya adalah 214 satuan luas
  46. 46. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANUji Kompetensi1. Hasil ∫ cos3x dx adalah . . . .A. sin x - sin3 x + CB. cos4 x + CC. 3 cos2 x sin x + CD. sin3 x – sin x + CE. sin x - 3 sin3 x + C2. Hasil dari x dx . . . .A. (9 + 76) D. (3 - 76)B. (9 - 76) E. ( + 76)C. (3 + 76)
  47. 47. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANUji Kompetensi
  48. 48. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANUji Kompetensi Luas daerah yang dibatasi olehkurva y = x3, sumbu Y, garisy = 8 adalah… Luas daerah yang dibatasi olehkurva y = x2, sumbu Y, dan garisy = x + 6 adalah… Luas daerah yang dibatasi oleh kurvay = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah… Luas daerah yang dibatasi olehKurva y = x3 – 1, sumbu X, garisx = -1 dan x = 2 adalah…
  49. 49. MATERICONTOH SOALUJIKOMPETENSIDAFTARPUSTAKATUJUANDaftar Pustaka

×