コンパクトとハウスドルフの問題

1. (1) 位相空間 X の部分集合 K がコンパクトであることの定義を開被覆を
用いて述 べよ.
(2) 位相空間Xはコンパクトであるとし,Xの部分集合Aは閉集合と仮定する.
こ のとき,A はコンパクトか.そうならば証明し,そうでなければ反例を
あげ,そ れが反例になっていることを示せ.
(3) 位相空間 Y がハウスドルフの分離公理をみたすことの定義を開集合を
用いて述 べよ.
(4) 位相空間 Y はハウスドルフの分離公理をみたすとし,Y の部分集合 B はコ
ンパ クトであると仮定する.このとき,B は閉集合か.そうならば証明し,そ
うで なければ反例をあげ,それが反例になっていることを示せ.

2. (1) 位相空間 X の部分集合 K がコンパクトであることの定義を開被覆を用いて述 べよ.
[斎藤毅]集合と位相p149
(2) 位相空間Xはコンパクトであるとし,Xの部分集合Aは閉集合と仮定する.こ のとき,A はコンパクトか.そうならは
゙証明し,そうでなければ反例をあげ,そ れが反例になっていることを示せ.
答え 真
証明 [松坂和夫]集合・位相入門p211
まず
{𝑉𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐽} ∪ {𝑋 − 𝐴} は 𝑋 の開被覆である.
𝑋 はコンパクトだから, {𝑉_𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐽} ∪ {𝑋 − 𝐴} は有限開被覆を持つ. 𝐽 の有限部分集合である 𝐾 が存在して,
𝑉𝑗 𝑉𝑗 ∈ 𝐽} ∪ {𝑋 − 𝐴} の有限開被覆は, {𝑉𝑘 | 𝑘 ∈ 𝐾} または {𝑉𝑘 | 𝑘 ∈ 𝐾} ∪ { 𝑋 − 𝐴} のいずれかの形になる.
いずれの場合でも, 𝐴 ⊆ ∪ 𝑘∈𝐾 𝑉𝑘 であり, 𝐴 は有限個の開集合で覆うことができるから, 𝐴 はコンパクトである.
近い問題
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/compact031201.pdf
(3) 位相空間 Y がハウスドルフの分離公理をみたすことの定義を開集合を用いて述 べよ.
[斎藤毅]集合と位相p135
(4) 位相空間 Y はハウスドルフの分離公理をみたすとし,Y の部分集合 B はコンパ クトであると仮定する.このとき,B
は閉集合か.そうならば証明し,そうで なければ反例をあげ,それが反例になっていることを示せ.
答え 真
[斎藤毅]集合と位相p163