1. §1−2 向 量 的 基 本 應 用
(甲)向量的分解與組合
本節所要使用的工具是 1-1 中所提到的幾個工具：
(a) 向 量 的 加 減 法 、 係 數 積
 加 減 法 加 分 解 ( 可 用 任 意 點 作 分 解 )
=+ ( 加 法 分 解 )
=− ( 減 法 分 解 )
 係 數 積 係 平 行 與 三 點 共 線
平 行 ： =r⇔ 與 同 向 或 反 向
(b) 向 量 的 內 積 ：
求 夾 角 ： 求 =||||cosθ
長 度 化 內 積 ： || 2 =⋅
與垂直的充要條件與垂=0
(1) 分 點 公 式 與 共 線 的 條 件 ：
~1−2−1~

2. 設 點 P 在 線 段 AB 上 ， 且 AP ： PB=m ： n ， 則 對 任 一 點 O
恆 有 = + 。
證 明 ： 因 為 P 在 線 段 AB 上 ， 且 m
A AP ： PB=m ： n
n
P
所 以 =
B+=(+)
=(1−)+
O ⇒= +
討 論 ：
(a)分點公式中 O 為任意點，如令 O=A，則=，這也是一個很好用的
分 點 公 式 。
AP
(b)根據係數積的定義，//，所以=t，且 =，與同向，故可知=。所
AB
以同一個線段上的三點，只要知道其線段長度比，彼此形成的向量
就 可 以 互 相 表 示 。
(2)設 A,B,P 三點共線的充要條件為能找到二數三,β，而且，+β=1，
使 得 =α +β 成 立 。
[ 證 明 ] ：
(⇒) 因 為 A,B,P 三 點 共 線 ， 所 以 可 找 到 一 個 實 數 t ， 使 得 =t⋅
⇒ +=t(+)
⇒=(1−t)+t
因 此 取 因 =1−t ， ， =t ， ， +β=1
⇒=α +β
(⇐) 因 為 因 +β=1 ， =α +β
所 以 =α +β
=(1−β)⋅+β
⇒+=β(+)
⇒=β⋅
⇒A,B,P 三點共線。
~1−2−2~

3. 討 論 ：
設 P 點 在 AB 上 ， 根 據 (2) 的 結 論 ， 可 找 到 的 ， ， 使 得 =α +(1−α)
α>1
0≤α≤1 ， 則 P 在 線 段 AB 上
A 0≤α≤1
α>1 ， 則 P−A−B
B α<0
α<0 ， 則 A−B−P
α=0 ， 則 P=B ， ， =1 ， 則 P=A
1. 直線 AB 上有一點 P，滿足 AP：PB=3：2，O 為任一點，
若=x⋅+y⋅，則請問數對(x,y)=？Ans：(x,y)=(,)或(−2,3)
2. ∆ABC 中，D 是中點，E 點在上，且：=2：1，與交於 P，
(1)設 =x⋅+y⋅，求 x,y。(2)求 BP：PE (3)求 DP：PC
Ans：(1)x= ,y= (2)3：1 (3)1：1 C
E
P
A D B
~1−2−3~

4. 3. 如右圖，如ABC 中，D 在上，BD：DC=2：3，P 在上，AP：DP=2：1，
若=m⋅+n⋅，=k⋅+l⋅，則數對(m,n)=？ (k,l)=？
Ans：(m,n)=(,)，(k,l)=(,) A
P
B D C
4. 設設ABC 中，=6,=4,∠BAC=60°，D 在上，且=⋅，則=？
Ans：
1. 設 點 P 在 直 線 AB 上 ， 且 ： ＝ 4 ： 11 ， 若 =γ ，
則 γ=__________。Ans：或
2. 若 A 、 B 、 C 三 點 共 線 ， 且 5=(2t−1)+(3t−4) ，
求實數 t 的值。 Ans：t=2
3. O,A,B 三 點 不 共 線 ， P 點 在 直 線 AB 上 ， 但 不 在 線 段 上 ，
且：=5：2，設=x+y，求 x,y。Ans：x=,y=
~1−2−4~

