chuyen de tich phan on thi dai hoc

7,362 views

Published on

luyện thi đại học 2014

0 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,362
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
7
Actions
Shares
0
Downloads
302
Comments
0
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

chuyen de tich phan on thi dai hoc

  1. 1. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Î K · Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R. · Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất · ò f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp ax + C (0 < a ¹ 1) ln a · ò cos xdx = sin x + C · ò 0dx = C · ò a x dx = · ò dx = x + C · ò xa dx = · xa +1 + C, a +1 (a ¹ -1) · ò sin xdx = - cos x + C 1 ò x dx = ln x + C · ò e x dx = e x + C 1 · ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a 1 · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a 1 dx = tan x + C cos2 x 1 · ò dx = - cot x + C sin 2 x 1 · ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0) a 1 1 · ò dx = ln ax + b + C ax + b a · ò 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: ò udv = uv - ò vdu Trang 78 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  2. 2. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x ) = x 2 – 3 x + d) f ( x ) = b) f ( x ) = ( x 2 - 1)2 2x4 + 3 c) f ( x ) = x2 x -1 x2 1 e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x x 2 1 f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan 2 x x2 g) f ( x ) = 2 sin 2 k) f ( x ) = 1 x 2 i) f ( x ) = cos2 x 3 x cos 2 x m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x sin x.cos2 x æ e- x ö n) f ( x ) = e x ( e x – 1) o) f ( x ) = e x ç 2 + p) f ( x ) = e3 x +1 ÷ 2 cos x ø è Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 2 2 sin x.cos x a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5; 2 3 - 5x ; x x3 - 1 e) f (x )= ; x2 c) f ( x ) = g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; i) f ( x ) = l) f ( x ) = x - 2 F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 - 5 cos x; 2 x +1 ; x F (e ) = 1 d) f ( x ) = F(-2) = 0 f) f ( x ) = x x + æp ö F 'ç ÷ = 0 è3ø h) f ( x ) = F (p ) = 2 F(1) = 1 x ; 3 2 F (1) = -2 3x 4 - 2 x3 + 5 ; F (1) = 2 x2 æp ö p x k) f ( x ) = sin 2 ; F ç ÷ = 2 è2ø 4 x3 + 3 x2 + 3x - 7 ; F(0) = 8 ( x + 1)2 Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: æp ö a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; Fç ÷ =3 è2ø b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F(2) = -2 Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìF ( x ) = (4 x - 5)e x ìF ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5 ï ï a) í b) í x 5 3 ï f ( x ) = (4 x - 1)e ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3 î î ì ì æ x2 + 4 ö x2 - x 2 + 1 ïF ( x ) = ln ç ïF ( x ) = ln 2 ÷ ï ï x + x 2 +1 è x2 + 3 ø c) í d) í 2 -2 x ï f ( x) = ï f ( x ) = 2 2( x - 1) ï ï ( x 2 + 4)( x 2 + 3) x4 + 1 î î Trang 79 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  3. 3. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): ìF ( x ) = ln x 2 - mx + 5 ï b) í . Tìm m. 2x + 3 ï f ( x) = 2 x + 3x + 5 î ìF ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3 ï a) í . Tìm m. 2 ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4 î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x ï ï c) í . Tìm a, b, c. d) í . Tìm a, b, c. x 2 ï f ( x ) = ( x - 3)e ï f ( x ) = ( x - 2) x - 4 x î î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x ï e) í . Tìm a, b, c. 2 -2 x ï f ( x ) = -(2 x - 8 x + 7)e î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x ï f) í . Tìm a, b, c. 2 -x ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e î ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3 ï 2 h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + 7 ï 2x - 3 î Tìm a, b, c. ì b c ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x 2 3 g) í ï f ( x ) = cos x î Tìm a, b, c. ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số f(x) = g [u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx . VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: ò f ( x )dx Khi đó: = ò g(t )dt , trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). · Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x = a cos t , x = a tan t , a2 - x 2 hoặc hoặc p p £t£ 2 2 0£t £p - x = a sin t , a2 + x 2 1 x = a cot t, hoặc a2 + x 2 - p p <t< 2 2 0<t <p Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a) ò (5 x - 1)10 dx b) d) ò (2 x 2 + 1)7 xdx e) ò ( x 3 + 5)4 x 2 dx g) ò x 2 + 1. xdx k) ò sin 4 x cos xdx n) ò e x dx x e -3 h) ò ò c) (3 - 2 x )5 3x2 3 5 + 2x sin x l) ò dx cos5 x o) ò x .e x 2 +1 dx dx Trang 80 f) ò i) ò 5 - 2 x dx ò m) p) x dx x +5 dx 2 x (1 + x )2 ò ò tan xdx e cos2 x x x dx sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  4. 4. