少し複雑な積分問題

1. 以下の広義積分A , B , C を考える.
A= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)cos(𝑥2)𝑐𝑜𝑠(𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
B= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)sin(𝑥2)𝑐𝑜𝑠(𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
C= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)sin(𝑥2)𝑠𝑖𝑛(𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
( 1 ) 広義積分A B , C が収束することを示せ.
(2)A-Cを求めよ.
( 3 ) 2 B を求めよ.
( 4 ) A , C を求めよ.
A B C

2. 以下の広義積分A , B , C を考える.
A= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2
− 𝑦2
)cos(𝑥2
)𝑐𝑜𝑠(𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦
B= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2
− 𝑦2
)sin(𝑥2
)𝑐𝑜𝑠(𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦
C= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2
− 𝑦2
)sin(𝑥2
)𝑠𝑖𝑛(𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦
( 1 ) 広義積分A B , C が収束することを示せ.
証明
cos 𝑥2
𝑐𝑜𝑠 𝑦2
≦ 1より
|A|≦ −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2
− 𝑦2
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜋
同様に|B|≦π |C|≦π であり、また積分の中身は微分可能なのでA,B,Cは収束する。
(2)A-Cを求めよ.
証明
Cosxcosy-sinxsiny=cos(x+y)より
A-C= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)cos(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2 cos 𝑟2 𝑑𝑟
ここで部分積分を行えば
=2π{[exp(-𝑟2
)/2]0
∞
＋ 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2
𝑠𝑖𝑛 𝑟2
𝑑𝑟}=2π 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2
𝑠𝑖𝑛 𝑟2
𝑑𝑟
=2π{[exp(-𝑟2
)/2]0
∞
＋ 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2
𝑐𝑜𝑠 𝑟2
𝑑𝑟}=2π{1/2-(A-C)}
A-C=π/2

3. 以下の広義積分A , B , C を考える.
A= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)cos(𝑥2)𝑐𝑜𝑠(𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
B= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)sin(𝑥2)𝑐𝑜𝑠(𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
C= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2
− 𝑦2
)sin(𝑥2
)𝑠𝑖𝑛(𝑦2
)𝑑𝑥𝑑𝑦
( 3 ) 2 B を求めよ.
証明
sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y)であり、Bの被積分関数はxとyを取り替えても値は変わ
らないので、
2B= −∞
∞
−∞
∞
𝑒𝑥𝑝(−𝑥2 − 𝑦2)sin(𝑥2＋𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2 sin 𝑟2 𝑑𝑟 = 2/π
( 0
∞
𝑟𝑒𝑥𝑝 −𝑟2
sin 𝑟2
𝑑𝑟=Iである。)
( 4 ) A , C を求めよ.
証明
J= −∞
∞
𝑒𝑥𝑝 −𝑥2 co𝑠 𝑥2 𝑑𝑥、K= −∞
∞
𝑒𝑥𝑝 −𝑥2 s𝑖𝑛 𝑥2 𝑑𝑥
とすると、A,B,CはA=𝐽2, B = JK, C = K2と書ける。(2),(3)より、
𝐽2 − 𝐾2 =
𝜋
2
, 𝐽𝐾 =
𝜋
4
→ 𝐽4 + 𝐾4 =
3
8
𝜋2, 𝐽4 𝐾4 =
𝜋4
256
よって、𝐽4
, 𝐾4
は２次方程式𝑡2
−
3
8
𝜋2
𝑡 +
𝜋4
256
の解となる。
t=
2±1
4
𝜋
2
𝐽2
− 𝐾2
=π/2>0より𝐽2
> 𝐾2
>0であるから、
A=𝐽2
=
2+1
4
𝜋 , C = K2
=
2−1
4
𝜋