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双曲幾何学
- 1. 幾何学 双曲幾何学
- 2. ユークリッド幾何から現代幾何へ 目次 第１章 Euclidの幾何 １ Euclidの公理 ２ 平行線の公準なしで何が言えるか ３ Euclidの48の命題 第２章 非Euclidの幾何 １ 平行線の公準を証明する試み ２ 双曲幾何の発見 ３ 複比、一次変換、反転 ４ Poincareのモデル ５ 双曲幾何の三角法 ６ PoincareのモデルとKleinのモデル 第３章 Riemann幾何としての双曲幾何 １ 球面の第一基本形式 ２ Poincare計量と測地線 ３ KleinのモデルのRiemann計量 ４ 擬球 ５ 曲率とその積分 第４章 Hilbertの幾何 １ Hirbertの距離 ２ Hirbert距離の一般化 ３ 射影危機からの準備 ４ Hilbertの第四問題 双曲幾何学入門 目次 序章 非ユークリッド幾何学の誕生 第１章 球面幾何 第２章 双曲幾何の基礎 第３章 双曲幾何の直線形 第４章 双曲幾何の多角形と円 第５章 双曲幾何における弧長と曲面積 第６章 双曲幾何の古典的モデル 第７章 双曲幾何における等長変換 第８章 楕円幾何 ユークリッド幾何から現代幾何へ を元に 双曲幾何学入門 を勉強することにする
- 3. ユークリッド幾何から現代幾何学へ で何を学んだか • 第１章はまあいいだろう（第２章の下準備であった • 第２章ではまず上半平面上で複比によって距離を定義した。得に三角不等式を示すのが大変であった。方法として教科書に のっとる方法と、点の並びによって実は示せることを僕が見つけた。（カメラかスマホの画像に取ってあるはず) • また２次変換を定義して反転写像、写像の一意性、等長写像（よって恐らく等角写像）性を示したのであった。また三角形が小 さくなるにつれて普通の三角形に近づいていく（目視して図る長さと同じになるという意味）のであった。 等長写像で円は円に 移るが等角でも言えるんじゃないかなって議論を個人的にした。 • また３角形の内角の和が面積に比例するのも驚きだった。 • また今度は上半平面から円板への写像を定義し、円盤状で別に定義した距離が実際に上半平面から引き起こされるものであ ることを示した。（ポアンカレモデル） • 今度はクラインモデルを定義し（直線は普通の直線として定義）、ポアンカレモデルからの写像によりクラインモデルにたいし ユークリッドの公理が満たすかなどを議論した。 • ポアンカレモデルは角度は角度だが長さは違う。クラインモデルは長さは長さだが角度が違う。 • 第３章は最初に即池線をテンソルの計算をしながら学び、ポアンカレモデル、クラインモデルの計量を定義し、実際に第２章で 成り立っていたことを確かめながら進んだ。ここでもやはりポアンカレモデルにおいて第２章の話を計量をつなげて、ポアンカ レモデルからの写像によりクラインモデルの性質を調べるというものだった。また等角写像がどういうものか接平面と計量を 使って説明した。（おそらくこれは幾何学的関数論に通じるものであろう） • ゼミはｐ１１５で終わってしまったのだが、その後ガウス曲率Ｋ＝－１の擬球を定義しポアンカレモデルから擬球への等長写像 （全単射ではない、おそらく普遍被覆と言われるものだろう）を作り目で見れる形にした。ガウスボンネの定理は飛ばした。 • 第４章に関しては解説に入った。