積分問題

1. 次の不定積分および重積分を計算しなさい。
(1)
𝑥4
𝑥4+1
ⅆ𝑥
(2) 𝐵
𝑧2
ⅆ𝑥 ⅆy ⅆ𝑧 B＝{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥2
+ 𝑦 𝑧
+ 𝑧2
≤ 2𝑧}

2. 次の不定積分および重積分を計算しなさい。
(1)
𝑥4
𝑥4+1
ⅆ𝑥
計算
𝑥4
𝑥4+1
＝1+
1
4
𝑥−1 2+1
′
𝑥−1 2+1
−
𝑥+1 2+1
′
𝑥+1 2+1
-
1
2
1
𝑥−1 2+1
−
1
𝑥+1 2+1
より
𝑥4
𝑥4+1
ⅆ𝑥＝1+
1
4
{log| 𝑥 − 1 2 + 1|-log| 𝑥 + 1 2 + 1|}=-
1
2
arctan 𝑥 − 1 + arctan 𝑥 + 1 + 𝑐
(2) 𝐵
𝑧2 ⅆ𝑥 ⅆy ⅆ𝑧 B＝{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥2 + 𝑦 𝑧 + 𝑧2 ≤ 2𝑧}
計算
x=rsinθcosφ ｙ＝ rsinθsinφ z=rcosθ
𝜕(x,y,z)/∂(r,θ,φ)＝𝑟2 𝑠𝑖𝑛θ
𝐵
𝑧2
ⅆ𝑥 ⅆy ⅆ𝑧= 0
2𝜋
0
𝜆
2
0
2 cos 𝜃
𝑟4
cos2
θ 𝑠𝑖𝑛θ ⅆ𝑟 ⅆθ ⅆ𝜑 =
8
5
π