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2021年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2021. 12. 3)

関西大学総合情報学部・画像情報処理（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/

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2021年度秋学期　画像情報処理 浅野　晃 関西大学総合情報学部 逆投影法による再構成 第11回
投影定理の復習
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で２次元関数が再構成できる
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった　→さてどうした？
逆投影法💡💡
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 x y f(x, y)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk]
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h(θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y−y √ (x−x)2+(y−y)2 = sin−1 x−x √ (x−x)2+(y−y)2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって コンヴォリューションになっている
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 周波数0の成分は
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fx F(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s s g(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影定理より
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 s = x cos θ + y sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ)
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換 |ξ|Gθ(ξ) ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ĝ(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を，「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから，逆投影
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない
17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ĝ(s, θ) ≡ ĝ(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ĝ(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
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17 2021年度秋学期　画像情報処理　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax – ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax – ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える ※現代のCTスキャナでは， 初期状態の物体から計算で投影を求める→実際の投影と比較して，物体を修正する 　という操作を繰り返すことで，実際の物体に近づけていく，という方法もとられています

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