Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT

Luận văn thạc sĩ
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------
Đỗ Đức Thành
TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG
GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2014

2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------
Đỗ Đức Thành
TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG
GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Hà Nội – 2014

3
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn thạc sĩ khoa học này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, tập thể cán
bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,
động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có
thể hoàn thành bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở khoa vật lý
đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng năm 2014
Học viên
Đỗ Đức Thành

4
MỤC LỤC
Mục lục…………………………………………….…………………………02
Danh mục hình vẽ……………………...…………..…………………………03
Mở đầu………………………..…………….…………….………………......04
Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…….................................……………….…07
1.1. Các biến Mandelstam………………………...………..….……...07
1.2. Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….………...………………10
1.2.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm…………...………………15
1.2.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm………………….16
Chương 2: Tán xạ electron-electron …. ..……………….………………...…18
2.1. Tán xạ electron-electron…………………………………………18
2.1.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm………………….………..22
2.1.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm…………………23
2.2. Tán xạ electron-positron...……………..………………………...25
2.2.1. Tiết diện tán xạ trong hệ khối tâm……………………….…..28
2.2.2. Tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm.……….......……30
Chương 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron ………………...33
3.1. Giản đồ Feynman ………………….……..............................…...32
3.2. Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng...........................34
3.3. Thế năng khi tính đến bổ chính một vòng……………......……...37
Kết luận……………………………………………………………..………..43
Tài liệu tham khảo……………………………………….……….………......45
Phụ lục A Metric giả Euclide………………………………….……………..46
Phụ lục B Các toán tử chiếu ……………………………...….……...……….50
Phụ lục C Tái chuẩn hóa………………...……………………………..…….56
C.1 Tái chuẩn hóa điện tích của electron …………………………..……57

5
C.2 Năng lượng riêng của photon ……………………………........…….62
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1 Các biến Mandelstam ……………………………………………………05
Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt .…………………………………..…...……08
Hình 2.1 Tán xạ electron-electron ............................................................................16
Hình 2.2 Tán xạ electron-positron ...........................................................................23
Hình 3.1 Giản đồ Feynman.......................................................................................30
Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron…………………...…31
Hình 3.3 Bổ chính một vòng cho thế năng giữa hai hạt ….………………………..39
Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không……………………………………………53
Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ……………..………………………….57
Hình C.2 Giản đồ năng lượng riêng của photon ……….………………………….58

6
MỞ ĐẦU
Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và
điện tích hạt là lý thuyết tái chuẩn hóa, đã được chứng minh vào giữa thế kỷ 20. [1],
[3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho các quá trình vật lý cụ thể vẫn
được nghiên cứu liên tục và phát triển bởi khi chúng ta tính đến cấu trúc bên trong
của các hạt cơ bản thì ta lại gặp các bài toán tương tự trong tương tác giữa các hạt
bên trong đó với nhau. Trong tự nhiên tồn tại bốn loại tương tác: tương tác điện từ,
tương tác yếu, tương tác mạnh và tương tác hấp dẫn, các công cụ tính toán định
lượng của tương tác điện từ-QED thường được vận dụng để mô phỏng và xây dựng
công cụ tính toán tương tự cho các dạng tương tác khác, hay tổ hợp giữa các dạng
tương tác kể trên dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa các
tham số vật lý tùy từng mô hình. Việc nghiên cứu quá trình vật lý cụ thể trong bổ
chính một vòng của QED là cần thiết và quan trọng, [8], [11].
Mục đích của bản luận văn thạc sĩ khoa học vật lý này dành cho việc nghiên cứu
quá trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( 2 2 ) khi tính đến bổ chính một vòng ở
đường trong trong QED.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu tham
khảo.
Chƣơng 1: Tiết diện tán xạ hai hạt. Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt các biến
số Mandelstam và công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua các biến này. Mục $1.2
dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể trên ở hệ khối tâm và
hệ phòng thí nghiệm.
Chƣơng 2: Tán xạ electron-electron. Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman
cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron-
electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ
electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm. Mục $2.2 dành cho
việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron. Cách tính tương tự như quá

7
trình tán xạ electron–electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron.
Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-positron.
So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy
hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển
từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách chuyển đổi dấu của chúng.
Chƣơng 3: Bổ chính một vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1
giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron-electron ở gần đúng
bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ. So với các gản đồ Feynman xét ở chương
trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa các hạt,
giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của trường electron-positron)
gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các giản đồ còn lại liên quan
đến tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ. Trong bản luận
văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ (c) và bỏ các giản đồ Feynman
còn lại. Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác giữa hai electron, các giản
đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng của
electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai electron. Mục $3.2 dành cho
việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu được tiết diện tán xạ vi phân
(3.6). Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa hai electron khi tính bổ chính
một vòng được giới thiệu ở mục $3.3.
Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương
hướng nghiên cứu tiếp theo.
Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử 1c  và
metric giả Euclide (metric Feynman) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn
là thực  0
,A A A

gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các
chỉ số  0,1,2,3  , và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-
chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.
   0 0 1 2 3
, , , ,
def
A A A A A A A A
  

(0.1)

8
Các véctơ phản biến là tọa độ:
   0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x
     

,
(0.2)
Các véctơ tọa độ hiệp biến:
   0 1 2 3, , , ,x g x x t x x x y x z t x 
           

(0.3)
Véctơ năng xung lượng:
   , , , ,x y zp E p p p E p
 

.
(0.4)
Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định bởi công thức:
0 0
AB g A B A B A B AB   
   
 
.
(0.5)
Tensor metric có dạng:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
g g

 
    
 
 
 
.
(0.6)
Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g g  và g g
  . Thành phần của véc
tơ hiệp biến được xác định bằng công thức sau:
A g A 
  , 0
0 , k
kA A A A   .
(0.7)
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

9
CHƢƠNG 1:
TIẾT DIỆN TÁN XẠ
Chương này dành cho việc dẫn những công thức cơ bản của tán xạ hai hạt [8].
Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố của S-matrận tán xạ, là một đại lượng phức.
Trước tiên ta xem xét quá trình 1 2 3 4p p p p   , mà ta gọi nó là tán xạ 2 2 . Tính
toán mang tính bất biến (biểu diễn qua các biến bất biến- u, s, t là các biến số
Mandelstam) của quá trình tán xạ 2 2 này sẽ là bài toán động học cơ sở của vật
lý hạt cơ bản. Trong chương này ta xem xét các đại lượng bất biến cho quá trình tán
xạ hai hạt vô hướng 2 2 , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi
phân cho quá trình này qua biên độ tán xạ . Viết biểu thức tiết diện tán vi phân này
trong hai hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm. Việc tổng quát hóa cho những quá
trình mà có spin sẽ không là vấn đề khó khăn nào.
1.1 Các biến Mandelstam
Chúng ta sử dụng cho quá trình tán xạ của hai hạt với hai hạt. Mọi công thức sẽ
trở nên đơn giản hơn nếu ta biểu diễn xung lượng của các hạt theo một tập hợp các
biến được gọi là biến Mandelstam. Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:
   
2 2
1 2 3 4s p p p p    , (1.1)
   
2 2
1 3 2 4t p p p p    , (1.2)
   
2 2
1 4 2 3u p p p p    , (1.3)
ở đây p1 và p2 là xung lượng 4 chiều của hạt đi vào và p3 ,p4 là xung lượng 4 chiều
của hạt đi ra. Vì vậy, s được hiểu là bình phương của năng khối lượng trung tâm (
bất biến khối lượng ) và t được hiểu là bình phương momen xung lượng chuyển đổi.
Trong giản đồ Feynman đối với tán xạ 2  2, s, t, u là cũng được sử dụng dưới
dạng kênh s, kênh t và kênh u.

10
p
p
3
4
p
p
2
1
t
s u
Hình 1.1 Các biến Mandelstam
1 2 3 4p p p p   kênh s,
1 3 4 2p p p p   kênh t,
1 4 3 2p p p p   kênh u,
(Các kênh ở đây đều mô tả tán xạ 1+23+4, chỉ khác cách trao đổi năng xung
lượng)
Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau
ở đây tương tác là sự trao đổi các lượng tử-các hạt giữa chúng, và bình phương các
xung lượng bốn chiều kể trên là biểu thức s, t, u tách ra theo thứ tự định sẵn.
Ví dụ: kênh s tương ứng với quá trình hai hạt 1, 2 tương tác kết hợp thành
một hạt truyền tương tác trung gian, cuối cùng sinh ra hai hạt 3 và 4, kênh s là cách
duy nhất có thể chỉ ra sự xuất hiện của cộng hưởng và một hạt mới với điều kiện
thời gian sống ở đây là đủ dài để ta có thể đo được trực tiếp. Kênh t trình bày quá
trình trong đó hạt 1 phát ra một hạt tương tác và cuối cùng trở thành hạt 3, trong khi
đó hạt 2 hấp thụ hạt tương tác và trở thành hạt 4. Kênh u là kênh t với việc đổi vị trí
giữa các hạt 3, 4. Các biến Mandelstam lần đầu tiên được đưa vào bởi nhà vật lý
Stanley Mandelstam vào năm 1938 .Trong giới hạn năng lượng cao và trong tương
đối tính, khi khối lượng nghỉ có thể bỏ qua , vì vậy ta có:
 
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2s p p p p p p p p      . (1.4)
Bởi vì: 2 2
1 1p m và 2 2
2 2p m . Vì vậy ta có thể viết:
1 2 3 4
1 3 4 2
1 4 3 2
2 2
2 2
2 2
s p p p p
t p p p p
u p p p p

  
  




11
Bây giờ ta sẽ đi chứng minh biểu thức sau đây đối với biến s, t, u:
2 2 2 2
1 2 3 4s t u m m m m      ,
ở đây mi là khối lưọng hạt thứ i. Với quá trình này, người ta cần sử dụng hai điều
kiện: trong gần đúng tương đối tính bình phương xung lượng bốn chiều của một hạt
là khối lượng của nó:
2 2
i ip m .
(i)
Và sự bảo toàn xung lượng bốn chiều:
1 2 3 4
1 2 3 4
p p p p
p p p p
   
    
, (ii)
Vì vậy:
 
2 2 2
1 2 1 2 1 22s p p p p p p     , (1.5)
 
2 2 2
1 3 1 3 1 32t p p p p p p     , (1.6)
 
2 2 2
1 4 1 4 1 42u p p p p p p     . (1.7)
Đầu tiên sử dụng biểu thức (i), ta viết lại các biến s, t, u như sau:
 
2 2 2
1 2 1 2 1 22s p p m m p p     , (1.8)
 
2 2 2
1 3 1 3 1 32t p p m m p p     , (1.9)
 
2 2 2
1 4 1 4 1 42u p p m m p p     , (1.10)
Cộng biểu thức (1.8), (1.9), (1.10), ta được:
  
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 3 1 4
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 1 2 3 4
3 2 2 2
2
s t u m m m m p p p p p p
m m m m m p p p p
        
       
Kết hợp biểu thức (ii) ta thu được biểu thức về mối quan hệ giữa 3 biến Mandelstam
là:
 
 
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 1
2
2
s t u m m m m m p p
m m m m m m
       
     
Như vậy ta đã chứng minh được:

12
2 2 2 2
1 2 3 4s t u m m m m      . (1.11)
Trong trường hợp tán xạ hai hạt, A + B → C + D, các biến Mandelstam được đưa
vào có dạng như sau:
 
 
 
2
2
2
,
,
,
A B
A c
A D
s p p
t p p
u p p
 
 
 
(1.12)
ở đây là p là các véc tơ mômen năng xung lượng 4 chiều và bình phương là một bất
biến Lorentz .Ví dụ 2
p g p p  
 . Lý thuyết có ưu điểm của các biến Mandelstam
là ở đây chúng bất biến Lorentz, với một vài giá trị là quán tính của hệ. Mặc dù vậy,
hơn nữa qua thực nghiệm nó là thông số giới hạn giữa năng lượng và góc tán xạ.
1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt
Chúng ta xét quá trình tán xạ xạ hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố
ma trận được xác định bởi công thức sau:
 4
intexp ( )S T L x d x  , (1.13)
Trong đó T là T-tích, int ( )L x là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa Lagrangian
tương tác sẽ được xem xét sau tùy thuộc vào bài toán cụ thể.
Như vậy để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận i fS f S i 
(S-ma trận). Hằng số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ, và việc tính toán quá trình vật
lý này ta tính toán theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
   4
| | 2f i f i f if S i P P M      , (1.14)
trong đó fP và iP là các tổng năng xung lượng của trạng thái cuối và đầu tương
ứng. f iM là biên độ tán xạ hai hạt 2 2 .

