Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to データ解析2 線形代数の復習
More from Hirotaka Hachiya
More from Hirotaka Hachiya (18)
データ解析2 線形代数の復習
- 1. データ解析 第2回 2018年4月19日 八谷 大岳 1
- 3. 内容：線形代数の復習 6 行列の基礎 行列の定義と応用例 行列演算の基礎 行列式、階数、逆行列 固有値と固有値ベクトル
- 4. 行列の定義 7 スカラー値aijを長方形上に配置 第 i 行(row) 第 j 列(column) i行j列の要素(element) 行：m個 m×n行列(matrix) 列：n個 𝑎𝑎11 ⋮ 𝑎𝑎𝑖𝑖1 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑗𝑗 ⋮ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑗𝑗 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
- 5. 行列とベクトルの関係 8 m x n行列は、n個のm次元の列ベクトルを配置 同様にn x m行列は、m個のn次元の行ベクトルの配置 m次元の列ベクトル: 𝐀𝐀 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 = (𝒂𝒂1, 𝒂𝒂2 ⋯ , 𝒂𝒂𝑛𝑛) 𝒂𝒂2
- 7. 行列の応用：表データ 10 行：データ点（例：学生Aのデータ） 列：属性（例：身長、体重、胸囲） 身長 体重 胸囲 170 60 80 167 52 93 174 57 85 181 70 80 171 62 70 171 66 95 168 54 85 学 生 ７ 人 分 の デ ー タ 属性が３つである 37 8554168 9566171 7062171 8070181 8557174 9352167 8060170 × =A 行列で表現 行列は大文字の太字で表現
- 8. 内容：線形代数の復習 11 行列の基礎 行列の定義と応用例 行列演算の基礎 行列式、階数、逆行列 固有値と固有値ベクトル
- 9. 正方行列とトレース（Trace） 12 正方行列：行数と列数が等しいの行列 トレース（trace）：対角要素の和 対角要素 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐀𝐀 = � 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐀𝐀 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 行数：n 列数：n
- 10. 単位行列（Identity matrix） 13 単位行列：対角成分が全て1、他の成分が全て0の正方行列 n次元単位行列のトレースは、n ≠ = = )(0 )(1 ji ji ijδ I = 1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 1 = 𝛿𝛿11 𝛿𝛿21 ⋮ 𝛿𝛿𝑛𝑛𝑛 𝛿𝛿12 𝛿𝛿22 ⋮ 𝛿𝛿𝑛𝑛𝑛 ⋯ ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ 𝛿𝛿𝑛𝑛1 𝛿𝛿𝑛𝑛𝑛 ⋮ 𝛿𝛿𝑛𝑛𝑛𝑛 ただし、δij は“クロネッカーのデルタ”
- 12. 行ベクトルと列ベクトルの積 15 行ベクトルと列ベクトルの積（内積）：スカラー 列ベクトルと行ベクトルの積：行列 つまり、 𝐚𝐚𝚻𝚻 𝒃𝒃 = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1+ 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2+ ⋯ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝒃𝒃 𝐚𝐚𝚻𝚻 = 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 𝑎𝑎1 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑎𝑎2 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑏𝑏1 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏2 𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝐚𝐚𝚻𝚻 𝒃𝒃 ≠ 𝒃𝒃 𝐚𝐚𝚻𝚻
- 13. 行列と列ベクトルの積 16 行列と列ベクトルの積は、列ベクトル 一方、行ベクトルと行列の積は、行ベクトル 𝐀𝐀𝒃𝒃 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 ⋮ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = ∑𝑗𝑗=1 𝑛𝑛 𝑎𝑎1𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑗𝑗 ∑𝑗𝑗=1 𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑗𝑗 ⋮ ∑𝑗𝑗=1 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑗𝑗 𝑏𝑏𝑗𝑗 各要素は線形和 𝒃𝒃𝚻𝚻 𝐀𝐀 = ∑𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑖 ⋯ ∑𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑖𝑖
- 14. 𝐀𝐀’=𝐀𝐀𝚻𝚻 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 ⋮ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 𝑎𝑎 𝑚𝑚2 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐀𝐀= 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚 転置行列 17 転置：行と列の入れ替え 転置の記号は、プライム（’）、トランスポーズ（T）と呼ぶ 対象行列の場合： n × m行列m × n 行列 転置 𝐀𝐀’= 𝐀𝐀
- 15. 行列演算のレシピ 18 和・スカラー倍 積 交換法則：A + B = B + A 結合法則：(A + B) + C = A + (B + C) 分配法則：(k+l)A = kA + lA 分配法則：k(A + B) = kA + kB 結合法則：(kl)A = k(l)A 結合法則：(AB)C = A(BC) 分配法則：A(B + C) = AB + AC 分配法則：(B + C)A = BD + CD αはスカラー： (αA)B = α(AB) = A(αB)
- 16. 行列演算のレシピ 続き 19 転置 行列演算の資料としては、「The Matrix Cookbook」が有名 http://coin.wne.uw.edu.pl/pbiernacki/matrix_cookbook.pdf (A’)’ = A (A + B)’ = A’ + B’ (kA)’ = kA’ (AB)’ = B’A’ (ABC)’ = C’B’A’
- 17. 内容：線形代数の復習 20 行列の基礎 行列の定義と応用例 行列演算の基礎 行列式、階数、逆行列 固有値と固有値ベクトル
- 18. 行列式 21 行列式：正方行列の列ベクトルにより構成される立体の体積 2次元の行列式の計算式： 𝐀𝐀 = det(𝑨𝑨) = 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 𝑏𝑏3 𝑐𝑐1 𝑐𝑐2 𝑐𝑐3 𝐀𝐀 = det 𝑨𝑨 = 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑑𝑑 乗算して符号が正 乗算して符号が負 (a1,a2,a3) (b1,b2,b3) (c1,c2,c3)
- 19. 行列式の図形を用いた解釈（2次） 22 2次正方行列の行列式： 2つの列ベクトルが張る平行四辺形 平行四辺形の面積： 行列式は、列ベクトルが張る平行四辺形の符号付きの面積 ２つの列ベクトルが平行だった場合は、平行四辺形を構成できないので 行列式は０になる 𝐀𝐀 = 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝒗𝒗 = 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝒖𝒖 = 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑠𝑠 = abs(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏) abs:絶対値 𝑠𝑠
- 21. 3次の行列式の覚え方 24 サラスの公式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 乗算して符号が正 乗算して符号が負
- 22. 行列式の図形を用いた解釈（3次） 25 3次正方行列の行列式 3つの列ベクトルが張る平行6面体 3次の行列式は平行6面体の符号付きの体積に等しい = = = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ,, c c c b b b a a a cba 333 222 111 cba cba cba A = (a1,a2,a3) (b1,b2,b3) (c1,c2,c3)
- 23. 行列の階数（ランク） 26 階数：行または列ベクトルの中で線形独立なベクトルの個数 単純な線形独立な列ベクトルで構成される行列の例： 正規直交基底ベクトルで構成される行列 は線形（1次）独立 したがって、 ｘ y ｚ = 0 0 1 i = 0 1 0 j = 1 0 0 k o A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 𝒊𝒊, 𝒋𝒋, 𝒌𝒌 {𝒊𝒊, 𝒋𝒋, 𝒌𝒌} 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒊𝒊 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒋𝒋 + 𝒂𝒂𝟑𝟑 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝟑𝟑 = 𝟎𝟎必要十分条件 rank(𝐀𝐀) rank(𝐀𝐀)=3
- 24. 非正方行列の階数 27 行列の階数は、行と列の数の最小値以下 表データの例：階数は3以下。属性の線形独立度合いを表す 階数が行と列の数の最小値より低い場合、「ランク落ち」という また、ランク落ちしている場合、行列式は「0」になる 37 8554168 9566171 7062171 8070181 8557174 9352167 8060170 × =A 身長 体重 胸囲 170 60 80 167 52 93 174 57 85 181 70 80 171 62 70 171 66 95 168 54 85 3)3,7min( ),min()( == ≤ mnrank A
- 25. 演習1： 28 1. 行列Cのトレースと行列式を求めなさい 2. 行列Cの階数（ランク）を求めなさい タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 − = 40 164 C
