1. Sistem
Persamaan Linear
dalam Matriks
Created by :
Desi Apriani Silaen (14-115-006)
Malida Hola Aprilyani (14-115-016)
Nurazizah (14-115-020)
Rafilita Susanti (14-115-022)
Assalammualaikum . Wr . wb 1
2. ELIMINASI GAUSS
Prosedur untuk mereduksi suatu matriks menjadi
bentuk baris-eselon tereduksi disebut eliminasi
Gauss-Jordan, sedangkan prosedur untuk
mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon
disebut elimininasi Gaussian.
Metode ini pada prinsipnya terdiri dari dua bagian :
Bagian A : (Eliminasi Maju) Reduksi beratahap dari
suatu sistem persamaan degenerasi tanpa solusi (yang
berarti bahwa sistem tidak memliki solusi) atau suatu
sistem ekuivalen yang lebih sederhana berbentuk
segitiga atau esselon
2
3. Disini kita mengilustrasikan secara terperinci mengenai eliminasi
gaus dengan menggunakan sistem persamaan linear berikut ini :
x – 3x -2z = 6
2x – 4y – 3z = 8
-3x + 6y + 8z = -5
Bagian A . Kita menggunakan koefisien l dari x persamaan pertama L
sebagai pivot untuk mengeliminasi x dari persamaan kedua dan dari
persamaan ketiga , ini dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Kalikan dengan pengali m = -2 dan kemudian tambahkan ke :
dengan kata lain , “gantilah dengan -2 + ” .
Kalikan dengan pengali m = 3 dan kemudian tambahkan ke :
dengan kata lain :. “Gantilah dengan 3 + ” . kedua langkah ini
menghasilkan
3
4. 4
(-2)�1 : -2x + 6y + 4z = -12 3�1: 3x – 9y – 6z = 18
�2 : 2x – 4y – 3z = 8 + �3 : -3x + 6y + 8z = -5 +
�2 baru : 2y + z = -4 �3 baru: -3y + 2z = 13
Maka sistem aslinya digantikan dengan sistem baru berikut ini :
�1 = x-3y-2z = 6
�2 = 2y + z = -4
�3 = -3y +2z = 13
(perhatikan bahwa persamaan �2 dan �3 membentuk subsistem dengan satu
persamaan lebih sedikit dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit
dan juga satu variabel tidak-diketahui lebih sedikit disbanding sistem
aslinya)
5. 5
Selanjutnya kita menggunakan koefisien 2 dari y pada
persamaan kedua (baru) �2 sebagai pivot untuk
mengeliminasi y dari persamaan ketiga (baru) �3. Ini
dilakukan dengan cara sebagai berikut :
(1) Kalikan �2 dengan pengali m = 3/2 dan kemudian
tambahkan ke �3; dengan kata lain, “gantilah �3
dengan ½�2 + �3" (atau, “gantilah �3 dengan 3�2 +
2�3”, yang akan menghindari munculnya pecahan)
Langkah ini mmenghasilkan :
½ �2 : 3y + 1/2z = -6 3�2 : 6y + 3z = -12
�3 : -3y + 2z = 13 atau 2�3 : -6y + 4 z = 26
�3 baru : 7/2 z = 7 �3 baru : 7 z = 14
6. 6
Penerapan Matriks
2.2.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel dengan Matriks
Bentuk umum =
𝑎� + 𝑏� = �
𝑐� + 𝑑� = �
Sistem persamaan linear diatas bila dinyatakan dalam
notasi matriks :
ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀቀ
�
�ቀ= ቀ
�
�ቀ
Penyelesaiannya adalah :
ቀ
�
�ቀ= ቀ
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
ቀ
−1
ቀ
�
�ቀ
ቀ
�
�ቀ=
1
𝑎𝑑 −𝑏𝑐
ቀ
𝑑 – 𝑏
– 𝑐 𝑎
ቀቀ
�
�ቀ