13
a a'
b b'
Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt
Yếu tố ma trận của phép chuyển dời từ trạng thái đầu i i  đến trạng thái cuối
f f  có dạng sau:
1i f ifS f S i f S i    
(1.15)
Số hạng thứ 2 ở vế phải tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman:
 f i fif S i p p R 
Với ' '
;f a b i a bp p p p p p   
fiR là biên độ tán xạ
Xác suất chuyển dời từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối do tương tác có công thức:
  
22 2
W 1fi fi f if S i R p p   
(1.16)
Theo định nghĩa hàm đenta:
 
/2
04 ,
/2
1
( ) lim
2
T
iqx
T V
T V
q dx d xe
 

 
  
 
 

(1.17)
Trong đó: f iq p p  . Từ đây ta có:
 
 
   
2
4 4 4
4 ,
,
4
4 4, ,
,
1
( ) ( ) lim
2
1
lim lim
2 2
iqx
T V
T V
T V T V
T V
q d q d q q e d x
VT
d x
 

 

 
 
  
  
 
  

(1.18)

14
Từ đây suy ra :
 
2
4,
( ) ( ) lim
2
f i f i
T V
VT
p p p p 

    
Biểu thức cho xác suất có dạng :
 
2
4,
W ( ) lim
2
fi fi f i
T V
VT
R p p

 
(1.19)
Thể tích V và khoảng thời gian T rất lớn, là thể tích và khoảng thời gian mà trong
đó có thể xảy ra quá tình tương tác. Nhân công thức trên với các yếu tố thể tích
' '
,a bd p d p
 
ta thu được xác suất để các hạt trong chùm hạt tới tương tác với nhau và
sinh ra các hạt ' '
,a b với xung lượng nằm trong khoảng
' ' ' ' ' '
, , ,a a a b b bp p d p p p d p          
     
và hình chiếu spin đã cho :
 
2 ' '
4,
dW ( ) lim
2
fi fi f i a b
T V
VT
R p p d p d p

 
 
(1.20)
Từ đây suy ra xác suất dời chuyển ở trong một đơn vị thời gian và một đơn vị thể
tích với điều kiện các phép dời chuyển xảy ra trong thể tích khá lớn và thời gian đủ
lâu
2 ' '
dW ( )fi fi f i a bR p p d p d p 
 
Dễ dàng nhận thấy rằng hai hạt tự do tương tác với nhau thì xác suất sẽ tỷ lệ nghịch
với thể tích chuẩn hóa V mà V có thể chọn tùy ý. Do đó để đặc trưng cho quá trình
tán xạ không phụ thuộc vào V ta cần phải chia xác suất tán xạ vi phân dWfi cho mật
độ dòng của các hạt tương tác đầu mà nó tỷ lệ nghịch với thể tích chuẩn hóa V. Đại
lượng được xác định như vậy được gọi là tiết diện ngang tán xạ vi phân và được ký
hiệu bằng
dWfi
d
J
 
(1.21)

15
Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm thì mật độ dòng J bằng tích mật độ dòng của
các hạt a, b trong một đơn vị thể tích nhân với vận tốc tương đối của hai hạt đó :
l l l
a b aJ v 
(1.22)
Trong cơ học tương đối tính, năng xung lượng của hạt được xác định bằng biểu
thức :
2
02 2
2 2
;
1 1
mv mc
p p E
v v
c c
  
 


 
Từ đây ta suy ra hệ thức giữa năng lượng, xung lượng và vận tốc của hạt tự do :
0
2
p v
p
c



Hệ thức này đúng với bất kỳ hệ quy chiếu nào, ví dụ trong phòng thí nghiệm ta có :
 
2 2 2
0
l
a a b a bl
a l
a a b
p p p m m
v
p p p

 

(1.23)
Mật độ dòng của các hạt a, b trước khi va chạm có thể viết dưới dạng :
 
 
2 2 2
a b a b
a b
a b
p p m m
J J J
p p


(1.24)
Ta có :
 
 
0 0 0 0
1 a b a ba b
a b a b
a b a b
p pp p
J J
p p p p
 
 
 
    
 
 
(1.25)
Vậy biểu thức cuối cùng cho mật độ dòng trước khi va chạm :
 
2 2 2
a b a b
a b
a b
p p m m
J
p p
 


(1.26)
Bây giờ ta viết yếu tố ma trận dưới dạng :

16
 
 
4
6 ' '
0 0 0 0
1 1
2
2
fi fi
a b a b
R M
p p p p



(1.27)
Ta đã tách từng thừa số
 
3/2
0
1 1
2 p
gắn liền với mỗi đường ngoài của giản đồ
Feynman và thừa số 
4
2 . Yếu tố ma trận là một vô hướng. Nếu chúng ta chuẩn
hóa véc tơ trạng thái để trong một đơn vị thể tích mật độ hạt
 
3
1
2
a b 

 , thì ta
có biểu thức cuối cùng cho tiết diện tán xạ vi phân sau :
   
' '
2
2 2 2 2
0 0
1 1
( )
2
a b
fi fi f i
a b
a b a b
d p d p
d M p p
p pp p m m
 

 

 
(1.28)
Hay có thể viết thành :
22
3 3
2
3 4 3 4
| | | || |
64 ( )
p d pd M
d F E E d E E


 

 
, (1.29)
với
22 2
3 33E p m 

và
22 2
4 44E p m 

.
Tính toán trong trường hợp tán xạ đàn hồi A + B → A + B trong trường hợp hạt B
đứng yên, khối lượng hạt bia là rất lớn ( B Am E ), sự giật lùi là không đáng kể. Sử
dụng vế phải của biểu thức (1.16) để xác định tiết diện vi phân tán xạ d /d
ở đây 3 2
d p p dpd  .
Sử dụng biến Mandelstam s ta có:
      
11
2 2 2 22 2 1/2 2 22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 (s,m ,m )p p m m s m m s m m            
     
,
(1.30)
ở đây  1/2 2 2
1 2, ,s m m có dạng:
2 2 2
( , , ) ( ) 4 ( ) ( )a b c a b c bc a b c a b c               

17
1.2.1 Trong hệ khối tâm
Nếu chúng ta coi hệ hai hạt là một thể thống nhất thì hệ khối tâm là hệ quy chiếu
gắn liền và chuyển động cùng vận tốc với hệ hạt. Với định nghĩa trên thì xung
lượng bốn chiều của hạt trong hệ khối tâm được xác định bởi:
1 1
2 2
3 3
4 4
( , ),
( , ),
( , '),
( , '),
p E p
p E p
p E p
p E p

 

 




(1.31)
Ta có:
2 2 2 2
3 43 4
3 4 3 4 3 4 1 2
3
| '| | '|( )
| '| ( ) | '| ( )
| '| | '|
d m p d m pd E E
E E E E p E E p E E
d p d pd p
  
   
      
 
 
 
   . (1.32)
Và 1 2| | ( )cmF p E E 

; 2
1 2( )s E E  .
(1.33)
Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm trở thành:
2
2
1 | '|
| |
64 | |cm
d p
M
d s p


 
 
 

 .
(1.34)
Biểu thức trên phụ thuộc vào biến độc lâp, bởi vì:
2 2 2
1 2
2 2 2
3 4
1
| | ( , , ),
4
1
| '| ( , , ),
4
p s m m
s
p s m m
s




(1.35)
trong đó: 2 2 2
( , , ) ( ) 4 a-( + ) a-( )a b c a b c bc b c b c             .
Mặt khác:
2 2 2
1 3 1 3 1 3
2 2
1 3 1 3 1 3
2 2 '
1 3 1 3
( ) 2
2 2| || | os
2 2| || | os
t p p m m p p
m m E E p p c
m m E E p p c


 

    
   
   

18
Suy ra: '
12| || | d( os )dt p p c 

 .
Chúng ta có thể viết vi phân tiết diện tán xạ thông qua các biến Mandelstam s và t
như sau:
2 2
2 2 2
1 2
| | | |
64 16 ( , , )cm
d M M
dt sp s m m

 
 
  
 
. (1.36)
Công thức (1.36) chính là biểu thức vi phân tiết diện tán xạ của hai hạt trong hệ
khối tâm.
1.2.2 Hệ phòng thí nghiệm
Trong hệ phòng thí nghiệm thì ta coi như một hạt đứng yên và hệ quy chiếu gắn liền
với hạt này, hạt còn lại chuyển động đến và xảy ra tương tác. Từ định nghĩa trên ta
có các biến động lưc trong hệ phòng thí nghiệm được xác định bởi:
1 1 2 2 3 3 4 4 4( , ), ( ,0), ( , '), ( , )p E p p m p E p p E p   
    , (1.37)
trong đó:
4 1 2 3
2 2 2 '2
4
,
( ') 2| || '| cos ,lab
E E m E
p p p p p p p 
  
    
(1.38)
Với mọi góc ( , )lab  cho trước, ta có 4 4 ( ' os ) 'labp dp p pc dp  , do đó:
3 4
3 4 1 2 3
( )
'( ) os
'
lab
d E E
E E p E m pE c
dp


   . (1.39)
Thừa số dòng 2| |F p m , và bình phương năng lượng, 2 2
1 2 1 22s m m E E   . Do đó,
trong hệ phòng thí nghiệm, tiết diện tán xạ vi phân được tính theo công thức sau:
2
2
2 1 2 3
| | | '| 1
64 | | ( / ') oslab lab
d M p
d m p E m p p E c

 
 
 
   
,
(1.40)
với '2 2
3 3E p m  và theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
 2 2
3 1 2 3 4
1
( ) 'cos
2
labE E m pp s m m     .
(1.41)

19
Trong các trường hợp còn lại, giả sử 3 1m m , 4 2m m . Vẫn trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm thì (1.41) được rút gọn lại như sau:
2
3 1 2 1 2 1( ) 'coslabE E m pp E m m    .
(1.42)
Điều này chỉ ra rằng momen bốn chiều 3 1q p p  liên quan tới các biến khác theo
biểu thức 2 2
3 1 2 3 1( ) 2 ( )q p p m E E    , mối liên hệ giữa chúng là:
22
1 3 1
'2 '2
cos
' 2
lab
E E mp q
p p p


  . (1.43)
Khi đó, biểu thức (1.40) được viết duới dạng:
1
2 2
2
2 3 12 2 2 '2
2 2
| | '
1 ( )
64 2lab
d M p q
m E m
d m p m p



  
    
   
.
(1.44)
Trong điều kiện tĩnh ( 4 0p  ), ta có 'p p , 1 3E E và:
1 2 3 2 1cos (1 cos )
'
lab lab
p
E m E m E
p
      . (1.45)
Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân có thể lấy xấp xỉ:
2
2 2
2 1 2
| | 1
64 1 ( / )(1 cos )lab lab
d M
d m E m

 
 
 
   
.
(1.46)
Trong tương đối tính, 1E p , 3 'E p thì vi phân tiết diện tán xạ có giá trị gần đúng
như sau:
2
2
3
2 2
2 1
| |
64lab
Ed M
d m E


  
   
   
(1.47)
Công thức (1.47) chính là biểu thức vi phân tiết diện tán xạ của hai hạt trong hệ
phòng thí nghiệm.