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ln3 x dx r) ò ò x dx x e +1 Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx dx a) ò b) ò (1 + x 2 )3 (1 - x 2 )3 d) g) dx ò x 2 dx ò h) 1 - x2 ò x + x +1 ò i) dx ò f) 2 ò c) e) ò x 2 1 - x 2 .dx 4 - x2 e tan x s) q) òx cos2 x 2013 dx 1 - x 2 .dx dx 1 + x2 3 x 2 + 1.dx VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: ò P( x ).e u dv x ò P( x ).cos xdx P(x) x e dx ò P( x ).sin xdx ò P( x ). ln xdx P(x) cos xdx dx P(x) sin xdx lnx P(x)dx Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) ò x .sin xdx d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx g) ò x.e x dx h) c) ò ( x 2 + 5)sin xdx ò x cos xdx e) ò x sin 2 xdx b) q) 3 x2 2 ò x tan xdx 2 ò x ln(1 + x )dx ò x cos 2 xdx i) ò ln xdx ò x e dx l) ò ln 2 xdx o) ò x 2 cos2 xdx r) ò x.2 x dx k) ò x ln xdx n) f) m) ò ln( x 2 + 1)dx p) ò x 2 cos 2 xdx s) ò x lg xdx Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: a) ò e x dx b) ò ò a) ò e x .cos xdx g) ò ò ln(cos x ) 2 cos x dx ( x ln x + x 2 + 1 2 x +1 f) ò sin 3 xdx h) ò sin(ln x )dx i) ò cos(ln x )dx b) ò e x (1 + tan x + tan2 x )dx ln(ln x ) dx x Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: d) c) ò sin x dx x e) ò x .sin x dx d) ò cos x dx g) ln xdx c) ò e x .sin 2 xdx e) )dx h) ò ò ln(1 + x ) x 2 f) ò x cos2 x dx 2 x3 1+ x dx 2 dx Trang 81 æ ln x ö i) ò ç ÷ dx è x ø
  5. 5. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C î 2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = 1 [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). 2 Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) sin x ò sin x - cos x dx b) cos x ò sin x - cos x dx sin 4 x c) cos x d) ò dx sin x + cos x e) g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx k) ò e- x e x - e- x dx l) ò ò sin 4 x + cos 4 x ex e x + e- x dx f) sin x ò sin x + cos x dx ò cos4 x sin 4 x + cos 4 x ex i) ò dx e x - e- x e- x m) ò dx e x + e- x dx dx VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) = P( x ) Q( x ) – Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Chẳng hạn: 1 A B = + ( x - a)( x - b) x - a x - b 1 2 ( x - m )(ax + bx + c ) 1 2 ( x - a) ( x - b) 2 = = A Bx + C + , vôùi D = b2 - 4 ac < 0 2 x - m ax + bx + c A B C D + + + 2 x - a ( x - a) x - b ( x - b )2 2. f(x) là hàm vô tỉ æ ax + b ö + f(x) = R ç x , m ÷ cx + d ø è ® đặt t=m ax + b cx + d æ ö 1 + f(x) = R ç ® đặt t = x+a + x+b ÷ ( x + a)( x + b) ø è · f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: Trang 82 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  6. 6. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 + sin [( x + a) - ( x + b)] 1 1 = . , sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b) + sin [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 sin(a - b) ö = . , ç söû duïng 1 = ÷ cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b) è sin(a - b) ø æ sin(a - b) ö ç söû duïng 1 = ÷ sin(a - b) ø è cos [( x + a) - ( x + b)] æ 1 1 cos(a - b) ö = . , ç söû duïng 1 = ÷ sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b) sin( x + a).cos( x + b) è cos(a - b) ø + Nếu R(- sin x , cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx + + Nếu R(sin x, - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(- sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: dx a) ò x( x + 1) dx d) ò x 2 - 7 x + 10 x g) ò dx ( x + 1)(2 x + 1) dx k) ò x ( x 2 + 1) Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau: 1 a) ò dx 1+ x +1 d) ò g) ò k) ò3 1 4 x+ x dx dx x + 3 x + 24 x dx (2 x + 1)2 - 2 x + 1 Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) ò sin 2 x sin 5 xdx cos 2 x dx b) ò ( x + 1)(2 x - 3) dx e) ò x2 - 6x + 9 x h) ò dx 2 2 x - 3x - 2 dx l) ò 1 + x3 b) ò e) ò h) ò l) ò x +1 x x -2 x2 + 1 c) ò dx x2 - 1 dx f) ò x2 - 4 x3 i) ò dx x2 - 3x + 2 x m) ò dx x3 - 1 1 dx c) ò dx f) ò x( x + 1)dx i) ò 3 1+ x x 3 x- x 1 - x dx 1+ x x dx x2 - 5x + 6 b) ò cos x sin 3 xdx dx 1+ 3 x +1 dx x 1 - x dx x m) ò dx x2 + 6x + 8 c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx dx d) ò 1 + sin x cos x dx e) ò 2 sin x + 1 f) ò cos x g) 1 - sin x ò cos x dx h) sin3 x ò cos x dx i) ò k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx l) ò cos3 xdx Trang 83 dx æ pö cos x cos ç x + ÷ è 4ø m) ò sin 4 xdx sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  7. 7. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 II. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ò f ( x )dx . a b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a) · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng b S = ò f ( x )dx x = a, x = b là: a 2. Tính chất của tích phân · a ò f ( x )dx = 0 b ò · a b b b a b a ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì b a b a · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const) b a · a a f ( x )dx = - ò f ( x )dx · ò a c b a c f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx b ò f ( x )dx ³ 0 a b a · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì b a ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b ò f [u( x )] .u '( x )dx = u( b ) ò f (u)du u( a ) a trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì: b b b ò udv = uv - ò vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b b a a – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv . Trang 84 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  8. 8. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 a) ò (x 3 + 2 x + 1)dx 1 2 d) g) x dx ò 2 ò( x + 1)( x - x + 1) dx -1 x 2 +2 2 æ ö 3 b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx x ø 1è 2 ò ò -2 4 ) +4 dx x2 2 ò(x + x 1 ) x + 3 x dx x2 - 2 x dx x3 1 e l) ò 1 ò( ) 4 i) 1 2 x -1 dx x2 ò c) e æ ö 1 1 f) ò ç x + + + x 2 ÷ dx x x2 ø 1è 2 2 h) 1 k) (x -1 e) 2 x + 23 x - 4 4 x dx 1 2 x + 5 - 7x dx x 8æ 1 m) ò ç 4 x ç 3 1è 3 x2 ö ÷dx ÷ ø Baøi 2. Tính các tích phân sau: 2 a) 5 x + 1dx ò b) 1 x ò 2 dx 1+ x Baøi 3. Tính các tích phân sau: 0 2 e) x +2 + x -2 æ pö a) ò sin ç 2 x + ÷ dx è 6ø 0 p 4 tan x .dx ò 2 cos x 0 p 2 dx b) e) 3x2 1+ x 3 dx p 2 ò (2sin x + 3 cos x + x )dx p 3 p 3 ò 3tan p 4 p 2 2 x dx 1 - cos x 0 g) k) ò 1 + sin x ò3 0 p d) ò 2 2 d) dx ò 1 + cos x dx p 3 p 2 ò h) 2 (tan x - cot x )2 dx l) p 6 ò -p 2 2 x +2 0 4 f) òx dx x 2 + 9.dx 0 p 6 ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx c) 0 f) i) p 4 ò (2 cot p 6 p 2 0 æp ö sin ç - x ÷ è4 ø dx æp ö sin ç + x ÷ è4 ø x ò c) ò sin 2 2 x + 5) dx x .cos2 xdx 0 m) p 4 ò cos 4 x dx 0 Baøi 4. Tính các tích phân sau: 1 x a) ò e - e- x x -x 0e +e dx 2 b) ò ( x + 1).dx 2 1 x + x ln x Trang 85 1 2x c) ò 0 e -4 ex + 2 dx
  9. 9. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ln 2 ò d) 0 g) p 2 òe 2 dx e +1 x cos x x 4 .sin xdx h) 0 e k) 1 x æ e- x ö e) ò e ç 1 ÷dx x ø è 1 ex e ò x x 1 1 ln x ò x dx 1 l) f) e ò 2013 dx i) x e dx 02 1 + ln x dx x ò 1 1 2 x ò xe dx 1 ò m) x 0 1+ e 0 dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx . a u(b ) a Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thì b u(a ) ò g( x )dx = ò f (u)du b Dạng 2: Giả sử ta cần tính ò f ( x )dx . a Đặt x = x(t) (t Î K) và a, b Î K thoả mãn a = x(a), b = x(b) b ò thì a b b a a ( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) ) f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến p p x = a sin t , - £t£ 2 2 x = a cos t , 0£t £p a2 - x 2 hoặc hoặc a2 + x 2 1 a2 + x 2 x = a cot t, p p <t< 2 2 0<t <p a , sin t a x= , cos t é p pù t Î ê - ; ú {0} ë 2 2û ìp ü t Î [ 0; p ] í ý î2 þ x = a tan t , hoặc x= x 2 - a2 hoặc - Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 1 a) 19 ò x(1 - x) dx 1 xdx 2x + 1 ò 0 2 3 g) ò 5 dx x x2 + 4 1 c) e) ò x 1 - x 2 dx f) 0 d) x3 dx b) ò 0 (1 + 1 x 2 )3 1 0 3 h) ò 0 x + 2x 5 1+ x2 Trang 86 òx 0 ln 2 3 dx x5 ò x 2 + 1 dx 0 i) ò 0 3 1 - x 2 dx ex 1 + ex dx sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  10. 10. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ln 3 e x dx ò k) l) ( e x + 1)3 0 p 2 n) e ò 1 p 2 sin 2 x ò dx o) e 2 + ln x dx 2x 1 p 6 3 cos x. sin x dx 1 + sin 2 x 0 ò 0 1 2 a) ò 1- x 3 òx 0 b) 2 0 dx +3 e) 2 1 2 k) 3 ò 2 ò h) x2 + 2 x + 2 -1 4-x ò (x 0 dx ò ò dx l) 2 x x -1 2 2 ò 0 2 sin 2 x dx x + cos 2 x 2 0 2 x 2 dx 1 2 0 g) 1 dx 0 d) 2 ò 2 sin p) cos x + 4 sin x Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 2 1 + 3 ln x ln x dx x ò m) 2013 4 - x 2 dx 2 1 dx + 1)( x 2 + 2) 1 f) x -1 dx x3 x2 2 òx 4 0 xdx + x2 +1 1 2 1- x òx c) 2 i) dx ò (1 + x ) 2 5 0 2 dx 2 x - x 2 dx òx m) 0 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b x ò P( x ).e dx a u dv P(x) e x dx b b ò P( x ).cos xdx b ò P( x ).sin xdx a ò P( x ). ln xdx a P(x) cos xdx a P(x) sin xdx lnx P(x)dx Baøi 1. Tính các tích phân sau: p 4 a) p 2 ò x sin 2 xdx b) 0 d) p2 4 x co s ò x dx e) x ò xe dx 0 k) ò e 3 x sin 5 xdx ò x tan 2 xdx ò x ln xdx 1 p 2 l) 0 cos x ò e sin 2 xdx 0 3 ln 2 xdx p) ln x dx 2 1 x ò òx 2 cos xdx 0 1 f) ò ( x - 2)e dx 3 i) ò ln( x 2 - x)dx 2 e m) ò ln 3 xdx 1 0 q) ò x (e 2x -1 e Trang 87 2x 0 e e 1 p 3 e h) p 2 òx c) p 4 ln 2 o) x) cos xdx 0 0 g) ò ( x + sin 2p 2 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com + 3 x + 1)dx
  11. 11. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 2 a) ò x - 2 dx b) d) ò x 2 - 1 dx ò x 2 - 6 x + 9dx -3 4 g) ò e) ò ( x + 2 - x - 2 ) dx f) 1 ò2 x - 4 dx ò 4 - x dx 0 1 3 ò + 2 x - 3 dx 0 3 -2 h) 2 òx c) 0 5 0 3 2 x 2 - x dx x 3 - 4 x 2 + 4 x dx i) 0 -1 p p 2 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 2p a) ò 1 - cos 2 x dx b) p d) g) 2p ò 1 - sin xdx ò tan 2 x + cot 2 x - 2 dx -p p 3 1 - sin 2 x .dx ò 0 p 3 p 2 p ò f) sin x dx 1 + cos 2xdx 0 cos x cos x - cos3 xdx i) ò h) p 6 1 + cos xdx ò e) ò c) 0 0 2p 1 + sin xdx ò p 2 0 VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 3 1 dx a) ò 3 1 x+ x 1 d) e) ò h) dx x2 - 3x + 2 -1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 1 d) ò 1 2 2 0 ( x + 2) ( x + 3) ò b) ) dx 1 x3 + x + 1 dx ò 2 x +1 0 f) ò 1 e) Trang 88 x2 ò 3 0 (3 x + 1) 2 c) 2 dx (1 + x) x3 + x + 1 ò x + 1 dx 0 m) +2 dx 2 x +1 0 dx (3x 2 1 i) + 5x + 6 x3 - 3x + 2 3 dx ò x 2 - 2x + 2 0 2 òx 1 3 x2 + 3x + 3 2 2 a) òx 3 l) f) (4 x + 11)dx 0 2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9 4 x 2 dx ò (1 - x )9 2 1 dx ò x(x - 1) 2 0 k) x 3 dx c) ò 2 x + 2x + 1 0 3 x ò (1 + 2 x )3 dx 0 4 g) 3 dx b) ò 2 x - 5x + 6 0 dx x3 + 2x 2 + 4 x + 9 dx ò x2 + 4 0 1 ò x 4 0 1+ x dx