5. 4. 右 圖 平 行 四 邊 形 ABCD 中 ， AE=EF=FG=GB ， DH=HC ， 則
H
(1)−= D C ？
(2)=
(3)= +
Ans ： (1)(2) (3) 、
A E F G B
5. △ABC 中，中A=60°，=b，=c，D 點在上，且=，求之長(以 b,c 表之)
Ans：
6. 設 O,A,B 三 點 不 共 線 ， 若 =4 ， =5 ，
令 AD 與 BC 交 於 一 點 E ， 若 =x+y ， 求 x,y 。
Ans：x= , y=
7. △ OAB 中 ， 點 C ， D 分 別 在 與 上 ， 且 ： ＝ 5 ： 2 ，
： ＝ 3 ： 4 ， 中 點 為 M ， 直 線 OM 與 交 於 N ， 則 ：
(1) ＝ __________ ＋ __________ 。
(2) ＝ __________ ＋ __________ 。 Ans ： (1), (2),
(乙)向量與三角形的心
(1) 三 角 形 的 重 心 與 內 心 ：
∆ABC 中 ， G 為 ∆ABC 的 重 心 ， O 為 任 何 一 點 ， 則
(a)=(++)
(b) 令 O=A ， 則 = (+) 。
(c)G 為 為 ABC 的 重 心 ( 令 O=G) ⇔ += 。
∆ABC 中 ， 三 邊 、 、 之 長 分 別 為 c,a,b ， I 為 為 ABC 之 內 心 ，
O 為 任 何 一 點 。
(a)= ++
(b) 令 O=I ， 則 =+
~1−2−5~

6. 5. ∆ABC 中，O 為任意點
(1)若 G 為為ABC 的重心，試證：=+。 A
(2)證明：=(++)
(3)試證：G 為為ABC 的重心 ++=。
G
B C
6. ∆ABC 中，=5，=6，=7，G、I 分別為其重心、內心，
若=α⋅+β⋅，則數對(α,β)=？ Ans： (,) A
I
B C
~1−2−6~

7. 7. 設 P 為為ABC 內部一點，若 3+4+5=，
則則PAB：：PBC：：PCA=5：3：4。
A'
A
B C
B'
C'
8. ∆ABC 中 ， 三 邊 、 、 之 長 分 別 為 c,a,b ， I 為 為 ABC 之 內 心 ，
O 為 任 何 一 點 。 試 證 明 ：
(a)= ++
(b)=+
9. 試 證 ： ++=⇒G 為 為 ABC 的 重 心 。
[ 提 示 ： 令 D 為 上 的 中 點 ， 因 為 +=− ， +=2
所以所=2⇒A、G、D 三點共線]
10. 在 在 ABC 的 三 邊 、 、 上 分 別 取 D 、 E 、 F 三 點 ， 使 得 =4
=2 ， =2 。 設 G 為 為 DEF 的 重 心 ，
=α+β ， 則 ， = ？ ？ = ？ Ans ： ： = ， ， =
[提示：=(++)，再利用題目的條件，將(++)化成與、有關的組合]
11. 設 P 為 為 ABC 內 部 一 點 ， 若 l+m+n= ，
則則PAB：：PBC：：PCA=n：l：m。試證之！
~1−2−7~

8. (2)三角形的外心與垂心：
8. ∆ABC 中，O 為為ABC 外心，設=4，=6，=8，則
(1)⋅= ，(2)⋅= ， A
(3)若=x +y ，則 x=？y=？
Ans：(1)4 (2)8 (3)x=，y=
O
B C
9. ∆ABC 中，=4,=6,=2，H 為為ABC 之垂心，
(1)試證：試=⋅=⋅。
(2)若=x +y ，則 x=？y=？ Ans：(2)x=, y=
A
H
B C
~1−2−8~