- 26. 演習2： 30 1. 行列Cの行列式を求めなさい 2. 行列Cの階数（ランク）を求めなさい タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 = 41 164 C
- 27. 逆数と逆行列 32 スカラーの除算：逆数の乗算 行列の除算：逆行列の乗算 逆行列 が存在するとき、 は正則行列という 𝐀𝐀𝐀𝐀−𝟏𝟏 = 𝐈𝐈 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 ÷ 5 = 5 × 1 5 = 5 × 5−1 = 1 𝐀𝐀−𝟏𝟏 𝐀𝐀 𝐀𝐀 ≠ 0 必要十分条件𝐀𝐀が正則行列 の行列式が非ゼロ𝐀𝐀
- 28. 内容：線形代数の復習 33 行列の基礎 行列の定義と応用例 行列演算の基礎 行列式、階数、逆行列 固有値と固有値ベクトル
- 29. 行列によるベクトルの変換 34 行列Aと列ベクトルxの積：xをx’に変換 変換の種類：回転・平行移動・伸縮 0 𝒙𝒙′ = A𝒙𝒙 = 3 4 2 1 1 −1 = 1 3 𝒙𝒙𝒙 = A𝒙𝒙 𝒙𝒙
- 30. 固有値と固有ベクトルの例 35 ベクトルxが行列Aの固有ベクトルの場合 変換後のx’：ベクトルxの大きさだけが変化（方向は変化無し） 固有値：ベクトルxからx’への拡大または縮小率 ： の固有ベクトル 𝒙𝒙𝒙 = A𝒙𝒙 𝒙𝒙′ = A𝒙𝒙 = 3 4 2 1 1 1 = 5 5 = 5 1 1 = 5𝒙𝒙 0 𝒙𝒙 𝒙𝒙 = 1 1 A 5 A： の固有値(スカラー)
- 31. 固有値問題 36 正方行列 の固有ベクトル と固有値 の条件: 固有値問題を解くことにより、固有ベクトルと固有値を求める から の逆行列が存在しない（正則行列ではない） 𝐀𝐀𝒙𝒙 = 𝛌𝛌𝒙𝒙 𝐀𝐀 𝒙𝒙 ≠ 𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝛌𝛌 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒙 = A𝒙𝒙 = 𝛌𝛌𝒙𝒙 (𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 固有値問題 𝑰𝑰：単位行列 𝒙𝒙 ≠ 𝟎𝟎 𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰 (𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)−𝟏𝟏(𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎
- 32. 固有値問題を解く 37 は正則行列ではないので、 の行列式はゼロ 次の手順で固有値問題を解き固有値・ベクトルを求める 1. を について解き固有値 を求める 2. を解き固有ベクトル を求める 𝐀𝐀 ≠ 0 必要十分条件𝐀𝐀が正則行列 の行列式が非ゼロ𝐀𝐀 𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰 𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰 |𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰| = 𝟎𝟎 |𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰| = 𝟎𝟎 𝛌𝛌 𝛌𝛌𝒊𝒊 (𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝒊𝒊 𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝒊𝒊
- 36. 演習3： 42 1. 固有値を２つを求めなさい 2. 固有ベクトルを求めなさい タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 A = 3 4 2 1
- 38. 固有値・固有ベクトルの性質2 47 固有値の和は、行列のトレースと一致 トレース：行列の対角成分の和 両者は一致する 固有値の和は ⇒ =+=+ =+= = 624 633 31 13 21 λλ trtrA
- 40. 演習4： 50 タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 𝐀𝐀 = 1 0.446 −0.56 0.446 1 −0.239 −0.56 −0.239 1 の固有値は 𝛌𝛌𝟏𝟏 = 1.843, 𝛌𝛌𝟐𝟐 = 0.768 である。 と𝛌𝛌𝟑𝟑 |𝐀𝐀| を求めなさい
- 41. 課題1 52 三次元空間上に3点A, B, Cがある。3点A,B,Cの位置ベクトル a, b, cは、tをパラメータとして次のように表される。 これらをベクトルを各列にもつ行列をMとする。 1. Mの行列式を求めなさい。 2. Mの行列式が0となるtを求めなさい。 3. t=1のとき、平行6面体OABCの体積を求めなさい。 [ ]cbaMcba = −= −= − = 1 1,1 2 , 0 3 t t t t
- 43. 課題3 54 以下の4点a, b, c, dの、ベクトル変換後の座標をそれぞれ求め よ。また、それらの点の関係を述べよ。 ' 1 2 ' 2 4 x x y y = 行列によるベクトル変換： 𝒃𝒃 = 1 1 𝒂𝒂 = 1 2 𝒄𝒄 = 2 1 𝒅𝒅 = 2 2
- 44. レポートの提出方法 55 演習レポート： タイトル「演習レポート」、日付・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載 課題レポート ： タイトル「課題レポート」、出題日・学生番号・氏名を用紙の一番上に記載 2ページ以上になる場合は、ホッチキス留め A4サイズの用紙を使用 一度に複数の課題レポートを提出する場合出題日ごとに別々に綴じる