  12. 12. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2 g) 1 ò x (1 + x 4 ) 1 2 k) 1 ò 4 + x2 0 dx dx 2 h) 1 - x 2008 ò x (1 + x 2008 ) 1 2 l) 1 - x2 ò 1 1+ x4 dx dx 3 i) x4 ò 2 (x 1 - 1)2 2 - x4 ò m) 2 0 1+ x2 2013 dx dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: a) 2 2 1+ x dx 1- x ò 0 7 3 b) 1 g) 6 x +1 + x 0 e) h) ò 2 2x +1+ ò x+ 4x +1 f) ò 1+ 2 x2 +1 dx l) i) 0 x -1 x4 ò x5 + 1 0 3 3 2 ò x x + 1dx x 1 1 x x 2 + 1dx x - 2 x -1 5 2 x3 0 2 2 k) ò dx ò c) dx 1 dx ò 3 0 1 4x - 3 d) ò dx 3x + 1 0 2+ ò 10 x +1 dx 3x + 1 ò m) 0 0 dx dx x5 + x3 1+ x 2 dx 2 2 3 dx ò n) x x2 + 4 Baøi 2. Tính các tích phân sau: a) ò x 2 2 1 + x dx 2 0 2 d) x + 2008dx 1 1 g) k) dx ò -1 1 + 2 2 ò x + x2 + 1 dx (1 - x 2 )3 Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) cos xdx ò 7 + cos 2 x 0 d) p 2 ò 0 6 ò 3 x2 x2 + 1 e) ò x 0 2 h) 1 - cos3 x sin x cos5 xdx ò 1 l) 0 p 2 x2 + 1 1 2 ò x x2 - 1 3 b) dx ò o) 5 1 2 3 2 2 ò 0 b) p 2 3 1 dx ò 0 dx ò c) (1 + x 2 )3 1 10 - x dx f) 1 + x 2 dx ò 0 1 dx i) x 2 + 2008 x 3dx ò x + x2 + 1 0 5 4 2 x dx Trang 89 12 x - 4 x 2 - 8dx 1 cos x - cos2 xdx 1 + 3 cos x ò m) 1 - x2 sin 2 x + sin x x x3 + 1 1 c) 0 e) dx 0 2 ò sin x p 2 ò p) p 2 ò 0 dx f) p 3 ò 0 cos xdx 2 + cos2 x cos xdx 2 + cos 2 x sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  13. 13. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG g) p 2 ò 0 cos xdx h) 2 1 + cos x p 3 ò p 4 tan x 2 cos x 1 + cos x dx i) 2013 p 2 sin 2 x + sin x ò 1 + 3cos x 0 dx Baøi 4. Tính các tích phân sau: ln 3 a) ò 0 ò ln 2 x ln x + 1 ò 0 e) 1 x (e2 x + 3 x + 1)dx ò ln 2 (e x + 1) e x - 1 dx (e x + 1)3 0 1 h) e x dx ò f) -1 ex 1 + 3ln x ln x dx x ò c) ex + 1 0 dx e e2 x dx 0 ln 2 x ln 3 g) ò b) ex + 1 ln 3 d) ln 2 dx ex ò e x + e- x 0 dx ln 2 e x - 1dx ò i) 0 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Baøi 1. Tính các tích phân sau: p 4 a) ò sin 2 x. cos xdx p 4 b) 0 p 2 d) ò sin xdx 3 g) ò sin 2 e) k) x cos4 xdx sin x l) cos x o) 0 q) ò 3 sin x 2 dx 1 + cos x Baøi 2. Tính các tích phân sau: 0 p 2 a) ò x + cos x )dx h) ò sin 2 x cos 3 xdx 3 ò 1 + cos x dx p 2 3 p f) p 2 0 n) ò (sin 3 i) 1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx r) p 2 1 ò cos x + 1 dx 0 p 3 dx ò sin 4 x.cos x p 6 p 4 ò tan 3 xdx 0 1 + sin 2 x + cos 2 x dx sin x + cos x p d) ò cos 2 x(sin 0 4 x + cos 4 x )dx e) p 4 0 ò (tan x + e sin x cos x )dx Trang 90 4 x cos5 xdx sin 2 x cos x dx 1 + cos x 0 ò m) p) p 3 dx ò sin x.cos3 x p 4 s) p 3 ò tan 4 xdx 0 p 3 c) ò cos x p 4 6 p 2 ò sin p 2 p 2 ò 3 xdx 0 0 b) 2 ò cos 0 p 2 0 ò 1 + 3 cos x dx p 2 p 2 0 0 0 p 2 c) ò sin 2 xdx 0 0 p 2 p ò tan xdx p 2 f) tan x 1 + cos 2 x dx ò (1 + sin x ) sin 2 xdx 2 3 0 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  14. 14. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG g) p 3 ò sin x. ln(cos x )dx h) 0 p 4 p 3 3 sin x ò (tan2 x + 1)2 .cos5 x dx 0 1 ò i) 2013 2 p sin x + 9 cos x - 2 dx 3 Baøi 3. Tính các tích phân sau: a) d) g) p 2 1 ò sin x dx p 3 p 2 cos x ò 1 + cos x dx 0 p 2 1 ò sin x + cos x + 1 dx k) (1 - sin x ) cos x ò (1 + sin x)(2 - cos2 x ) dx dx e) h) ò 2 - cos x p 2 cos x 0 b) 0 p 2 p 2 ò 2 - cos x dx p 2 p 2 0 0 1 ò 2 + sin x dx 0 p 2 sin x - cos x + 1 dx sin x + 2 cos x + 3 ò - l) c) p 2 p 3 dx æ pö sin x cos ç x + ÷ è 4ø ò p 4 f) i) sin x ò 2 + sin x dx 0 p 4 dx æ pö cos x cos ç x + ÷ è 4ø ò 0 p 3 ò m) p 6 dx æ pö sin x sin ç x + ÷ è 6ø Baøi 4. Tính các tích phân sau: p 2 a) ò (2 x - 1) cos xdx p 4 xdx p 3 x 0 d) ò 1 + cos 2 x 0 ò cos p 2 p 2 p 2 ò sin 3 xdx b) e) 0 2 g) ò cos(ln x )dx h) 1 p k) n) 2x 2 ò e sin xdx 0 p 2 sin 2 x òe sin x cos3 xdx l) o) 0 òx 0 p 3 ò cos xdx ln(sin x ) ò p 6 p 4 2 2 cos x dx x tan 2 xdx 0 p 4 c) 2 0 f) i) x dx ò sin 2 x.e 2 x +1 0 p 2 dx 2 xdx 2 xdx ò (2 x - 1) cos 0 p ò x sin x cos m) 0 ò ln(1 + tan x )dx p 4 p) 0 dx ò cos 4 0 x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 1 e x dx a) ò 1+ ex 0 ln 2 b) ò 0 dx x e +5 Trang 91 1 c) ò 0e 1 x +4 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx
  15. 15. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ln 8 d) ò ex +1 ln 3 2 g) 1 ò k) ln 8 ex ò 1 1- e e -x dx ln 3 2 2x dx h) ln x 2 1 x (ln x + 1) dx l) ò ò f) 0 e x 0 e +1 1 -2 x ò ln 2 e x + 1.e 2 x dx ò e) 1 dx i) dx m) e -x +1 0e 1- ex dx 1+ ex e- x ò 2013 -x 0e ln 3 dx +1 1 ò x e +1 0 dx Baøi 2. Tính các tích phân sau: p 2 2 a) ò e x sin xdx b) 0 p 2 e) 0 g) ò e 2 k) ò 1 ln x x 2 e ò x ln (1 + x )dx e æ ln x h) ò ç + ln 2 1 è x ln x + 1 dx l) p 3 ò p 6 ln(sin x ) 2 cos x dx 1 + ln 2 x dx x ò f) 1 0 ln x + ln(ln x ) dx x -x 0 1 d) ò (e + cos x ) cos xdx e ò xe c) 0 x 2 1 2x ò xe dx ö x ÷ dx ø dx e3 i) ln(ln x ) dx x ò e2 1 m) ò 0 ln( x + 1) x +1 dx VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì a ò f ( x )dx = 0 ò f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx -a a -a a 0 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: a 0 a 0 a æ ö Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷ -a -a 0 è -a 0 ø Bước 2: Tính tích phân J = 0 ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. -a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ÞI=J+K=0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: a f ( x) a (với a Î R+ và a > 0) ò x dx = ò f ( x )dx -a a + 1 0 Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên. a 0 a 0 a æ f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ö I= ò dx = ò dx + ò dx çJ = ò dx; K = ò dx ÷ ax + 1 ax +1 ax + 1 ax +1 ax + 1 ø -a -a 0 è -a 0 Để tính J ta cũng đặt: t = –x. Trang 92 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  16. 16. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG p 2 p 2 0 é pù Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì ë 2û 2013 0 ò f (sin x )dx = ò f (cos x )dx p -x 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = p thì đặt t=p–x nếu a + b = 2p thì đặt t = 2p – x Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C î 2 t= Để chứng minh tính chất này ta đặt: Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = 1 [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). 