9. 10. ∆ABC 中，=4，=3，，A=60°，，於 H，且=x⋅+y⋅，求 x,y 之值。 Ans：
x=，y= A
B H C
12. 設 E 為 為 ABC 的 外 心 ， H 為 為 ABC 的 垂 心 ， 且 =4 ， =5 ， =6 ，
(1) 若 =α+β ， 求 ， 、 、 之 值 。 Ans ： ： = ， ， =
(2)若=x⋅+y⋅，求 x,y 之值。Ans：x=，y=
(丙)向量方法證明幾何問題
(1) 基 本 認 識
利用已學過的向量的加法、減法、係數積與內積運算，來求證平面幾何問題，
重 要 原 理 說 明 如 下 ：
 加 減 法 加 分 解 ( 可 用 任 意 點 作 分 解 )
=+ ( 加 法 分 解 )
=− ( 減 法 分 解 )
 係 數 積 係 平 行 與 三 點 共 線
平 行 ： =r⇔ 與 同 向 或 反 向
=r⇔A,B,C 共 線 共 =α+β 且 且 +β=1
 內 積 內 長 度 與 垂 直
求 夾 角 ： 求 =||||cosθ
長 度 化 內 積 ： || 2 =⋅
與 垂 直 的 充 要 條 件 與 垂 =0
~1−2−9~

10. (2) 幾 何 問 題 可 以 使 用 向 量 證 明 的 重 要 題 。
 三 角 形 兩 邊 中 點 連 線 定 理 。
 平 行 四 邊 形 的 對 角 線 互 相 平 分 。
 平 行 四 邊 形 (ABCD) 定 理 定 2
+ 2 =2( 2 + 2 )
 共 點 問 題 共 三 角 形 之 高 交 於 一 點 、 三 中 線 交 於 一 點 。
以上是向量在幾何應用的幾個典型的例子，它藉著圖形的位置關係，利用向量及
基本代數運算，做為證明幾何性質的工具，在證明過程中，在證明過程中，極少
需要輔助線–這是綜合幾何證明最困擾之處，也是向量證題的最大特點。
11. 設 D,E 分別是△ABC 二邊,的中點，求證：//且=
12. 設 ABCD 是一個平行四邊形，試證：2+2=2(2+2)
~1−2−10~

11. 13. H 為△ABC 平面上一點，求證若⊥，⊥，則⊥。（即證△ABC 之三高交於一
點）
~1−2−11~

12. 14. 設設ABC 之外心為 O，垂心為 H，重心為 G，
(1)試證：++=。
(2)若=x⋅+y⋅，試求實數 x,y 之值。
(3)證明：G、H、O 三點共線，且 OG：GH=1：2。
A
D
O
G
H
B M C
13. (1) 設 設 ABC 的 兩 中 線 、 相 交 於 G 點 ， 試 求 BG ： BE= ？
(2) 根 據 (1) 的 結 果 ， 試 證 ： 三 角 形 三 邊 的 中 線 交 於 一 點 。
Ans ： 2 ： 1
[提示：設提ABC 的三中線為、、，設與交於 G，與交於 G / ，由(1)之
結 果 可 以 證 明 G=G / 。 ]
14. 梯 形 ABCD 中 ， 設 E 、 F 分 別 為 、 的 中 點 ，
求證：=(+)。
15. 設、、為設ABC 的三中線，試證：++=。
16. 設 為 設 ABC 中 ， 上 的 中 線 ， 試 證 ： 2
+ 2 =2 2 + 2 。
[ 提 示 ： =(+) ， =(−)(−)
利用內積的定義計算 2|| 2 −|| 2 ]
~1−2−12~

13. 綜合練習
(1) 在在ABC 中，D 在上，BD：DC=3：2，P 在上，AP：PD=1：2，
設=l⋅+m⋅+n⋅(其中 O 為任一點)，求 l,m,n 之值。
(2) O、A、B、P 為平面上相異四點，下列那些情形會使得 P 點在直線 AB 上？
(A)+3= (B)=+ (C)4+3=12
(D)5=7−2 (E)+=。
(3) 平行四邊形 ABCD 中，E 為上一點，且 AE = 2 ED ，F 為上一點且=3，若與交
於點 P，且=x+y，
則(a)(x,y)=？ (b)DP：PF=？
(4) 設 K 為△ABC 內部之一點，使得△ABK：△ACK = 3：4，
而射線交於 D，若=x+y，
則 x = ，y = 。
(5) 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，
=，=2，若=x+y，
則數對(x,y)=________。
(6) 在在ABC 的三邊、、上分別 取 D、E、F 三點，使得 D 為中點，
=2，2=3。設 G 為為DEF 的重心，
=x+y，則 x=？y=？
(7) 設 G 為為ABC 之重心，P 為之中點，若=x⋅+y⋅，
試求實數 x,y 的值。
(8) 設正五邊形 ABCDE，其中心為 O，則：
(a) ＝________。
(b)設＝，＝，若＝r＋s，
則 r＝________，s＝_________。
~1−2−13~

