1. §1−3 對 數
(甲)對數概念的引進
(1) 對 數 的 引 入 ：
西 元 1554 年 ， Michael Stifel 在 << 整 數 算 術 >> 一 書 中 寫 出 兩 個 數 列 ：
~1−3−1~

2. 0.
… −2 −1 0 1 2 3 4 5 … x … y … x+y
2a … 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 … M … N … M×N
現 在 想 要 計 算 M×N ， 如 果 能 得 知 x,y 的 值 ( 或 是 近 似 值 ) ， 根 據 指 數 律 可 知 ：
M=2 x ，N=2 y ⇒ M×N=2 x ⋅2 y =2 x+y ⇒ 因此只要能得出上表就可得出 x+y 所對的值
M×N 。 這 樣 想 法 經 過 數 學 化 之 後 就 形 成 了 對 數 的 概 念 。
數學化
根據前面的想法，已知一個正數 M，我們想要定義一個符號來代表一數 x，使得
M=2 x ，而這個工作是由英國的納皮爾(John Napier 1550~1617)完成的。如何定義
呢 ？
給定底數 2，大家知道 2 的 3 次方等於 8。反過來說，如果已知 8，我們想知道 8
x
是 2 的 幾 次 方 ， 這 等 於 求 方 程 式 2 =8 的 解 ， 通 常 以 符 號 l o g 2 8 表 示 之 ， 即
3=log 2 8 。
2 3 =8 ⇔ log 2 8=3
10 2 =100 ⇔ log 10 100=2
1
3 2 = 3 ⇔ log 3 =
(2) 對 數 的 定 義 ：
如果 a>0，且 a≠1，當 a x =b 時，我們用符號 log a b 來表示 x，即 log a b=x，我們稱
log a b 為 以 a 為 底 數 時 b 的 對 數 ， b 稱 為 真 數 。
反 過 來 說 ， 如 果 log a b=x ， 那 麼 a x =b ， 即 a log a b = b 。
為 何 a 要 大 於 0 ， 不 等 於 1 呢 ？
我們在討論指數 a x 時，a 必須大於 0，所以規定對數時，我們也假設 a>0，，因為
a>0，a x >0 所以只有正數的對數才有意義。因此 b 必須大於 0，當 a=1 時，因為
1 2 =1，1 3 =1，那麼 log 1 1 到底要代表 2 或是 3 呢？這就無法定義清楚了，所以我們
不 以 1 為 底 數 ，
結 論 ：
(1) log a b 有 意 義 a>0 且 a≠ 1 ， b>0 。
(2) log a b=x ⇔ x
a =b ⇔ a log a b = b
~1−3−2~

3. 1. 將下列的 x 值用對數表示：
(1)4x= (2)5x=100 (3)8x=17
Ans：(1)log4 (2)log5100 (3)log817
2. 求下列各式的值：
1
(1)log31 (2)log0.5 (3)log2 (4)log101000 10 (5)log48 (6) 2 log 2 5
Ans：(1)0(2)1(3)(4) (5) (6)5
3. 求下列各式的 x。
(1)log25x= −2.5。 (2)logx9=5 (3)logx81 =
Ans：(1) (2) (3)27
1. 將 下 列 等 式 中 的 x 值 用 對 數 表 示 ：
(1)3 x =8 (2)(2.51) x =7 (3)5 x =17 。
Ans：(1)log 3 8 (2)log 2.51 7 (3)log 5 17
2. 求 下 列 各 式 的 值 ：
log 3 7 log 5 9 log a b
(1) 3 (2) 5 (3) a
Ans：(1)7 (2)9 (3)b
~1−3−3~

4. 1 1 3
3. 試 求 下 列 各 對 數 值 ： (1)log 1 4 (3)log 4 1 (4)log 2 2
3
(2)log 1 2
2 4
Ans：(1)2(2)(3)0(4)
4. 設 log 10 2=p，log 10 =q，則 10 3p+2q+1 =？ Ans：720
5. 試 求 下 列 的 x 值 ：
(1)log x 27=6 (2)log 7 x= (3)log x 8=7
Ans：(1)(2)7(3)
6. 設 log a b ＝ r ， a 是 不 等 於 1 的 正 數 ， 則 下 列 何 者 為 真 ？
(A) b ＞ 0 (B) r ＞ 0 (C) b ＞ 1 (D) r ＞ 1 (E) b ＝ a r
。
Ans：(A)(E)
~1−3−4~