2 Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1): p 4 ò a) 7 5 x - x + x - x +1 cos 4 x p 4 1 - ò ln ( x + d) g) -1 p 2 ò p 2 3 1+ x sin 5 x 1 + cos x dx b) p 2 ( ) cos x ln x + 1 + x 2 dx c) ò p 2 1 - 2 ) dx e) dx h) 1 2 ò -1 x p 2 ò p 2 1 2 - 1 x dx 4 f) - x2 + 1 xdx i) 2 4 - sin x æ1- x ö ò cos x.ln ç 1 + x ÷dx è ø ò -1 p 2 ò p 2 x 4 + sin x dx x2 +1 x + cos x 4 - sin 2 x dx Baøi 2. Tính các tích phân sau (dạng 2): 1 a) x4 p ò d) g) 1 ò x dx -1 2 + 1 -p p 2 ò - p 2 sin 2 x x b) ò -1 1+ 2x 1 dx c) 3 dx e) 3 +1 sin x sin 3 x cos 5 x 1 + ex 1 - x2 dx h) x2 +1 ò31 + 2 x dx p 4 ò - sin 6 x + cos6 x p 4 6x + 1 f) dx i) dx ò x ò x -1 (e 1 + 1)( x 2 + 1) dx -1 (4 + 1)( x p 2 x 2 sin 2 x ò - p 2 1+ 2x 2 + 1) dx Baøi 3. Tính các tích phân sau (dạng 3): p 2 a) ò 0 n cos x cos n x + sin n x dx (n Î N*) b) p 2 7 sin x ò sin7 x + cos7 x dx 0 Trang 93 c) p 2 ò 0 sin x sin x + cos x sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx
  17. 17. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG d) p 2 sin 2009 x ò sin2009 x + cos2009 x p 2 4 cos x sin 4 x 0 e) 0 ò cos4 x + sin 4 x dx p dx ò cos4 x + sin 4 x p 2 2013 p 2 dx f) 0 Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4): p a) d) ò 0 4 - cos p 4 k) 2 x dx b) ò 0 x + cos x 4 - sin 2 x 2p ò ln(1 + tan x )dx 0 p g) x.sin x ò e) 0 p x ò 1 + sin x dx h) ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx l) 0 p 4 dx 0 p x .cos3 xdx 0 p x sin x i) 0 0 ò x sin x 2 0 9 + 4 cos x ò x.sin f) ò 2 + cos x dx p æ 1 + sin x ö ò ln ç 1 + cos x ÷dx è ø c) 3 xdx x sin x ò 2 0 1 + cos x dx p dx ò x sin x cos m) 4 xdx 0 Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5): a) d) g) k) p 2 0 p 2 ò 0 p 2 b) cos x dx sin x + cos x e) 6 sin x ò sin6 x + cos6 x dx h) 2 ò 2 cos x.sin 2 xdx l) 0 p 2 0 1 n) sin x ò sin x - cos x dx ò ex x -x -1 e + e p 2 cos x ò sin x - cos x dx 0 p 2 sin 4 x ò sin 4 x + cos4 x 0 p 2 0 dx f) ò sin6 x + cos6 x dx p 2 cos 4 x ò sin 4 x + cos4 x dx 0 i) p 2 0 1 ò x -x -1 e - e 1 dx o) ex ò dx e- x x -x -1 e + e sin x ò sin x + cos x dx c) 6 cos x p 2 ò 2sin 2 x.sin 2 xdx 0 1 m) ò e- x x -x -1 e - e dx dx VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x, n)dx (n Î N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta a thường gặp một số yêu cầu sau: · Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n). · Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. · Tính một giá trị I n cụ thể nào đó. 0 Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau: Trang 94 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  18. 18. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG p 2 a) I n = ò sin n xdx n -1 ì · Đặt íu = sin x îdv = sin x .dx b) I n = ò cos n xdx n -1 ì · Đặt íu = cos x îdv = cos x.dx 0 p 2 0 p 4 c) I n = ò tan n xdx d) I n = 0 p 2 òx n cos x .dx 0 Jn = p 2 òx n sin x.dx 0 1 · Phân tích: tan n x = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x n ì · Đặt íu = x îdv = cos x.dx n ì · Đặt íu = x îdv = sin x .dx e) I n = ò x n e x dx ìu = x n ï · Đặt í x ïdv = e .dx î f) I n = ò ln n x.dx n ì · Đặt íu = ln x îdv = dx g) I n = ò (1 - x 2 )n dx · Đặt x = cos t 0 e 1 1 0 1 h) I n = ò dx 0 (1 + x 2 )n · Phân tích 1 Tính J n = ò 1 1 k) I n = 0 p 4 dx ò cosn x dx 0 = (1 + x 2 )n x2 2 n 0 (1 + x ) i) I n = ò x n 1 - x .dx 2n ì Đặt íu = sin t îdv = sin t.dt ® 1 + x2 (1 + x 2 )n dx . - x2 (1 + x 2 )n ìu = x ï x Đặt í dv = dx ï (1 + x 2 )n î ìu = x n ï · Đặt í ïdv = 1 - x .dx î · Phân tích 1 cos n x = cos x cos n+1 x Trang 95 ® Đặt t = 1 cosn +1 x sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  19. 19. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) dx là: (1) a · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) - g( x ) dx là: (2) a Chú ý: · Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b ò f ( x ) dx = a b ò f ( x )dx a · Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b ò a c d b f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx a c d c b a = d c d ò f ( x )dx + ò f ( x )dx + ò f ( x )dx (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d S = ò g( y ) - h( y) dy c 2. Thể tích vật thể · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b Thể tích của B là: V = ò S( x )dx a · Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: Trang 96 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  20. 20. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 b V = p ò f 2 ( x )dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d V = p ò g2 ( y )dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2, x = 4 c) y = 1 + ln x , y = 0, x = 1, x = e x ln x 1 , y = 0, x = , x = e x e b) y = ln x d) y = 2 x , y = 0, x = e, x = 1 1 e) y = ln x, y = 0, x = , x = e f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1 e x 1 1 g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 10 2 1- x4 Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: -3 x - 1 a) y = , y = 0, x = 0 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 x -1 c) y = e x , y = 2, x = 1 d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0 e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2 f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11 g) y = x 2 , y = x2 27 , y= 27 x