20
CHƢƠNG 2:
TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron-electron.
Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận
tương ứng với quá trình tán xạ electron-electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born)
của của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán
xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí
nghiệm. Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron.
Cách tính tương tự như quá trình tán xạ electron-electron, có thay đổi khi một
electron được thay bằng positron. Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho
quá trình tán xạ electron positron. So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi phân của hai
quá trình tán xạ kể trên ta nhận thấy hai kết quả hầu như giống nhau chỉ khác nhau
về dấu, có nghĩa là ta có thể chuyển từ kết quả này thành kết quả kia bằng cách
chuyển đổi dấu của chúng [11].
2.1 Tán xạ electron-electron e e e e   
  
Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-electron trong gần
đúng bậc thấp nhất. Hai electron với xung lượng lần lượt là 1p , 2p đến và tương tác
với nhau, sau đó sinh ra hai electron với xung lượng lần lượt là
'
1p ,
'
2p Do hai
electron ở trạng thái cuối hoàn toàn giống nhau, ta không có cách nào để phân biệt
chúng, vì thế ta xét cả hai quá trình như hình vẽ dưới đây.
e
e
e
e
p1
p2
p '1
p '2
e
e
e
e
p1
p2
p '1
p '2
Hình 2.1a Hình 2.1b
Hình 2.1 Tán xạ electron-electron

21
Sử dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ cho quá trình này:
   
 
       
 
       
2 2
42 4 4 ' '
0 1 2 1 22 ' '
1 2 1 2
1 1 2 22
1 1
2 1 1 22
1 2
( ) ( )
1
2 .
4
' ( ) ' ( )
'
4
' ( ) ' ( )
'
fi fi fi
e e
S S a S b
m m
e d p p p p p
V E E E E
i
i i
i
i i
u p u p u p u p
p p
u p u p u p u p
p p
 
 
 


 
 
 
    

         


         
 

(2.1)
Yếu tố ma trận tương ứng là:
 
 
       
 
       
2 24 4
0 1 1 2 22
1 1
2
2 1 1 22
1 2
1 1
2 . ' ( ) ' ( )
4 '
1
' ( ) ' ( )
'
fiM e d p i i
i i
u p u p u p u p
p p
u p u p u p u p
p p
 
 
  
 
        

        


(2.2)
Ta đưa vào toán tử hình chiếu (xem phụ lục B):



( ) ( ) ( ) ( )
;
2 ( ) 2 ( )
n np H p p H p
p p
 
 
 
 
   
2
2 2 2
( ) ; ( ) ( )np m p H p p    (2.3)
Ta có thể tính được:
   
4
( ) ( )
2 2
i e i e
i i r i i
e e
p m p m
p p
m m
u p u p   
  
  
    
    
   
 (2.4)
Từ đó ta thu được các thành phần sau:
       
'
2
1 1 1' ' '
1 1 1 1
, 2 2 2
e e e
e e e
p m p m p m
u p Tr
m m m
u p u p u p     
  
    
    
    
   

  
' '2
1 1 2 2' '
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
e e e e
e e e e
p m p m p m p m
u p u p u p u p Tr Tr
m m m m
 
      
      
    
   
         
' '2
1 2 2 1' '
1 1 2 2
2 2 2 2
e e e e
e e e e
p m p m p m p m
u p u p Tr
m m m m
u p u p
 
      
    
  
 
(2.5)

22
Vậy công thức (2.2) trở thành:
 
 
   
 
' '
2 2 1 1 2 24 4
0 2
1 1
' '
1 1 2 2 ' '
1 22 2
1 1 1 2
1 1
2 .
4 2 2 2 2'
1
2 2 2 2' '
e e e e
fi
e e e e
e e e e
e e e e
p m p m p m p m
M e d p Tr Tr
m m m m
p m p m p m p m
Tr p p
m m m m
p p
p p p p
 
 
 
 
    
   
       
     
    
     
    
    

(2.6)
Sử dụng các biến Mendelstam:
2
1 2
' 2
1 1
' 2
2 1
( )
( )
( )
s p p
t p p
u p p
 
 
 
(2.7)
Và ta đặt:
' '
ir 1 1 2 2
' '
ex 2 1 1 2
' '
int 1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
d e e e e
e e e e
e e e e
A Tr p m p m Tr p m p m
A Tr p m p m p m p m
 
 
 
 
 
 
   
   
   
          
          
      
(2.8)
trong đó:
irdA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung
lượng lần lượt là
'
1p '
2p trong hình vẽ (2.1a)
exA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hati hat có xung lượng
lần lượt là
'
2p '
1p trong hình vẽ ( 2.1b)
intA là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u
Các ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11].

23
Ta thu được biểu thức:
2 4 2
0 ir ex int4 2 2
1 1 1 1 2
| | (4 )
4 2
fi d
e
M e A A A
m t u ut

 
   
  (2.9)
Ta đưa vào tensơ lepton ([11] tr. 124) :
 
2
2
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2 2
1 1
2 4
1 1
2
f i i f
f e i e
e e
f i e
e
f i i f f i e
e
L u p u p u p u p
p m p m
Tr
m m
Tr p p m
m
Tr p p p p g p p m
m
  
 
   
    
 
 
   

  
  
 
   
     
(2.10)
Ta tính được :
' ' ' 2 ' ' ' 2
ir 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2
2 ' 2 2 ' 4
1 2 1 2 1 1
' ' ' 2 ' ' ' 2
ex 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
2
1 2
1
4 + -g (p p -m ) 4 + -g (p p -m )
8
=4 (p ) ( ) 2 2
1
4 + -g (p p -m ) 4 + -g (p p -m )
8
=4 (p )
d e e
e e
e e
A p p p p p p p p
p p p m p p m
A p p p p p p p p
p
    
    
    
    
       
    
       

    
' 2 2 ' 4
1 1 1 2
' ' 2 2 ' ' ' ' ' '
int 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2
( ) 2 2
1
32 . 32 16 . . . . . .
8
e e
e e
p p m p p m
A p p p p m m p p p p p p p p p p p p
   
          
(2.11)
Ở đây chúng ta đã sử dụng:
' ' ' ' ' '
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2p , ,p p p p p p p p p p p   . (2.12)
Những tích vô hướng trên có thể được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
' ' 2
1 2 1 2
' ' 2
1 1 2 2
' ' 2
1 2 1 2
1
p ( 2 ),
2
1
( 2 ),
2
1
( 2 ),
2
e
e
e
p p p s m
p p p p t m
p p p p u m
  
   
   
(2.13)

24
Bởi vậy:
2 2 2 2 2
ir
2 2 2 2 2
ex
2 2
int
( 2 ) ( 2 ) 4
( 2 ) ( 2 ) 4
( 2 )( 6 )
d e e e
e e e
e e
A s m u m m t
A s m t m m u
A s m s m
    
    
   
(2.14)
2.1.1. Trong hệ khối tâm
Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và
tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không. Do đo ta có xung lượng của
các electron là:
1
2
1
2
( , ),
( , ),
' ( , '),
' ( , '),
p E p
p E p
p E p
p E p

 

 
(2.15)
Do đó, các bất biến mandelstam có các giá trị:
2 2
1 2
' 2 ' 2 2 2 2
1 1
' 2 ' 2 2 2 2
2 1
( ) 4
( ) ( ) 2| | (1 cos ) 4| | sin
2
( ) ( ) 2| | (1 cos ) 4| | cos
2
s p p E
t p p p p p p
u p p p p p p




  
         
          
(2.16)
Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
4 4
2 2
2 2 2
| | | |
16 4
e e
fi fi
cm
m md
M M
d E s

 

 
   
 
 
.
(2.17)
Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.17) cuối cùng ta thu được tiết diện tán xạ cho hai
hạt trong hệ khối tâm là:
 
4
0
int2 4
128
dir ex
cm
ed
P P P
d E P


 
     
 
 
(2.18)

25
 
 
2
22 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
22 2 2 2 2 2 2 2
4
int
2 4 sin 4 2 16 sin 1
2 2
sin 1
2
4 sin 1 2 4 2 16 sin
2 2
sin
2
2 4
e e
dir
e e e
ex
m p E m m p
P
p m E m m p
P
E
P
 

 

        
          
        
  
  
  
       
          
       
 
 
 
 
   
22 2 2 2
2 2
2 4 6
sin sin 1
2 2
e em E m
 
 
    
    
    
dirP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t
exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u
intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với cả hai kênh t và kênh
u
Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11].
2.1.2. Trong hệ phòng thí nghiệm
Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt
còn lại đứng yên. Do đó ta có xung lượng của các electron như sau:
1
1
2
' '
1 1
' '
2 2 2
( , )
( ,0)
' ( , )
' ( , )
e
p E p
p m
p E p
p E p




(2.19)
Do đó các biến Mandelstam có dạng:
2 2
1 2 1 2
' 2 2 ' 2 ' ' '
1 1 1 1 1 1 1
' 2 2 ' '
1 2 2 1 1
( ) 2 2 2 ( ),
( ) 2 2 2 2 2 os ,
( ) 2 2 2 ( ),
e e e
e e
e e e
s p p m p p m E m
t p p m p p m E E p p c
u p p m p p m E m

     
      
      
(2.20)
với :

26
2 '
' 1
1 2 '
1
'
1'
1 2 '
1
( ) os
,
( ) os
2 os
,
( ) os
e e
e
e e
e e
E m E m c
E m
E m E m c
p c
p
E m E m c




  

  

  
(2.21)
Vậy ta thu được kết quả cuối cùng cho các biến Mandelstam:
 
 
 
 
 
