KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
----
HUỲNH TRÚC PHƯƠNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TOÁN
Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý
TP. Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ - TOÁN
Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương
Người hướng dẫn khoa học: ThS. Nguyễn Vũ Thụ Nhân
TP. Hồ Chí Minh, tháng 4 năm 2019

3. i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người đã tận tình giúp đỡ
và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Trường, Phòng đào tạo, các thầy cô trong khoa Vật lý,
trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện
khóa luận này.
Qua đây, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã
giúp đỡ, động viên, hỗ trợ tôi hết mình trong thời gian thực hiện khóa luận.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019
SINH VIÊN
Huỳnh Trúc Phương

4. ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...............................................................................................................i
MỤC LỤC ...................................................................................................................ii
DANH MỤC BẢNG BIỂU ..........................................................................................v
DANH MỤC HÌNH VẼ ..............................................................................................vi
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
I. Lí do chọn đề tài ................................................................................................1
II. Mục đích nghiên cứu .........................................................................................2
III. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................................2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.........................................................................................2
V. Phạm vi nghiên cứu ...........................................................................................2
VI. Cấu trúc đề tài....................................................................................................2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU..................................4
1.1. Một số hàm đặc biệt...........................................................................................4
1.1.1. Hàm delta Dirac ....................................................................................4
1.1.2. Hàm Heaviside ......................................................................................4
1.1.3. Hàm Bessel ...........................................................................................4
1.1.4. Đa thức Legendre ..................................................................................5
1.2. Các phép biến đổi tích phân...............................................................................6
1.2.1. Phép biến đổi Fourier ............................................................................6
1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos...........................................................9
1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức....................................................................9
1.2.4. Phép biến đổi Laplace..........................................................................10
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT
LÝ – TOÁN ...............................................................................................................15
2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN........................................................................15
2.1.1. Giới thiệu phương pháp.......................................................................15
2.1.2. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng.........15
2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do..................................15
2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức .........................22

5. iii
2.1.3. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt ........25
2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn.........................25
2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn...............................31
2.1.4. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace...............34
2.1.5. Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác........................................38
2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT .................................................44
2.2.1. Giới thiệu phương pháp.......................................................................44
2.2.2. Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền
sóng ............................................................................................................44
2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vô hạn ......................................................44
2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn................................................46
2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN......................................................48
2.3.1. Giới thiệu phương pháp.......................................................................48
2.3.2. Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý –
toán ............................................................................................................48
2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN .....................................................................54
2.4.1. Giới thiệu phương pháp.......................................................................54
2.4.2. Hàm Green ..........................................................................................54
2.4.3. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian.........56
2.4.4. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng không thuần nhất trong
không gian ba chiều............................................................................................60
2.4.5. Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell và bài toán phụ thuộc
vào thời gian.......................................................................................................62
Chương 3. ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN.........................................................................68
3.1. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN......................................................68
3.1.1. Giải các bài toán truyền sóng...............................................................68
3.1.2. Giải các bài toán truyền nhiệt ..............................................................75
3.1.3. Giải các bài toán Laplace.....................................................................81
3.1.4. Giải các bài toán trong các hệ tọa độ khác ...........................................88
3.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT...............................98
3.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN..................................101

6. iv
3.4. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN .................................................115
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN.................................................................126
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................127

7. v
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace ................................................................................13
Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng..................................................................14

8. vi
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Chu tuyến l L
 trong mặt phẳng phức ........................................................12
Hình 2.1. Đồ thị hàm số ( , )
y u x t
 ...........................................................................100

9. 1
MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Trong vật lý, việc giải các phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền
sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng. Các nhà vật lý biết được
dao động của dây, dao động của sóng nước,... nhờ việc giải phương trình truyền sóng,
biết sự biến thiên của nhiệt độ theo thời gian trong một miền cho trước nhờ việc giải
phương trình truyền nhiệt,...[7],[5]. Để giải các phương trình này, các nhà vật lý thường
sử dụng một số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích. Phương
pháp số có thể giải được nhiều bài toán phức tạp, nhưng chỉ giải ra nghiệm gần đúng [4].
Còn phương pháp giải tích giải ra nghiệm một cách chính xác nhưng trở nên khó khăn
đối với các bài toán phức tạp [3]. Do đó, phương pháp giải tích thường được sử dụng để
giảng dạy cho sinh viên vì các bài toán vật lý trong chương trình học của sinh viên không
quá phức tạp.
Hiện nay, ở nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý được học các
phương pháp giải tích để giải các phương trình vật lý toán: phương trình truyền sóng,
phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace. Mỗi loại phương trình có nhiều dạng
khác nhau: phương trình truyền sóng trên dây dài hữu hạn và vô hạn, truyền sóng trên
dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn chứa nguồn
và không chứa nguồn, phương trình Laplace,... Các phương pháp giải tích thường được
sử dụng để giải các phương trình này là phương pháp tách biến và phương pháp đa thức
D’Alembert. Hai phương pháp này được dùng phổ biến vì không đòi hỏi sinh viên biết
nhiều kiến thức toán phức tạp. Ngoài ra còn có các phương pháp tìm ra nghiệm dễ dàng
hơn nhưng khá nặng về kiến thức toán như phương pháp biến đổi tích phân, phương
pháp hàm Green. Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải
chúng nên việc hệ thống lại các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý toán
là rất cần thiết. Nhờ đó, sinh viên có thể xâu chuỗi lại kiến thức đã học, biết được thêm
các phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng hơn.
Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tôi đã hệ thống lại các phương pháp giải tích
để giải các bài toán phương trình vật lý - toán trong đề tài này.

10. 2
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài hướng đến hai mục đích sau:
 Đưa ra được hệ thống các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm
riêng ứng dụng rộng rãi trong vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình
truyền nhiệt, phương trình Laplace.
 Đưa ra hệ thống bài giải các bài tập phương trình đạo hàm riêng đã nói ở trên
bằng các phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức
D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.
III. Đối tượng nghiên cứu
 Các bài toán đạo hàm riêng ứng dụng trong vật lý.
 Các phương pháp giải tích áp dụng giải các bài toán đạo hàm riêng trong vật lý.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các bài toán đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý thông qua các giáo
trình, sách, các tài liệu liên quan.
 Phân tích những ưu điểm, nhược điểm của các phương pháp giải tích áp dụng giải
các bài toán vật lý – toán.
V. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp giải tích để giải các phương trình vật
lý - toán thường gặp: phương trình truyền sóng trên dây, phương trình truyền nhiệt trên
thanh, phương trình Laplace,…
VI. Cấu trúc đề tài
Mở đầu: Phần này tôi trình bày tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí do chọn đề
tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên
cứu và cấu trúc đề tài.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết của đề tài nghiên cứu.
Trong chương này, tôi trình bày một số hàm đặc biệt được đề cập tới trong đề tài
và các phép biến đổi tích phân để làm cơ sở cho phương pháp biến đổi tích phân trong
chương 2.

11. 3
Chương 2. Các phương pháp giải tích giải các phương trình vật lý – toán.
Trong chương này, tôi trình bày về các phương pháp giải tích giải các phương trình
vật lý toán, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức d’Alembert,
phương pháp biến đổi tích phân và phương pháp hàm Green.
Chương 3. Áp dụng các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý - toán.
Trong chương này, tôi trình bày hệ thống giải các bài tập phương trình đạo hàm
riêng trong vật lý theo từng phương pháp giải tích đã đề cập trong chương 2.
Kết luận và hướng phát triển

12. 4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1. Một số hàm đặc biệt
1.1.1. Hàm delta Dirac
Trong vật lý, hàm delta Dirac δ(x) thường được dùng để mô tả các khái niệm như:
mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm,...Hàm delta Dirac được định nghĩa bởi:
𝛿(𝑥) = {
0, 𝑥 ≠ 0
∞, 𝑥 = 0
(1.1.1)
và hàm này phải thoả mãn đẳng thức:
∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
= 1 (1.1.2)
Hàm delta Dirac có tính chất như sau: Với mọi hàm 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥 = 𝑥0 thì:
∫ 𝛿(𝑥 − 𝑥0)𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
= 𝑓(𝑥0). (1.1.3)
1.1.2. Hàm Heaviside
Hàm Heaviside H(t), còn gọi là hàm bậc thang đơn vị, được định nghĩa như sau:
𝐻(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 > 0
(1.1.4)
Định nghĩa trên cho ta biết hàm H(t) là một hàm không liên tục, nhận giá trị 0 khi
đối số t âm và nhận giá trị 1 khi đối số t dương. Hàm Heaviside thường được dùng
trong việc nghiên cứu các mạch điện, xử lý các tín hiệu,...
1.1.3. Hàm Bessel
Trong các bài toán vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, ta thường gặp phương
trình có dạng sau:
𝑥2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥2
− 𝑚2)𝑦 = 0 (1.1.5)
Phương trình (1.1.5) gọi là phương trình Bessel bậc m. Nghiệm của phương trình
này có dạng hàm Bessel.
Hàm Bessel loại 1 theo biến x R
 , bậc m, được định nghĩa bằng chuỗi luỹ thừa
sau:

13. 5
𝐽𝑚(𝑥) = ∑
(−1)𝑘
𝑘! (𝑚 + 𝑘)!
(
𝑥
2
)
2𝑘+𝑚
+∞
𝑘=0
(1.1.6)
Hàm Bessel loại 2 liên hệ với hàm Bessel loại 1 theo biểu thức:
𝑌𝑚(𝑥) =
𝐽𝑚(𝑥) cos(𝑚𝜋) − 𝐽−𝑚(𝑥)
sin(𝑚𝜋)
(1.1.7)
trong đó:
𝐽−𝑚(𝑥) = ∑
(−1)𝑘
𝑘! (−𝑚 + 𝑘)!
(
𝑥
2
)
2𝑘−𝑚
+∞
𝑘=0
Nếu phương trình (1.1.5) có bậc m nguyên, nghiệm tổng quát của nó có dạng:
𝑦 = 𝐴𝐽𝑚(𝑥) + 𝐵𝑌𝑚(𝑥) (1.1.8)
Ngược lại, nếu phương trình (1.1.5) có bậc m không nguyên, nghiệm tổng quát của
nó có dạng:
𝑦 = 𝐴𝐽𝑚(𝑥) + 𝐵𝐽−𝑚(𝑥) (1.1.9)
với A, B là các hệ số.
1.1.4. Đa thức Legendre
Trong các bài toán Laplace trong hệ toạ độ cầu, ta thường gặp các phương trình có
dạng:
(1 − 𝑥2)
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
− 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0, 𝑥 ∈ (−1,1), 𝑛 ≥ 0 (1.1.10)
gọi là phương trình Legengre. Nghiệm của phương trình này có dạng đa thức Legendre.
Đa thức Legendre bậc n, ký hiệu là 𝑃
𝑛(𝑥), được cho bởi biểu thức sau:
𝑃
𝑛(𝑥) =
1
𝑛! 2𝑛
𝑑𝑛(𝑥2
− 1)𝑛
𝑑𝑥2
, 𝑛 = 0,1,2, … (1.1.11)
Một vài giá trị bậc nhỏ của đa thức Legendre:
𝑃0(𝑥) = 1
𝑃1(𝑥) = 𝑥

14. 6
𝑃2(𝑥) =
1
2
(3𝑥2
− 1)
𝑃3(𝑥) =
1
2
(5𝑥3
− 3𝑥)
Khi giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, nếu nghiệm tổng quát của nó
dưới dạng chuỗi chứa đa thức Legendre, để tìm hệ số của chuỗi, chẳng hạn ta có
𝑓(𝑥) = ∑ 𝐴𝑛𝑃
𝑛(𝑥)
+∞
𝑛=0
(1.1.12)
với f(x) là một hàm đã biết, thì hệ số 𝐴𝑛 sẽ có dạng sau:
𝐴𝑛 =
2𝑛 + 1
2
∫ 𝑓(𝑥)𝑃
𝑛(𝑥)𝑑𝑥
1
−1
(1.1.13)
1.2. Các phép biến đổi tích phân
1.2.1. Phép biến đổi Fourier
Cho 𝑓𝑇(𝑡) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Chuỗi Fourier của hàm 𝑓𝑇(𝑡) có dạng:
𝑓𝑇(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑[𝑎𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡) + 𝑏𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡)]
+∞
𝑛=1
(1.2.1)
trong đó n là các số nguyên không âm; 𝜔𝑛 =
2𝑛𝜋
𝑇
và các hệ số 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 được xác định
như sau:
{
𝑎0 =
2
𝑇
∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑎𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑓𝑇(𝑡) cos(𝜔𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
𝑏𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑓𝑇(𝑡) sin(𝜔𝑛𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
Thay 𝑎𝑛, 𝑏𝑛,𝜔𝑛 vào 𝑓𝑇(𝑡):