何をしたかというと一般のＲ^2上の凸領域に対して複比を使って距離を定義しようとするのだ が、それが距離になるとは限らず擬距離と言われるものを作った。境界の形状（線分を含むか否かや有界かどうか）により線 分が“唯一”かを調べ、その後“符号”に注意しながらＳｃｈｗａｒｚの補題(p151)を学習。その後連結なＲ＾ｎ上の領域に対する “擬距離の集合”の性質を調べた。 • Hilbertの第４問題は「凸領域Ｄ⊆Ｒ＾ｎ内の距離関数でその即池線が通常の直線となるようなものを全て決定しその幾何を決 定せよ」というものである。Hilbert距離以外にMinkowski距離を定義し実はそのような距離の定義はいくらでも存在するを示し た。 • Ｍ⊆R^n⊆Ｐ＾ｎとしたときを、双対空間Ｍ*を定義し、（Ｍの凸平方）*=M*,Mが凸ならばＰ＾ｎ-M*が凸になることを示した。そまた Ｍ上の測度を元にＭ*に測度を定義した。（余談だがおそらく双対空間を考える上で球面幾何学が必要になると思われる） • フィンスラー計量を定義しｐ１０８で議論した測池線方程式を議論した。フィンスラー計量と呼ばれるものの測地線は直線であ ることも示した。Ｍ上に測度が定義されるとフィンスラー関数が定義でき、逆に（というわけではないが）Pogorelovは任意の次 元の凸領域ＤにHilbertの第４問題を満たすものはＤ*の適当な測度から得られることを示したらしい。
- 4. 双曲平面 p42 双曲平面Ｑの直線は双曲平面と原点を通る平面の交わり部分と定義されている。 Ｑ上の直線の長さをこの直線の長さとする。 Ｐ４１補題４よりＱ上に対し＜Ａ,Ｂ＞＜－１がわかっており上のＱ上の直線をＡＢとす ると p45p217 CoshAB＝ー＜Ａ，Ｂ＞となりこれを使って Ｏ（２，１）を定義し、これがＱ上の等長写像となる 任意の２つの半直線を写しあう等長写像が存在する（よってＱは対称だと思える） Ｐ２４ 球面におて直線（よって円）の球面の内部にある中心ｐを極ベクトルという Ｐ４３ 同様にＱ上の平面を定義する式＜ｐ、ｘ＞＝０のｐを極ベクトルという またクライン円板上ではＱ上の極ベクトルと同じものを極ベクトルとする Ｐ７１ 直線から他の直線へ移ったときの極ベクトルの行先を表す式がある 第３章 クライン円板上での角度は通常の角度ではなく双曲平面上での角度を角度 と定義している 2次形式１，２と読み合わせると面白いと思っているが未開発である
- 5. 双曲幾何学入門 のまとめ p3 R＾３上のＡ，Ｂ，Ｃに対し 𝐶𝑜𝑠 ＜ＡＢＣ ＝ Ｂ・Ｃ ー Ａ・Ｂ Ａ・Ｃ １－ Ａ・Ｂ ２ １－ Ａ・Ｃ ２ p50 ２双曲平面（ポアンカレ円板）上のＡ、Ｂ、Ｃに対し 𝐶𝑜𝑠（＜ＡＢＣ）＝ Ｂ・Ｃ ＋（Ａ・Ｂ）（Ａ・Ｃ） Ａ・Ｂ 2－１ （Ａ・Ｃ） ２ －１
- 6. 合同条件 ２つの三角形が合同であるとは３辺が等しく対応する３角が等しいときである Ｐ２１６射影平面上では合同である必要十分条件は等長写像で移せることでありおそらく下の例でも同様だっ たと思うが逆にこの必要十分が成り立たない幾何学は無数にある（対象でなければそうであろう） （下のモデルから別の多様体上に等長写像が存在すればその上でも局所的には同じ議論が成り立つと思う）/ 次の時三角形は合同である 平面（Ｒ＾ｎ）上 • ３辺が等しい • ２辺とその間の角が等しい • １辺と両端の角が等しい Ｐ２０ 球面上 • ３辺が等しい • ２辺とその間の角が等しい • １辺と両端の角が等しい • ３角が等しい（ただし内角の和が一定でないことに注意しなければならない Ｐ５４ 双曲平面（ポアンカレ円板）上 • ３辺が等しい • ２辺とその間の角が等しい • １辺と両端の角が等しい • ３角が等しい • ２角と対辺が等しい（ユークリッド幾何から現代幾何へp83で示した通り３つの角は面積に比例するので最 後の条件が出てくると思えばいい） Ｐ２０９ 射影平面上 • 同じ型で３辺が等しい • ２辺とその間の角が等しい • ３角が等しい • 対応する２角と１辺が等しい