2 2 2 '
1
2 '
1
2 2 '
1
2 '
1
2
2 sin
cos
4 cos
cos
e e
e e
e e
e e
e e
s m E m
m E m
t
E m E m
m E m
u
E m E m




 

 
  


  
(2.22)
Tiết diện tán xạ được tính theo công thức:
4 '
2
1
2 2 '
1
os
( ) os
e
fi
e elab
m cd
M
d E m E m c

 
 
 
       
. (2.23)
Từ công thức (2.9), (2.14) và (2.23) Ta thu được công thức cuối cùng cho tiết diện
tán xạ hai hạt trong hệ phòng thí nghiệm
ir ex intd
lab
d
P P P
d
 
   
 
(2.24)
ở đây
   
 
2
2 2 2 ' 4 2 '
2 14 2 ' 2 2 1
1 2 ' 2 '
1 1
dir 4 3 ' 2
1
2 (E - ) cos θ -1 16 cos θ +(E- )
( -E)cos θ +(E+ ) 2 -2 (E+ ) + 2 + +
( -E)cos θ +(E+ ) ( -E)cos θ +(E+ )
P =
8 cos θ +(E- )
e e e e
e e e e e e e
e e e e
e e
m m m m
m m m m m m m
m m m m
m m
  
  
     
   
 
 
2 3 2 2 2 '2 2 '
2 14 ' 2 ' 2 21
1 1 2 ' 2 '
1 1
ex 22 2 2 2 2 '
1
8 (E -m ) cos θ -14 cos θ +(E- )
cosθ ( -E)cos θ +(E+ ) 2 + + 2 -2 (E+ ) -
( -E)cos θ +(E+ ) ( -E)cos θ +(E+ )
P =
2 (E - ) cos θ -1
ee e
e e e e e e e
e e e e
e e
mm m
m m m m m m m
m m m m
m m
  
  
   
    
   
24 2 2 2 '
1
int 3 ' 2 2 2 '
1 1
2 -2 (E + ) 6 -2 (E + ) ( -E)cos θ +(E + )
P =
2 cosθ E - E- cos θ -1
e e e e e e e e e
e e e
m m m m m m m m m
m m m
(2.25)

27
exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u
intP là tiết diện tán xạ của quá trinh tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u
2.2 Tán xạ electron-positon e e e e   
  
Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-positron trong gần đúng
bậc thấp nhất. Electron và positron với xung lượng lần lượt là 1p , '
2p đến và tương
tác với nhau, sau đó một electron và positron bay ra với xung lượng lần lượt là
'
1p , 2p .
e
e
e
p1
p '2
p '1
p2
e
e
e e
p1
p '1
e
p '2
p2
Hình 2.2 a Hình 2.2 b
Hình 2.2 Tán xạ electron-positron
Sử dụng quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ cho quá trình này:
Yếu tố ma trận tương ứng là:
 
 
       
 
       
2 '24 4
1 1 2 22
1 1
2
'
1 12 22
1 2
1 1
2 . ' ( ) ( )
4 '
1
( ) ' ( )
fi eM m d p i i
i i
u p u p u p u p
p p
u p u p u p u p
p p
 
 
  
 
        
    
    
 
 

(2.26)
Ta đưa vào toán tử hình chiếu (Phụ lục B):



( ) ( ) ( ) ( )
;
2 ( ) 2 ( )
n np H p p H p
p p
 
 
 
 
   
2
2 2 2
( ) ; ( ) ( )np m p H p p    (2.27)

28
Ta có thể tính được:
   
4
( ) ( )
2 2
i e i e
i i r i i
e e
p m p m
p p
m m
u p u p   
  
  
    
    
   

(2.28)
Từ đó ta tính được các thành phần sau:
       
  
         
'
2
1 1 1' ' '
1 1 1 1
,
'
'2
' 1 1' 2 2
1 1 2 2
2
' 1'
1 1 22
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
e e e
e e e
e ee e
e e e e
e
p m p m p m
u p Tr
m m m
p m p mp m p m
u p u p u p u p Tr Tr
m m m m
p m
u p u p Tr
m
u p u p u p
u p u p
     
  
 
 

 
    
     
  
    
    
   
       
     
    

 

'
'
12 2
2 2 2
e e e
e e e e
p m p m p m
m m m

  
     
 
 
 
(2.29)
Vậy công thức (2.26) trở thành:
 
 
   
 
'
'
2 2 1 14 4 2 2
0 2
1 1
'
'
1 1 '2 2
1 222
1 1 1 2
1 1
2 .
4 2 2 2 2'
1
2 2 2 2'
e ee e
fi
e e e e
e ee e
e e e e
p m p mp m p m
M e d p Tr Tr
m m m m
p m p mp m p m
Tr p p
m m m m
p p
p p p p
 
 
 
 
    
   
             
     
           
     

(2.30)
Sử dụng các biến Mendelstam:
' 2
1 2
' 2
1 1
2
12
( )
( )
( )
s p p
t p p
u p p
 
 
 
(2.31)
Và ta đặt:

29
''
ir 1 1 2 2
''
ex 1 12 2
''
int 1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
8
d e e e e
e e e e
e e e e
A Tr p m p m p m p m
 
 
 
 
 
 
   
   
   
            
            
          (2.32)
ở đây
irdA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung
lượng lần lượt là
'
1p '
2p trong hình vẽ (2.2a)
exA là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hai hat có xung lượng
lần lượt là
'
2p '
1p trong hình vẽ ( 2.2b)
intA là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u
Ta thu được biểu thức:
2 4 2
ir ex int0 4 2 2
1 1 1 1 2
| | (4 )
4 2
dfi
e
M e A A A
m t s st

 
   
  (2.33)
Ta đưa vào tensơ lepton ([11] tr. 124) :
 
2
02
2
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2 2 2
1 1
2 4
1 1
2
f i i f
f e i e
e e
f i
e
f i i f f i e
e
L u p u p u p u p
p m p m
Tr
m m
Tr p p m
m
Tr p p p p g p p m
m
  
 
   
    
 
 
   

  
  
 
   
     
(2.34)
Ta tính được :

30
'' ' ' 2 2
ir 1 1 1 1 1 1 2 12 2 2 2
' 2 2 2 ' 4
1 1 1 12 2
'2 ' ' ' ' 2
ex 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2
1
4 + -g (p p -m ) 4 -g (p p -m )
8
=4 (p ) ( ) 2 2
1
4 -g (-p -m ) 4 + -g (-p p -m )
8
=4
d e e
e e
e e
A p p p p p p p p
p p p m p p m
A p p p p p p p p p
   
    

   
   
        
     
         
    
' 2 ' 2 2 4
1 1 1 12 2
' ' ' '' 2 2 ' ' '
int 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2
(p ) ( ) 2 2
1
32 . 32 16 . . . . . .
8
e e
e e
p p p m p p m
A p p p p m m p p p p p p p p p p p p
     
          
  
(2.35)
Ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu [11],
ở đây chúng ta đã sử dụng:
' '' ' ' '
1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2p ; ;p p p p p p p p p p p   . (2.36)
Những tích vô hướng trên có thể được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
'' 2
1 12 2
'' 2
1 1 2 2
' ' 2
1 12 2
1
p ( 2 ),
2
1
( 2 ),
2
1
( 2 ),
2
e
e
e
p p p u m
p p p p t m
p p p p s m
   
  
  
(2.37)
Bởi vậy:
2 2 2 2 2
ir
2 2 2 2 2
ex
2 2
int
( 2 ) ( 2 ) 4
( 2 ) ( 2 ) 4
( 2 )( 6 )
d e e e
e e e
e e
A s m u m m t
A u m t m m s
A u m u m
    
    
   
(2.38)
2.2.1. Trong hệ khối tâm
Hệ khối tâm là hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc của khối tâm của hệ hạt và
tổng xung lượng trước và sau của hệ đều bằng không. Do đo ta có xung lượng của
electron và positron là:
1
'
2
1
2
( , ),
( , ),
' ( , '),
( , '),
p E p
p E p
p E p
p E p

  

  
(2.39)

31
Do đó, các bất biến mandelstam có các giá trị:
' 2 ' 2 2 2 2
1 2
' 2 ' 2 2 2 2
1 1
2 2
2 1
( ) ( ) 2| | (1 cos ) 4| | cos
2
( ) ( ) 2| | (1 cos ) 4| | sin
2
( ) 4
s p p p p p p
t p p p p p p
u p p E




          
         
  
(2.40)
Tiết diện tán xạ được biểu diễn thông qua các biến Mandelstam:
4 4
2 2
2 2 2
| | | |
16 4
e e
fi fi
cm
m md
M M
d E u

 

 
   
 
 
.
(2.41)
Từ (2.33), (2.38) và (2,41) ta thu được tiết diện tán xạ cho hai hạt trong hệ khối
tâm:
4
int2 4
128
dir ex
cm
d e
P P P
d E P


 
        
 
(2.42)
ở đây:
 
 
2
22 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
22 2 2 2 2 2 2 2
4
int
2 4 sin 4 2 16 sin 1
2 2
sin 1
2
4 sin 1 2 4 2 16 sin
2 2
sin
2
2 4
e e e
dir
e e e
ex
m p E m m p
P
p m E m m p
P
P
 

 

        
          
        
  
  
  
       
          
       
 
 
 
 
   
22 2 2 2
2 2
2 4 6
sin sin 1
2 2
e eE m E m
 
 
    
    
    
exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u
intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

32
2.2.2. Trong hệ phòng thí nghiệm
Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt
còn lại đứng yên. Do đó ta có xung lượng của electron và positron lần lượt như sau:
1
1
'
2
' '
1 1
'
22 2
( , )
( ,0)
' ( , )
( , )
e
p E p
p m
p E p
p E p

 

  
(2.43)
Do đó các biến Mandelstam có dạng:
' '2 2
1 12 2
' 2 2 ' 2 ' ' '
1 1 1 1 1 1 1
' '' 2 2 ' '
1 1 12 2
( ) 2 2 2 ( ),
( ) 2 2 2 2 2 os ,
( ) 2 2 2 ( ),
e e e
e e
e e e
s p p m p p m E m
t p p m p p m E E p p c
u p p m p p m E m

     
      
      
(2.44)
với :
2 '
' 1
1 2 '
1
'
1'
1 2 '
1
( ) os
,
( ) os
2 os
,
( ) os
e e
e
e e
e e
E m E m c
E m
E m E m c
p c
p
E m E m c




  

  

  
(2.45)
Vậy ta thu được kết quả cuối cùng cho các biến Mandelstam
 
 
 
 
 
2 2 '
1
2 '
1
2 2 2 '
1
2 '
1
4 cos
cos
2 sin
cos
2
e e
e e
e e
e e
e e
m E m
s
E m E m
m E m
t
E m E m
u m E m






  

 
  
 
(2.46)
Tiết diện tán xạ được tính theo công thức:
4 '
2
1
2 2 '
1
os
( ) os
e
fi
e elab
m cd
M
d E m E m c

 
 
 
       
. (2.47)
Từ (2.33), (2.38) và (2.47) ta thu được tiết diện tán xạ trong hệ phòng thí nghiệm:
ir ex intd
lab
d
P P P
d
 
   
 
(2.48)