15. 7
⇒ 𝑓𝑇(𝑡) =
1
𝑇
∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
+
2
𝑇
∑ [cos 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos(𝜔𝑛𝑣) 𝑑𝑣
𝑇
2
−
𝑇
2
+∞
𝑛=1
+ sin 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) sin(𝜔𝑛𝑣)𝑑𝑣
𝑇
2
−
𝑇
2
]
(1.2.2)
Mặt khác ta có:
𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 =
2(𝑛 + 1)𝜋
𝑇
−
2𝑛𝜋
𝑇
⇔ ∆𝜔 = 𝜔𝑛+1 − 𝜔𝑛 =
2𝜋
𝑇
⇔
2
𝑇
=
∆𝜔
𝜋
Do đó, 𝑓𝑇(𝑡) được viết lại dưới dạng sau:
𝑓𝑇(𝑡) =
1
𝑇
∫ 𝑓𝑇(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2
−
𝑇
2
+
1
𝜋
{∑ [cos 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos(𝜔𝑛𝑣) 𝑑𝑣∆𝜔
𝑇
2
−
𝑇
2
+∞
𝑛=1
+ sin 𝜔𝑛𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) sin(𝜔𝑛𝑣)𝑑𝑣∆𝜔
𝑇
2
−
𝑇
2
]}
(1.2.3)
Biểu thức (1.2.3) đúng với T bất kỳ nhưng T phải có giá trị hữu hạn. Bây giờ ta xét
𝑇 → +∞ và giả sử rằng kết quả thu được là một hàm không tuần hoàn:
𝑓(𝑡) = lim
𝑇→+∞
𝑓𝑇(𝑡)
Hàm này khả tích trên trục t, nghĩa là tồn tại tích phân
∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡
+∞
−∞

16. 8
thì khi 𝑇 → +∞ ⇒
1
𝑇
→ 0, số hạng đầu tiên bên vế phải của (1.2.3) bằng 0. Mặt khác,
khi 𝑇 → +∞ thì ∆𝜔 =
2𝜋
𝑇
→ 0, chuỗi vô hạn trong (1.2.3) trở thành tích phân với cận từ
0 đến ∞.
⇒ 𝑓𝑇(𝑡) =
1
𝜋
∫ [cos𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
−∞
+ sin 𝜔𝑡 ∫ 𝑓𝑇(𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
−∞
] 𝑑𝜔
+∞
0
Ta đặt:
{
𝐴(𝜔) =
1
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
−∞
𝐵(𝜔) =
1
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣) sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
−∞
(1.2.4)
⇒ 𝑓(𝑡) = ∫ [𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 + 𝐵(𝜔) sin 𝜔𝑡]𝑑𝜔
+∞
0
(1.2.5)
Biểu thức (1.2.5) chính là biểu diễn Fourier của hàm 𝑓(𝑡). Tuy nhiên không phải
bất kỳ hàm nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier. Nếu 𝑓(𝑡) là hàm liên
tục trên từng đoạn, có đạo hàm trái và phải tại mọi điểm, đồng thời tồn tại tích phân
∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡
+∞
−∞
thì hàm 𝑓(𝑡) có thể biểu diễn bằng tích phân Fourier. Tại điểm 𝑓(𝑡) bị gián đoạn, giá trị
của tích phân Fourier sẽ bằng với trung bình giới hạn trái và phải của 𝑓(𝑡) tại điểm đó.
Nếu 𝑓(𝑡) là hàm chẵn :
{
𝐵(𝜔) =
1
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣)
+∞
−∞
sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣 = 0
𝐴(𝜔) =
2
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
0
⇒ 𝑓(𝑡) = ∫ 𝐴(𝜔) cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔
+∞
0
(1.2.6)
Nếu 𝑓(𝑡) là hàm lẻ :

17. 9
{
𝐴(𝜔) =
1
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣) cos 𝜔𝑣 𝑑𝑣
+∞
−∞
= 0
𝐵(𝜔) =
2
𝜋
∫ 𝑓𝑇(𝑣)
+∞
0
sin 𝜔𝑣 𝑑𝑣
⇒ 𝑓(𝑡) = ∫ 𝐵(𝜔) sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔
+∞
0
(1.2.7)
1.2.2. Phép biến đổi Fourier Sin và Cos
Cho hàm 𝑢(𝑥, 𝑡) xác định ∀ 𝑥 ∈ (0, +∞), ∀ 𝑡 ≥ 0. Biến đổi Fourier Sin của hàm
𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x được xác định bởi:
ℱ𝑠(𝑢(𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑠(𝑝, 𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥
+∞
0
(1.2.8)
Để tìm lại được hàm 𝑢(𝑥, 𝑡), ta sử dụng phép biến đổi gọi là phép biến đổi ngược:
ℱ𝑠
−1
(𝒰𝑠(𝑝, 𝑡)) = 𝑢(𝑥, 𝑡) =
2
𝜋
∫ 𝒰𝑠(𝑝, 𝑡) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑝
+∞
0
(1.2.9)
Tương tự, biến đổi Fourier Cos của 𝑢(𝑥, 𝑡) theo biến x là:
ℱ𝑐(𝑢(𝑥, 𝑡)) = 𝒰𝑐(𝑝, 𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡) cos𝑝𝑥 𝑑𝑥
+∞
0
(1.2.10)
và phép biến đổi ngược có dạng:
ℱ𝑐
−1
(𝒰𝑐(𝑝, 𝑡)) = 𝑢(𝑥, 𝑡) =
2
𝜋
∫ 𝒰𝑐(𝑝, 𝑡) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑝
+∞
0
(1.2.11)
1.2.3. Phép biến đổi Fourier phức
Phép biến đổi Fourier phức của hàm f(t) được định nghĩa như sau:
ℱ(𝑓(𝑡)) = 𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
+∞
−∞
(1.2.12)
Để tìm lại hàm f(t), ta sử dụng phép biến đổi Fourier phức ngược được cho bởi:
ℱ−1(𝐹(𝜔)) = 𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑑𝜔
+∞
−∞
(1.2.13)

18. 10
Ý nghĩa vật lý của việc biến đổi này như sau: ta hình dung hàm 𝑓(𝑡) đóng vai trò
là chùm sáng trong quang học, việc biến đổi Fourier giống như việc cho chùm sáng đi
qua lăng kính, khi đó chúng sẽ bị tách ra thành các thành phần có tần số 𝜔 ứng với cường
độ 𝐹(𝜔). Trong quang học, mỗi ánh sáng đơn sắc ứng với một tần số. Do đó việc biến
đổi Fourier sẽ cho ra các thành phần với các màu sắc khác nhau, tạo thành phổ màu. Và
khi biến đổi Fourier ngược, ta sẽ đưa về chùm sáng ban đầu [2].
Một trong những định lý quan trọng để giải các bài tập sử dụng phép biến đổi
Fourier phức là định lý tích chập.
Định lý 1.2.1 (Định lý tích chập)
Cho hai hàm thực f và g, tích chập của f và g, kí hiệu là 𝑓 ∗ 𝑔, được định nghĩa là:
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢
+∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢
+∞
−∞
(1.2.14)
Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g có dạng:
ℱ(𝑓 ∗ 𝑔) = ℱ(𝑓)ℱ(𝑔) (1.2.15)
Để tìm lại tích chập của f và g, ta có biến đổi Fourier ngược:
ℱ−1
(ℱ(𝑓)ℱ(𝑔)) = 𝑓 ∗ 𝑔 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢
+∞
−∞
(1.2.16)
1.2.4. Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau:
ℒ(𝑓(𝑥)) = 𝐹(𝑝) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑝𝑥
𝑑𝑥
+∞
0
(1.2.17)
trong đó 𝑓(𝑥) xác định ∀ 𝑥 ≥ 0 và khả vi trên mọi miền dương hữu hạn; 𝑝 là số phức,
có dạng 𝑝 = 𝛾 + 𝑖𝛽, là một tham số phức hội tụ trong miền 𝑅𝑒(𝑝) = 𝛾 > 𝛾0. Hàm 𝑓(𝑥)
được cho phải thỏa mãn điều kiện sao cho 𝑒−𝑘𝑥|𝑓(𝑥)| khả vi trong mọi miền 0 < 𝑥 <
∞. Để tìm lại hàm 𝑓(𝑥) từ hàm 𝐹(𝑝), ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược.
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa:

19. 11
ℒ−1(𝐹(𝑝)) = 𝑓(𝑥) =
1
2𝜋𝑖
∫ 𝐹(𝑝)𝑒𝑝𝑥
𝑑𝑝
𝛾+𝑖∞
𝛾−𝑖∞
(1.2.18)
Để tính tích phân trong (1.2.18), ta phải áp dụng định lý thặng dư Cauchy.
Định lý 1.2.2. (Định lý thặng dư Cauchy)
Nếu 𝑓(𝑧) là hàm giải tích trong một miền kín được giới hạn bởi biên 𝐶 ngoại trừ
các điểm đơn cô lập 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 (với n là số hữu hạn) nằm bên trong 𝐶 thì ta có:
∳𝑓(𝑧)𝑑𝑧
𝐶
= 2𝜋𝑖 ∑ Res
𝑧=𝑎𝑗
𝑓(𝑧)
𝑛
𝑗=1
(1.2.19)
trong đó Res
𝑧=𝑎𝑗
𝑓(𝑧) là giá trị thặng dư của hàm 𝑓(𝑧) tại cực điểm 𝑧 = 𝑎𝑗.
Giả sử 𝑓(𝑧) =
𝑃(𝑧)
𝑄(𝑧)
, với 𝑃(𝑧) và 𝑄(𝑧) đều là hàm giải tích của z. Nếu 𝑃(𝑧) ≠ 0,
𝑄(𝑧) = 0 thì điểm 0 của 𝑄(𝑧) = 0 gọi là cực điểm của hàm 𝑓(𝑧). Nếu 𝑧 = 𝑎 là một cực
điểm của 𝑓(𝑧) và nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 1, cực điểm này gọi là cực điểm cấp 1,
nếu (𝑧 − 𝑎) có lũy thừa bậc 2, cực điểm gọi là cực điểm cấp 2, tương tự cho các cực
điểm cấp cao hơn.
Nếu 𝑓(𝑧) có một cực điểm cấp 𝑚 > 1 tại 𝑧 = 𝑎 thì thặng dư được cho bởi:
Res
𝑧=𝑎
𝑓(𝑧) =
1
(𝑚 − 1)!
lim
𝑧→𝑎
[
𝑑𝑚−1
𝑑𝑧𝑚−1
[(𝑧 − 𝑎)𝑚
𝑓(𝑧)]] (1.2.20)
Để tìm biến đổi Laplace ngược sử dụng định lý thặng dư, ta tính tích phân sau:
𝐼 = lim
𝜔→∞
∫ 𝑒𝑝𝑥
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝛾+𝑖𝜔
𝛾−𝑖𝜔

20. 12
Chu tuyến 𝑙 + 𝐿 biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình 1.1. Chu tuyến này bao
quanh tất cả các điểm bất thường cô lập của hàm lấy tích phân. Tích phân dọc theo chu
tuyến 𝐿 + 𝑙 có giá trị:
∫ 𝑒𝑝𝑥
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝑙+𝐿
= 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒𝑝𝑥
. 𝐹(𝑝)) (1.2.21)
Khi 𝜔 → ∞ thì ∫ 𝑒𝑝𝑥
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝐿
→ 0. Do đó:
𝐼 = lim
𝜔→∞
∫𝑒𝑝𝑥
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝑙
= ∫ 𝑒𝑝𝑥
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝛾+𝑖∞
𝛾−𝑖∞
= 2𝜋𝑖 ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒𝑝𝑥
. 𝐹(𝑝))
(1.2.22)
Mặt khác ta có:
Hình 1.1. Chu tuyến l L
 trong mặt phẳng phức

21. 13
2𝜋𝑖𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥𝑝
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
𝛾+𝑖∞
𝛾−𝑖∞
(1.2.23)
Từ (1.2.22) và (1.2.23), suy ra:
ℒ−1
(𝐹(𝑝)) = 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑅𝑒𝑠 (𝑒𝑝𝑥
. 𝐹(𝑝))
Để sử dụng phép biến đổi Laplace, ta cần nhớ các định lý sau đây:
Định lý 1.2.3 (Định lý dịch chuyển thứ nhất)
Nếu ℒ(𝑓) = 𝐹(𝑝) thì
ℒ(𝑒𝑎𝑥
𝑓(𝑥)) = 𝐹(𝑝 − 𝑎) (1.2.24)
Định lý 1.2.4 (Định lý tích chập trong biến đổi Laplace)
Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai hàm bất kỳ, có biến đổi Laplace với ℒ(𝑓(𝑥)) =
𝐹(𝑝), ℒ(𝑔(𝑥)) = 𝐺(𝑝) thì:
ℒ [∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑥
0
] = 𝐹(𝑝)𝐺(𝑝) (1.2.25)
và biến đổi ngược:
ℒ−1[𝑓(𝑝)𝐺(𝑝)] = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑥 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑥
0
(1.2.26)
Định lý 1.2.5 (Định lý dịch chuyển thứ hai)
Nếu 𝐹(𝑝) = ℒ(𝑓(𝑥)) thì với hằng số dương a bất kỳ, ta luôn có:
𝑒−𝑎𝑝
𝐹(𝑝) = ℒ[𝑓(𝑥 − 𝑎)𝐻(𝑥 − 𝑎)] (1.2.27)
Để thuận tiện cho việc biến đổi Laplace, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace và bảng
biến đổi Laplace mở rộng được cho bởi bảng 1.1 và bảng 1.2:
Bảng 1.1. Bảng biến đổi Laplace
HÀM 𝒇(𝒙) HÀM 𝑭(𝒑)
𝑎
𝑎
𝑝
𝑒𝑎𝑥
1
𝑝 − 𝑎

