２つのトーラスの合体

1. R3 において,xz平面上の円周S1 : (x−1)^2+z^2 =1を,z軸に平行な直線x=−1,
y=0の 周りに回転して得られるトーラスを T1 とする.
また, xy 平面上の円周 S2 : (x+1)^2 + y^2 = 1 を, y 軸に平行な直線 x = 1, z
= 0 の周りに回転して得られるトーラスを T2 とする.
(1) T1 と T2 の共通部分 T1 ∩ T2 = S1 ∪ S2 の整係数ホモロジー群を求めよ.
(2) T1 と T2 の和集合 T1 ∪ T2 の整係数ホモロジー群を求めよ.

2. R3 において,xz平面上の円周S1 : (x−1)^2+z^2 =1を,z軸に平行な直線x=−1, y=0の 周りに回転して得られるトーラスを T1 とする.
また, xy 平面上の円周 S2 : (x+1)^2 + y^2 = 1 を, y 軸に平行な直線 x = 1, z = 0 の周りに回転して得られるトーラスを T2 とする.
(1) T1 と T2 の共通部分 T1 ∩ T2 = S1 ∪ S2 の整係数ホモロジー群を求めよ.
S1∩S2=1点であることに注意してマイヤービートリスを使って計算すれば良い。
H2(T1∩T2)=0 H1(T1∩T2)=Z+Z H0(T1∩T2)=0
(2) T1 と T2 の和集合 T1 ∪ T2 の整係数ホモロジー群を求めよ.
A=T1 B=T2 X= T1 ∪ T2とする。
H2(A∩B)→H2(A)+H2(B)→H2(X)→H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)→H1(X)→H0(A∩B)→H0(A)+H0(B)→H0(X)→0
0 Z Z Z+Z Z+Z Z+Z Z Z Z
I j j i I j (j-j,i-i)
H2(A)+H2(B)→H2(X)が単射でH1(A∩B)→H1(A)+H1(B) のkerは０であるからH2(X)＝Z＋Z
H1(A∩B)→H1(A)+H1(B)のImはH1(A)+H1(B)→H1(X)のkerよりker(H1(A)+H1(B)→H1(X))=Z+Z
よってIm(H1(A)+H1(B)→H1(X))=Z+Z+Z+Z/Z+Z=Z+Z
H1(X)→H0(A∩B)のImはH0(A∩B)→H0(A)+H0(B)のker=0であることからIm(H1(X))=0
よってH1(X)=Z+Z
H0(X)=Z H1(X)=Z+Z H2(X)=Z+Z