- 7. エネラウスの定理（チェバの定理も同様 Ｐ２１、シグマベストⅠ+A ｐ２１１ 平面上の図で ＢＤ ＤＣ ＣＥ ＥＡ ＡＦ ＦＢ ＝－１ P22 球面上の図で ＳｉｎＢＤ ＳｉｎＤＣ ＳｉｎＣＥ ＳｉｎＥＡ ＳｉｎＡＦ ＳｉｎＦＢ ＝－１ ここで注意していただきたいのは球面は対称なので線分の長さ が決まれば（よって面積が決まれば）角度が決まりＳｉｎの値も 決まる Ｐ８０ 双曲平面（クライン円板）上で ＳｉｎｈＢＤ ＳｉｎｈＤＣ ＳｉｎｈＣＥ ＳｉｎｈＥＡ ＳｉｎｈＡＦ ＳｉｎｈＦＢ ＝－１ ここで注意していただきたいのはユークリッド幾何から現代幾何 学へｐ７８で学んだように線分の長さが決まれば（よって面積が 決まれば）角度が決まりＣｏｓｈの値も決まる
- 8. 内心、傍心、重心、外心、垂心 平面上で内心とは２角（よって３角）の２等分線が交わる点の事である 平面上で傍心とは１角の２等分線と２つの外角の２等分線が交わる点の事である 平面上で重心とは２辺（よって３辺）の中心から対点を結んだ時交わる点の事である 平面上で外心とは２辺（よって３辺）の垂直２等分線が交わる点の事である 平面上で垂心とは２頂点（よって３頂点）からそれに対応する対辺へ垂線を下した時交わる点 の事である 平面上にはデザルグの定理、アインシュタインの定理がある ｐ２４ｐ２５ｐ２６ｐ２６ｐ２８ｐ２９ 球面上では垂心の場合２点が共役点上にないという制限が着く が全て成り立つ ｐ３０ 球面上にはデザルグの定理がある ｐ８１ｐ８２ 双曲平面（クライン円板）上では内心（内部にある）と垂心（内部にある）の場合は常 に成り立つ。（交わるか平行か超平行（ポアンカレ円板上で２直線がポアンカレ円板の外で交 わる場合）ための必要十分条件ｐ８０をよく使う） Ｐ８５ｐ８６ 傍心については１角の２等分線と２つの外角の２等分線は１点で交わるか平行か 超平行である（３辺のうち２辺が交われば１点で交わる）、また上の状況で１点で交わるための 必要十分条件と超平行であるための必要十分条件がある ｐ８９ｐ９０ｐ９２ｐ９３ 外心、垂心についても傍心と同様である 双曲平面（クライン円板）上にはデザルグの定理があるあ（これは平面上のデザルグの定理か らわかる ここのページは未完成である。幾何学辞典を使ってもっとまとめていきたいと思っている。 またそれぞれの半径に対して公式があり３角形の面積公式があるはずである。
- 9. 三角形の面積 平面上の三角形ＡＢＣの面積 △ＡＢＣ の外接円、内接円の半径、周の長さの半 分をそれぞれ Ｒ 、ｒ 、ｓとすると、 Ｓ＝ ｓ（ｓ－ＡＢ）（ｓ－ＢＣ）（ｓ－ＣＡ） ＝ａｂｃ/４Ｒ＝ｒｓ http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm p15p17 球面上の三角形ＡＢＣの面積 Ｓ＝Ａ+Ｂ+Ｃ－π＝Ｓｉｎ^-1(~) Ｐ１２７ 双曲平面（ポアンカレ円板）上の三角形Ａ ＢＣの面積