22. 14
𝑥𝑛
𝑛!
𝑝𝑛+1
sinh 𝛽𝑥
𝛽
𝑝2 − 𝛽2
sin 𝜔𝑥
𝜔
𝑝2 + 𝜔2
cos 𝜔𝑥
𝑝
𝑝2 + 𝜔2
𝛿(𝑥 − 𝑇) 𝑒−𝑝𝑇
cosh 𝛽𝑥
𝑝
𝑝2 − 𝛽2
Bảng 1.2. Bảng biến đổi Laplace mở rộng
HÀM 𝒇(𝒙) HÀM 𝑭(𝒑)
𝑒𝑎𝑥
𝑥𝑛
𝑛!
(𝑝 − 𝑎)𝑛+1
𝑒𝑎𝑥
sin 𝜔𝑥
𝜔
(𝑝 − 𝑎)2 + 𝜔2
𝑒𝑎𝑥
cos 𝜔𝑥
𝑝 − 𝑎
(𝑝 − 𝑎)2 + 𝜔2

23. 15
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ – TOÁN
Nội dung chương 2 được tham khảo từ tài liệu [3].
2.1. PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
2.1.1. Giới thiệu phương pháp
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp hiệu quả để giải các bài
toán phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ý tưởng của phương pháp này là chuyển
phương trình ban đầu thành các phương trình vi phân thường. Khi đó, nghiệm tổng quát
của phương trình đã cho có thể biểu diễn thành chuỗi vô hạn các nghiệm của phương
trình vi phân thường. Nhờ vào điều kiện biên, ta tìm được hệ số của chuỗi, từ đó suy ra
nghiệm phương trình đã cho.
Phần này sẽ trình bày phương pháp tách biến để giải các bài toán truyền sóng,
truyền nhiệt, Laplace,…Trước hết, ta sẽ xét các phương trình truyền sóng.
2.1.2. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền sóng
Phương trình truyền sóng là phương trình đạo hàm riêng dùng để mô tả sóng cơ
(sóng nước, sóng âm,…) hoặc sóng ánh sáng trong vật lý [7].
Ta sẽ lần lượt xét các bài toán truyền sóng một chiều: truyền sóng trên dây dài hữu
hạn dao động tự do và truyền sóng trên dây dao động cưỡng bức.
2.1.2.1. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động tự do
Ta xét một dây căng đàn hồi có chiều dài l. Người ta làm biến dạng sợi dây, sau đó
thả ra với vận tốc cho trước. Ta sẽ xác định được độ lệch của dây tại một điểm 𝑥𝑖 nào
đó, dọc trên dây vào thời điểm t bằng cách tìm nghiệm phương trình sóng. Phương trình
truyền sóng một chiều của dây được cho như sau:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
−
1
𝑐2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= 0, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.1)
Với 𝑢(𝑥, 𝑡) là độ lệch của một điểm 𝑥 trên dây tại thời điểm t. Tại thời điểm ban
đầu 𝑡 = 0, độ lệch của dây được mô tả bởi hàm 𝑓(𝑥) với: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) và vận tốc của

24. 16
dây được mô tả bởi hàm 𝐹(𝑥) với:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥). Trong đó, 𝑓(𝑥) khả vi liên tục tới
cấp 2 và 𝐹(𝑥) khả vi liên tục trên −∞ < 𝑥 < ∞. Sử dụng phương pháp tách biến, ta có:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) (2.1.2)
Thế (2.1.2) vào (2.1.1), ta được:
1
𝑐2
𝑑2
𝑇
𝑑𝑡2
=
1
𝑋
𝑑2
𝑋
𝑑𝑥2
(2.1.3)
Trong phương trình (2.1.3), vế trái là hàm theo t, vế phải là hàm theo x. Do đó hai
vế chỉ bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số 𝜆 nào đó sao cho:
1
𝑋
𝑑2
𝑋
𝑑𝑥2
=
1
𝑐2
𝑑2
𝑇
𝑑𝑡2
= −𝜆 (2.1.4)
⇒ {
𝑋′′(𝑥) + 𝜆𝑋(𝑥) = 0
𝑇′′(𝑡) + 𝑐2
𝜆𝑇(𝑡) = 0
Đặt
𝑋′′(𝑥) + 𝜆𝑋(𝑥) = 0 (2.1.5)
𝑇′′(𝑡) + 𝑐2
𝜆𝑇(𝑡) = 0 (2.1.6)
Đối với phương trình sóng một chiều, điều kiện biên có các trường hợp: hai đầu cố
định, hai đầu thả tự do, một đầu cố định và đầu kia thả tự do.
 Trường hợp hai đầu cố định
Điều kiện biên:
{
𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0
𝑢(𝑙, 𝑡) = 𝑋(𝑙)𝑇(𝑡) = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋(0) = 𝑋(𝑙) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.1.7)
* Giải phương trình (2.1.5):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.7): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0

25. 17
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Điều kiện biên (2.1.7): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵 = 0
𝐴𝑙 + 𝐵 = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.7): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 = 0
𝐴 cos 𝛼𝑙 + 𝐵 sin 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ 𝛼𝑙 = 𝑘𝜋 (𝑘 = 1,2,3, … ) ⇒ 𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐵 sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
* Giải phương trình (2.1.6):
(2.1.6) ⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶 cos 𝛼𝑐𝑡 + 𝐷 sin 𝛼𝑐𝑡 = 𝐶 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐷 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡) = (𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
Nghiệm tổng quát của (2.1.1):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ (𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
,
+∞
𝑘=1
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
{
∑ 𝐴𝑘 sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
= 𝑓(𝑥)
+∞
𝑘=1
∑
𝑘𝜋𝑐
𝑙
𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝐹(𝑥)
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]

26. 18
Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được:
{
𝐴𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
𝑘𝜋𝑐
𝑙
. 𝐵𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝐹(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Sau khi tìm được 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm
phương trình truyền sóng đã cho.
 Trường hợp hai đầu thả tự do
Điều kiện biên:
{
𝑢′(0, 𝑡) = 𝑋′(0)𝑇(𝑡) = 0
𝑢′(𝑙, 𝑡) = 𝑋′(𝑙)𝑇(𝑡) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋′(0) = 𝑋′(𝑙) = 0 ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.8)
* Giải phương trình (2.1.5)
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝑒𝛼𝑥
⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝛼𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.8): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
−𝐴𝛼 + 𝐵𝛼 = 0
−𝐴𝛼. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵𝛼. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 𝑋′(𝑥) = 𝐴
Điều kiện biên (2.1.8): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐵
(2.1.6) ⇒ 𝑇′′(𝑡) = 0 ⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶𝑡 + 𝐷, ∀𝑡 ≥ 0
Chọn 𝐶 = 0 để 𝑇𝑘(𝑡) hữu hạn khi 𝑡 → ∞
⇒ 𝑇0(𝑡) = 𝐷
⇒ 𝑢0 = 𝐵. 𝐷
Đặt 𝐵. 𝐷 =
𝑎0
2
⇒ 𝑢0 =
𝑎0
2

27. 19
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.8): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵𝛼 = 0
−𝐴𝛼 sin 𝛼𝑙 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵 = 0
𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
(𝑘 = 1,2,3, … )
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
* Giải phương trình (2.1.6)
(2.1.6) ⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐷 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡) = (𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
) cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
Nghiệm tổng quát của (2.1.1):
𝑢(𝑥, 𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑ (𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑐𝑡
𝑙
) cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
,
+∞
𝑘=1
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
{
𝑎0
2
+ ∑ 𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
= 𝑓(𝑥)
+∞
𝑘=1
∑
𝑘𝜋𝑐
𝑙
𝐵𝑘 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝐹(𝑥)
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được hệ số 𝑎0, 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘 với:

28. 20
{
𝐴𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
𝑘𝜋𝑐
𝑙
. 𝐵𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝐹(𝑥) cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
𝑎0 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
Thay 𝑎0, 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền
sóng đã cho.
 Trường hợp biên buộc ở đầu 𝑥 = 0 và biên thả dao động tự do ở đầu 𝑥 = 𝑙
Điều kiện biên:
{
𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0
𝑢′(𝑙, 𝑡) = 𝑋′(𝑙)𝑇(𝑡) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋(0) = 𝑋′(𝑙) = 0 ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.9)
* Giải phương trình (2.1.5):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝑒𝛼𝑥
⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝛼𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.9): {
𝑋(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 + 𝐵 = 0
−𝐴𝛼. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵𝛼. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 𝑋′(𝑥) = 𝐴
Điều kiện biên (2.1.9): {
𝑋(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.5) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥
Điều kiện biên (1.1.9): {
𝑋(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 = 0
−𝐴𝛼 sin 𝛼𝑙 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0

29. 21
⇒ {
𝐴 = 0
𝛼 =
𝜋(2𝑘 + 1)
2𝑙
(𝑘 = 0,1,2,3, … )
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐵 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
* Giải phương trình (2.1.6):
(2.1.6) ⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶 cos
(2𝑘+1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
+ 𝐷 sin
(2𝑘+1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡)
= [𝐴𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
] sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐴𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
] sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
,
+∞
𝑘=0
∀𝑥
∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
{
∑ 𝐴𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
= 𝑓(𝑥)
+∞
𝑘=0
∑
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐
2𝑙
𝐵𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
+∞
𝑘=0
= 𝐹(𝑥)
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta thu được hệ số 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘
{
𝐴𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐
2𝑙
. 𝐵𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝐹(𝑥) sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Thay 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền
sóng đã cho.
 Trường hợp biên buộc ở đầu 𝑥 = 𝑙 và biên thả dao động tự do ở đầu 𝑥 = 0

30. 22
Tính toán tương tự, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1) là:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐴𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑐𝑡
2𝑙
] cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
,
+∞
𝑘=0
∀𝑥
∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu, ta khai triển Fourier tìm được hệ số 𝐴𝑘, 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát,
ta được nghiệm phương trình đã cho.
2.1.2.2. Truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức
Ta xét bài toán truyền sóng trên dây hữu hạn dao động cưỡng bức với hàm 𝑔(𝑥, 𝑡),
phương trình truyền sóng có dạng:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑔(𝑥, 𝑡), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.10)
với điều kiện đầu:
{
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡=0
= 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
 Trường hợp hai đầu dây buộc chặt
𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0, ∀𝑡 ≥ 0
Ta đặt nghiệm phương trình có dạng:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑇𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀ 𝑡 ≥ 0
Tính các đạo hàm bậc hai của u theo x và t:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= ∑ 𝑇𝑘
′′(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
= ∑ − (
𝑘𝜋
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
Để đồng nhất với nghiệm phương trình, ta đặt:
𝑔(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐺𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=

31. 23
⇒ 𝐺𝑘(𝑡) =
2
𝑙
∫ 𝑔(𝑥, 𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Với 𝑔(𝑥, 𝑡) đã cho ở đề bài, ta tính được 𝐺𝑘(𝑡). Khi đó, phương trình (2.1.10) thành:
∑ 𝑇𝑘
′′(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
+ ∑ (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
− ∑ 𝐺𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
= 0
+∞
𝑘=1
⇔ ∑ [𝑇𝑘
′′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘 − 𝐺𝑘(𝑡)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
= 0
+∞
𝑘=1
⇔ 𝑇𝑘
′′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) = 𝐺𝑘(𝑡) ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.11)
Xét phương trình thuần nhất:
𝑇𝑘
′′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘 = 0 (2.1.12)
Nghiệm phương trình (2.1.12) có dạng:
𝑇𝑘
∗(𝑡) = 𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑎𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑎𝑡
𝑙
Nghiệm riêng 𝑇𝑅(𝑡) của phương trình (2.1.11) phụ thuộc vào dạng của hàm 𝐺𝑘(𝑡).
⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝑇𝑘
∗(𝑡) + 𝑇𝑅(𝑡) (2.1.13)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.10) có dạng:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐴𝑘 cos
𝑘𝜋𝑎𝑡
𝑙
+ 𝐵𝑘 sin
𝑘𝜋𝑎𝑡
𝑙
+ 𝑇𝑅(𝑡)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
+∞
𝑘=1
Điều kiện đầu:
{
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡=0
= 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
{
∑[𝐴𝑘 + 𝑇𝑅(0)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓(𝑥)
∑ [
𝑘𝜋𝑎
𝑙
𝐵𝑘 + 𝑇𝑅
′(0)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝐹(𝑥)

32. 24
⇒
{
𝐴𝑘 + 𝑇𝑅(0) =
2
𝑙
∫ sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
𝑘𝜋𝑎
𝑙
𝐵𝑘 + 𝑇𝑅
′ (0) =
2
𝑙
∫ 𝐹(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
(2.1.14)
Giải (2.1.14), ta tìm được hệ số 𝐴𝑘, 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta thu được
nghiệm phương trình (2.1.10).
 Trường hợp hai đầu dây chuyển động theo một quy luật cho trước
Điều kiện biên có dạng:
{
𝑢(0, 𝑡) = 𝜑1
𝑢(𝑙, 𝑡) = 𝜑2
, ∀𝑡 ≥ 0
Ta đổi biến 𝑢(𝑥, 𝑡) thành 𝑣(𝑥, 𝑡):
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝜑1(𝑡) + [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑥
𝑙
(2.1.15)
với điều kiện đầu:
{
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡=0
= 𝐹(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
(2.1.15) ⇔ {
𝑣|𝑡=0 + 𝜑1(0) + [𝜑2(0) − 𝜑1(0)]
𝑥
𝑙
= 𝑓(𝑥)
𝜕𝑣
𝜕𝑡
|
𝑡=0
+ 𝜑1
′ (0) + [𝜑2
′ (0) − 𝜑1
′ (0)]
𝑥
𝑙
= 𝐹(𝑥)
, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙]
Đặt
{
𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜑1(0) − [𝜑2(0) − 𝜑1(0)]
𝑥
𝑙
𝐹1(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝜑1
′ (0) − [𝜑2
′ (0) − 𝜑1
′ (0)]
𝑥
𝑙
⇒ {
𝑣|𝑡=0 = 𝑓1(𝑥)
𝜕𝑣
𝜕𝑡
|
𝑡=0
= 𝐹1(𝑥)
Từ điều kiện biên, suy ra:
{
𝑣|𝑥=0 + 𝜑1(𝑡) = 𝜑1(𝑡)
𝑣|𝑥=𝑙 + 𝜑1(𝑡) + [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑙
𝑙
= 𝜑2(𝑡)