h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8 i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0 k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15 Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 a) y = x, y = , y = 0, x = e b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p x c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0 d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4 e) y = x, y = 0, y = 4 - x f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1 g) y = x , y = 2 - x , y = 0 h) y = a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 1 -2 x , y = e- x , x = 1 e Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: c) y = 1 2 1 x , y = - x2 + 3 4 2 e) y = x , y = 2 - x 2 d) y = 1 1+ x2 ,y = x2 2 f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x Trang 97 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  21. 21. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG g) y = x2 1 , y= 2 1 + x2 2013 2 h) y = x + 3 + , y = 0 x i) y = x 2 + 2 x, y = x + 2 k) y = x 2 + 2, y = 4 - x Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = x 2 , x = - y 2 b) y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0 c) y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0 d) y 2 = 2 x + 1, y = x - 1 e) y 2 = 2 x, y = x , y = 0, y = 3 f) y = ( x + 1)2 , x = sin py g) y 2 = 6 x, x 2 + y2 = 16 h) y 2 = (4 - x )3 , y 2 = 4 x i) x - y3 + 1 = 0, x + y - 1 = 0 k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = 2. b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e. c) y = e x ; y = e- x ; x = 1. d) y = 5 x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x. e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1. 1 f) y = ln x , y = 0, x = , x = e e g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p. i) y = x + sin 2 x; y = p; x = 0; x = p. k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x = Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (C ) : y = x + p 2 1 , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3. 2 x2 x2 + 2 x + 1 b) (C ) : y = , y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 x+2 c) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. d) (C ) : y = x 3 - 3 x + 2, x = -1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2. e) (C ) : y = x 2 - 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C). VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: p 1 a) y = sin x, y = 0, x = 0, x = b) y = x 3 - x 2 , y = 0, x = 0, x = 3 4 3 p c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = d) y = x , y = 0, x = 4 2 e) y = x 3 - 1, y = 0, x = -1, x = 1 g) y = f) y = x 2 , y = x x2 x3 , y= 4 8 i) y = sin x , y = cos x, x = h) y = - x 2 + 4 x , y = x + 2 p p ,x= 4 2 k) ( x - 2)2 + y 2 = 9, y = 0 l) y = x 2 - 4 x + 6, y = - x 2 - 2 x + 6 m) y = ln x , y = 0, x = 2 Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: Trang 98 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  22. 22. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2 a) x = , y = 1, y = 4 y 2013 b) y = x 2 , y = 4 c) y = e x , x = 0, y = e d) y = x 2 , y = 1, y = 2 Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y = ( x - 2)2 , y = 4 c) y = 1 2 b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4 d) y = 2 x - x 2 , y = 0 , y = 0, x = 0, x = 1 x +1 e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e f) y = x 2 ( x > 0), y = -3 x + 10, y = 1 2 h) ( x – 4 ) + y 2 = 1 g) y = x 2 , y = x i) x2 y2 + =1 9 4 k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0 l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0 m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1 Trang 99 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  23. 23. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN Baøi 1. Tính các tích phân sau: 5 2 a) òx - x dx 2 2 3 æ x -1 ö d) ò ç ÷ dx è x+2ø -1 1 e) xdx ò 0 ( x + 1) 1 3 x ò h) 2 dx 2 l) x +1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 0 2 a) ò 1+ 1 ò 5 x -1 x4 3 ò -1 x 1 x8 - 2 x 4 ò 0 1+ f) i) + 2x + 4 x 3 òx ò x +1 + x + 3 f) 1 - x dx i) 1 0 ( x + 1) 5 o) ò x 1 - x dx p) 0 2+x + 2-x 1 7 3 x +1 ò 3 3x + 1 dx 0 1 3 2 ò x x + 3 dx 1 2 xdx ò òx m) 0 0 1 3 1 + x dx òx 1 l) xdx ò -1 2 dx + 5x + 2 x2 + 4 0 c) 2 x + 2 x2 + 4 x + 9 m) 2 x -3 -1 3 0 2x 2 3 1 x+5+4 ò dx ò 0 2 dx ò - 2 x + 1 dx 1 dx dx 2 2 1 xdx 9 h) x 3 1 + x 2 dx ò k) e) dx x5 + 1 0 2 1+ 0 -1 3 x - 2 x -1 ò ò b) dx dx 2 g) x7 4 x 10 d) òx c) -3 2 k) ò ( x + 2 - x - 2 )dx b) 0 g) 3 x2 + x ò3 ( x + 1)2 0 3 1 - x 2 dx 0 3 x5 + 2x3 0 dx x2 + 1 ò q) dx 2 r) ò x 2 4 - x 2 dx s) t) 0 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p /4 a) ò 0 p/ 2 d) ò 0 p/2 g) p/2 1 - 2 sin 2 x dx 1 + sin 2 x ò b) sin 2 x 2 2 cos x + 4 sin x dx p/ 4 ò 0 p/2 o) ò 0 1 + 3cos x 0 p/2 e) cos 2 x(sin 4 x + cos4 x )dx h) l) x sin 2004 x + cos2004 x ò ò dx ò ò 0 tan x 2 cos x 1 + cos x sin 2 x dx cos x + 1 0 p/2 p) sin 2 x cos x dx 1 + cos x ò c) cos5 xdx 0 p/2 f) 0 p/3 p/2 x tan 2 x dx sin dx sin x sin 2 x sin 3 x dx ò p/ 4 2004 p/2 0 0 k) ò sin 2 x + sin x dx p i) Trang 100 2 0 1 + cos x p/2 m) q) dx ò sin x dx 1 + 3cos x ò cos3 x dx sin x + 1 0 p/2 3 4 sin x dx 1 + cos x x sin x ò 0 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com dx