33
ở đây
   
 
2
2 2 2 ' 4 2 '
2 14 2 ' 2 2 1
1 2 ' 2 '
1 1
4 3 ' 2
1
2 ( ) cos 1 16 cos ( )
( )cos ( ) 2 2 ( ) 2
( )cos ( ) ( )cos ( )
8 cos ( )
e e e e
e e e e e
e e e e
dir
e e
m E m m E m
e m E E m m m E m m
m E E m m E E m
P
m E m
 

 

              
          
 
   
 
 
2 3 2 2 2 '2 2 '
2 14 ' 2 ' 2 21
1 1 2 ' 2 '
1 1
22 2 2 2 2 '
1
8 ( ) cos 14 cos ( )
cos ( )cos ( ) 2 2 2 ( )
( )cos ( ) ( )cos ( )
2 ( ) cos 1
e ee e
e e e e e e
e e e e
ex
e e
m E mm E m
e m E E m m m m E m
m E E m m E E m
P
m E m

 
 

    
                 
 
    
   
24 2 2 2 '
0 1
int
3 ' 2 2 2 '
1 1
2 2 ( ) 6 2 ( ) ( )cos ( )
2 cos cos 1
e e e e e e e e
e e e
e m m E m m m E m m E E m
P
m E m E m

 
      

  
exP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u
intP là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u

34
CHƢƠNG 3:
BỔ CHÍNH MỘT VÒNG CHO TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu các giản đồ Feynman theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến bậc 4 – kể thêm các bổ chính bậc cao cho quá trình tán xạ
electron-electron.
Trong mục $3.1 giới thiệu các giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ electron-
electron ở gần đúng bậc 4 theo hằng số tương tác điện từ. So với các giản đồ
Feynman xét ở chương trước, số lượng giản đồ tăng lên do việc trao đổi hai photon
(giản đồ d) gữa các hạt, giản đồ phân cực của chân không (chân không vật lý của
trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi giữa các hạt (giản đồ c), các
giản đồ còn lại liên quan đến tương tác của electron với chân không vật lý của
trường điện từ. Trong bản luận văn này chúng tôi chỉ xét các giản đồ (b) và giản đồ
(c) và bỏ các giản đồ Feynman còn lại. Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương
tác giữa hai electron, các giản đồ gắn với các đường electron liên quan đến việc tái
chuẩn hóa khối lượng của electron, chứ không cho đóng góp vào tương tác hai
electron. Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết quả thu
được tiết diện tán xạ vi phân (3.26). Nghiên cứu thế năng tương tác tương ứng giữa
hai electron khi tính bổ chính một vòng được giới thiệu ở mục $3.3.
3.1 Giản đồ Feynman
Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện
tích cho phép chúng ta tính toán các đại lượng với độ chính xác tùy ý. Việc tính đến
các đóng góp của các giản đồ bậc cao cho các quá trình vật lý sẽ cho các lượng bổ
chính cho các đại lượng quan sát như tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian
sống của hạt cơ bản. Các giản đồ Feynman cho tán xạ hai hạt  2 2 được cho bởi
tập hợp các giản đồ sau:

35
Hình 3.1 Giản đồ Feynman
Giản đồ (a) là giản đồ bậc không ứng với không có sự tương tác nào giữa hai hạt.
Giản đồ (b) là giản đồ bậc hai, và giản đồ này là giản đồ có đóng góp chính vào
biểu thức tiết diện tán xạ.Giản đồ (c), (d), (e), (f) là giản đồ bậc bốn trong đó có
chứa các vòng.Và cứ như thế ta có các giản đồ bậc sáu, bậc tám... Trong số giản đồ
đó thì giản đồ bậc hai là giản đồ có đóng góp chính vào biểu thức tiết diện tán xạ,
ngoài ra trong chương này ta tính đến đóng góp của giản đồ một vòng giản đồ (c),
giản đồ này được gọi là giản đồ có kể đến đóng góp của phân cực chân không bậc
hai. Những giản đồ bậc cao có kể đến sự tương tác của hạt với chân không vật lý
của trường điện từ và chân không vật lý của trường electron-positron. Trong luận
văn này ta bỏ qua các giản đồ Feynman do tương tác của electron-positron với chân
không vật lý của trường điện từ. Các giản đồ này sẽ dẫn đến việc tái chuẩn hóa lại
khối lượng của electron-positron và hàm sóng của chúng. Chúng tôi quan tâm tới
các giản đồ Feynman liên quan đến tương tác giữa hai electron, khi giản đồ năng
lượng riêng của photon-giản đồ (c).
+ +
+ + +
= +
+ .....
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)

36
3.2 Tiết diện tán xạ electron-electron khi tính đến bổ chính một vòng ở
đƣờng trong.
Trong phần này ta đi tính đóng góp của bổ chính một vòng ở đường trong đến
tiết diện tán xạ electron-electron. Quá trình tán xạ được biểu diễn bởi giản đồ
Feynman sau:
e- e -
e - e -
q
q
q + k k
Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron
Gọi M là tiết diện tán xạ hai hạt chưa có bổ chính, '
M là tiết diện tán xạ khi có bổ
chính một vòng và M là đóng góp của phần bổ chính vì vậy ta dễ dàng có được
công thức sau khi ta kể đến bổ chính một vòng ở đường trong ([11] tr. 281):
    
     
'
2 *'2
* ** *
M M M
M M M M M M M
MM M M M M M M
  
        
       
(3.1)
Do  
*
0M M M M    
 
*'2 *
2M MM M M   
   
* *
M M M M  
Tính M
Dựa vào giản đồ Feynman có bổ chính ta có:

37
 
 
 
 
 
2
1 1 2 222
2
*
2 2 1 122
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
R
R
e g
M u k u p Aq q Bg C v p v k
q i
e g
M v k v p Aq q Bg C u p u k
q i
 
    
 
    
  

  

         

          

(3.2)
Với các hệ số A, B, C là đóng góp của giản đồ phân cực chân không được tính trong
phần phụ lục C.2.
Dựa vào giản đồ Feynman không có bổ chính ta có:
 
    
1 1 2 22
4
*
1 1 2 26
2 2 1 1
4
2 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 26
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
8
( ) ( ) 2
R
R
e e e
ig
M u k u p v p v k
q i
e g
M M u k u p v p v k
q
v k v p u p u k Aq q Bg C
e
p k p k p k p k m k k m p p m
q
Aq


 


    
 

 
  
 
         
         
        
     
 2
4 2B C 
(3.3)
Đặt: T=      2 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) 2e e ep k p k p k p k m k k m p p m    
Vây ta được
 
4
* 2
6
8
( ) 4 2Re
M M Aq B C T
q
   
Tính T:
Ta áp dụng
   
   
2
1 1 2 2
2
1 2 2 1
2
1 2 1 2
2
2
cos
cos
2
( ) ( )
2
4
4 ; 1
2
e
e
p k p k E pk
p k p k E pk
s m
k k p p
ms
s E p k
s


  
  

 
   
(3.4)

38
Ta tính được:
  
224 2 2 4 2
2224
2 2 4
2
cos 2 2
4
1 1 cos ( 2) 2
16
e R e
e
e e
T E pk m s m m
ms
m s m
s


       
  
       
   
Tiết diện tán xạ khi tính đến bổ chính một vòng ở đường trong:
 
 
*
2
_
4
2
2 6
1
( )
64
81
4 2
64
cm one loop
R
kd
M M
d s p
e
Aq B C T
s q




 
   
 
   
 


(3.5)
Trong hệ khối tâm:
_ _cm cm tree cm one loop
d d d
d d d
  

     
             
Ta thu được kết quả cuối cùng cho tiết diện tán xạ vi phân khi tính đến bổ chính
một vòng trong hệ khối tâm:
   
4 4
20
int2 4 2 2 6
81
+ 4 2
128 256
R
dir ex
cm
e ed
P P P Aq B C T
d E P E q



               
(3.6)
ở đây

39
 
 
2
22 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
22 2 2 2 2 2 2 2
4
int
2 4 sin 4 2 16 sin 1
2 2
sin 1
2
4 sin 1 2 4 2 16 sin
2 2
sin
2
2 4
e e e
dir
e e e
ex
m p E m m p
P
p m E m m p
P
P
 

 

        
          
        
  
  
  
       
          
       
 
 
 
 
   
22 2 2 2
2 2
2 4 6
sin sin 1
2 2
e eE m E m
 
 
    
    
    
Với các hệ số trong phần bổ chính được tính trong phụ lục C.2:
 
 
 
2 2 3 2 2
2 2 2 2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 3 2 2 2 2
222
8 2 2 2
2
1 5 1 1
8 ln
6 18 66 3
1 1 1
4 2 ln
2 22 3
5 17 1 5
4 ln
12 18 124 3
1 1 cos (4 2) 2
R e
R e e e e e
R e e e e e
e
e e
A e i i i i m
B e i m i m i m i m m
C e i m i m i m i m m
m
T E m E m
E
  
  
  

 
      
 
 
       
 
 
     
 
  
       
   
4
(3.7)
Kết luận: Nhƣ vậy khi xung lƣợng hạt lớn thì thành phần 2
( )R
q đã đóng góp
vào tiết diện tán xạ vi phân một lƣợng bổ chính đáng kể.
3.3 Thế tƣơng tác giữa electron-electon khi tính đến bổ chính một vòng
Giờ ta xét sự đóng góp của một vòng vào thế tương tác giữa hai hạt tích điện, cụ thể
là giữa electron và electron. Lúc này khi kể đến bổ chính một vòng thì hàm truyền
của hạt phôtôn đã thay đổi và trở thành:

40
 
 
'
2 2
2 2 2
2 2
2 20
2
2 2 2
2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
( )4 4 4
4
1 ln ( )
4 4 43
4
4 4
F F F F
R
e
i q
iG q iD q iD q iD q
q q g q qg g g
e
q q g q q
g g gm
q q gg g

   
    
  
  
   

  

  

 

 
    
  
 
 
  
     
     
 
  
 
 
 
q q q
q q q
q q
   
 
2 2
3
2
2
2
1 ( ) 4
4
4
1 ( )
R
R
q Z q g
g
q





   
 
 
 

  
q
q
,
(3.8)
ở đây phần phân kỳ nằm trong 3Z ta đã bỏ vào điện tích tái chuẩn hóa của hạt.
Thế giữa hai hạt mang điện có mật độ dòng 3
( ) ( )RJ x ze x   ([11] tr. 295) có
dạng :
 
 
 
 
 
4
' '
4
4
2
4
4
2
4
( ) ( ) ( )
2
1 ( ) ( ) ( )
2
1 ( ) ( )
2
iqx
F
iqx R
F
iqx R
d q
V x e D q j q
d q
e q D q j q
d q
e q V q

 










  
  



(3.9)
Trong đó ( )V q là thế giữa hai hat ở giản đồ bậc hai
Nếu nguồn thế là không thay đổi thì ta có dòng ( ) ( )j x j 
 x
0 3
0 0( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )iiqyiqy
j q dye j y dy e d ye j q jy   

     
qy
q
Vậy công thức trên trở thành:
 
  
 