33. 25
⇒ {
𝑣|𝑥=0 = 0
𝑣|𝑥=𝑙 = 0
, ∀𝑡 ≥ 0
Ta đổi biến các số hạng trong (2.1.10):
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
=
𝜕2
𝑣
𝜕𝑡2
+ 𝜑1
′′(𝑡) + [𝜑2
′′(𝑡) − 𝜑1
′′(𝑡)]
𝑥
𝑙
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
Khi đó phương trình (2.1.10) thành:
𝜕2
𝑣
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝑔(𝑥, 𝑡) − 𝜑1
′′(𝑡) − [𝜑2
′′(𝑡) − 𝜑1
′′(𝑡)]
𝑥
𝑙
⇒
𝜕2
𝑣
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝑔1(𝑥, 𝑡)
 Nếu 𝑔1(𝑥, 𝑡) = 0, phương trình trên trở thành phương trình dao động tự do trên dây
hữu hạn, hai đầu được buộc chặt. Sử dụng phương pháp tách biến như đã làm với các
bài trước, ta thu được nghiệm phương trình đã cho.
 Nếu 𝑔1(𝑥, 𝑡) ≠ 0, phương trình trên trở thành phương trình truyền sóng trên dây hữu
hạn dao động cưỡng bức với hai đầu buộc chặt. Sử dụng phương pháp tách biến, ta
tìm được nghiệm phương trình đã cho.
2.1.3. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình truyền nhiệt
Phương trình truyền nhiệt là phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả sự biến
thiên nhiệt độ trong một miền cho trước theo thời gian. Trong phần này, tôi sẽ xét bài
toán truyền nhiệt trên thanh dài hữu hạn không chứa nguồn và chứa nguồn.
2.1.3.1. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn không chứa nguồn
Ta xét một thanh có chiều dài l không chứa nguồn nhiệt. Nhiệt độ ban đầu của
thanh được cho bởi 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]. Phương trình truyền nhiệt trên thanh có
dạng:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑐2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.16)
Sử dụng phương pháp tách biến:

34. 26
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) (2.1.17)
Phương trình (2.1.16) trở thành:
𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) = 𝑐2
𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) (2.1.18)
Tương tự như bài toán truyền sóng, hai vế phương trình (2.1.18) bằng nhau khi chúng
cùng bằng một hằng số 𝜆 sao cho:
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
=
𝑇′(𝑡)
𝑐2𝑇(𝑡)
= −𝜆
Từ đây, ta có hai phương trình vi phân thường:
𝑋′′(𝑥) + 𝜆𝑋(𝑥) = 0 (2.1.19)
𝑇′(𝑡) + 𝑐2
𝜆𝑇(𝑡) = 0 (2.1.20)
Ta xét 4 trường hợp ứng với điều kiện biên: hai đầu được giữ ở 00
𝐶; hai đầu cách nhiệt;
đầu 𝑥 = 0 cách nhiệt và đầu 𝑥 = 𝑙 được giữ ở 00
𝐶; đầu 𝑥 = 0 được giữ ở 00
𝐶 và đầu
𝑥 = 𝑙 cách nhiệt.
 Trường hợp hai đầu được giữ ở 00
𝐶
Ta có:
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0
Từ (2.1.17), điều kiện biên thành:
𝑋(0) = 𝑋(𝑙) = 0, ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.21)
* Giải phương trình (2.1.19)
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = −√𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.21): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵

35. 27
Điều kiện biên (2.1.21): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵 = 0
𝐴𝑙 + 𝐵 = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.21): {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 = 0
𝐴 cos 𝛼𝑙 + 𝐵 sin 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ 𝛼𝑙 = 𝑘𝜋 (𝑘 = 1,2,3, … ) ⇒ 𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐵 sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
* Giải phương trình (2.1.20)
(2.1.20) ⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶. 𝑒−𝑐2𝜆𝑡
= 𝐶. 𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶𝑘. 𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
.sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
(𝑘 = 1,2,3 … )
Nghiệm tổng quát của (2.1.16):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶𝑘. 𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
.sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
,
+∞
𝑘=1
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ ∑ 𝐶𝑘 sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓(𝑥)
Sử dụng tính chất chuỗi Fourier, ta có:
𝐶𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Giải tìm 𝐶𝑘, thay 𝐶𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình
truyền nhiệt ứng với điều kiện đã cho.
 Trường hợp hai đầu cách nhiệt

36. 28
Ta có:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0, 𝑡) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(𝑙, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0
Từ (2.1.17), điều kiện biên thành:
𝑋′(0) = 𝑋′(𝑙) = 0, ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.1.22)
* Giải phương trình (2.1.19):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴. 𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑥
⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝛼𝐴𝑒−𝜆𝑥
+ 𝛼𝐵𝑒𝜆𝑥
Điều kiện biên (2.1.22): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
−𝐴𝛼 + 𝐵𝛼 = 0
−𝐴𝛼. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵𝛼. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 𝑋′(𝑥) = 𝐴
Điều kiện biên (2.1.22): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 0
⇒ 𝑋0(𝑥) = 𝐵
(2.1.20) ⇒ 𝑇0(𝑡) = 𝐶, ∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑢0 = 𝑋0(𝑥). 𝑇0(𝑡) = 𝐵. 𝐶
Đặt 𝐵. 𝐶 =
𝑎0
2
⇒ 𝑢0 =
𝑎0
2
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.22): {
𝑋′(0) = 0
𝑋′(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵𝛼 = 0
−𝐴𝛼 sin 𝛼𝑙 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵 = 0
𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
(𝑘 = 1,2,3, … )
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]

37. 29
* Giải phương trình (2.1.20)
(2.1.20) ⇒
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+ 𝑐2
(
𝑘𝜋
𝑙
)
2
𝑇 = 0
Chuyển T sang vế trái, t sang vế phải, sau đó lấy nguyên hàm hai vế:
∫
𝑑𝑇
𝑇
= ∫ −𝑐2
(
𝑘𝜋
𝑙
)
2
𝑑𝑡
⇒ ln 𝑇 = −𝑐2
(
𝑘𝜋
𝑙
)
2
𝑡 + ln 𝐶
⇒ 𝑇𝑘 = 𝐶. 𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶𝑘 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
Nghiệm tổng quát của (2.1.16):
𝑢(𝑥, 𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑ 𝐶𝑘 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑒−(
𝑘𝜋𝑐
𝑙
)
2
𝑡
,
+∞
𝑘=1
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], 𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
𝑎0
2
+ ∑ 𝐶𝑘 cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓(𝑥)
⇒
{
𝑎0 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
𝐶𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) cos
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Giải tìm 𝑎0 và 𝐶𝑘, sau đó thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương
trình truyền nhiệt với điều kiện đã cho.
 Trường hợp đầu 𝑥 = 0 được cách nhiệt, đầu 𝑥 = 𝑙 được giữ ở nhiệt độ 00
𝐶
Ta có:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0, ∀ 𝑡 ≥ 0
Từ (2.1.17), điều kiện biên thành:

38. 30
𝑋′(0) = 𝑋(𝑙) = 0, ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.1.23)
* Giải phương trình (2.1.19):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴. 𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑥
⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝛼𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝛼𝐵𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.23): {
𝑋′(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
−𝐴𝛼 + 𝐵𝛼 = 0
𝐴. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 ⇒ 𝑋′(𝑥) = 𝐴
Điều kiện biên (2.1.23): {
𝑋′(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐴 = 0
𝐴𝑙 + 𝐵 = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.19) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥 ⇒ 𝑋′(𝑥) = −𝐴𝛼 sin 𝛼𝑥 + 𝐵𝛼 cos 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.23): {
𝑋′(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵𝛼 = 0
𝐴 cos 𝛼𝑙 + 𝐵 sin 𝛼𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝐵 = 0
𝛼 =
(2𝑘 + 1)𝜋
2𝑙
(𝑘 = 0,1,2,3, … )
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
, ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
(2.1.20) ⇒ 𝑇𝑘 = 𝐶. 𝑒
−[
(2𝑘+1)𝜋𝑐
2𝑙 ]
2
𝑡
⇒ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑘(𝑥)𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑒
−[
(2𝑘+1)𝜋𝑐
2𝑙
]
2
𝑡
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.16):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑒
−[
(2𝑘+1)𝜋𝑐
2𝑙 ]
2
𝑡
,
+∞
𝑘=0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙],∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu:

39. 31
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ ∑ 𝐶𝑘 cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
+∞
𝑘=0
= 𝑓(𝑥)
⇒ 𝐶𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) cos
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Thay 𝐶𝑘 vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑡), ta tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt đã
cho.
 Trường hợp đầu 𝑥 = 0 được giữ ở 00
𝐶 và đầu 𝑥 = 𝑙 cách nhiệt
Làm tương tự trường hợp trên, ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.16):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶𝑘 sin
(2𝑘 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑒
−[
(2𝑘+1)𝜋𝑐
2𝑙
]
2
𝑡
,
+∞
𝑘=0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Từ điều kiện đầu, dùng phép biến đổi Fourier, ta tìm được hệ số 𝐶𝑘, thay vào nghiệm
tổng quát, ta thu được nghiệm của phương trình (2.1.16).
2.1.3.2. Truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chứa nguồn
Ta xét sự truyền nhiệt trên thanh hữu hạn có chiều dài l, chứa hàm nguồn 𝑔(𝑥, 𝑡),
phương trình truyền nhiệt có dạng:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑎2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑔(𝑥, 𝑡), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.1.24)
với điều kiện đầu:
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙]
 Trường hợp hai biên được giữ ở nhiệt độ 00
𝐶
Đặt nghiệm phương trình (2.1.24) có dạng:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑇𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
(2.1.25)
Để đồng nhất với 𝑢(𝑥, 𝑡), ta đặt:
𝑔(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐺𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
(2.1.26)

40. 32
⇒ 𝐺𝑘(𝑡) =
2
𝑙
∫ 𝑔(𝑥, 𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Ta tính đạo hàm riêng của u theo t và x:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= ∑ 𝑇′𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
(2.1.27)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
= ∑ − (
𝑘𝜋
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
(2.1.28)
Thế (2.1.26), (2.1.27) và (2.1.28) vào (2.1.25), ta được:
∑ [𝑇𝑘
′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) − 𝐺𝑘(𝑡)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 0 ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
⇔ 𝑇𝑘
′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) = 𝐺𝑘(𝑡) (2.1.29)
Xét phương trình thuần nhất:
𝑇𝑘
′(𝑡) + (
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑇𝑘(𝑡) = 0 (2.1.30)
Nghiệm phương trình (2.1.30) có dạng:
𝑇𝑘
∗(𝑡) = 𝐶𝑘𝑒−(
𝑘𝜋𝑎
𝑙
)
2
𝑡
Nghiệm riêng 𝑇𝑅(𝑡) của phương trình (2.1.30) có dạng phụ thuộc vào dạng của hàm
𝐺𝑘(𝑡).
⇒ 𝑇𝑘(𝑡) = 𝐶𝑘𝑒−(
𝑘𝜋𝑎
𝑙 )
2
𝑡
+ 𝑇𝑅(𝑡)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.24) có dạng:
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ [𝐶𝑘𝑒−(
𝑘𝜋𝑎
𝑙 )
2
𝑡
+ 𝑇𝑅(𝑡)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑡 ≥ 0
Điều kiện đầu:
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]

41. 33
⇔ ∑[𝐶𝑘 + 𝑇𝑅(0)] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓(𝑥)
⇒ 𝐶𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
− 𝑇𝑅(0)
Sau khi tìm được hệ số 𝐶𝑘, thế vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm của phương
trình (2.1.24)
 Trường hợp hai biên giữ ở nhiệt độ cho trước
Ta có:
{
𝑢|𝑥=0 = 𝜑1(𝑡)
𝑢|𝑥=𝑙 = 𝜑2(𝑡)
, ∀𝑡 ≥ 0 (2.1.31)
Tiến hành đổi biến 𝑢(𝑥, 𝑡) thành 𝑣(𝑥, 𝑡):
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝜑1(𝑡) + [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑥
𝑙
(2.1.32)
Từ điều kiện đầu:
𝑢|𝑡=0 = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
(2.1.32) ⇒ 𝑣|𝑡=0 + 𝜑1(0) + [𝜑2(0) − 𝜑1(0)]
𝑥
𝑙
= 𝑓(𝑥)
Đặt 𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜑1(0) − [𝜑2(0) − 𝜑1(0)]
𝑥
𝑙
⇒ 𝑣|𝑡=0 = 𝑓1(𝑥)
Điều kiện biên (2.1.31) ⇔ {
𝑣|𝑥=0 + 𝜑1(𝑡) = 𝜑1(𝑡)
𝑣|𝑥=𝑙 + 𝜑2(𝑡) = 𝜑2(𝑡)
⇔ {
𝑣|𝑥=0 = 0
𝑣|𝑥=𝑙 = 0
∀ 𝑡 ≥ 0
Khi đó (2.1.24) trở thành:
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜑1
′ (𝑡) + [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑥
𝑙
= 𝑎2
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
⇔
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝑎2
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
− 𝜑1
′ (𝑡) − [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑥
𝑙
Đặt
𝑔1(𝑥, 𝑡) = −𝜑1
′ (𝑡) − [𝜑2(𝑡) − 𝜑1(𝑡)]
𝑥
𝑙

