D上の関数の極値の問題

1. 次の２変数関数f(x,y)の領域D上での極値を求めえよ。
f(x,y)=sin x sin y sin (x + y)
D={(𝑥, 𝑦)｜ −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
, −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
}

2. 次の２変数関数f(x,y)の領域D上での極値を求めえよ。
f(x,y)=sin x sin y sin (x + y)
D={(𝑥, 𝑦)｜ −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
, −
𝜋
2
< 𝑦 <
𝜋
2
}
計算
𝑓𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑦
fy = sinxsin x + 2y
fxx = 2sinycos 2x + y
fyx = fxy = sin 2x + y
fyy = 2sinxcos(x + 2y)
となる。H=fxx 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥とする。
極値の候補はfx = fy = 0
(x,y)=(0,0)の時
fxx = fyy = fxy = 0からヘッシアンから極値であるか判断できないが、
(0,0)の近傍でf(x,y)はプラスにもマイナスにも丸ので極値でない。
例えばy=-xの時0 x=yの時プラスにもマイナスにもなっている。
x≠0の時
x+2y=0 or±π
X+2y=0の時
𝑓𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 𝑦 =0からy=±π/2
(x,y)=(-(±)2π/3,±π/2)となり
(x,y)=(-2π/3,+π/2)のときfxx<0 fyy<0 fxy<0H=9/4>0で極大値でf(x,y)=
3
8
3
(x,y)=(+2π/3,-π/2)のときfxx>0 fyy>0 fxy>0H=9/4>0で極小値でf(x,y)=-
3
8
3

3. x≠0の時
x+2y=πも同様に
(π/3,π/3)で極大値f (π/3,π/3)=
3
8
3
x+2y=-πも同様に
(-π/3,-π/3)で極小値f (-π/3,-π/3)=-
3
8
3