- 12. 第５章 Ｐ１１３ 円Ｃ（Ａ，ｒ）の円周の長さは２πSinhrである ｐ１１３ 定理６で面白いのは角度と長さの役割が逆 転してるところである Ｒ＾２⊃Ｕ→Ｑが与えられると授業ではｇij＝<,>（普通 の内積）を定義したがここでは<,>を擬内関 x1y1+x2y2-x3y3で定義する。（前にも言ったようにＱ 上ではこれは正であった）これにより定まる計量を双 曲計量という 双曲曲面上の等長写像は面積を不変に保つ（一般 に成り立たないのかちょっとわからない ｐ１２４ 円Ｃ（Ａ，ｒ）の面積は４πSinh＾２（r/２）である
- 14. 第７章 Ｑ上の等長変換Ａ∊Ｏ（２，１）に判別式をＤ（Ａ）＝ｔｒＡ+１ Ａの固有ベクトルをｘで定義すると Ｄ（Ａ）＜４（⇔＜ｘ、ｘ＞＜０)を楕円的 Ｄ（Ａ）＞４(⇔＜ｘ、ｘ＞＞０）を双曲的 Ｄ（Ａ）＝４（⇔＜ｘ、ｘ＞＝０）（Ａはidじゃない）を放物的 といいそれぞれ形が決まっている Ａが楕円的であるとき、Ａ（ｃ）＝ｃとなる点ｃ∊Ｑがただ１つ存在し、ｃを中心とする各円はＡにより それ自身に写り、ｃを視点とする半直線ｋはＡによりｃを視点とする他の半直線に写りｋとＡ（ｋ）の なす角（＝α）は一定である Ｃｏｓα＝Ｄ（Ａ）／２－１、Ｓｉｎα＝ ４－Ｄ（Ａ）／２ 任意の点ｐ∊Ｑに対しＳｉｎｈ（ｄ（ｐ，Ａ（ｐ）／２）＝Ｓｉｎ（α/２）Ｓｉｎｈｄ（Ｃ，ｘ） Ａが双曲的であるとき、Ａ（ｌ）＝ｌとなる直線がただ１つ存在し、そのｌからの各等距離曲線はＡに よりそれ自身に写り、ｌに直行する各直線ｍはＡによりｌに直行する他の直線Ａ（ｌ）に写りｄ（ｍ、Ａ （ｍ））＝Ｔは一定である Ｃｏｓα＝Ｄ（Ａ）／２－１、Ｓｉｎα＝ Ｄ（Ａ）－４／２ 任意の点ｐ∊Ｑに対しＳｉｎｈ（ｄ（ｐ，Ａ（ｐ）／２）＝Ｓｉｎ（Ｔ/２）Ｓｉｎｈｄ（ｌ，ｘ） Ａが放物的であるとき、Ａｖ＝ｖで第１成分が１であるベクトルがただ１つ存在し、ｖはクラインモデ ル円版Ｄ上の境界∂Ｄ上を向いていて、Ｖ∞を中心とする角ホロサイクルΓ（Ｖ，ｋ）はＡによりそれ 自身に写り、Ｖ∞を無限遠点にもつ各直線ｍはAによりＶ∞を無限遠点にもつ直線に写りｍとＡ （ｍ）は平行であり任意の点ｐ∊Ｑに対しｄ（ｐ、Ａ（ｐ））＝一定である ｐ１７９ また鏡映変換による議論もされている（楕円、双曲、放物はそれぞれ交わる、 またクラインモデル、ポアンカレモデルでも同様の事が成り立つが、楕円、双曲、放物がそれ ぞれに対応するとは限らない（ｐ１９２ 楕円、双曲、放物
- 17. 円板の幾何幾関第１章 ユークリッド幾何から現代幾何へ の３章４章の続きとみていただければいい 幾関p1 定義 Ｕ⊆Ｃに対しh=2a(z)ｄｚｄｚ^-がHermite擬距離（detgij>0が仮定されてない）とは １ a(z)が実数値連続関数、a(z)≧０ ２ Zero(h)={z∊Ｕ；a(z)=0}はＵ上疎な集合（宮島関数解析参照） ３ a(z)はＵ－Ｚｅｒｏ（ｈ）上でＣ^∞（おそらくｘとｙそれぞれで偏微分可能という意味であり正則とは別物） もしa(z)がa(z)≧0でＵ上でＣ^∞の時Hermite計量と定義する 幾関p2 曲面と曲線 ユークリッド幾何から現代幾何へｐ１３０ この時、ガウス曲率 Ｋｈ（ｚ）＝－１／ａ（ｚ）・∂^2ｌｏｇａ（ｚ）／∂ｚ∂ｚ＾- ユークリッド幾何から現代幾何へ で出てきたものはこれをみたす ３が成り立たなかったら何が起こるかわか？ 正則写像 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%86%99%E5%83%8F φ：Ｃ→Ｃが正則写像とはφを“ｚ”で微分したものが連続（よってφ’も正則写像になったはず）であることである。