  24. 24. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x + 1 và y = x – 1 . ĐS: S= Baøi 2. (TN 2003) 16 . 3 x 3 + 3x 2 + 3x - 1 1 biết rằng F(1) = . 2 3 x + 2x + 1 2 2 x - 10 x - 12 2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = và đường x+2 thẳng y = 0. 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x ) = ĐS: x2 2 13 1) F ( x ) = +x+ 2 x +1 6 2) S = 63 - 16 ln 8 . p 2 I = ò ( x + sin 2 x ) cos xdx . Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân: 0 p 2 - . 2 3 Baøi 4. (TN 2006–kpb) ĐS: I= 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. 2. Tính tích phân: p 2 sin 2 x ò 4 - cos2 x dx . I= 0 ĐS: 2) I = ln 1) S = e - 2 ln 2 - 4 Baøi 5. (TN 2006–pb) ln 5 1. Tính tích phân: I= ò (e x + 1)e x ln 2 x e -1 4 . 3 dx . 1 2. Tính tích phân: J = ò (2 x + 1)e x dx . 0 ĐS: 1) I = 26 3 2) J = e + 1. e Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân: J= ln 2 x ò x dx . 1 1 . 3 Baøi 7. (TN 2007–pb) ĐS: I= 2 1. Tính tích phân: ò 1 2x x2 + 1 dx . Trang 131 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  25. 25. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 3 ò 2 x ln xdx . 2. Tính tích phân: 1 ĐS: 1) J = 2 ( 5 - 2 ) 2) K = 9 ln 3 - 4 . 1 Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân: I= ò 0 3x2 dx . x3 + 1 ĐS: I = ln2. Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2) 1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sin x , y = 0, x = 0, x = p . Tính thể 2 tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = - x 2 + 6 x , y = 0 . ĐS: p2 4 1) V = 2) S = 36. Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân: 1 I = ò (1 + e x ) xdx . 0 3 . 2 Baøi 11. (TN 2008–pb) ĐS: I= 1 1. Tính tích phân: 2. Tính tích phân: I= J= òx 2 (1 - x 3 )4 dx . -1 p 2 ò (2 x - 1) cos xdx . 0 ĐS: 1) I = 32 5 2) J = p - 3 . 1 Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân: I= ò 3 x + 1dx . 0 14 . 9 Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2) ĐS: I= 1 1. Tính tích phân: I = ò (4 x + 1)e x dx . 0 2 2. Tính tích phân: J = ò (6 x 2 - 4 x + 1)dx . 1 ĐS: 1) I = e + 3 Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: 2) J = 9. p I= ò x(1 + cos x )dx . 0 ĐS: I= 2 p -4 . 2 Trang 132 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  26. 26. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân: 1 I = ò x 2 ( x - 1)2 dx . 0 1 . 30 Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân: ĐS: ĐS: I= Trang 133 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  27. 27. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3. 109 . 6 Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ĐS: S= y = 4ĐS: S = 2p + x2 x2 và y = . 4 4 2 4 . 3 Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân: I= p 2 6 ò 1 - cos3 x .sin x.cos5 xdx . 0 ĐS: Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân: 0 I= ò x (e 2x + 3 x + 1 )dx . -1 ĐS: Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân: ln 3 I= ex ò x (e + 1) 0 3 dx . . ĐS: Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân: 1 I= x3 dx . x2 +1 0 ò ĐS: Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân: I = 2 3 ò x x2 + 4 5 ĐS: I= I= . 1 5 ln . 4 3 Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân: ĐS: dx I = p 4 1 - 2 sin 2 x ò 1 + sin 2 x dx. 0 1 ln 2 . 2 Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân: I = 2 òx 2 - x dx . 0 ĐS: I = 1. Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân: 1 I = ò x 3 1- x 2 dx . 0 ĐS: Trang 134 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  28. 28. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân: I= p 4 x ò 1 + cos 2 x dx . 0 ĐS: Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân: ln 5 I= e2 x ò x e -1 ln 2 dx . ĐS: Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số f ( x ) = f ¢ (0) = -22 và a 3 ( x + 1) + bxe x . Tìm a, b biết rằng: 1 ò f ( x )dx = 5 . 0 ĐS: Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân: 1 2 I = ò x 3e x dx . 0 ĐS: Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân: e I= x2 +1 ò x dx . 1 ĐS: Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân: ĐS: I= 2 x I =ò 1 1 + x -1 11 - 4 ln 2 . 3 Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân: e 1 + 3ln x ln x dx . x I =ò 1 ĐS: I= 116 . 135 Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân: ĐS: dx. 3 I = ò ln( x 2 - x )dx. 2 I = 3 ln 3 - 2 . Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân: 2 x4 - x +1 I= ò dx . 2 0 x +4 ĐS: Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân: 3 I= ò 1 1 x + x3 dx . ĐS: Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân: I= p 2 òe cos x sin 2 xdx . 0 ĐS: Trang 135 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  29. 29. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân: p2 I= x sin xdx . ò 0 ĐS: Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân: ln 8 I= ò e2 x e x + 1dx . ln 3 ĐS: Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân: I= p 2 ò sin 2 x + sin x 1 + 3 cos x 0 ĐS: I= 34 . 27 Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân: ĐS: dx . I= I = 2 ln 2 - 1 . Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân: I= p 2 sin 2 x .cos x dx . 1 + cos x 0 ò p 2 ò (e sin x + cos x ) cos xdx . 0 ĐS: I = e+ p -1. 4 Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân: I= p 3 ò sin 2 x.tan xdx . 0 ĐS: 3 I = ln 2 - . 