42. 34
⇔
𝜕𝑣
𝜕𝑡
= 𝑎2
𝜕2
𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝑔1(𝑥, 𝑡) ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀ 𝑡 ≥ 0
 Nếu 𝑔1(𝑥, 𝑡) = 0: bài toán trở thành bài toán truyền nhiệt trên thanh hữu hạn
không chứa nguồn, với hai đầu được giữ ở nhiệt độ 00
𝐶.
 Nếu 𝑔1(𝑥, 𝑡) ≠ 0: bài toán trở thành bài toán truyền nhiệt trên thanh hữu hạn chứa
nguồn, với hai đầu được giữ ở nhiệt độ 00
𝐶.
2.1.4. Phương pháp tách biến trong việc giải phương trình Laplace
Các phương trình truyền sóng, truyền nhiệt đã xét ở trên trong không gian một
chiều đều có mặt biến t, nghĩa là các phương trình này có nghiệm phụ thuộc vào thời
gian. Trong không gian hai chiều, nếu chúng ở trạng thái dừng, nghĩa là sự truyền sóng,
truyền nhiệt không phụ thuộc vào thời gian, ta tìm nghiệm của chúng bằng cách giải
phương trình Laplace. Phương trình Lalace là phương trình vi phân đạo hàm riêng có
nghiệm mô tả thế năng trọng trường, thế năng của điện tích trong điện trường,… Do vậy
việc tìm nghiệm phương trình Laplace nghiệm đóng vai trò quan trọng trong các ngành
của vật lý: thiên văn học, điện từ trường, cơ học chất lỏng,…[6].
Xét phương trình Laplace trong không gian hai chiều:
∇2
𝑢 =
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= 0 ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑦 ∈ [0, 𝑚] (2.1.33)
Ta sử dụng phương pháp tách biến để giải phương trình (2.1.33).
Nghiệm tách biến có dạng: 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦), thay vào (2.1.33), ta được:
𝑋′′(𝑥)𝑌(𝑦) + 𝑋(𝑥)𝑌′′(𝑦) = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙],∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
=
𝑌′′(𝑦)
−𝑌(𝑦)
= −𝜆
Ta thu được hai phương trình vi phân thường:
𝑋′′(𝑥) + 𝜆𝑋(𝑥) = 0 (2.1.34)
𝑌′′(𝑦) − 𝜆𝑌(𝑦) = 0 (2.1.35)
Do phương trình Laplace không phụ thuộc vào thời gian nên không có điều kiện
đầu. Điều kiện biên có dạng:

43. 35
{
𝑢(0, 𝑦) = 𝑔1(𝑦)
𝑢(𝑙, 𝑦) = 𝑔2(𝑦)
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓1(𝑥)
𝑢(𝑥, 𝑚) = 𝑓2(𝑥)
 Trường hợp 𝑔1(𝑦) = 𝑔2(𝑦) = 0
⇒ 𝑋(0) = 𝑋(𝑙) = 0, ∀ 𝑦 ∈ [0, 𝑚] (2.1.36)
* Giải phương trình (2.1.34)
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.34) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐵𝑒𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.36) {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ {
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴. 𝑒−𝛼𝑙
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑙
= 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.34) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Điều kiện biên (2.1.36) {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ {
𝐵 = 0
𝐴𝑙 + 𝐵 = 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.34) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 sin 𝛼𝑥
Điều kiện biên (2.1.36) {
𝑋(0) = 0
𝑋(𝑙) = 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ {
𝐴 = 0
𝐴 cos 𝛼𝑙 + 𝐵 sin 𝛼𝑙 = 0
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒ 𝛼𝑙 = 𝑘𝜋
⇒ 𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
(𝑘 = 1,2,3, … )
⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐵 sin (
𝑘𝜋𝑥
𝑙
) , 𝑘 = 1,2,3, …
(2.1.35) ⇒ 𝑌(𝑦) = 𝐶. 𝑒−𝛼𝑦
+ 𝐷. 𝑒𝛼𝑦
= 𝐶. 𝑒−
𝑘𝜋𝑦
𝑙 + 𝐷. 𝑒
𝑘𝜋𝑦
𝑙
⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
(𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑦
𝑙 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑦
𝑙 )

44. 36
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.33):
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
(𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑦
𝑙 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑦
𝑙 )
+∞
𝑘=1
, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙], ∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
Điều kiện biên:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓1(𝑥)
𝑢(𝑥, 𝑚) = 𝑓2(𝑥)
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒
{
∑(𝐴𝑘 + 𝐵𝑘) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓1(𝑥)
∑ [ 𝐴𝑘𝑒−
𝑘𝜋𝑚
𝑙 + 𝐵𝑘𝑒
𝑘𝜋𝑚
𝑙 ] sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
+∞
𝑘=1
= 𝑓2(𝑥)
⇒
{
𝐴𝑘 + 𝐵𝑘 =
2
𝑙
∫ 𝑓1(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
𝐴𝑘𝑒−
𝑘𝜋𝑚
𝑙 + 𝐵𝑘𝑒
𝑘𝜋𝑚
𝑙 =
2
𝑙
∫ 𝑓2(𝑥) sin
𝑘𝜋𝑥
𝑙
𝑑𝑥
𝑙
0
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được hệ số 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑦),
ta thu được nghiệm phương trình Laplace đã cho.
 Trường hợp 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) = 0
⇒ 𝑌(0) = 𝑌(𝑚) = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 𝑙] (2.1.37)
* Giải phương trình (2.1.35):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.35) ⇒ 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑒−𝛼𝑦
+ 𝐵𝑒𝛼𝑦
Điều kiện biên (2.1.37) {
𝑌(0) = 0
𝑌(𝑚) = 0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ {
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴. 𝑒−𝛼𝑚
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝑚
= 0
𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑌(𝑦) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0
(2.1.35) ⇒ 𝑌(𝑦) = 𝐴𝑦 + 𝐵

45. 37
Điều kiện biên (2.1.37) {
𝑌(0) = 0
𝑌(𝑚) = 0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ {
𝐵 = 0
𝐴𝑚 + 𝐵 = 0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ 𝑌(𝑦) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.35) ⇒ 𝑌(𝑦) = 𝐴 cos𝛼𝑦 + 𝐵 sin 𝛼𝑦
Điều kiện biên (2.1.37) {
𝑌(0) = 0
𝑌(𝑚) = 0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ {
𝐴 = 0
𝐴 cos 𝛼𝑚 + 𝐵 sin 𝛼𝑚 = 0
∀𝑥 ∈ [0, 𝑙]
⇒ 𝛼𝑙 = 𝑘𝜋 (𝑘 = 1,2,3, … ) ⇒ 𝛼 =
𝑘𝜋
𝑙
(𝑘 = 1,2,3, … )
⇒ 𝑌(𝑦) = 𝐵 sin (
𝑘𝜋𝑦
𝑚
) , 𝑘 = 1,2,3, …
(2.1.34) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐶. 𝑒−𝛼𝑥
+ 𝐷. 𝑒𝛼𝑥
= 𝐶. 𝑒−
𝑘𝜋𝑥
𝑚 + 𝐷. 𝑒
𝑘𝜋𝑥
𝑚
⇒ 𝑢(𝑥, 𝑦) = sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
(𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑥
𝑚 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑥
𝑚 )
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.33):
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
(𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑥
𝑚 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑥
𝑚 )
+∞
𝑘=1
∀ 𝑥 ∈ [0, 𝑙],∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
Điều kiện biên:
{
𝑢(0, 𝑦) = 𝑔1(𝑦)
𝑢(𝑙, 𝑦) = 𝑔2(𝑦)
∀𝑦 ∈ [0, 𝑚]
⇒
{
∑(𝐴𝑘 + 𝐵𝑘) sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
+∞
𝑘=1
= 𝑔1(𝑦)
∑ [ 𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑙
𝑚 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑙
𝑚 ] sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
+∞
𝑘=1
= 𝑔2(𝑦)
⇒
{
𝐴𝑘 + 𝐵𝑘 =
2
𝑚
∫ 𝑔1(𝑦) sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
𝑑𝑦
𝑚
0
𝐴𝑘. 𝑒−
𝑘𝜋𝑙
𝑚 + 𝐵𝑘. 𝑒
𝑘𝜋𝑙
𝑚 =
2
𝑚
∫ 𝑔2(𝑦) sin
𝑘𝜋𝑦
𝑚
𝑑𝑦
𝑚
0

46. 38
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được hệ số 𝐴𝑘 và 𝐵𝑘, thay vào nghiệm tổng quát 𝑢(𝑥, 𝑦),
ta thu được nghiệm phương trình Laplace đã cho.
2.1.5. Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ khác
Ở các phần trước, ta đã sử dụng phương pháp tách biến giải các phương trình truyền
sóng, truyền nhiệt, Laplace,.. trong hệ tọa độ Descartes. Trong phần này, ta sẽ giải các
bài toán trong các hệ tọa độ khác: tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Ta xét các ví dụ sau
đây.
Ví dụ 2.1.1
Giải phương trình Laplace cho miền tròn có bán kính 𝑟0 và có biên (𝐶):
{
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟0
0 ≤ 𝜙 < 2𝜋
Với điều kiện: 𝑢(𝑟0, 𝜑) = 𝑓(𝜑)
Giải
Xét phương trình Laplace trong hệ tọa độ cực:
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑢
𝜕𝜑2
= 0 (2.1.38)
Sử dụng phương pháp tách biến:
𝑢(𝑟, 𝜑) = 𝑅(𝑟)Φ(𝜑) (2.1.39)
Từ (2.1.38) và (2.1.39)
⇔
Φ′′(𝜑)
Φ(𝜑)
=
𝑟2
𝑅′′(𝑟) + 𝑟𝑅′(𝑟)
−𝑅(𝑟)
= −𝜆
Từ đây, ta có hai phương trình vi phân thường:
Φ′′(𝜑) + 𝜆. Φ(𝜑) = 0 (2.1.40)
𝑟2
𝑅′′(𝑟) + 𝑟𝑅′(𝑟) − 𝜆𝑅(𝑟) = 0 (2.1.41)
Vì trong miền tròn nên ta có điều kiện biên tuần hoàn:
𝑢(𝑟, 𝜑) = 𝑢(𝑟, 𝜑 + 2𝜋)
Từ (2.1.39), điều kiện biên tuần hoàn trở thành:
Φ(𝜑) = Φ(𝜑 + 2𝜋) ∀𝜑 ∈ [0,2𝜋] (2.1.42)

47. 39
* Giải phương trình (2.1.40) và (2.1.41):
Trường hợp 1: 𝜆 < 0, đặt 𝛼 = √−𝜆
(2.1.40) ⇒ Φ(𝜑) = 𝐴. 𝑒−𝛼𝜑
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝜑
Điều kiện (2.1.42):
Φ(𝜑) = Φ(𝜑 + 2𝜋) ∀𝜑 ∈ [0,2𝜋]
⇔ 𝐴. 𝑒−𝛼𝜑
+ 𝐵. 𝑒𝛼𝜑
= 𝐴. 𝑒−𝛼(𝜑+2𝜋)
+ 𝐵. 𝑒𝛼(𝜑+2𝜋)
, ∀𝜑 ∈ [0,2𝜋]
⇔ {𝐴 = 𝐴. 𝑒−𝛼.2𝜋
𝐵 = 𝐵. 𝑒𝛼.2𝜋 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 0
⇒ Φ(𝜑) = 0 ⇒ 𝑢(𝑟, 𝜑) = 0 (nghiệm tầm thường)
Trường hợp 2: 𝜆 = 0:
(2.1.40) ⇒ Φ(𝜑) = 𝐴𝜑 + 𝐵
Điều kiện (2.1.42):
Φ(𝜑) = Φ(𝜑 + 2𝜋) ∀𝜑 ∈ [0,2𝜋]
⇔ 𝐴𝜑 + 𝐵 = 𝐴𝜑 + 𝐴. 2𝜋 + 𝐵
⇒ Φ(𝜑) = 𝐵 = const
(2.1.42) ⇒ 𝑟2
𝑅′′(𝑟) + 𝑟𝑅′(𝑟) = 0
⇔
𝑅′′(𝑟)
𝑅(𝑟)
= −
1
𝑟
Lấy nguyên hàm hai vế phương trình trên, ta được:
ln 𝑅′(𝑟) = − ln 𝑟 + ln 𝐶
⇔ 𝑅′(𝑟) = 𝐶. 𝑟−1
⇔ 𝑅(𝑟) = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2 ∀ 𝑟 ∈ [0, 𝑟0]
Chọn 𝐶1 = 0 để 𝑅(𝑟) tại 𝑟 = 0 có giá trị xác định.
⇒ 𝑅0(𝑟) = 𝐶2
⇒ 𝑢0(𝑟, 𝜑) = 𝐵. 𝐶2 =
𝑎0
2
Trường hợp 3: 𝜆 > 0, đặt 𝛼 = √𝜆
(2.1.40) ⇒ Φ(𝜑) = 𝐴 cos 𝛼𝜑 + 𝐵 sin 𝛼𝜑
Điều kiện (2.1.42):