正則ならばｚ＝ｘ+iｙとしたとき∂φ/∂ｘも連続となる。）４ 幾関Ｐ２ 一次分数変換も双正則写像である 幾関Ｐ３ Ｂ（ｒ）上のＨｅｒｍｉｔｅ計量が回転対称（a(z)=a(｜ｚ｜)）、０≧Ｋｇとする １ a(t)は[0.r]上増加関数 ２ ｇがリーマン計量として完備であるならばlim 𝑡→ｒ 𝑎(𝑡) = ∞ 幾関ｐ４ h=2a(z)ｄｚｄｚ^-が回転対称な完備Hermite計量、ｇ＝2ｂ(z)ｄｚｄｚ^-をＢ（ｒ）上のHermite計量として、 ｋ：[0,∞）→[０、∞]を減少関数とし、ｓ＞１に対しｓｋ（ｓｔ）＞ｔとし、全てのｚ∊Ｂ（ｒ）に対し、Ｋｈ（ｚ）≧-ｋ({dh(0,z)}^2（中心からの距離の２乗である）、－ｋ（ｄｇ（０、ｚ）｝＾２）≧Ｋｇ（ｚ） とする １ ｈ≧ｇが成り立つ （キーポイント偏微分方程式 ここで少しラプラス方程式を思いだすと方程式を満たすものは極を持っていなかった。これと正則性とはどう絡み合う だろうか？） Ｐ５ またｇｒをPoincare計量とする ２ h=2a(z)ｄｚｄｚ^-が回転対称な完備Hermite計量、ｇ＝2ｂ(z)ｄｚｄｚ^-をＢ（ｒ）上のHermite計量として、 ｋ：[0,∞）→[０、∞]を減少関数とし、ｓ＞１に対しｓｋ（ｓｔ）＞ｔとし、全てのｚ∊Ｂ（ｒ）に対し、Ｋｈ（ｚ）≧-ｋ({dh(0,z)}^2（中心からの距離の２乗である）、－ｋ（ｄｇ（０、ｚ）｝＾２）≧Ｋｇ（ｚ） とする k(0)h≧ｇｒ＝１のポアンカレ計量 ３ ｇ＝2ｂ(z)ｄｚｄｚ^-をＢ（ｒ＝１）上のHermite擬距離で－１≧Ｋｇとすると ｇｒ＝１のポアンカレ計量≧ｇ ４ Ｔ：Ｂ（１）→Ｂ（１）を正則写像（よって１次分数変換）とする。ｇr＝１のポアンカレ計量≧Ｔ*（gr=1のポアンカレ計量） これをユークリッドから現代幾何へ 第３章第４章を使って解説する １ ,２，３ ポアンカレ計量の曲率は－１である。 ユークリッド幾何から現代幾何へｐ１５７ でρ任意の擬距離δに対してρ≧δ≧ｃと言っているだがこことどうつながるかなぞ である?。 ４ ユークリッドから現代幾何へp151 で学んだR+上でのSchwarzの補題をユークリッドから現代幾何へｐ１５７ 式で適用すると得られるが、ここでは計量を使って微分幾何 学的に得られている 幾何ｐ５ 補題（擬球はこの補題を満たす ここの微分幾何学的議論とユークリッド幾何から現代幾何へで行われている幾何学的議論をつなげるには「計量幾何学」をまとめるのが得策だと思った
- 18. フィンスラー計量ユークリッド幾何から現代幾何へｐ９９ｐ１８９ 先生の助言の元、ｐ９９では接ベクトルがどういうものかを黒板に書いて説明した（カメラかスマホの写真参照）。これの類似（ｐ１８９（３０））としてＤ上のフィンスラー関数（計量）をＤ*を定義した。これが実際に測地 線方程式を満たすことをｐ１９０で見た。 幾関ｐ７ Ｍを複素多様体（リーマン計量が与えられている）とする ＦＭ（ξｘ）＝inf｛１/ｒ：正則写像ｆ：Ｂ（ｒ）→Ｍが存在してｆ（0)=x,f*((∂/∂ｚ）0）＝ξｘ｝ ＝inf｛a：正則写像ｆ：Ｂ（１）→Ｍが存在してｆ（0)=x,f*(ａ(∂/∂ｚ）0）＝ξｘ、a∊Ｃ｝ と定義するとフィンスラー計量のＦ（ξｘ）＝０ならばξｘ＝０がないものを満たす ユークリッド幾何から現代幾何へｐ１４４ でも円が小さいほど（ＡとＢの間の距離が一定としてみるとＡとＢが境界に近いほど（領域が小さいほど））長くなるのだったが1番目の定義はそれを表しているのではない か？ このフィンスラー計量が本当にユークリッド幾何から現代幾何へｐ１８９ で定義したフィンスラー計量なのか？ ＴxＭ上の直線上でＦＭの2回微分が定数になってほしいが Ｐ８ Ｍ、Ｎを複素多様体、ｆ；Ｍ→Ｎを正則写像とするとき、ＦＮ≧ｆ*ＦＭが成り立ち、ｆが双正則“ならば”等号が成り立つ。 これはまさしくリーマン幾何から現代幾何へｐ８ で学んだことの類似である ｐ８ Ｍ１、Ｍ２を複素多様体、ξｘ∊ＴＭ１、ηｘ∊ＴＭ２とする ＦM1xM2（ξｘ+ηx)=Ｍａｘ（ＦM1xM2(ξｘ）、ＦM1xM2(ηｘ）） これはユークリッド幾何から現代幾何へｐ１６０の類似である 平行性に対するいくつかの定理 松島 多様体論入門 ＳＧＣ 微分幾何学 小林 微分幾何学とゲージ理論 スピン幾何学 Ｆｕｃｈ ホモトピー論 トポロジーでは、写像が分岐集合と呼ばれる疎集合を除いて至る所被覆写像となっている場合に、この写像を分岐被覆と呼ぶ。 不分岐被覆とはようは普通（アドミシブル近傍を持つがここの定義が複素多様体の場合正則写像となる）の被覆の事である http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/kyokusen1.pdf Ｐ８ Ｍ、Ｍ^~を複素多様体,M^~をＭの不分岐被覆写像とするとＦM^~=π*ＦM となる Ｐ９ ＦC^m=0である、これはユークリッド幾何から現代幾何へｐ１４５ で定義したものでも０になるが、つながりとしては定義 ＦＭ＝inf｛１/ｒ：正則写像ｆ：Ｂ（ｒ）→Ｍが存在してｆ（0)=x,f*((∂/∂ｚ）0）＝ξｘ｝ ＝inf｛a：正則写像ｆ：Ｂ（１）→Ｍが存在してｆ（0)=x,f*(ａ(∂/∂ｚ）0）＝ξｘ、a∊Ｃ｝と定義したが、結局Ｂ（ｒ）上の距離がＦＭを決めている。Ｂ（ｒ）内の（擬）距離はユークリッド幾何から現代代何へｐ１５７ｐ１５８ でρ 任意の擬距離δに対してρ≧δ≧ｃを満たしており、よってＦＭの局所的な集合Ｄにおいてもこの境界∂Ｄがない場合は０でないといけないのである。Ｂ（１）－｛O｝、Ｂ（１）（螺旋のような無限被覆写像）を考えると結局Ｆ Ｍによる計量はそれぞれポアンカレ計量（ユークリッド幾何から現代幾何へｐ１１４）、|a|／｜ｘ｜ｌｏｇ｜ｘ｜＾２となる これはそもそもユークリッド幾何から現代幾何ｐ１６０ の凸ならばｃ＝ｄで結局Hirmert距離に一致する よりわかっていることである ここで疑問なのはＢ（１）－｛０｝の擬距離はどれくらいあるか？ Ｐ１０ 多重円板Ｄ上でＦＤは連続である Ｐ１０ 複素多様体上の小林微分計量ＦＭは上半連続である Ｗｉｋｉ 上半連続 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E9%80%A3%E7%B6%9A 関数論のききどころ Roydenの定理 証明の本質はＷｉｋｉに乗ってあるこれである 空でない集合 I で添字付けられた函数の族 fi: X → [−∞, ∞] が全ての添字 i について下半連続関数であり、f が fi たちの点ごとの上限、すなわち f ( x ) = sup i ∈ I f i ( x ) , x ∈ X {displaystyle f(x)=sup _{iin I}f_{i}(x),qquad xin X} f(x)=sup _{{iin I}}f_{i}(x),qquad xin X で定義されるものとするとき、fは下半連続である。全ての fi が連続であったとしても、f は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間（例えば距離空間）における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現 れる 上半連続の定理一覧 リッチフロー 大学院入試問題