 
3
' 2
4
3
2
4
( ) 1 ( ) (0, ) ( )
2
1 ( ) ( )
2
i R
F
i R
d q
V e D j
d q
e V

 





   
   


qx
qx
x q q q
q q
(3.10)

41
Trong trường hợp tĩnh điện ta có:
 3 3 3
0 00( ) ( ) ( )ii
R Rj d ye j y d ye ze ze 
  
     
qy qy
q y
Vậy công thức trên trở thành:
 
 
3
' 2
4
( ) 1 ( ) (0, )
2
i R
R F
d q
V ze e D 


   
qx
x q q
Thế hàm phân cực chân không đã tính được ở trên vào công thức ta có:
 
   
13
'
0 4 2
0
24
( ) 1 1 ln 1 1
2
i R
R
d q
V ze e d
m

   


  
       
  
 
2
qx
2
q
x
q
(3.11)
Ta sử dụng công thức sau cho những tính toán tiếp:
 
3
4
1
42
i
d q e
r


qx
2
q
(3.12)
Ta được :
   
 
1 3
' 2 2
0 42
20
2
2 2
1
2 2
0
1 4 1
( ) 1
8 3 2
1
4
1
1
23
1 exp
1 1
i
R
R
R R
d q e
V ze dvv v
r m
v
m
v v
ze m
dv r
r v v
 
 



 
 
         
   
  
  
         
  
  
 

qx
2
x
q
1
(3.13)
Đặt
2
1
1 v
 

2
2
3
1
1 v
d
vdv




 
 
 

Ta được :

42
 ' 2 2
0 3
1
2
2
2 2
1
1
( ) 1 3
3
12 1
1 1
3 2
m rR R
m rR R
ze d
V v v e
r
ze
d e
r


 
 


  




 
    
 
  
     
   


x
(3.14)
Ta xét trƣờng hợp 1mr  , ta đặt :
2 2 2
2 2 2
1 22 2 2
1 1
1 1 1m r m r m r
I d e d e d e I I

  

  
  
  
 
    
       (3.15)
Ta chon điều kiện
1
1
mr
  , suy ra 2
1m r
e 

tích phân thứ nhất trở thành :
   
2 2
2
1 2
1
1
1 1
ln 1 ln 2 1I d


 
   
 
  
       
  
 
(3.16)
Để tính tích phân thứ 2 ta lấy xấp xỉ 2
1   , tích phân thứ hai trở thành :
2
2
2
2
2
0
ln 2
ln ln
2
ln ln ln
2
m r
m r
mr u
mr
u u
e
I d e mr
u
e du e
mr
u
du ue due
mr






 



 
 

 
 
 

  
   


 
 
(3.38)
Ta đưa vào tích phân Euler
0
ln u
du ue 


 , ở đây 0,5772 
Vậy tích phân trên trở thành :
2
1 1
ln ln 2 ln ln 2 lnI
mr mr
            (3.17)

43
Ta tính được :
 
3
2 22 2
2
14 4 3
1 1
11 1 1 1
2 2 2 3 6
m r
J d e d
 
 
  
 
 
 
   
(3.18)
Vậy biểu thức của thế giờ trở thành :
' 0
0
2 1 5
( ) 1 ln
3 6
R Rze
V r
r mr r



  
      
  

(3.19)
Với : 0
2 1 5
1 ln
3 6
R
R
mr

  

  
     
  
Suy ra 0
0
2 1 5
1 ln
3 6
R
mr

  

  
     
  
(3.20)
Do đó trong trường hợp xung lƣợng lớn thì thành phần 2
( )R
q đóng góp vào thế
năng tương tác giữa các hạt một lượng bổ chính.
Kết luận : Nhƣ vậy hằng số liên kết-hằng số tƣơng tác và thế tƣơng tác giữa
hai hạt đã thay đổi một lƣợng 02 1 5
ln
3 6mr



 
  
 
nhờ tính đến quá trình phân
cực chân không trong tƣơng tác giữa hai electron trong trƣờng hợp xung
lƣợng đáng kể. Thế năng khi tính đến bổ chính một vòng có đặc trƣng rất khác
với thế năng ở bậc thấp nhất : nhƣ trong công thức (3.19), thế năng không
những không tỷ lệ với
1
r
, mà còn phụ thuộc vào khối lƣợng của electron. Nếu
ta cho em  thì biểu thức thế năng sẽ phân kỳ nhƣng không phải là phân kỳ
hồng ngoại. Điều đó là do sự tái chuẩn hóa điện tích hạt khi hai hạt ở xa nhau.

44
0α
r
+
2
0  
 
 
2α 1 5
ln - - γ
3πr mr 6
= Rα
r
Hình 3.3 Bổ chính một vòng cho thế năng giữa hai hạt
ở đây :
2
0
0
4
e


 - trong đó 0e - điện tích trần của electron.
2
4
R
R
e


 - trong đó Re - điện tích electron đã được tái chuẩn hóa.
e0
e0 e R
e0 e0
e R
+ =

45
KẾT LUẬN
Trong luận văn, chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron- electron khi
tính đến bổ chính một vòng ở đường trong của photon trong khuôn khổ của lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến qua các giản đồ Feynman. Những kết quả chính thu
được bao gồm:
1/ Từ giản đồ Feynman cho quá trình tán xạ chúng tôi xây dựng biểu thức giải
tích chung cho tiết diện tán xạ vi phân hai hạt thành hai hạt ở trong hệ khối tâm và
hệ phòng thí nghiệm.
2/ Thu được các biểu thức giải tích cho tiết diện tán xạ hai electron và tán xạ
electron-positron trong QED ở gần đúng thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến trong hệ phòng thí nghiệm và hệ khối tâm.
3/ Việc kể đến bổ chính một vòng-giản đồ phân cực chân không electron-positron
vào đường trong của đường photon trao đổi giữa các hạt đã dẫn đến tích phân phân
kỳ. Sử dụng các phương pháp khử phân kỳ để tách các phần phần kỳ và phần hữu
hạn. Và trong bản luận văn này chúng tôi dùng phương pháp khử phân kỳ Pauli-
Villars ta tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn là :  
2 2
20
2
1 ln 1 ( )
3
R
e
e
q
m
 
  
 
i/ trong trường hợp xung lƣợng truyền nhỏ (tức là ở khoảng cách xa) thì phần
hữu hạn không đáng kể nên ta bỏ qua do
2 2 2
2 0
2 2
1 1
( ) ... 0
15 140
R
e e
e q q
q
m m
 
      
 
khi
2
0q  . Còn lại phần phân kỳ
2 2
0
2
ln
3 e
e
m

được sử dụng để tái chuẩn hóa điện tích của
các hạt bằng cách đặt
2 2
0
3 2
1 ln
3 e
e
Z
m

  , điều đó có nghĩa là phân kỳ sẽ tự biến mất
khi ta gộp phần phân kỳ trên vào điện tích của electron tại hai đỉnh trong giản đồ
Feynman (hình 3.2) ii/ trong trường hợp xung lƣợng truyền đáng kể (tức là ở
khoảng cách gần) thì phần hữu hạn 2
( )R
q có giá trị đáng kể nên tiết diện tán xạ vi
phân giữa electron-electron cũng nhận một lượng bổ chính nhờ lượng hữu hạn này,

46
còn lượng phân kỳ
2 2
0
2
ln
3 e
e
m

vẫn được bỏ vào điện tích tái chuẩn hóa của electron
([11] tr 266).
4/ Trong trường hợp xung lƣợng truyền lớn (tức là ở khoảng cách gần) ở trên,
phần hữu hạn 2
( )R
q cũng đóng góp vào thế năng tương tác giữa hai hạt, ta cũng
tìm được biểu thức giải tích tương ứng với thế năng tương tác giữa hại electron khi
kể thêm một lượng bổ chính cho đường photon trong. Còn lại phần phân kỳ
2 2
0
2
ln
3 e
e
m

vẫn được sử dung để tái chuẩn hóa điện tích của các hạt bằng cách đặt
2 2
0
3 2
1 ln
3 e
e
Z
m

  .
Những kết quả thu được có thể tổng quát hóa cho các quá trình tán xạ giữa 2 hạt
trong lý thuyết trường lượng tử khác hay trong hấp dẫn lượng tử mà chúng tôi tiếp
tục nghiên cứu trong thời gian tới.

47
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB,ĐHQG Hà
Nội.
2. Hoàng Ngọc Long (2008), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống Kê , Hà Nội.
3. Hà Huy Bằng (2010), Lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội.
4. Nguyễn Ngọc Giao (1998), Hạt cơ bản, NXB, ĐHQG tp Hồ Chí Minh.
5. Phạm Thúc Tuyền (2004), Hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội.
Tiếng Anh
6. George Stermanm (1993), an introduction in quantum field theory, Cambridge
University press.
7. S.M Bilenky (1971), Introduction to Feynman Diagrams Technics, Moscow,
Atomizdat.
8. N. N. Bogoliubov and D.V. Shirkov (1976), Introduction to the Theory of
Quantum Fields, Interscience Publishers, 3 rd edition, Nauka.
9. B. Okun (1980), Physics of Elementery Particles, Addison –Wesley,reading,
Mass.
10. S. Weinberg (1974), Recent Progress in the Gauge theories of the Weak,
Electromagnetic and Strong Interactions, Rev. Mod. Phys. 46(1974)255.
11. Walter Greiner (2009), Joachim Reinhardt, Quantum Electrodynamics,
Springer.

48
PHỤ LỤC A: METRIC GIẢ EUCLIDE
Thông thường người ta sử dụng hai loại metric: metric Euclide (metric Pauli)
với thành phần thứ tư là ảo- không phân biệt chỉ số trên và dưới. Ba thành của
véctơ 4-chiều- các thành phần không gian véctơ 4-chiều, ta chọn là thực, còn thành
phần thứ tư là ảo  1 2 3 4 0, , ,x y zA A A A A A A A A iA
       , các chỉ số
 1,2,3,4  ; Ngược lại, trong trường hợp metric giả Euclide (metric Feynman-
hay Bogoliubov /8/) tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực
 0
,A A A

gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ sô
 0,1,2,3  ,và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều
và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.
   0 0 1 2 3
, , , ,
def
A A A A A A A A
  

(A.1)
Các véctơ phản biến là tọa độ
   0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x
     

, (A.2)
thì các véctơ tọa độ hiệp biến
   0 1 2 3, , , ,x g x x t x x x y x z t x
           

, (A.3)
véctơ năng xung lượng
   , , , ,x y zp E p p p E p
 

. (A.4)
Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định
0 0
AB g A B A B A B AB  
    
 
(A.5)
Tensor metric có dạng
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
g g

 
   
 
 
 
(A.6)

49
Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g g  và g g
  . Thành phần của véc
tơ hiệp biến được xác định bằng cách sau
A g A
  , 0
0 , k
kA A A A   (A.7)
Đạo hàm hiệp biến ,
x t
 
  
      
, , ,
x y z
   
   
   
,
đạo hàm phản biến ,
x t


  
      
div bố chiều 0
.
A
A A
t



  


Sự liên hệ của các hàm truyền trong hai loại metric khác nhau
 
 
 
4 42 2
( ) ( )
2 2P F
gi i
D k D k
k k
 
 