48. 40
Φ(𝜑) = Φ(𝜑 + 2𝜋) ∀𝜑 ∈ [0,2𝜋]
⇔ 𝐴 cos 𝛼𝜑 + 𝐵 sin 𝛼𝜑 = 𝐴 cos(𝛼𝜑 + 2𝜋𝛼) + 𝐵 sin(𝛼𝜑 + 2𝜋𝛼)
⇔ {
cos 𝛼𝜑 = cos(𝛼𝜑 + 2𝜋𝛼)
sin 𝛼𝜑 = sin(𝛼𝜑 + 2𝜋𝛼)
⇔ 𝛼 = 𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … )
⇒ Φn(𝜑) = 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜑 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜑 (𝑛 = 1,2,3, … )
(2.1.41) ⇔ 𝑟2
𝑅′′(𝑟) + 𝑟𝑅′(𝑟) − 𝑛2
𝑅(𝑟) = 0
Đặt 𝑅(𝑟) = 𝑟𝜇
⇒ 𝑟2
𝜇(𝜇 − 1)𝑟𝜇−2
+ 𝑟𝜇. 𝑟𝜇−1
− 𝑛2
𝑟𝜇
= 0
⇔ (𝜇2
− 𝑛2)𝑟𝜇
= 0
⇒ 𝜇 = ±𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … )
⇒ 𝑅(𝑟) = 𝐶. 𝑟𝑛
+ 𝐷. 𝑟−𝑛
∀ 𝑟 ∈ [0, 𝑟0]
Chọn 𝐷 = 0 để 𝑅(𝑟) tại 𝑟 = 0 có giá trị xác định.
⇒ 𝑅𝑛(𝑟) = 𝐶. 𝑟𝑛
⇒ 𝑢𝑛(𝑟, 𝜑) = (𝐴𝑛 cos 𝑛𝜑 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜑). 𝑟𝑛
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.36) có dạng:
𝑢(𝑟, 𝜑) =
𝑎0
2
+ ∑(𝐴𝑛 cos 𝑛𝜑 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜑). 𝑟𝑛
+∞
𝑛=1
∀ 𝑟 ∈ [0, 𝑟0],∀ 𝜑 ∈ [0,2𝜋]
Từ điều kiện:
𝑢(𝑟0, 𝜑) = 𝑓(𝜑)
⇒
𝑎0
2
+ ∑(𝐴𝑛 cos 𝑛𝜑 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜑). 𝑟0
𝑛
+∞
𝑛=1
= 𝑓(𝜑)
⇒
{
𝑎0 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝜑)𝑑𝜑
2𝜋
0
𝐴𝑛 =
1
𝜋𝑟0
𝑛 ∫ 𝑓(𝜑) cos 𝑛𝜑 𝑑𝜑
2𝜋
0
𝐵𝑛 =
1
𝜋𝑟0
𝑛 ∫ 𝑓(𝜑) sin 𝑛𝜑 𝑑𝜑
2𝜋
0

49. 41
Sau khi tìm được 𝑎0, 𝐴𝑛, 𝐵𝑛, thế vào nghiệm tổng quát, ta thu được nghiệm phương trình
đã cho.
Ví dụ 2.2.2
Giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu có đối xứng trục:
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑢
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑢
𝜕𝜙2
+
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) = 0 (2.1.43)
Xét miền cầu bán kính 𝑎, thỏa mãn điều kiện biên:
𝑢(𝑎, 𝜃) = {
𝑢1(const), 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
𝑢2 (const),
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋
với 𝑢 có giá trị hữu hạn trong miền cầu và giả sử rằng 𝑢 không phụ thuộc vào 𝜙.
Giải
Nghiệm phương trình (2.1.43) không phụ thuộc vào 𝜙, do đó ta có:
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑢
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) = 0 (2.1.44)
Dùng phương pháp tách biến:
𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑟)φ(θ)
(2.1.44) ⇒
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟
) +
1
𝜑 sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜃
(sin 𝜃
𝑑𝜑
𝑑𝜃
) = 0
⇒
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟
) = −
1
𝜑 sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜃
(sin 𝜃
𝑑𝜑
𝑑𝜃
) = 𝜆
Ta thu được hai phương trình vi phân thường:
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟2
𝑑𝑅
𝑑𝑟
) = 𝜆 (2.1.45)
𝜆 +
1
𝜑 sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜃
(sin 𝜃
𝑑𝜑
𝑑𝜃
) = 0 (2.1.46)
Đặt 𝜆 = 𝑠(𝑠 + 1), phương trình (2.1.46) thành:
1
sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜃
(sin 𝜃
𝑑𝜑
𝑑𝜃
) + 𝑠(𝑠 + 1)𝜑 = 0 (2.1.47)

50. 42
Đặt cos 𝜃 = 𝜔 ⇒ {
sin2
𝜃 = 1 − 𝜔2
𝑑
𝑑𝜃
= − sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜔
⇒
𝑑
𝑑𝜔
[(1 − 𝜔2)
𝑑𝜑
𝑑𝜔
] + 𝑠(𝑠 + 1)𝜑 = 0
⇒ (1 − 𝜔2)
𝑑2
𝜑
𝑑𝜔2
− 2𝜔
𝑑𝜑
𝑑𝜔
+ 𝑠(𝑠 + 1)𝜑 = 0 (2.1.48)
Phương trình (2.1.48) có dạng phương trình Legendre, nghiệm là đa thức Legendre
𝑃
𝑛(𝜔) hay 𝑃
𝑛(cos 𝜃).
⇒ 𝜑𝑛(𝜃) = 𝑃
𝑛(cos 𝜃)
Đặt 𝑠 = 𝑛 (𝑛 = 0,1,2,3, … )
(2.1.45) ⇒ 𝑟2
𝑅′′
+ 2𝑟𝑅′
− 𝑛(𝑛 + 1)𝑅 = 0
⇔ 𝑅𝑛(𝑟) = 𝐴𝑛𝑟𝑛
+
𝐵𝑛
𝑟𝑛+1
Để 𝑢(𝑟, 𝜃) có giá trị xác định trong miền cầu bán kính a, ta chọn 𝐵𝑛 = 0
⇒ 𝑅𝑛(𝑟) = 𝐴𝑛𝑟𝑛
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.43):
𝑢(𝑟, 𝜃) = ∑ 𝐴𝑛𝑟𝑛
𝑃
𝑛(cos 𝜃)
+∞
𝑛=0
Từ điều kiện biên:
𝑢(𝑎, 𝜃) = 𝑓(𝜃)
⇒ ∑ 𝐴𝑛𝑎𝑛
𝑃
𝑛(cos 𝜃)
+∞
𝑛=0
= 𝑓(𝜃)
Hay
∑ 𝐴𝑛𝑎𝑛
𝑃
𝑛(𝜔)
+∞
𝑛=0
= 𝑓∗
(𝜔)
⇒ 𝐴𝑛 =
2𝑛 + 1
2. 𝑎𝑛
∫ 𝑓∗(𝜔)𝑃
𝑛(𝜔)𝑑𝜔
1
−1
Từ điều kiện biên:

51. 43
𝑢(𝑎, 𝜃) = {
𝑢1(const), 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
𝑢2(const),
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Đổi biến:
{
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
⇒ 0 ≤ 𝜔 ≤ 1
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⇒ −1 ≤ 𝜔 ≤ 0
⇒ 𝐴𝑛 =
2𝑛 + 1
2𝑎𝑛
[∫ 𝑢2𝑃
𝑛(𝜔)𝑑𝜔
0
−1
+
(2𝑛 + 1)
2𝑎𝑛
∫ 𝑢1𝑃
𝑛(𝜔)𝑑𝜔
1
0
]
Với 𝑛 = 0:
𝐴0 =
1
2
𝑢2 ∫ 𝑑𝜔
0
−1
+
𝑢1
2
∫ 𝑑𝜔
1
0
=
1
2
(𝑢2 + 𝑢1)
Với 𝑛 = 1:
𝐴1 =
3𝑢2
2𝑎
∫ 𝜔𝑑𝜔
0
−1
+
3𝑢1
2𝑎
∫ 𝜔𝑑𝜔
1
0
= −
3
4𝑎
(𝑢2 − 𝑢1)
Với 𝑛 = 2:
𝐴2 =
5𝑢2
2𝑎2
∫
1
2
(3𝜔2
− 1)𝑑𝜔
0
−1
+
5𝑢1
2𝑎2
∫
1
2
(3𝜔2
− 1)𝑑𝜔
1
0
= 0
Với 𝑛 = 3:
𝐴3 =
7𝑢2
2𝑎3
∫
1
2
(5𝜔3
− 3𝜔)𝑑𝜔
0
−1
+
7𝑢1
2𝑎3
∫
1
2
(5𝜔3
− 3𝜔)𝑑𝜔
1
0
=
7
16𝑎3
(𝑢2 − 𝑢1)
Tính toán cho 𝑛 = 4,5,6 ….
Vậy nghiệm của phương trình (2.1.43) là:
𝑢(𝑟, 𝜃) =
1
2
(𝑢1 + 𝑢2) −
3
4
(𝑢2 − 𝑢1)
𝑟
𝑎
𝑃1(cos 𝜃) +
7
16
(𝑢2 − 𝑢1) (
𝑟
𝑎
)
3
𝑃3(cos 𝜃) + ⋯
Qua việc dùng phương pháp tách biến giải các bài toàn truyền nhiệt, truyền sóng,
Laplace trong tọa độ Descartes và các tọa độ khác (tọa độ cầu, tọa độ cực, tọa độ trụ,…),
ta thấy rằng phương pháp này không sử dụng quá nhiều kiến thức chuyên sâu về toán
học, dễ hiểu cho người đọc. Do đó phương pháp này là một công cụ hữu ích để giải các
phương trình vật lý - toán và được sử dụng để giảng dạy rộng rãi ở các trường đại học

52. 44
nước ta. Tuy nhiên phương pháp này gặp khó khăn khi giải các bài toán phức tạp, nên
cần phải sử dụng các phương pháp giải tích khác, ta sẽ xét ở các phần sau.
2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT
2.2.1. Giới thiệu phương pháp
Phương pháp đa thức d’Alembert là một trong các phương pháp thường dùng để
giải các phương truyền sóng trên dây dài vô hạn hoặc nửa vô hạn. Ý tưởng của phương
pháp này là đổi biến thích hợp để thu được phương trình có thể giải bằng tích phân đơn
giản.
2.2.2. Phương pháp đa thức d’Alembert trong việc giải phương trình truyền sóng
2.2.2.1. Truyền sóng trên dây dài vô hạn
Ta xét phương trình truyền sóng cho dây dài vô hạn:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
−
1
𝑐2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= 0 , ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞), ∀𝑡 ≥ 0 (2.2.1)
với điều kiện đầu:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝑞(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞) (2.2.2)
Đặt {
𝛼 = 𝑥 + 𝑐𝑡
𝛽 = 𝑥 − 𝑐𝑡
Ta tính đạo hàm riêng cấp hai của u theo biến x và t:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝛼
.
𝜕𝛼
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝛽
.
𝜕𝛽
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝛼
+
𝜕𝑢
𝜕𝛽
⇒
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑢
𝜕𝛼
+
𝜕𝑢
𝜕𝛽
) =
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼2
+ 2.
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼. 𝜕𝛽
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝛽2
(2.2.3)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝛼
.
𝜕𝛼
𝜕𝑡
+
𝜕𝑢
𝜕𝛽
.
𝜕𝛽
𝜕𝑡
= 𝑐 (
𝜕𝑢
𝜕𝛼
−
𝜕𝑢
𝜕𝛽
)

53. 45
⇒
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
=
𝜕
𝜕𝛼
(𝑐.
𝜕𝑢
𝜕𝛼
− 𝑐.
𝜕𝑢
𝜕𝛽
)
𝜕𝛼
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝛽
𝑐 (
𝜕𝑢
𝜕𝛼
−
𝜕𝑢
𝜕𝛽
)
= 𝑐2
(
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼2
− 2.
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼. 𝜕𝛽
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝛽2
)
(2.2.4)
Thay (2.2.3) và (2.2.4) vào (2.2.1) ta được:
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼2
+ 2.
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼. 𝜕𝛽
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝛽2
=
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼2
− 2.
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼. 𝜕𝛽
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝛽2
⇒
𝜕2
𝑢
𝜕𝛼. 𝜕𝛽
= 0
Lấy nguyên hàm hai vế:
∫
𝜕
𝜕𝛼
(
𝜕𝑢
𝜕𝛽
) 𝑑𝛼 = ∫ 0𝑑𝛼
⇔
𝜕𝑢
𝜕𝛽
= ψ(𝛽)
⇒ ∫
𝜕𝑢
𝜕𝛽
. 𝑑𝛽 = ∫ 𝜓(𝛽)𝑑𝛽
⇒ 𝑢(𝛼, 𝛽) = 𝑓(𝛽) + 𝑔(𝛼)
Nghiệm tổng quát của phương trình (2.2.1) là:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) (2.2.5)
Điều kiện đầu (2.2.2):
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝑞(𝑥)
⇒ {
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜙(𝑥)
−𝑐𝑓′(𝑥) + 𝑐𝑔′(𝑥) = 𝑞(𝑥)
⇒ {
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜙(𝑥)
𝑐 ∫ [𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)]𝑑𝑥
𝑥
0
= ∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥
0
⇒ {
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜙(𝑥)
𝑐[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) − 𝑓(0) + 𝑔(0)] = ∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥
0