- 19. 小林距離フィンスラー関数により定義した“長さみたいなもの”を小林擬距離という 関数ｐ１ 複素多様体上に小林擬距離ｄＭを定義しこれが本当の距離になるとき双曲多様体と呼ぶ Ｗｉｋｉ 双曲多様体の定義と同値だろうか？ 違うのである https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93 定曲率 −1 であるすべての完全、連結、単連結多様体は、実双曲空間 H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} と等長である。その結果、負の定曲率 −1 である任意の閉多様体 M の普遍被覆は H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} である。したがって、そのようなすべての M は、H n {displaystyle mathbb {H} ^{n}} {mathbb {H}}^{n} 上の等長写像の捩れのない離散群を Γ とすると、H n / Γ {displaystyle mathbb {H} ^{n}/Gamma } {mathbb {H}}^{n}/Gamma と書くことが出来る。 P15 Ｍの不変被覆Ｍ^~がＢ（１）（ほかにＣとＣ+｛∞｝の場合がある）の時、小林双曲多様体となる Ｐ１４ M,Ｎを複素多様体、ｆ：Ｍ→Ｎを正則写像とする。 １ ｄＭ（ｘ、ｙ）≧ｄN（ｆ（ｘ）。Ｆ（ｙ）） ２ ｆが双正則ならば符号が成り立つ これはＰ４ Ｔ：Ｂ（１）→Ｂ（１）を正則写像（よって１次分数変換）とする。ｇr＝１のポアンカレ計量≧Ｔ*（gr=1のポア ンカレ計量）（ユークリッド幾何から現代幾何へｐ１５１の一般化） Kobayashi Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings に描かれてあることを説明する
- 20. 双曲多様体か？示したいものは次の命題である Ｐ１８ Ｍをコンパクト多様体としＨ：Ｔ（Ｍ）→Ｒ+を任意のFinsler計量（つまりＦｉｎｓｌｅｒ 計量の公理をみたす）とする。Ｍｇが双曲的であるための必要十分条件は正則写像ｆ Ｃ→Ｍが存在しＨ（ｆ*（０））＝１、１≧Ｈ（ｆ*（ｚ））（ｚ∊Ｃ）であるｒことである Ｐ１８ （小平 複素多様体論 より複素多様体の直積も複素多様体になる）π：Ｂ（１） ｘＭ→Ｂ（１）を考えると０＜ε＜１が存在して｜ｚ｜＜εに対してπ^-1（ｚ）は双曲的であ る これらを示していく Ｐ１５ 補題 Ｍを複素多様体としＨ：Ｔ（Ｍ）：→Ｒ+を連続微分形式とし、ｆ：Ｂ（ｒ）→Ｍ は正則写像、Ｈ（ｆ*(0)≧Ｃ＞０とする。このとき正則写像ｇ：Ｂ（ｒ）→Ｍが存在する １ Ｈ（ｇ*（０））＝Ｃ／２ ２ Ｈ（ｇ*（ｚ））/ηｒ（ｚ）≧Ｃ／２ （ｚ∊Ｂ（ｒ）、ηｒ（ｚ）＝ｒ＾２/（ｒ＾２－｜ｚ｜＾２） ｐ９ Ｂ（a) のフィンスラー関数と同じである ３ ｆ（Ｂ（ｒ））⊃ｇ（Ｂ（ｒ）） 証明ではμが連続関数であることに注意すればいい（supの中身が連続の積ででき ているのでμも連続である） １．４．３が抜けていてどういうことかわからない状態です