5. (乙)對數的基本性質
設 a>0，且 a≠1，b,r,s 均為正數
(1) 設 a>0， 且 a≠ 1， b>0， a
log a b
=b
說明：log a b 代表一個數，a 的這個數次方就等於 b，換句話說，a 的 log a b
log a b
次方等於 b。寫成式子：x= log a b ⇔ b=a x = a
(2) log a 1=0， log a a=1
證明：因為 a 0 =1，a 1 =a。
(3) log a r+log a s =log a rs , log a r− log a s= log a
同底的對數相加等於真數相乘，同底的對數相減等於真數相除
log a r log s
證明：因為 a =r, a a =s，
log r log s log r + log a s
所以 rs= a a ⋅ a a = a a ⇒ log a rs=log a r+log a s
log a r − log a s
=a log a r
÷a log a s
=a ⇒ log a =log a r−log a s
(4) log a r t =t⋅ log a r (t 為 實 數 )
log r log r t ⋅log a r
證明：r= a a ⇒r t =( a )t= a
a
⇒ log a r t =t⋅log a r
1
(5) log a t r = log a r (t 為 實 數 )
t
1 1
⇒ log a t r = t log a r
log r log a r
證明：r= a ⇒r= (a t ) t
a
n
從(4) (5)可以得到： log a m b n = log a b 。
m
log c b
(6) log a b= ， 其 中 c>0， c≠ 1 (換 底 公 式 )
log c a
log 5 3 log 5 3 log 5 3
先觀察一個例子：log 2 3= log 5log 5 2 5 = log 2 ⋅log 5 5= log 2 。
5 5
log c b log c b log c b
證明：log a b= log c log c a c = log a ⋅log c c= log a 。
c c
1
(7) log a b= (b>0， b≠ 1)， log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = log a d (連 鎖 律 )
log b a
log b b 1
證明：由換底公式，log a b= log a = log a 。
b b
換底公式的用意：
只要 a 是異於 1 的正實數，a 都可以當對數的底數，所以對數的底數有無限多個。
當我們求對數值需要去查對數表時，是不是需要製作不同底數的對數表呢？接下
~1−3−5~

6. 來我們介紹換底公式，利用換底公式可以使對數值處理更容易。
對數的底數中，以 10 為底數較常使用。
我們想問 log 2 3 如何用 log 10 3 與 log 10 2 來表示？
計算要訣：
(1) 同 底 對 數 相 加 ( 減 ) ， 真 數 相 乘 ( 除 )
(2) 對 數 相 乘 考 慮 換 底 公 式 。
對數的計算
4. 計算下列各式：
log 7
(1) log 2 8 (2) ( 5 ) 5
(3) log 2 2
325 2
(4)log104−log105+2log10 (5)log4−2log4+3log4−log4
Ans：(1) 6 (2)7(3)2 (4)3(5)
~1−3−6~

7. 5. 試求下列各值：
log 4 27
(1)(log102)3+(log105)3+log105⋅log108 (2) + 3 log 9 1
4
log 2 3
(3) log 2 3 ⋅ log 7 64 ⋅ log 3 5 ⋅ log 5 49 (4) (log25+log40.2)(log52+log250.5)
Ans：(1)1 (2)2 (3) 12 (4)
7. 設 a 是 不 等 於 1 的 正 數 ， x ， y 為 正 數 ， 則 下 列 何 者 為 真 ？
(A) log a (x ＋ y) ＝ log a x ＋ log a y (B) log a xy ＝ log a x ＋ log a y
x
(C) log a (x － y) ＝ log a x － log a y (D) log a y ＝ log a x － log a y (E)
x log x
log a ＝ a 。Ans：(B)(D)
y log a y
8. 化 簡 下 列 各 式 ：
(1)log 10 −log 10 +log 10 (2)log 10 −log 10 +log 10 (3)log 3 54+log 3 6−2log 3 2
Ans：(1)2(2)0(3)4
9. 試 求 下 列 各 值 ：
log 3
(1) 2 − log 2 3 (2) 2 log 2 (3) log144 3 2 + log144 6 3 (4)
2
log 2 ( 3 + 5 − 3 − 5 )
999
k +1 log 4 27 log 5 16
(5) ∑ log (6) (7)
k =1 k log 2 3 log 25 8
Ans：(1)(2)(3)(4)(5)3(6)(7)
~1−3−7~

8. log 2 6 1
10. 5 log 2 5 +4 log5 4 =？。Ans：11
log c b log c a
11. 設 a,b,c 為正數，且 c≠1，試證 a =b
6. 由對數表知 log102=0.3010，log103=0.4771，log7=0.8451(皆為近似值)，試
求：
(1)log101 (2)log102 (3)log103 (4)log104 (5)log105
(6)log106 (7)log107 (8)log108 (9)log109 (10)log1010
7. 設 a=log102，b=log103，試將下列各數值以 a,b 表示：
3
(1)log624 (2)log2+log3 2 (3)log5 (4)log0.75100
Ans：(1) (2)+ (3) (4)
~1−3−8~

