ガウス積分の問題

1. 以下の問に答えよ.
(1) cを実数とするとき,広義積分
−∞
∞
𝑒−x2+cxdx
が収束することを示せ.
(2) a,b を実数とする.D = {(x,y) ∈ R2 | x+y ≥ 1}
上の広義重積分
∫∫D e−x2+2xy−y2+ax+bydx dy
が収束するための必要十分条件を a, b を用い
て表せ.

2. (1) cを実数とするとき,広義積分
−∞
∞
𝑒−x2+cxdx
が収束することを示せ.
証明
−∞
∞
𝑒−x2+cxdx ＝
−∞
∞
𝑒−(x−𝑐/2)2+c2
/4
dx=𝑒c2
/4
−∞
∞
𝑒−(x−𝑐/2)2
dx=𝑒c2
/4
−∞
∞
𝑒− 𝑡2
dt
{ −∞
∞
𝑒− 𝑡2
dt}
2
= −∞
∞
𝑒− 𝑦2
dy −∞
∞
𝑒− 𝑧2
dz= −∞
∞
−∞
∞
𝑒− 𝑦2− 𝑧2
dydz
= 𝜃=0
2π
r=0
∞
𝑒−𝑟2
𝑟 dr𝑑θ＝π よって −∞
∞
𝑒− 𝑡2
dt＝ 𝜋
よって −∞
∞
𝑒−x2+cxdx ＝𝑒c2
/4 𝜋

3. (2) a,b を実数とする.D = {(x,y) ∈ R2 | x+y ≥ 1}
上の広義重積分
∫∫D e−x2+2xy−y2+ax+bydx dy
が収束するための必要十分条件を a, b を用い
て表せ.
計算
∫∫D e−x2+2xy−y2+ax+bydx dy＝∫∫D e−(x−y)2+ax+bydx dy
X=x-y Y=x+y とするとx=(X+Y)/2 y=(Y-X)/2
J＝det
𝑑𝑥/𝑑𝑋 𝑑𝑦/𝑑𝑋
𝑑𝑥/𝑑𝑌 𝑑𝑦/𝑑𝑌
=det
1/2 −1/2
1/2 1/2
=
1
2
∫∫D e−(x−y)2+ax+bydx dy= 1
∞
−∞
∞
e− 𝑋2+(a−b)x/2+( 𝑎+𝑏)𝑌/2dX dY
ここでフビニの定理D＝I1×I2 D上0≦|f(x,y)|で積分可な時∫∫D f(x,y)dxdy= ∫I2(∫I1 f(x,y)dx)dy
を使うと,(中が連続関数であることから上記を満たしている)
＝(1/2) 1
∞
e 𝑎+𝑏 𝑌/2 𝑑𝑌 −∞
∞
e− 𝑋2+(𝑎−𝑏)𝑥/2dX
(1)から −∞
∞
e− 𝑋2+(𝑎−𝑏)𝑥/2
dX は収束するので 1
∞
e 𝑎+𝑏 𝑌/2
𝑑𝑌が収束すればいい。
1
∞
e 𝑎+𝑏 𝑌/2
𝑑𝑌＝ lim
𝛼→∞
[(2/(a+b))e 𝑎+𝑏 𝑌/2
]1
α
lim
𝛼→∞
(2/(a+b))e 𝑎+𝑏 𝛼/2
が存在するにはa+b<0 a+b＝０の時発散する。
よってa+b<0