54. 46
⇒ {
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝜙(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) =
1
𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥
0
+ 𝐶
(Với 𝐶 là hằng số)
⇒
{
𝑓(𝑥) =
1
2
𝜙(𝑥) +
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥
0
+
𝐶
2
𝑔(𝑥) =
1
2
𝜙(𝑥) −
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥
0
−
𝐶
2
⇒
{
𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) =
1
2
𝜙(𝑥 − 𝑐𝑡) +
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥+𝑐𝑡
0
+
𝐶
2
𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) =
1
2
𝜙(𝑥 + 𝑐𝑡) −
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥−𝑐𝑡
0
−
𝐶
2
Vậy nghiệm của phương trình (2.2.1):
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
[𝜙(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝜙(𝑥 + 𝑐𝑡)] +
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
(2.2.6)
(2.2.6) gọi là công thức d’Alembert cho phương trình truyền sóng trên dây vô hạn.
2.2.2.2. Truyền sóng trên dây dài nửa vô hạn
Xét một dây dài nằm dọc theo trục x với đầu 𝑥 = 0 cố định. Giả sử điều kiện đầu:
{
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙1(𝑥)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(𝑥, 0) = 𝑞1(𝑥)
, ∀𝑥 ∈ [0, +∞)
Nghiệm tổng quát của phương trình sóng theo phương pháp d’Alembert:
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
[𝜙1(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝜙1(𝑥 + 𝑐𝑡)] +
1
2𝑐
∫ 𝑞1(𝜀)𝑑𝜀
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
Bài toán sẽ được giải quyết nếu dây vô hạn có li độ đầu 𝜙(𝑥) và vận tốc đầu 𝑞(𝑥)
thỏa mãn điều kiện sao cho ∀ 𝑥 ∈ 𝑅, chúng trở thành điều kiện đầu của dây nửa vô
hạn và 𝑢(0, 𝑡) = 0.
Khi đó, ta có:
{
𝜙(𝑥) = 𝜙1(𝑥)
𝑞(𝑥) = 𝑞1(𝑥)
, ∀ 𝑥 ≥ 0
Nghiệm tổng quát thành:

55. 47
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
[𝜙(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝜙(𝑥 + 𝑐𝑡)] +
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
Ta xét hai trường hợp điều kiện biên: biên 𝑥 = 0 bị buộc chặt và biên 𝑥 = 0 thả
dao động tự do.
 Trường hợp biên 𝑥 = 0 bị buộc chặt:
𝑢(0, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0
⇒
1
2
[𝜙(−𝑐𝑡) + 𝜙(𝑐𝑡)] +
1
2𝑐
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑐𝑡
−𝑐𝑡
= 0 ∀𝑡 ≥ 0
⇒ {
𝜙(−𝑐𝑡) = −𝜙(𝑐𝑡)
∫ 𝑞(𝜀)𝑑𝜀
𝑐𝑡
−𝑐𝑡
= 0
⇒ 𝜙(𝑥) và 𝑞(𝑥) là hàm lẻ
⇒ {
𝜙(−𝑥) = −𝜙1(𝑥), 𝑥 > 0
𝜙(𝑥) = −𝜙1(−𝑥), 𝑥 < 0
Và {
𝑞(−𝑥) = −𝑞1(𝑥), 𝑥 > 0
𝑞(𝑥) = −𝑞1(𝑥), 𝑥 < 0
Do đó để biết được dao động của dây nửa vô hạn dựa vào dao động của dây vô hạn, điều
kiện đầu phải thỏa:
𝜙(𝑥) = {
𝜙1(𝑥), 𝑥 ≥ 0
−𝜙1(−𝑥), 𝑥 < 0
𝑞(𝑥) = {
𝑞1(𝑥), 𝑥 ≥ 0
−𝑞1(𝑥), 𝑥 < 0
 Trường hợp biên 𝑥 = 0 thả dao động tự do:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ≥ 0
⇒
1
2
[𝜙′(𝑐𝑡) + 𝜙′(−𝑐𝑡)] +
1
2𝑎
∫ 𝑞′(𝜀)𝑑𝜀
𝑐𝑡
−𝑐𝑡
= 0
⇒ {
𝜙′(𝑐𝑡) = −𝜙′(−𝑐𝑡)
∫ 𝑞′(𝜀)𝑑𝜀
𝑐𝑡
−𝑐𝑡
= 0
⇒ 𝜙′(𝑥) và 𝑞′(𝑥) là hàm lẻ.

56. 48
⇒ 𝜙(𝑥) và 𝑞(𝑥) là hàm chẵn.
Do đó, ta có điều kiện đầu:
𝜙(𝑥) = {
𝜙1 (𝑥), 𝑥 ≥ 0
𝜙1(−𝑥), 𝑥 < 0
𝑞(𝑥) = {
𝑞1(𝑥), 𝑥 ≥ 0
𝑞1(−𝑥), 𝑥 < 0
Tóm lại, phương pháp d’Alembert là một phương pháp hữu ích dùng để giải các
bài toán truyền sóng trên dây dài vô hạn và nửa vô hạn.
2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
2.3.1. Giới thiệu phương pháp
Bên cạnh phương pháp tách biến và phương pháp D’Alembert, phương pháp biến
đổi tích phân là một trong những phương pháp được sử dụng để giải các phương trình
vật lý - toán. Phương pháp này tương tự phương pháp tách biến ở chỗ nghiệm thu được
thông qua việc tính toán tích phân. Tuy nhiên, phương pháp biến đổi tích phân có thể áp
dụng giải nhiều dạng toán hơn, chẳng hạn như có thể giải được bài toán với điều kiện
biên phụ thuộc vào thời gian, trong khi phương pháp tách biến gặp thất bại khi tìm
nghiệm các bài toán này [2]. Ý tưởng của phương pháp này là chuyển các phương trình
vi phân đạo hàm riêng thành dạng phương trình đại số, sau đó dùng các phép biến đổi
ngược để tìm nghiệm của phương trình đã cho. Ngay cả khi các biến đổi ngược không
thể tìm ra bằng phương pháp giải tích, nghiệm vẫn có thể được tìm ra bằng các phương
pháp số và phương pháp tiệm cận. Do vậy trong các trường hợp đó, phương pháp biến
đổi tích phân vẫn có thể sử dụng được.
2.3.2. Phương pháp biến đổi tích phân trong việc giải các phương trình vật lý –
toán
Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên, ta xét bài toán truyền nhiệt sau.
Một thanh có hai đầu cách nhiệt, phương trình truyền nhiệt trên thanh có dạng:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑐2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
, ∀ 𝑥 ∈ (−∞, +∞), ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.3.1)
với điều kiện đầu:

57. 49
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞)
trong đó 𝑓(𝑥) là hàm mô tả nhiệt độ ban đầu của thanh.
Để tìm nghiệm của phương trình (2.3.1), ta áp dụng phương pháp tách biến:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)
Thay vào phương trình (2.3.1):
𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) = 𝑐2
𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡)
⇒
𝑋′′(𝑥)
𝑋(𝑥)
=
𝑇′(𝑡)
𝑐2𝑇(𝑡)
= 𝑘
Ta thu được hai phương trình vi phân thường:
𝑋′′
= 𝑘𝑋 (2.3.2)
𝑇′
= 𝑐2
𝑘𝑇 (2.3.3)
(2.3.3) ⇒ 𝑇(𝑡) = 𝐴𝑒𝑐2𝑘𝑡
+ 𝐵. 𝑒−𝑐2𝑘𝑡
Để nghiệm phương trình 𝑢(𝑥, 𝑡) có giá trị hữu hạn khi 𝑡 → +∞, ta đặt 𝑘 = −𝑝2
(𝑝 ≥ 0)
và chọn 𝐵 = 0
⇒ 𝑇(𝑡) = 𝐴. 𝑒−𝑐2𝑝2𝑡
(2.3.2) ⇒ 𝑋(𝑥) = 𝐴 cos 𝑝𝑥 + 𝐵 sin 𝑝𝑥
Giả sử p liên tục, ta có nghiệm tổng quát của phương trình (2.3.1):
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ (𝐴 𝑝 cos 𝑝𝑥 + 𝐵𝑝 sin 𝑝𝑥)𝑒−𝑐2𝑝2𝑡
𝑑𝑝
∞
0
Từ điều kiện đầu:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
⇒ ∫ (𝐴𝑝 cos 𝑝𝑥 + 𝐵𝑝 sin 𝑝𝑥)𝑑𝑝
∞
0
= 𝑓(𝑥)
Để tìm hệ số 𝐴𝑝 và 𝐵𝑝, ta sử dụng biểu diễn Fourier đã trình bày ở phần 1.2.1.
Theo (1.2.4), ta có:
{
𝐴𝑝 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑝𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞
𝐵𝑝 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥
+∞
−∞

58. 50
Thay 𝐴𝑝, 𝐵𝑝 vào nghiệm tổng quát, ta tìm được nghiệm phương trình đã cho.
Bài toán trên được giải bằng phép biến đổi Fourier. Để giải các bài toán vi phân
đạo hàm riêng, ta cần lựa chọn phương pháp biến đổi tích phân phù hợp cho từng bài
toán. Chẳng hạn, nếu đề bài cho hàm 𝑢(0, 𝑡), ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier
Sin; nếu cho hàm
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(0, 𝑡), ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier Cos. Sau đây, ta xét
qua một vài ví dụ để làm rõ hơn phương pháp biến đổi tích phân.
Ví dụ 2.3.1
Giải phương trình truyền nhiệt:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
=
1
𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑡
, ∀ 𝑥 ∈ (0, ∞), ∀ 𝑡 ≥ 0 (2.3.4)
với điều kiện:
{
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢0 = const , ∀ 𝑡 ≥ 0
𝑢(𝑥, 0) = 0, ∀ 𝑥 ∈ (0, ∞)
Giải
Đề bài cho 𝑢(0, 𝑡), do đó ta sử dụng biến đổi tích phân Fourier Sin. Biến đổi hai vế
phương trình (2.3.4) theo Fourier Sin theo biến x, ta được:
ℱ𝑠 (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
) =
1
𝑘
ℱ𝑠 (
𝜕𝑢
𝜕𝑡
) (2.3.5)
Tính từng số hạng trong (2.3.5), sau đó thay vào (2.3.5), ta thu được phương trình:
𝑑𝒰𝑠
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑝2
𝒰𝑠 = 𝑝𝑘𝑢0 (2.3.6)
Nghiệm phương trình (2.3.6) có dạng:
𝒰𝑠 = 𝑒−𝑘𝑝2𝑡
(
𝑢0
𝑝
𝑒𝑘𝑝2𝑡
+ 𝐴) (2.3.7)
Mà 𝑢(𝑥, 0) = 0
⇒ ℱ𝑠(𝑢(𝑥, 0)) = 𝒰𝑠(𝑝, 0) = ∫ 0 sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 0 (2.3.8)
Từ (2.3.7) và (2.3.8), ta có:

59. 51
𝐴 = −
𝑢0
𝑝
⇒ 𝒰𝑠 =
𝑢0
𝑝
(1 − 𝑒−𝑘𝑝2𝑡
)
Dùng phép biến đổi ngược, ta thu được nghiệm phương trình (2.3.4):
𝑢(𝑥, 𝑡) =
2
𝜋
∫
𝑢0
𝑝
(1 − 𝑒−𝑘𝑝2𝑡
) sin 𝑝𝑥 𝑑𝑝
∞
0
=
2𝑢0
𝜋
(∫
sin 𝑝𝑥
𝑝
𝑑𝑝
∞
0
− ∫ 𝑒−𝑘𝑝2𝑡
sin 𝑝𝑥 𝑑𝑝
∞
0
)
Mặt khác ta có:
∫
sin 𝑝𝑥
𝑝
𝑑𝑝
∞
0
=
𝜋
2
, ∀𝑥 > 0
⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0 (1 −
2
𝜋
∫ 𝑒−𝑘𝑝2𝑡
.
sin 𝑝𝑥
𝑝
𝑑𝑝
∞
0
)
Ví dụ 2.3.2
Sử dụng tích phân Fourier để giải phương trình Laplace trong không gian hai chiều:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= 0 ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞), ∀ 𝑦 ∈ [0, +∞) (2.3.9)
Điều kiện:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ (−∞, +∞)
𝑢(𝑥, 𝑡) → 0 khi √𝑥2 + 𝑦2 → ∞
Giải
Biến đổi Fourier phức hai vế phương trình (2.3.9) theo biến x, ta thu được:
ℱ (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
) + ℱ (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
) = 0 (2.3.10)
ℱ (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
) = ∫
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+∞
−∞
𝑒−𝑖𝜔𝑥
𝑑𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
. 𝑒−𝑖𝜔𝑥
|
−∞
+∞
− ∫
𝜕𝑢
𝜕𝑥
. (−𝑖𝜔). 𝑒−𝑖𝜔𝑥
𝑑𝑥
+∞
−∞
= 𝑖𝜔. 𝑢. 𝑒−𝑖𝜔𝑡
|−∞
+∞
+ ∫ (−𝑖𝜔)2
𝑢. 𝑒−𝑖𝜔𝑥
𝑑𝑥
+∞
−∞
⇒ ℱ (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
) = 𝜔2
𝒰 (2.3.11)

