【ゲーム理論入門】ChatGPTが作成した ゲーム理論の問題を解く #3

1. ChatGPTが作成した
ゲーム理論の問題を解く3

2. ChatGPTが作成した
ゲーム理論の問題を解く3

3. ファーストプライスオークション

4. オークションの分析では評価値は私的情報として扱われる.
自身の評価値はわかるが, 他者の評価値はわからない(評価値の分
布はわかる)として分析することが普通.

5. 問題：3人の入札者、A, B, Cがいるオークションがあります.
各入札者は, オークションで1つの商品を入手するために入札します. 入札額が最も高い入札者が商品を獲得し, その
入札額を支払います. 各入札者の価値は以下のとおりです.
A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
各入札者の最適な戦略は何ですか？どのような入札がナッシュ均衡を形成しますか？
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する.
(注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
少し簡単化する.
オリジナル A: 10ドル, B: 8ドル, C: 12ドル

6. 問題：3人の入札者、A, B, Cがいるオークションがあります.
各入札者は, オークションで1つの商品を入手するために入札します. 入札額が最も高い入札者が商品を獲得し, その
入札額を支払います. 各入札者の価値は以下のとおりです.
A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
各入札者の最適な戦略は何ですか？どのような入札がナッシュ均衡を形成しますか？
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する.
(注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
解答：入札者 の利得 は, 評価値を , 入札額を とすれば,
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
i ui vi bi
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0

7. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
ピンクの利得の入札者が落札者
入札者Aは5ドル以上払って落札できたとしても
評価値が4であるから の利得となる.
このため,
5ドル以上払うことよりも4ドル以下の入札をした方が望ましい.
4 − 5 = − 1

8. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

9. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

10. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが4ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 2 0, 0, 2
2 0, 0, 2 0, 0, 2
3 0, 0, 2 0, 0, 2
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが5ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 1 0, 0, 1
2 0, 0, 1 0, 0, 1
3 0, 0, 1 0, 0, 1
4 0, 0, 1 0, 0, 1
利得表(Cが6ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

11. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが4ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 2 0, 0, 2
2 0, 0, 2 0, 0, 2
3 0, 0, 2 0, 0, 2
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが5ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 1 0, 0, 1
2 0, 0, 1 0, 0, 1
3 0, 0, 1 0, 0, 1
4 0, 0, 1 0, 0, 1
利得表(Cが6ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

12. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが4ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 2 0, 0, 2
2 0, 0, 2 0, 0, 2
3 0, 0, 2 0, 0, 2
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが5ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 1 0, 0, 1
2 0, 0, 1 0, 0, 1
3 0, 0, 1 0, 0, 1
4 0, 0, 1 0, 0, 1
利得表(Cが6ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

13. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
(注1) 1ドル単位で入札する, と仮定する. (注2) 他者の評価値はわかるとする.
(注3) 2人以上最も高い入札額をした場合は, 誰も落札できないとする.
最も高い入札をした場合, . それ以外の場合, .
ui(bi |vi) = vi − bi ui(bi |vi) = 0
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが4ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 2 0, 0, 2
2 0, 0, 2 0, 0, 2
3 0, 0, 2 0, 0, 2
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが5ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 1 0, 0, 1
2 0, 0, 1 0, 0, 1
3 0, 0, 1 0, 0, 1
4 0, 0, 1 0, 0, 1
利得表(Cが6ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0

14. A: 4ドル, B: 2ドル, C: 6ドル
ナッシュ均衡は複数あり, (Aの入札額, Bの入札額, Cの入札額)とすると,
(2,1,3), (1,2,3), (2,2,3), (3,1,4), (3,2,4), (4,1,5), (4,2,5)となる.
利得表(Cが1ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 2, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが2ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 4 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 1, 0, 0 1, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが3ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 3 0, 0, 3
2 0, 0, 3 0, 0, 3
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが4ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 2 0, 0, 2
2 0, 0, 2 0, 0, 2
3 0, 0, 2 0, 0, 2
4 0, 0, 0 0, 0, 0
利得表(Cが5ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 1 0, 0, 1
2 0, 0, 1 0, 0, 1
3 0, 0, 1 0, 0, 1
4 0, 0, 1 0, 0, 1
利得表(Cが6ドル)
A＼B 1 2
1 0, 0, 0 0, 0, 0
2 0, 0, 0 0, 0, 0
3 0, 0, 0 0, 0, 0
4 0, 0, 0 0, 0, 0
赤枠がナッシュ均衡における利得

15. ChatGPTが作成した
ゲーム理論の問題を解く3