 
   
   
 
   
4 4 4 42 2 2 2
ˆ ˆ1 1 1 1
( ) ( )
ˆ ˆ2 2 2 2
P F
P F
P P F F
ip m p mi i
S p S p
p im p m p m p m   
 
      
   
Lưu ý Pk -xung lượng với chỉ số P là ký hiệu trong metric Pauli, Fk - với chỉ số F là
kí hiệu trong metríc Feynman
Matrận Dirac có sự liên hệ với nhau
Metric Pauli Metric .Feynman-Bogoliubov
 4 4
0
, ,
0
I
I    
 
     

0
0
i

 

 
    
 

 

2         
 0 0 0
, ,
0
I
I

    
 
     

,
0
0

 

 
    

 
 , 

matrận Pauli
2g    
    
5 1 2 3 4
4 0 5 5 5 5
01
,
04!
, , , 1j j
I
I             
        
 
     
    
0 1 2 3
5
0 4 5 5 5 5
0
04!
, , , 1j j
Ii
i
I
   
         
        
 
     
 
    

50
 0, 4 ,Sp Sp       
   4Sp                     
5 0,Sp   5 0Sp      ,
 5 4Sp           
 0, 4 ,Sp Sp g   
   
   4Sp g g g g g g         
      
5
0,Sp   5
0Sp  
    ,
 5
4Sp     
      
Lấy tổng và lấy trung bình theo phân cực
của hạt
   
    
2
,
1
2
1
ˆ ˆ
2
r r
r r
u p Qu p
Sp Q p im Q p im

 
  

4 4Q Q 

Lấy tổng và lấy trung bình theo phân cực
của hạt
   
    
2
,
1
2
1
ˆ ˆ
2
r r
r r
u p Qu p
Sp Q p m Q p m


 
  

0 0
Q Q 

Chuẩn hóa spinor và toán tử chiếu
       0r r r r
r r
p
u p u p u p u p
m
 
  
       0r r r r
r r
p
u p u p u p u p
m
 
     
 
ˆ
( ) ( )
2
r r
r
p im
u p u p p
im
 
    
 

 
ˆ
( ) ( )
2
r r
r
p im
u p u p p
im
  
       
 

       2
, 1p p p p        
Chuẩn hóa và toán tử chiếu
    2r r
r ru p u p m

    2r r
r ru p u p m
   
   ˆ( ) ( )r r
F
r
u p u p p p m   
   ˆ( ) ( )r r
F
r
u p u p p p m        
Thay đổi cách chuẩn hóa spinor ta có thể
biểu diễn toán tử chiếu có dạng tương tự

51
        0p p p p       
   
ˆ ˆ
,
2 2
F F
p m p m
p p
m m
     
       
   
 ( ) ( ) 2r r
F
r
u p u p m p 
 ( ) ( ) 2r r
F
r
u p u p m p     

52
PHỤ LỤC B: CÁC TOÁN TỬ CHIẾU
Chúng ta nhận được các điều kiện trực chuẩn dưới đây đối với các spinơ
Dirac, mà chúng mô tả các trạng thái với độ xoắn xác định.
'
'
'
'
'
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
r r
rr
r r
rr
r r
u p u p
u p u p
u p u p




    

  
(B.1)
Theo các điều kiện chuẩn hóa và trực giao thi các nghiệm đối với hạt có xung lượng
p xác định thỏa mãn hệ thức:
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
, 1,2,3,4
r r r r
r
u p u p u p u p    
 

     

 (B.2)
Dấu trừ trong hệ thức cuối xuất hiện là do điều kiện chuẩn hóa (B .1) đối với các
nghiệm tương ứng với các hạt năng lượng âm.Cần chú y thứ tự các thừa số trong hệ
thức này nó tương ứng với tích trực tiếp của u với u ( )u u và nó là ma trận
44.Một cách tương tự từ điều kiện trực chuẩn ta cũng suy ra được :
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) 4r r r
r
u p u p u p u p

     
(B.3)
Với mục đích đơn giản các kí hiệu đối với các spinơ chúng ta đưa vào kí hiệu :
1 1
2 1
3 1
4 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
n
W p u p
W p u p
W p
W p u p
W p u p


   
   
   
    
   
   
   
(B.4)
ở đây các điều kiện trực chuẩn (B.1) được viết dưới dạng :
w ( )w ( ) ,( , 1,2,3,4)n m n
nmp p n m   (B.5)
Các hệ thức (B.2) và (B.3) bây giờ có dạng :

53
4
1
( ) ( )n n n
n
W p W p I 

 (B.6)
4
1
( ) ( ) 4n n n
n
W p W p 

 (B.7)
Khi tính các tiết diện hiệu dụng đối với các quá trình với các hạt spin ½ tham gia
thường phải lấy tổng theo các trạng thái spin trung gian và cụ thể theo các trạng thái
trung gian,mà chúng chỉ có năng lượng dương,hay một cách tương tự chỉ theo các
trạng thái với năng lượng âm.Giả sử tổng cần quan tâm có dạng:
 
2
1
2 4 4
1 , 1 . 1
( )( )s s
s
s s
s
fQW W Pg
f Q W W P g     
   

  
  
 
  
 

  
(B.8)
Trong đó Q và P là các toán tử nào đấy (tích của các ma trận Dirac) f và g là các
spinơ,còn tổng theo s chỉ được lấy theo 2 trạng thái W với năng lượng dương
.Trong trường hợp của các trạng thái với năng lượng âm được tính hoàn toàn một
cách tương tự.
Bây giờ ta tìm các toán tử chiếu hiệp biến ,mà phép thế chúng vào vế phải của
(B.9)cho phép mở rộng phép lấy tổng theo tất cả 4 trạng thái W(p) thay cho 2 trạng
thái, sau đó biểu thức nhận được có thể được đơn giản nhờ công thức (B.7). Chúng
ta muốn toán tử chiếu cần thiết khi tác dụng lên spinơ W sẽ làm nó không đổi nếu
như W là trạng thái với năng lượng dương, và cho không nếu W là trạng thái với
năng lượng âm.
Nếu chúng ta chỉ quan tâm các trạng thái của các hạt với năng lượng âm thì một
cách hoàn toàn tuơng tự chúng ta có thể xác định toán tử chiếu dưới dạng với năng
lượng âm .Toán tử như vậy có thể xây dựng được vì ta biết được phương trình
Dirac cho các spinơ của chúng có dạng :
     ˆ ˆ0 ( ) 0, 1,2n
p im u p p im W p n      (B.9)
     ˆ ˆ0 ( ) 0, 3,4n
p im u p p im W p n      

54
Các phương trình (B.9 và B.10) xác định toán tử chiếu đối với các trạng thái của
các hạt với năng lượng 4 chiều p dưới dạng :
ˆ
( )
2
p im
p
im

  (B.10)
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,2
n n
p W p W p hay p u p u p
n
   

(B.11)
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
3,4
n
p W p O p hay p u p
n
    

(B.12)
Và
2 2 2
2
2
ˆ ˆ ˆ2
( ) ( )
2 4 2
p im p im p m p im
p p
im m im
    
      
 
(B.13)
Vì đối với các hạt tự do p2
= -m2
Chú y các hệ thức (B.7),(B.8) và (B.13),chúng ta có :
2
1
1
1
ˆ
( ) ( ) ( )
2
( ) ( )
n n
n
r r
r
p im
p W p W p
im
u p u p



   



(B.14)
Thật vậy,nhân vào phía phải các phương trình (B.16) với w ( )n n
p  rồi lấy tổng theo
n=1,2 ta có :
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n
n n
p W p W p W p W p 
 
   (B.15)
Từ phương trình ( )w ( ) 0n
p p  ;n=3,4 ta có:
4
3
( ) ( ) ( ) 0n n n
n
p W p W p 

  (B.16)
Cộng từng vế của (B.17) và (B.18) ta nhận được:
4 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n
n n
p W p W p W p W p 
 
   (B.17)
Chú y (B.7) ta nhận được :

55
2
1
( ) ( ) ( )n n
n
p W p W p

  (B.18)
Đó là điều phải chứng minh.Ở đây ( ) n
p  cũng có những tính chất như toán tử
( )p vì đối với các trạng thái với năng lượng âm khi 1n
   thì tác dụng của toán
tử ( )p lên spinơ Wn
cho không.Điều đó cho phép ta viết biểu thức (A.8) dưới
dạng :
  
2
1
s s
s
fQW W Pg

   (B.19)
    
 
4
1
( ) ( .6)
( )
s s s
s
fQ p W W Pg A
f Q p Pg


    
 
 (B.20)
Như vậy chúng ta đã đạt được mục đích đặt ra của chúng ta là tính tổng theo tất cả
các trạng thái trung gian của tất cả các hạt.
Nếu chúng ta chỉ quan tâm các trạng thái của các hạt với năng lượng âm thì một
cách yytương tự chúng ta có thể xác định toán tử chiếu dưới dạng :
ˆ
( )
2
p im
p
im
 
   (B.21)
Nó có các tính chất sau :
( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )
( 3, 4)
n n
p W p W p hay p u p u p
n
      

(B.22)
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
( 1,2)
n
p W p hay p u p
n
      

Và

56
 
4
2
3
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
n
r r
r
p p W p W p
u p u p


       
  


(B.23)
Chú y tổng ( )p và ( )p  là ma trận đơn vị :
( ) ( )p p I     (B.24)
Và tích
( ) ( ) ( ) ( ) 0p p p p       (B.25)
Xác suất của một quá trình nào đấy tỉ lệ với bình phương biên độ | |M 2
với
fi f i fM u Qu W QWi  (B.26)
Trong đó các spinơ fu và iu tương ứng với các đường ra, vào ngoài của giản đồ,
còn Q là ma trận tác dụng lên các biến spin
   
   
*
2 *
| |fi fi fi f f
f i
M M F W Q W W Q Wi i
W Q W W Q Wi f
  

(B.27)
Trong đó
4 4Q Q 
 (B.28)
Trong nhiều trường hợp ta không quan tâm đến trạng thái spin cuối của hạt.Lúc đó
ta cần phải lấy tổng theo hai trạng thái spin cuối. Theo như phương pháp đã trình
bày ở đây thì phép lấy tổng có thể thực hiện được sau khi thay thế vào các toán tử
chiếu thích hợp. Giả sử các trạng thái đầu và cuối được mô tả bởi các spinơ Wi =
u(p) và
Wf(p) =u(p) tương ứng với các trạng thái năng lượng dương. Lúc đó bằng cách lấy
tổng theo các trạng thái spin cuối ta có :
Tổng | |M 2
theo các trạng thái spin cuối bằng

57
  
 
2
1
4
1
( ')
( ')
s s
i f f i
s
s s s
i f f i
s
i i
W Q W W Q W
W Q p W W QW
W Q p QW



 
  
 

 (B.29)
Nếu trạng thái đầu cũng không phân cực thì ta phải lấy trung bình theo các trạng
thái spin đầu.
Giá trị trung bình
2
M theo các trạng thái spin đầu và tổng theo các trạng thái
spin cuối bằng :
     
 
 