14. (9) ∆OAB 中，=2，=3，=4，令=，=，則
(a)⋅之值為何？ (b)自頂點 O 作邊之垂線，令垂足為 H，
則=α+β，求，、、之值。
(10) 設 P 為為ABC 內一點滿足 2+=2(2+)，
求求ABP：：BCP：：ACP=？
(11) △ABC 中，=5，=6，=7，I 是△ABC 的內心(三內角平分線的交點)，(a)求分角
線的長，其中 T 在上。
(b)設=x+y，求 x,y。
(12) 梯形 ABCD， = 2，M 在 BC 上使得= 3，若= x+ y，則 x = ，y =
。
(13) 同一平面上，兩個三角形同ABC、、PQR，若下列三式同時滿足：
++=，++=，++=
(a)試證三頂點 P、Q、R 分別在、、邊上 。
(b)求求ABC：：PQR=？
(14) 試證：試的充要條件為|+|2=||2+||2。(回想畢氏定理與其逆定理)
(15) 試用向量的觀點證明：半圓內之圓周角為一直角。
(16) 證明：平行四邊形之對角線互相垂直 該平行四邊形為一菱形。
(17) ∆ABC 中，若中=⋅=⋅，試證，ABC 為一正三角形。
進階問題
(18) 設 G 為為ABC 的重心，過 G 做一直線 L 交、 於 P、Q，其中 P、Q 分別異於 A
點，求 + =？
~1−2−14~

15. (19) 四邊形 ABCD，若 4+5=6，則，ABC：：ABD=？
(20) 直角直ABC 中，斜邊上的高為，令=c，=a，=b，若=x +y ，則實數對(x,y)=？
用 b,c 表示
(21) 如右圖，△ABC 中，D，E，F 分別為三邊之三等分點，
若，， 兩兩分別交於 P，Q，R，
則＝x＋y，
數對(x，y)＝___________，
△PQR 和△ABC 面積比為____________。
P Q
(22) 如圖，在平行四邊形 ABCD 兩邊 BC、CD 向外分別作
正方形 BCNM、CDPQ。求證：AC⊥QN。
C
D
N
A B
M
綜合練習解答
~1−2−15~

16. (1) l=,m=,n= (2)(A)(B)(D) (3)(a) (,) (b)2：1 (4) (,) (5) (x,y)=(,)
(6) x=，y= (7) x=，y= (8) (a) (b)r=1,s= – (9) (a) (b)α=，，=[提示：(b)⊥且=−，
所以所=(α+β )⋅(−)=α+β=0 ⇒11α−21β=0，又因為，+β=1，可解得，、、之值]
(10) 1 ： 3 ： 2 [ 提示：利用例題 7 的結果 ] (11) (a) (b)x=,y=
(12) x=,y= (13) (b)3：1 [提示：(a)由滿足的條件，可求得=2，=2，=2] (14)提示：
|+| 2 =|| 2 +|| 2 ⇔ ⋅=0
A
C
(15)如圖，證明如=(+)(+)=0 B O D
(16)如圖，如=0 ⇔ (+)(−)=0 ⇔ ||=|| B
A O
(17) [提示：0=⋅−⋅=⋅(−)=(−)⋅(+)]
(18) 3 [提示：令=m，=n，因為=(+)=(+)，因為 P、G、Q 三點共線，+=1 ⇒+=3]
(19) 5：4[提示：設與相交於 O，令=t ⇒=(t)+(t)⇒因為 B、O、D 共線 C t= ⇒=+]
(20) x= y= [提示：求提，，]
4 1
(21) ( ， )；1：7
7 7
(22) [詳解] ⋅=(+)⋅(+)=⋅+⋅
(因為 AB⊥CQ，BC⊥CN)
=⋅+⋅
⋅=−||||cos∠DCN
⋅=||||cos∠BCQ
又因為又DCN=∠BCQ ⇒cos∠DCN=cos∠BCQ
⇒⋅=⋅+⋅=0
~1−2−16~