60. 52
ℱ (
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
) = ∫
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
+∞
−∞
𝑒𝑖𝜔𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑2
𝒰
𝑑𝑦2
(2.3.12)
Thay (2.3.11), (2.3.12) vào (2.3.10), ta được:
𝑑2
𝒰
𝑑𝑦2
− 𝜔2
𝒰 = 0 (2.3.13)
Nghiệm phương trình (2.3.13) có dạng:
𝒰 = 𝐴𝑒𝜔𝑦
+ 𝐵𝑒−𝜔𝑦
Từ điều kiện biên 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
⇒ 𝒰(𝜔, 0) = ∫ 𝑢(𝑥, 0)𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡
+∞
−∞
= 𝐹(𝜔)
Khi 𝜔 > 0, chọn 𝐴 = 0 để 𝒰 có giá trị xác định.
𝑦 = 0 ⇒ 𝒰(𝜔, 0) = 𝐵 = 𝐹(𝜔)
Khi 𝜔 < 0, chọn 𝐵 = 0 để 𝒰 có giá trị xác định.
𝑦 = 0 ⇒ 𝒰(𝜔, 0) = 𝐴 = 𝐹(𝜔)
Do đó:
𝒰(𝜔, 𝑦) = 𝐹(𝜔)𝑒−|𝜔|𝑦
Ta có:
ℱ−1
(𝑒−|𝜔|𝑦
) =
1
𝜋
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Từ định lý tích chập, ta tìm được nghiệm phương trình Laplace đã cho:
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑢).
1
𝜋
.
𝑦
𝑢2 + 𝑦2
𝑑𝑢
+∞
−∞
=
𝑦
𝜋
∫
𝑓(𝑥 − 𝑢)
𝑢2 + 𝑦2
𝑑𝑢
+∞
∞
=
𝑦
𝜋
∫
𝑓(𝑢)
(𝑢 − 𝑥)2 + 𝑦2
𝑑𝑢
+∞
∞
Ví dụ 2.3.3
Sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình sau:

61. 53
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑥, ∀𝑥 > 0, ∀ 𝑡 > 0 (2.3.14)
với điều kiện :
𝑢(𝑥, 0) = 0, ∀ 𝑥 > 0 (2.3.15)
𝑢(0, 𝑡) = 0, ∀ 𝑡 > 0 (2.3.16)
Giải
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.3.14) theo biến t, ta được:
ℒ (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) + ℒ (
𝜕𝑢
𝜕𝑡
) = ℒ(𝑥) (2.3.17)
Ta biến đổi Laplace từng số hạng trong (2.3.17), thay vào (2.3.17), ta được
𝑑
𝑑𝑥
𝒰(𝑥, 𝑝) + 𝑝𝒰(𝑥, 𝑝) − 𝑢(𝑥, 0) =
𝑥
𝑝
Mà 𝑢(𝑥, 0) = 0
⇒
𝑑𝒰
𝑑𝑥
+ 𝑝𝒰 =
𝑥
𝑝
(2.3.18)
Nghiệm phương trình (2.3.18) có dạng:
𝒰(𝑥, 𝑝) = 𝑒−𝑝𝑥
(
1
𝑝
∫ 𝑥𝑒𝑝𝑥
𝑑𝑥) = 𝑒−𝑝𝑥
[
1
𝑝
(
𝑥
𝑝
𝑒𝑝𝑥
−
𝑒𝑝𝑥
𝑝2
) + 𝐶]
⇒ 𝒰(𝑥, 𝑝) =
𝑥
𝑝2
−
1
𝑝3
+ 𝐶𝑒−𝑝𝑥
⇒ 𝒰(0, 𝑝) = ∫ 𝑢(0, 𝑡)𝑒−𝑝𝑡
𝑑𝑡
∞
0
= 0
⇔ 0 = 0 −
1
𝑝3
+ 𝐶 ⇔ 𝐶 =
1
𝑝3
⇒ 𝒰(𝑥, 𝑝) =
𝑥
𝑝2
−
1
𝑝3
+
1
𝑝3
𝑒−𝑝𝑥
Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm lại hàm 𝑢(𝑥, 𝑡):
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑥𝑡 −
𝑡2
2
+
(𝑡 − 𝑥)2
2
𝐻(𝑡 − 𝑥)
 Nếu 𝑡 > 𝑥:

62. 54
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑥𝑡 −
𝑡2
2
+
(𝑡 − 𝑥)2
2
= 𝑥𝑡 −
𝑡2
2
+
𝑡2
2
− 𝑥𝑡 +
𝑥2
2
=
𝑥2
2
 Nếu 𝑡 < 𝑥:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑥𝑡 −
𝑡2
2
Tóm lại, với phương pháp biến đổi tích phân, ta có thể tìm ra nghiệm bài toán ngắn
gọn hơn so với các phương pháp khác. Tuy vậy, để sử dụng được phương pháp này, ta
cần nắm rõ các tính chất của các phép biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi
Fourier Sin và Cos, biến đổi Fourier phức, biến đổi Laplace.
2.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN
2.4.1. Giới thiệu phương pháp
Phương pháp hàm Green là một công cụ toán học hữu ích để giải các bài toán
phương trình vi phân đạo hàm riêng, được áp dụng thành công trong lĩnh vực điện từ cổ
điển và âm học cuối thế kỉ XIX. Ngoài ra, hàm Green là một công cụ tính toán hiệu quả
trong vật lý hạt, tĩnh học vật rắn, cơ học lượng tử và nhiều lĩnh vực khác trong toán học
và vật lý. Hàm Green được sử dụng chủ yếu để giải các phương trình vi phân đạo hàm
riêng tuyến tính không thuần nhất (mặc dù có thể giải các phương trình vi phân đạo hàm
riêng thuần nhất theo phương pháp này). Phương pháp này tìm ra nghiệm mà không cần
giải trực tiếp phương trình đã cho. Ý tưởng của phương pháp này là biểu diễn nghiệm
tổng quát có chứa hàm Green, sau đó thông qua việc giải phương trình khác, ta tìm được
hàm Green, từ đó suy ra nghiệm phương trình đã cho.
2.4.2. Hàm Green
Hàm Green của một toán tử vi phân tuyến tính 𝐿(𝑥) trên tập hợp con của không
gian Euclidean 𝑅𝑛
, tại điểm 𝑥0, ký hiệu là 𝑔(𝑥|𝑥0), là nghiệm của phương trình:
𝐿𝑔(𝑥|𝑥0) = 𝛿(𝑥 − 𝑥0)
trong đó 𝛿(𝑥 − 𝑥0) là hàm delta Dirac. Với định nghĩa này, hàm Green có thể ứng dụng
để giải các phương trình có dạng:
𝐿𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥)
với f(x) là hàm đã biết, u(x) là nghiệm cần tìm.
Tải bản FULL (file doc 135 trang): bit.ly/3nRikdC
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

63. 55
Ta xét phương trình sau:
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
)𝑢(𝑥, 𝑘) = 𝑓(𝑥) (2.4.1)
với 𝑘 là số sóng, 𝑓(𝑥) là hàm nguồn, nghiệm trên toàn miền không gian đưa tới điều
kiện 𝑢 = 0 và
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 tại ±∞. Phương trình trên mô tả trạng thái của sóng dừng (với
bước sóng 𝜆 =
2𝜋
𝑘
) dựa vào nguồn 𝑓(𝑥).
Để giải (2.4.1), ta đi tìm hàm Green thỏa mãn phương trình:
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
) 𝑔(𝑥|𝑥0, 𝑘) = 𝛿(𝑥 − 𝑥0) (2.4.2)
Mặt khác do tính chất của hàm delta Dirac nên:
∫ 𝑢
+∞
−∞
(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑥0)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥0) (2.4.3)
Nhân hai vế (2.4.1) cho 𝑔:
𝑔 (
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
) 𝑢 = 𝑔𝑓 (2.4.4)
Nhân hai vế (2.4.2) cho 𝑢:
𝑢 (
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
) 𝑔 = 𝑢𝛿(𝑥 − 𝑥0) (2.4.5)
Lấy (2.4.4) trừ (2.4.5), sau đó lấy tích phân hai vế, ta được:
∫ (𝑔
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
− 𝑢
𝜕2
𝑔
𝜕𝑥2
) 𝑑𝑥
+∞
−∞
= ∫ 𝑓𝑔𝑑𝑥
+∞
−∞
− ∫ 𝑢𝛿(𝑥 − 𝑥0)𝑑𝑥
+∞
−∞
Sử dụng tính chất của hàm 𝛿 cho trong phương trình (2.4.3), ta được:
𝑢(𝑥0, 𝑡) = ∫ 𝑓𝑔𝑑𝑥
+∞
−∞
− ∫ (𝑔
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
− 𝑢
𝜕2
𝑔
𝜕𝑥2
)𝑑𝑥
+∞
−∞
(2.4.6)
Tính tích phân thứ hai trong phương trình (2.4.6):
∫ (𝑔
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
− 𝑢
𝜕2
𝑔
𝜕𝑥2
)𝑑𝑥
+∞
−∞
= ∫ [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑔
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) −
𝜕𝑔
𝜕𝑥
.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕
𝜕𝑥
(𝑢
𝜕𝑔
𝜕𝑥
) +
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑔
𝜕𝑥
] 𝑑𝑥
+∞
−∞

64. 56
= ∫
𝜕
𝜕𝑥
(𝑔
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) 𝑑𝑥 − ∫
𝜕
𝜕𝑥
(𝑢
𝜕𝑔
𝜕𝑥
) 𝑑𝑥
+∞
−∞
+∞
−∞
= 𝑔
𝜕𝑢
𝜕𝑥
|
−∞
+∞
− 𝑢
𝜕𝑔
𝜕𝑥
|
−∞
+∞
= 0
Từ đây, ta thu được nghiệm phương trình (2.4.1):
𝑢(𝑥0, 𝑘) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥|𝑥0, 𝑘)𝑑𝑥
+∞
−∞
(2.4.7)
Kết quả trên có dạng tích chập của hàm nguồn 𝑓 và hàm Green 𝑔. Hàm Green mô
tả sự truyền sóng từ điểm này đến điểm khác trong không gian. Do đó hàm Green cho
biết “độ dài quãng đường” đi được giữa hai điểm 𝑥 và 𝑥0 mà không quan tâm 𝑥 > 𝑥0
hay 𝑥 < 𝑥0.
2.4.3. Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian
Trong phần này, ta sẽ tập trung vào tính toán hàm Green cho phương trình sóng
độc lập theo thời gian trong không gian một chiều, hai chiều và ba chiều. Nghiệm thu
được trên toàn miền không gian và hàm Green không có điều kiện biên ràng buộc (ngoại
trừ điều kiện ±∞)
 Trong không gian 1 chiều
Xét phương trình sóng không thuần nhất:
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
)𝑢(𝑥, 𝑘) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ (−∞, +∞) (2.4.8)
trong đó 𝑘 là hằng số, với điều kiện biên được cho bởi:
{
𝑢(𝑥, 𝑘)|±∞ = 0
(
𝜕
𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑘))|
±∞
= 0
(2.4.9)
Sử dụng kết quả (2.4.7), ta có:
𝑢(𝑥0, 𝑘) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥|𝑥0, 𝑘)𝑑𝑥
+∞
−∞
(2.4.10)
với hàm Green là nghiệm phương trình:
Tải bản FULL (file doc 135 trang): bit.ly/3nRikdC
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

65. 57
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+ 𝑘2
)𝑔(𝑥|𝑥0, 𝑘) = −𝛿(𝑥 − 𝑥0) (2.4.11)
Vế phải của (2.4.11) bằng 
 thay vì  chỉ để thuận tiện cho việc tính toán.
Điều kiện biên của hàm Green:
{
𝑔(𝑥, 𝑘)|±∞ = 0
(
𝜕
𝜕𝑥
𝑔(𝑥, 𝑘))|
±∞
= 0
Đặt 𝑋 = |𝑥 − 𝑥0|, dùng biến đổi Fourier phức, ta được:
𝜕2
𝑔
𝜕𝑥2
=
1
2𝜋
∫
𝜕2
𝜕𝑥2
𝐺(𝑢, 𝑘). 𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
+∞
−∞
⇒ 𝑔(𝑋, 𝑘) =
1
2𝜋
∫ 𝐺(𝑢, 𝑘)𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
+∞
−∞
(2.4.12)
Ta biến đổi tương tự cho hàm 𝛿:
𝛿(𝑋) =
1
2𝜋
∫ 𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
+∞
−∞
(2.4.13)
Thay (2.4.12) và (2.4.13) vào (2.4.11) ta được:
1
2𝜋
∫ (−𝑢2
+ 𝑘2)𝐺(𝑢, 𝑘)𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
+∞
−∞
= −
1
2𝜋
∫ 𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
+∞
−∞
⇒ 𝐺(𝑢, 𝑘) =
1
𝑢2 + 𝑘2
(2.4.14)
Thế (2.4.14) vào (2.4.12):
𝑔(𝑋, 𝑘) =
1
2𝜋
∫
𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑢2 − 𝑘2
𝑑𝑢
+∞
−∞
=
1
2𝜋
∫
𝑒𝑖𝑢𝑋
(𝑢 − 𝑘)(𝑢 + 𝑘)
𝑑𝑢
+∞
−∞
(2.4.15)
Dùng định lý thặng dư Cauchy, ta tính tích phân trong phương trình (2.4.15). Hàm
1
(𝑢−𝑘)(𝑢+𝑘)
, có 2 cực điểm là 𝑢 = −𝑘 và 𝑢 = 𝑘.
(2.4.15) ⇒ 𝑔(𝑋, 𝑘) =
1
2𝜋
.
1
2𝑘
∫
𝑢 + 𝑘 − (𝑢 − 𝑘)
(𝑢 − 𝑘)(𝑢 + 𝑘)
+∞
−∞
. 𝑒𝑖𝑢𝑋
𝑑𝑢
6226789