2
1
4 4
1 , 1
4
, 1
1
( ')
2
1
( ') ( )
2
1
( ') ( )
2
1
( ') ( )
2
s s
i i
s
s s s
i i
s
W Q p W
W Q p Q p W
Q p Q p
Sp Q p Q p
 
  

  



 

  
  
  
  

 

(B.30)

58
PHỤ LỤC C : TÁI CHUẨN HÓA
Như chúng ta đã thấy trong phần trước, khi tính đến bổ chính một vòng thì chúng ta
không thể tránh khỏi những tích phân phân kỳ. Đó là một đặc trưng không thể thiếu
của những đóng góp của những giản đồ Feynman bậc cao. Để khử những phân kỳ
đó thì các nhà vật lý đã đưa ra một vài phương pháp khác nhau nhưng cũng đã đẫn
đến cùng một kết quả phù hợp với thực nghiêm. Khi tính toán người ta phát hiện ra
một điều răng, có thể có một vài hạt nặng đóng góp vào giản đồ một vòng và rồi đã
làm những phân kỳ nhắc tới ở trên biến mất (sự sinh hủy các hạt ảo trong giản đồ
một vòng).
Cụ thể hơn việc tái chuẩn hóa đã được các nhà vật lý làm như sau:
Giả sử chúng ta xét giản đồ năng lượng riêng của electron với ( )FG p là hàm truyền
toàn phần của electron khi gồm cả các bậc cao trong lý thuyết nhiễu loạn, 0 0,e m lần
lượt là điện tích “trần” và khối lượng “trần” của electrong khi chưa kể đến tương tác
của chúng đối với các trường khác. Ta có:
(1)
( ) ( )F F
e
i
G p G p
p m i
 
  (C. 1)
Đại lượng (1)
( )FG p là đại lượng phân kỳ.
Để khử phân kỳ, chúng ta thƣờng làm theo 3 bƣớc sau:
Bƣớc 1: Điều chỉnh.
Ở đây chúng ta đưa ra một tích phân hữu hạn (1)
( , )FG p  phụ thuộc vào tham số  (
thường được gọi là “cutoff”). Tích phân này có tính chất như sau:
(1) (1)
( , ) ( )F FG p G p
 
(C.2)
Chúng ta có thể tách tích phân trên thành một phần phân kỳ và một phần hữu hạn:
(1)
( , ) ( , ) ( , )F pk htG p A p A p    
(C.3)
( , )htA p  đưa đến những hiệu ứng vật lý đo được được biết tới như là bổ chính bức
xạ
Bƣớc 2: Tái chuẩn hóa.

59
Nếu lý thuyết có thể tái chuẩn hóa thì thành phần phân kỳ ( , )pkA p  có thể được
gộp vào trong hàm truyền ở mức cây
2
( ) ( , ) ( , )
( )
( , )
( )
F pk ht
e
ht
e
i
G p A p A p
p m i
iZ
A p
p m i


 
     
  

  
   (C.4)
Và như thế ( )FG p là đại lượng hữu hạn hay nói một cách khác phân kỳ đã được
khử, những đã có điều gì đó đã phải thay đổi!
Bƣớc 3: Gỡ bỏ sự phụ thuộc vào .
Cuối cùng ta lấy giới hạn lim ( )FG p

.
C.1. Tái chuẩn hóa điện tích của electron
Trong phần này chúng ta sẽ tính toán đóng góp của giản đồ phân cực chân
không. tôi xin được vắn tắt hóa các tính toán phức tạp và tập trung vào việc đưa ra
các kết quả của việc tái chuẩn hóa nhằm phục vụ cho những tính toán chính của bài
luận văn này.
k v
p + k
+
k k
v
p
Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không
Hàm truyền của photon khi tính đến bổ chính một vòng:
' ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
F F F F
i q
iD q iD q iD q iD q

   


  (C.5)
ở đây:
( )FD q là hàm truyền của photon ở mức giản không có vòng
( )q
 là tensơ phân cực chân không với:
4
2
0 4
( ) 1
4 (2 )
i q d k
e Tr
k


 

 
1
(em i k

  q ) em i
 
 
   
 (C.6)

60
Do ( )q là một tensơ lorentz nên có thể phân tích thành các số hạng chứa
, ,g q q   và hàm vô hướng của 2
q , cụ thể là:
2 (1) 2 (2) 2
( ) ( ) ( )q Dg g q q q q q         
Thay (C.6) vào (C.5) khi 2
0q  ta được :
' 2
2
4
( 0)F
ig
iD q
q D i





 
 
(C.7)
Như vậy hàm truyền của photon tương ứng với hàm truyền của một hạt boson với
khối lượng là D .
Từ (C.7) và (C.6) ta được :
 
4
2
0 4 2 2 2 2
2 24
2
0 24 2 2
1
(0)
4 (2 )
2
8
(2 )
e e
e e
e
e
k m k md k
D ie Tr
k m i k m i
m kd k
ie
k m i
 
   
  

 
  
    
    


 


(C.8)
Trong trường hợp hạt truyền là Photon thì D phải bằng không, nhưng ta thấy từ
công thức trên D là đại lượng phân kỳ, điều đó là do định nghĩa chúng ta về tensơ
phân cực chân không trong công thức (3.6) là chưa được chính xác. Để khử phân kỳ
trên ta phải định nghĩa lại tensơ phân chực chân không. Từ công ban đầu, ta thêm
một phần để rồi tich phân kết quả giảm đủ mạnh khi k tăng lên. Hay chúng ta đưa
vào một khối lượng phụ iM và hằng số mới iC . Và đến gần cuối ta cho iM  để
thu được kết quả cuối cùng và kết quả đó sẽ không phụ thuộc vào iM và iC .
4 2 2
1
( ) ( , , ) ( , , )
N
e i i
i
q d k f q k m C f q k M  

 
   
 

(C.9)
 
 
4
2
0 4 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) ( )
( ) 4
(2 ) ( )
( ) ( )
( )
e e
e e
N
i i
i
i i i
Tr k m k q md k
q ie
k m i k q m i
Tr k M k q M
C
k M i k q M i





 

  
 
 
        
       
      
       



61
 
2 24
2
0 4 2 2 2 2
( ) ( ) ( . )
( ) 16 Re
(2 ) ( )
e
e e
k k q k k q g k q k md k
q ie g
k m i k q m i
    
 
  
       
   
        

ở đây Reg là phần thêm vào
Sử dụng các công thức và thuật toán sau để giải :
  2 2
2 2
0
exp e
e
i
d i k m i
k m i
  


      
   0exp | ii z
i
ik ikz
z
  


 (C.10)
  
4 2
2
4 2 2
exp . exp
(2 ) (4 ) 4
d k i ib
i ak b k
a a 
      
 

Ta được :
   
 
 
 
 
2 2 21 2
0 1 2 1 22 2
1 20 0 1 2
2 2 21 2 1 2
2 2
1 21 2 1 2
( ) 16 exp
4
2
Re
e
e
i
q i e d d i m q
i
q q g q g q m g

   
 
    
   
   
    
       
           
           
      
 
(C.11)
Ta viết ( )q dưới dạng ngắn gon sau :
 2 2
( ) ( )q q q g q q         
(C.12)
ở đây
 
 2 2 2 21 2 1 2
0 1 2 1 24
0 1 20 0 1 2
2
( ) exp
N
i i
i
q e d d C i M q
   
   
   
 

   
       
    
 

62
   
 
2
2 20 1 2
1 2 2 2
0 1 20 0 1 2 1 2
2 21 2
1 2
1 2
1
exp
N
i i
i
i
e i
g d d C q M
i M q
 
 
 
     
 
 
 
 

 
    
   
   
     
   
 
(C.13)
Số hạng thứ hai sẽ biến mất khi chúng ta đổi biến
Áp dụng các công thức sau để tính 2
( )q với i iQ  , 1 2 (1 )    
 1 2
0
1 ( )dQ Q  

  
(C.14)
Ta được kết quả :
1 1 2 2
2 2
0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
0 0
12 2
2
0 2 2
0
2
2 2
0 2
2
( ) (1 ) ln 1 ln
2 1
ln (1 )ln 1 (1 )
6
1
ln ( )
3
e e
e e
R
e
q
q e d d
m m
q
e d
m m
e q
m
        

   


   
       
   
   
       
   

 
 

(C.15)
ở đây ta ký hiệu

22
2 2
0
ln ln
N
i
i
ie e
M
C
m m

  , với  là phần cắt xung lượng.

1 2
2 2
0 2
0
2 2 2
0
2 2
2
( ) (1 )ln 1 (1 )
1 1
...
15 140
R
e
e e
q
q e d
m
e q q
m m
   


 
     
 
 
    
 

(C.16)
Nhƣ vậy ta đã tách phần phân kỳ ra khổi hàm gốc, phần này không phụ thuôc
vào xung lƣợng, và phần còn lại là phần hữu hạn.
Vậy ta có yếu tố ma trận khi tính đến bổ chính một vòng được viết dưới dạng sau

63
   
     
   
 
(2) ' '
0 1 1 0 2 22 2
' (0) 2 '
0 1 1 0 2 22
2 2
' (0) 2 '0
0 1 1 0 2 22
'
0 1 1
44
( )
4
4
( ) ( )
( ) 1 ln ( )
3
fi
F
R
F
e
igi i
M e ie u u g q ie u u
q q
ig
ie u u iD q g g q q q q ie u u
q
e
ie u u iD q q ie u u
m
ie u u

 
 

 
   
 


 


 
 


 
     
 
 
      
 
 
      
 
     2 (0) '
3 0 2 21 ( ) ( )R
FZ q iD q ie u u
    
(C.17)
Trong đó ta đặt
2 2
0
3 2
1 ln
3 e
e
Z
m

 
Đây chính là phần phân kỳ ta đã tách ra được
Trong trường hợp 2
q nhỏ thì ta có 2
( ) 0R
q  ,Công thức trên trở thành
   
     
(2) ' (0) '
0 1 1 3 0 2 2
' (0) '
0 3 1 1 0 3 2 2
( )
( )
fi F
F
M ie u u Z iD q ie u u
i e Z u u iD q i e Z u u
 
 
 
 
    
     
   
(C.18)
Công thức này sẽ giống với dạng của công thức ứng với quá trình tán xạ không có
vòng nếu chúng ta đặt 0 3Re e Z ,tức là
 (2) ' (0) '
1 1 2 2( )fi R F RM ie u u iD q ie u u 
         
(C.19)
Hay nói một cách khác khi xung lượng của hạt nhỏ thì phần phân kỳ được gộp vào
điện tích của hạt. Trong trường hợp xung lượng lớn hơn thì ta không thể bỏ qua
phần 2
( )R
q được. Phần này có đóng góp đáng kể vào biểu thức tiết diện tán xạ vi
phân và biểu thức thế tương tác giữa hai hạt.
Kết luận : Bằng cách tái chuẩn hóa lại điện tích của electron, ta đã giải quyết
đƣợc phần phân kỳ sinh ra bởi giản đồ một vòng ở xung lƣợng nhỏ. Ta có thể
biểu diễn kết luận trên bằng hình vẽ sau:

Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT

Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT

Similar to Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT (20)

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Tán xạ hai hạt trong điện động lực học lượng tử, HOT