1. 1 曲線弧長
一開始在介紹積分的時候，通常說積分是在求曲線下面積。然而這樣的
說法，有點需要修正。求曲線下面積的確可將代表該曲線的函數作積分，
但反過來說，積分式並不一定都是在求曲線下面積。
回憶一下，當我們要求在區間 [a, b] 上的曲線下面積的時候，我們是先
分割、取樣、求和
n∑
i=1
f(x∗
i )Δxi (1)
接著再取極限
lim
n∑
i=1
f(x∗
i )Δxi (2)
如果這個極限存在，便是曲線下面積，並且將符號寫成
∫ b
a
f(x)dx (3)
也就是說，
∑
就是做離散情況的「加」；而
∫
則是在做連續狀況的「加」。
這兩個其實是一種「類推」（Analogy），都是「加」，只不過分別是在離散
或連續的情況。
如果我們將求和的式子作些修改，譬如說
n∑
i=1
x∗
i f(x∗
i )Δxi
意思是說，式子 1 中本來是將每個取樣 x∗
i
處，都求其高度 f(x∗
i
) 及該子區
間寬度 Δxi 並兩者相乘。現在則修改成，另外又乘上 x∗
i
自己。此時的情況
下，再取極限
lim
n∑
i=1
x∗
i f(x∗
i )Δxi
這極限若存在，便成了 ∫ b
a
xf(x)dx
1

2. 此時，這個積分式當然就不是 y = f(x) 這條曲線的曲線下面積 1
。如果式
子 1 改成
n∑
i=1
Δxi
這樣等於只是把每個區間寬度加起來，那麼不管有沒有取極限都會加成
[a, b] 區間的總長度 b − a。取極限以後就變成積分
∫ b
a
dx = b − a (4)
由此可知，積分式內若不寫被積分函數2
，便是將積分區域的長度積出來。
因為 dx 就是 x 的微小變化，那麼將所有的 dx 加起來就會是總變化 b − a。
當然，這簡直沒有實用性可言，我們直接 b − a 就好了，不會寫成這個積
分。但介紹這個的用意，其一是介紹並非用來求曲線下面積的積分，其二
是這類寫法到了之後學多重積分後，就變得較有用處。
我們現在便要來討論一種積分的應用，它不是在求曲線下的面積，而是
求曲線的弧長。我先這麼說，曲線弧長 S 就是
S =
∫ s1
s0
ds (5)
這與式子 4 相當類似，剛剛是把 x 的微小變化 dx 通通加起來，就成了 x 的
總變化 b − a。現在，ds 是弧長的微小變化，可稱之為微分弧長（diffential
arc）。所以式子 5 就是將微分弧長通通加起來，那當然就會是總弧長了。
但光是式子 5 這長相，我們還是不知道實際動手要怎麼計算。所以接下來
我再介紹，如何將積分式中的 ds 轉換為 dx，轉換完以後就變成跟以前做
的積分一樣，對 x 做積分，於是我們就會做了。
現在假如我想求，從 x = 1 到 x = 10 這段弧長，我們先標出曲線上
x = 1 和 x = 10 這兩點。
1
如果說 g(x) = xf(x)，你要說這積分式是 y = g(x) 這條曲線的曲線下面積也可以。但
若要與 f(x) 有關的話，就不是它的曲線下面積。
2
不寫其實也等於被積分函數是 1。
2

3. 接著在它們之間，多標幾個點，如下圖左。然而將點與點之間連接線
段，如下圖右。
將這些線段長加起來，就有一個近似的弧長。如果我們標更多點，再連
接起線段，將線段長加起來。此時的近似弧長，就更接近實際弧長
3

4. 接著再如此地不斷越取越多點，那麼這些連接線段便會越來越趨近原曲
線，於是線段和便會越來越趨近到曲線弧長。現在回頭來看剛剛所給的積
分式
S =
∫ s1
s0
ds
那個微分弧長 ds，其實就是無限靠近以後的兩點間「線段」。所以將這些
「線段」通通「加」起來，便會是
∫
ds 了。
接著我們再看，ds 該如何轉換成 dx。我們將其中一個微分弧長抓出來
看，並標出它的 x 分量和 y 分量
此時，根據畢氏定理，我們可知
ds =
√
dx2 + dy2
接著把 dx 抽出來，便成了
ds =
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
所以我們便得到求曲線弧長的積分式
4