9. 8. 設 log23=a，log311=b，試以 a,b 表 log6644。Ans：
12. 設 log 3 4=a，則 log 6 72=______。(答案以 a 表之)Ans：
13. 設 a＝log 2 3，b＝log 3 11，以 a，b 表出(1) log 2 12＝ 。(2)
＋
1 2a
log 66 18＝ 。Ans：(1) 2＋a(2) 1＋a＋ab
對數與指數方程式
9. 求下列方程式之解：
(1)22x−7×2x+12=0 (2)23x−10×22x+31×2x−30=0
Ans：(1)x=2 或 log23 (2)x=1 或 log23 或 log25
~1−3−9~

10. 10. 解下列方程式：
3
(1)log6x+log6(x2−7)=1 (2) log 1 x + ( 2 log16 x ) −
=0
2
4 2
(3)log10x−6⋅logx10=1 (4) log10(10x+100)=+1+log102
Ans：(1)x=3 (2)x=8 (3)x=103 或(4) x=2
14. 試 解 下 列 方 程 式 ：
x
(1)1+log 4 (x−1)=log 2 (x−9) (2)log 3 (3 +6)=+log 3 5
(3)log 5 x+log 5 (x 2 −6)=1 (4) x log x = 10 8 x 2
1 + 21
Ans ： (1)x=17 (2)2 或 2log 3 2 (3)x=
2
(4)x=10 4 或 10 −2 [ 提 示 ： 等 號 兩 邊 取 對 數 log(x logx )=log(10 8 x 2 )]
綜合練習
(1) 陳老師證明了 x2=2x 有兩個正實數解及一個負實數解後，進一步說，此方程式
兩邊各取 log2，得 2 log2x=x；陳老師要同學討論此新的方程式有多少實數解？
小英說：恰有三個實數解；
小明說：恰有兩個正實數解；
小華說：最多只有兩個實數解；
小毛說：仍然有兩個正實數解及一個負實數解；
小芬說：沒有實數解。
請問哪些人說的話，可以成立？
(1)小英 (2)小明 (3)小華 (4)小毛 (5)小芬 (92 指定考科乙)
~1−3−10~

11. (2) 根據對數表， log 2 的近似值是 0.3010， log 3 的近似值是 0.4771。下列選項有
哪些是正確的？ (1) 10 > 9 (2) 10 < 12 (3) 10 > 11
9 10 12 10 11 10
(4) 方程式
10 = x 有一負根。(93 指定考科甲)
x 10
(3) 設 f(logx)=x，x>0 則 f(5)=(A)log5 (B)log510 (C)510 (D)105 (E)10 log5 。
(4) 下列哪些式子是正確的？
(A)log7(−3)2=2log7(−3) (B)log77=1 (C)log813=4 (D)log6(3+4)=log63+log64 (E)log
6
7 =log67
log 3 x
(5) 方程式 2 =的解是(A)x= (B)x= (C)x= (D)x=9。
(6) 2x+2log10(2+10−x)−log10(+10x+102x)= (A)2×10x (B)x⋅log10 (C)1 (D)2⋅log102
(E)2x+102x。
(7) 試化簡下列各式：
(a) log 2 2 163 4 (b) 2 2 log 2 3 (c)
log 4
(d)log2(log249)+log2(log72) (e) 3 2 log 3
(8) 試求下列各值：
(a) (log 2 3 + log 4 9)(log 3 4 + log 9 2)
1 1 3
(b) log 3 2 + log 3 − log 3 3 6
2 3 2
(c) (log 5 2 + log 25 8)(log 4 3 + log 2 27)(log 3 0.2 + log 9 5)
log 1 8
(d)(log29)⋅(log34)⋅( )
4
(9) 設 log102=0.3010，log103=0.4771。
(a)試求 log1020，log10，log10，log10 之值。
8 6
(b)比較 6 ,8 的大小。
− log 2 x
(10) 設 10 = ，求 x 之值。
~1−3−11~

