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ゼータ関数と任意の正の数への収束
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ゼータ関数と任意の正の数への収束
1.
(1)Σn=1 ∞ −1 n−1 2n−1 =π/4を示せ。 (2)Σn=1 ∞
1 n は収束しないことを示せ。 (3) αを任意の正の実数とする。この時、次の不等式を同時に満たすよう な自然数k1>k2が存在することを示せ。 α≦Σn=1 k1 1 n ≦α+1 Α-1/2≦Σn=1 k1 1 n − Σn=k1+1 k2 1 n ≦α (4)任意の正の実数αに対して1か-1の数列{an}を適当に選ぶことにより Σn=1 ∞ an n は実数αに収束することを示せ。
2.
(1) Σn=1 ∞ −1
n−1 2n−1 =π/4を示せ。 証明 難問克服 解いてわかるガロア理論 (2)Σn=1 ∞ 1 n は収束しないことを示せ。 証明 [杉浦]解析入門1p369
3.
(3) αを任意の正の実数とする。この時、次の不等式を同時に満たすような自然数k1>k2が存在することを示せ。 α≦Σn=1 k1 1 n ≦α+1 α-1/2≦Σn=1 k1
1 n − Σn=k1+1 k2 1 n ≦α 証明 (2)よりΣn=1 ∞ 1 n は単調増加でn→∞のとき∞に発散する。 全てのαに対してある整数Nが存在してα≦Σn=1 N 1 n となる。 これを満たす最小のNをk1とすればΣn=1 𝑘1−1 1 n ≦αである。 またk1≧1であることからα+1≧Σn=1 𝑘1−1 1 n + 1 𝑘1 = Σn=1 𝑘1 1 n したがって𝛼 ≦ Σn=1 𝑘1 1 n ≦α+1 またf(𝑛)Σn=k1+1 𝑛 1 n は単調増加であり発散するからΣn=1 𝑘1 1 n − Σn=k1+1 𝑁′ 1 n ≦α を満たす整数N‘が存在する。 このような整数のうち最小のものをk2とるとΣn=1 𝑘1 1 n − Σn=k1+1 𝑘2−1 1 n ≧α K2>k1≧1よりk2≧2 だから α-1/2≦Σn=1 𝑘1 1 n − Σn=k1+1 𝑘2−1 1 n -1/2≦Σn=1 𝑘1 1 n − Σn=k1+1 𝑘2−1 1 n -1/k2=Σn=1 𝑘1 1 n − Σn=k1+1 𝑘2 1 n となる。 よってα-1/2≦Σn=1 k1 1 n − Σn=k1+1 k2 1 n ≦α (4)任意の正の実数αに対して1か-1の数列{an}を適当に選ぶことにより Σn=1 ∞ an n は実数αに収束することを示せ。 証明 (3)を同様に繰り返すと全てのαに対してある整数mが存在して mが偶数のときα-1/m≦Σn=1 k1 1 n − Σn=k1+1 k2 1 n +…+ Σn=𝑘 𝑚−2+1 k 𝑚−1 1 n − Σn=km−1+1 k 𝑚 1/𝑛≦α mが奇数のとき α≦Σn=1 k1 1 n − Σn=k1+1 k2 1 n +…+ Σn=𝑘 𝑚−2+1 k 𝑚−1 1 n − Σn=km−1+1 k 𝑚 1/𝑛≦α-1/m Mが奇数ならばan= 1 (1 ≦ 𝑛 ≦ 𝑘1 𝑘2 < 𝑛 ≦ 𝑘3, … 𝑘𝑚 − 1 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚) −1(𝑘1 < 𝑛 ≦ 𝑘2 𝑘3 < 𝑛 ≦ 𝑘4, … 𝑘𝑚 − 2 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚 − 1) とすればα-1/m≦Σn=1 k 𝑚 an n ≦α Mが偶数ならばan= 1 (1 ≦ 𝑛 ≦ 𝑘1 𝑘2 < 𝑛 ≦ 𝑘3, … 𝑘𝑚 − 2 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚 − 1) −1 (𝑘1 < 𝑛 ≦ 𝑘2 𝑘3 < 𝑛 ≦ 𝑘4, … 𝑘𝑚 − 1 < 𝑛 ≦ 𝑘𝑚) とすればα-1/m≦Σn=1 k 𝑚 an n ≦α mを無限大に飛ばせばどちらも大いを満たす。
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