8 Baøi 28. (ĐH 2005A–db2) Tính tích phân: 7 I= 0 ĐS: I= x+2 ò3 x +1 dx . 231 . 10 Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân: e I = ò x 2 ln xdx . 0 ĐS: I= 2 3 1 e + . 9 9 Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân: I= p 4 ò (tan x + e sin x cos x )dx . 0 1 ĐS: I = ln 2 + e 2 -1 . ĐS: I= I= ln 2 x 1 Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân: e3 x ln x + 1 ò dx . 76 . 15 Trang 136 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  30. 30. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG Baøi 32. (ĐH 2005D–db2) Tính tích phân: I= p 2 ò (2 x - 1) cos 2 2013 xdx . 0 2 ĐS: I= p p 1 - - . 8 4 2 Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân: I= p 2 ò 0 ĐS: I= 2 2 cos x + 4sin x dx . 2 . 3 Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân: ĐS: sin 2 x ln 5 I= 1 ò ln3 e x dx . + 2e - x - 3 3 I = ln . 2 Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân: 1 I = ò ( x - 2)e2 x dx . 0 2 ĐS: I= 5 - 3e . 4 Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân: ĐS: 6 I= 1 ò 2 2x +1+ 4x +1 dx . 3 1 I = ln - . 2 12 Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x 2 - x + 3 và đường thẳng d: y = 2 x + 1 . ĐS: S= 1 . 6 Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân: ĐS: 10 I= ò 5 I = 2 ln 2 + 1 . 1 x - 2 x -1 dx . ĐS: I= I= 3 - 2 ln x 1 Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân: e x 1 + 2 ln x ò dx . 10 2 - 11 . 3 Baøi 40. (ĐH 2006D–db1) Tính tích phân: I= p 2 ò ( x + 1)sin 2 xdx . 0 ĐS: I= p + 1. 4 Baøi 41. (ĐH 2006D–db2) Tính tích phân: 2 I = ò ( x - 2) ln xdx . 1 Trang 137 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
  31. 31. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013 5 - ln 4 . 4 Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ĐS: I= y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x . e -1. 2 Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = x ln x , y = 0, x = e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. ĐS: S= ĐS: p (5e3 - 2) V= . 27 Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân: e I = ò x 3 ln 2 xdx . 1 4 ĐS: I= 5e - 1 . 32 4 Baøi 45. (ĐH 2007A–db1) Tính tích phân: ĐS: I= I = 2 + ln 2 . 2x +1 ò 0 1+ 2x +1 dx . Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: 4 y = x 2 , y = x . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 128 ĐS: V= . 15 Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x(1 - x ) y = 0, y = . x2 + 1 p 1 ĐS: S = -1 + ln 2 . 4 2 Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 , y = 2 - x2 . ĐS: S= p 1 + . 2 3 Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân: 1 I= ò 0 ĐS: x ( x - 1) x2 - 4 dx . 3 I = 1 + ln 2 - ln 3 . 2 Baøi 50. (ĐH 2007D–db2) Tính tích phân: I= p 2 òx 2 cos xdx . 0 2 ĐS: I= p -2 . 4 Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân: I= p 6 ò 0 tan 4 x dx . cos 2 x Trang 138
  32. 32. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ĐS: I= 1 ( 10 ln 2 + 3 ) 2 9 3 Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân: I= æ pö sin ç x - ÷ è 4ø dx . sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x ) p 4 ò 0 ĐS: I= 4 -3 2 . 4 Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân: 2 I= ò ln x 1 ĐS: I= 2013 x3 dx . 3 - 2 ln 2 . 16 Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân p 3 I = ò sin 2 x. tan xdx . 0 ĐS: 3 I = ln 2 - . 8 Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân 7 I =ò 0 ĐS: I= x+2 3 x +1 dx . 231 . 10 Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân e I = ò x 2 ln xdx . 0 ĐS: I= 2 3 1 e + . 9 9 Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân I= p 4 ò (tgx + e sin x cos x )dx . 0 1 ĐS: I = ln 2 + e 2 -1 . ĐS: I= I= ln 2 x 1 Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân e3 x ln x + 1 ò dx . 76 . 15 Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân p 2 I = ò ( 2 x - 1) cos2 xdx . 0 2 ĐS: I= p p 1 - - . 8 4 2 Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = - x 2 + 4 x và đường thẳng d: y = x . Trang 139
  33. 33. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG ĐS: S= 9 . 2 Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân I= p 2 3 ò (cos x - 1)dx . 0 ĐS: I= 8 p - . 15 4 Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân ĐS: I= ò 3 + ln x 2 1 ( x + 1) dx . 1æ 27 ö ç 3 + ln ÷ . 4è 16 ø Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân ĐS: 3 I= 3 I= ò 1 1e x dx . -1 I = ln(e2 + e + 1) - 2 . Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân 1 I= ò (e -2 x + x ) e x dx . 0 ĐS: 1 I = 2- . e Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân 1 I= ò x 2 + e x + 2 x 2e x 1 + 2e x 0 ĐS: I= 1 1 1 + 2e + ln . 3 2 3 Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân e I= ò 1 ĐS: I= x ( 2 + ln x ) 2 dx . e æ 3ö I = ò ç 2 x - ÷ ln xdx . xø è 1 e2 -1. 2 Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân ĐS: ln x 1 3 I = - + ln . 3 2 Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân ĐS: dx . I = 2 – 3ln 2 . 1 I= 2x -1 dx . x +1 0 ò . Trang 140 sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com 2013
  34. 34. HOÀNG THÁI VIỆT – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG 2014 Câu 1.A2011 đáp án : Câu 2. B2011 đáp án : Câu 3.D2011 đáp án : Câu 4.A2012 đáp án : Câu 5.B2012 đáp án : Câu 6.D2012 đáp án : Câu 7.A2013 đáp án : Câu 8.B2013 đáp án :

×