12. 2 3 x − 2 −3 x
(11) 已知 2x=log23，則 x =？
2 + 2−x
(12) 試求下列二小題：
(a)若 a=log2，b=log3 ，則 log7.5=？ (log x=log10x)
(b)若 log(1+)=a，log(1+)=b，則 log2=？log7=？
56
(13) 若 log23=a，log37=b，試以 a,b 表示 log 42 9 =？
(14) 若 2x−1+2x=5x−1+5x，則(a)=？ (b)求 x 的值化為小數，小數點以後第一位為何？
(15) 方程式 logx+log(x−3)=1 與下列那一個方程式的「解」完全相同。
(A)logx(x−3)=1 (B)x(x−3)=10 (C)10x(x−3)=1010 (D)10x⋅10x−3=1010
(E)x>3，且 x(x−3)=10。
(16) 解下列各方程式：
(a)log(2x−3)+log(4x−1)=2log5
(b)2log(3x−1)+log(x+1)
(c)1+log4(x−1)=log2(x−9)
(d)4x−2x+3+15=0
(17) 解下列方程式：
(a)logx(x+3)− logx(x+6)=logx2
(b)xlogx=106x
(c)log8(8x+128)= + 1+log83
(18) 設設、、為方程式(logx)2−logx2−6=0 之二相異實根，則 logαβ+logβα=？
進階問題
(19) 在方程式 log2x+a⋅logx2+b=0 中，甲生誤寫 b，得二根為，，乙生誤寫 a，得二
根為，64，則 a=？b=？又正確解為何？
~1−3−12~

13. (20) α、、為方程式 x2+2xlog5+log2.5=0 之二根，求 10α+10β=？
(21) 設 a,b,c,d 為異於 0 的實數，且 2a=3−b=5c=，請證明： + =2( + )。
5 3
(22) 設 184x=32，23y=8，則 y − x =？
(23) 求 log22+log24+log28+…至第 100 項的和。
(24) (a)設 a,b 均為正數，證明：alogb=bloga。
(b)求解 2logx⋅xlog2−3⋅xlog2−21+logx+4=0。
綜合練習解答
1. (2)(3)
[ 解 法 ] ：
由 新 方 程 式 2 logx=2 x 思 考 ， 因 x 為 真 數 ， 所 以 x>0 。
⇔log 2 x 2 = x ， x>0
⇔x 2 =2 x ， x>0 ， 但 原 方 程 式 x 2 =2 x 有 二 正 一 負 實 數 解
故 2 log 2 x= x 恰有兩正實數解恰小明，小華說法正確。
2. (3) (4)
[ 解 法 ] ：
(1) 9 ⋅ log 10 = 9 < 10 ⋅ log 9 = 20 ⋅ log 3 = 9.542 ⇒ 10 < 910
9
(2) 12 ⋅ log 10 = 12 > 10 ⋅ log 12 = 10 ⋅ (2 log 2 + log 3) = 10.791
⇒ 10 > 12
12 10
(3) 11 ⋅ log 10 = 11 > 10 ⋅ log 12 = 10.791 > 10 ⋅ log 11 ⇒ 1011 > 1210 > 1110
令 f ( x ) = 10 − x ， 因 f (0) = 1 > 0 且 f (−1) = 10 − 1 < 0
x 10 −1
(4)
故存在實數 a ∈ (−1,0) 使得 f ( a) = 0 即 10 = x 有一負根。
x 10
3. (D)
4. (B)(E)
5. (A)
6. (D)
7. (a) (b)9 (c) (d)1 (e)2
8. (a)5 (b)−1 (c)−(d)−6
~1−3−13~

14. 9. (a)1.3010，0.7960，，0.6020，1.4080 (b) 6
8
<8 6
10. x=2
11.
12. (a)1-2a+b (b)log2= log7=
13.
14. (a) (b)2
15. (E)
16. (a)x= (b)x= (c)x=17 (d)x=log 2 3 或 log 2 5
17. (a)x=3 (b)x=或 1000 (c)x=2 或
18. 令 t=logx，原方程式可化為 t 2 −2t−6=0，因為，、、為原方程式
的 二 相 異 實 根 ， 所 以 logα 、 logβ 為 t 2 −2t−6=0 的 兩 根 ， 所 以
logα+logβ=2 ， (logα)(logβ)=−6
log α β+log β α= + =。
19. a=6,b=−5，x=4,8 [提示：可令 A=log 2 x]
20.
21. 提 示 ： 可 令
t=2 a =3 −b =5 c =⇒a=log 2 t，b=−log 3 t，c=log 5 t，=log 90 t，，=log t 2，
= −log t 3， = log t 5， = log t 90，再代入驗證即可
22. 3
23. 5050
24. (a)證明 log(a logb )=log(b loga ) (b)可令 A=2 logx =x log2 ，原方程式可化
為 A 2 −5A+4=0，解得 A=1 或 4，再解 x=1 或 100
~1−3−14~