5. 曲線 y = f(x) 在 x = a 和 x = b 之間的弧長為
S =
∫ x=b
x=a
ds =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
馬上來做做看例題。
求曲線 y = x
3
2 在 x = 1 到 x = 4 之間的弧長。
我們先求出其導函數
dy
dx
=
3
2
x
1
2
於是弧長就是
∫ 4
1
√
1 +
(
3
2
x
1
2
)2
dx =
∫ 4
1
√
1 +
9
4
x dx
接下來只要再設 u = 1 +
9
4
x 即可做出。
求曲線 y =
ex
+ e−x
2
在 x = 0 到 x = ln(3) 之間的弧長。
先求出其導函數
dy
dx
=
ex
− e−x
2
5

6. 於是弧長就是
∫ ln(3)
0
√
1 +
(
ex − e−x
2
)2
dx
=
∫ ln(3)
0
√
1 +
e2x − 2 + e−2x
4
dx
=
∫ ln(3)
0
√
e2x + 2 + e−2x
4
dx
=
∫ ln(3)
0
√(
ex + e−x
2
)2
dx
=
∫ ln(3)
0
ex
+ e−x
2
dx
=
ex
− e−x
2
ln(3)
0
=
3 − 1
3
2
有一種情況，我們會發現列出來的積分式不好處理。譬如說曲線是
y = x
2
3 ，其導函數是
dy
dx
=
2
3
x− 1
3 。於是求 x = 1 到 x = 8 之間弧長為
∫ 8
1
√
1 +
4
9
x− 2
3 dx
這個積分式看起來不好處理。設
2
3
x− 1
3 = tan(θ) 是做得出來，但這方法你不
一定想得到，想得到也會做很久。
回想一下，我們原本是將
ds =
√
dx2 + dy2
把 dx 抽出來，成了
ds =
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
那如果我們改成是將 dy 抽出來，那就成了
ds =
√
(
dx
dy
)2
+ 1 dy
6

7. 所以我們可以改成是做 y 方向的積分！於是剛剛的問題，我們可將 y = x
2
3
改寫成 x = y
3
2 。當 x = 1 時 y = 1；當 x = 8 時 y = 4。於是就可列出積分
式為
∫ 4
1
√
1 +
(
3
2
y
1
2
)2
dy
跟前面某例題簡直一模一樣，我是故意的。
曲線 x = g(y) 在 y = c 和 y = d 之間的弧長為
S =
∫ y=d
y=c
ds =
∫ d
c
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
或是我們全部合在一起寫：
曲線 y = f(x) or x = g(y) 在 x = a（y = c）和 x = b（y = d）之間
的弧長為
S =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
=
∫ d
c
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
求曲線 x = ln(sec(y)) 在 y = 0 到 y =
π
3
之間的弧長。
這題直接給 x = g(y)，因此我們直接就 y 方向列式看看。先求出其導函
數
dx
dy
= tan(y)
7

8. 於是弧長就是
∫ π
3
0
√
1 + tan2
(y) dy
=
∫ π
3
0
√
sec2(y) dy
=
∫ π
3
0
sec(y) dy
= ln
(
sec(y) + tan(y)
)
π
3
0
= ln( 2 +
√
3 )
非但是可以改寫成 y 方向，就連遇到參數式時我們都有辦法！只要改
將 dt 抽出即可
ds =
√
dx2 + dy2 =
√
(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
所以我來寫個大雜燴版本
求弧長
S =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
=
∫ d
c
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
=
∫ t2
t1
√
(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
不用擔心會搞混，我們只要記得 ds =
√
dx2 + dy2，然後再看要積誰就
把誰提出去，就這麼單純。
8

9. 計算圓半徑 r 的圓周長
我們可設參數式 x = r cos(t),y = r sin(t)，分別求導函數
dx
dt
= −r sin(t)
dy
dt
= r cos(t)
所以弧長便是
∫ 2π
0
√
r2 sin2
(t) + r2 cos2(t) dt
=
∫ 2π
0
√
r2 dt
=
∫ 2π
0
r dt = 2πr
相較之下，對 x 或 y 方向去積會稍較麻煩，你可以練習看看！
9