chương 3: hệ phương trình tuyến tính

1. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình dạng
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(1)
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =
Trong đó 1 2, ,..., nx x x là các ẩn và ,ij ja b ∈¡ là các hằng số, được gọi là hệ phương trình
tuyến tính m phương trình, n ẩn.
Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 
M M O M
được gọi là ma trận các hệ số của hệ (1).
Ma trận
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A
a a a b
 
 
 =
 
 
  
M M O M M
là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1).
2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở
rộng của nó.
Cột
1
2
m
b
b
b
 
 
 
 
 
 
M
được gọi là cột tự do của hệ (1).
Hệ (1) có thể được viết lại dưới dạng
1 1
2 2
n m
x b
x b
A
x b
   
   
   =
   
   
   
M M
với A là ma trận các hệ số của hệ (1).
Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì
ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Ta nói 1 2( ; ;...; )nc c c là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay j jx c= thì tất cả các phương trình
trong hệ (1) đều thỏa mãn.
Nếu ( )1 2 ...
T
nX x x x= và ( )1 2 ...
T
mB b b b= thì hệ phương trình có thể viết được dưới
dạng: AX = B.
3. Ví dụ:
Hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
4;
2 3,
x x x
x x x
x x x
− + =

+ + =
 − − = −
là một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn trên ¡ .
Đại số tuyến tính 1 63

2. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình này còn có thể được viết dưới dạng
1
2
3
2 1 1 1
1 1 1 4
1 1 2 3
x
x
x
−     
     =     
     − − −     
hoặc
2 1 1 1
1 1 1 4
1 1 2 3
 − 
 
 
 − − − 
Trong đó 3
(1,2,1)∈¡ là một nghiệm của hệ phương trình trên.
4. Một vài hệ phương trình đặc biệt:
4.1 Hệ Cramer:
Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình
bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A không suy biến (hay det 0)A ≠ .
Ví dụ:
Hệ phương trình
1 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3 2
4 8 3
x x
x x x
x x x
+ =

− + =
 + + =
là hệ Cramer.
4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Nếu cột tự do của hệ bằng 0 (tức là 1 2 ... 0b b= = = ) thì hệ phương trình tuyến tính (1) được
gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Hệ này được gọi là hệ liên kết với hệ phương trình (1).
4.3 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm là
1 2( , ,..., ) (0,0,...,0)nx x x = và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
5. Các định lý và tính chất:
5.1 Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp
nghiệm xảy ra là:
- Có một nghiệm duy nhất;
- Vô nghiệm;
- Có vô số nghiệm.
5.2. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc
có vô số nghiệm.
5.3 Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau nếu
chúng có cùng tập hợp nghiệm.
5.4. Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương
đương dòng với nhau thì chúng tương đương nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau:
Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hóa lần lượt là
° ( )A A B= và ° ( | )C C D= . Khi đó nếu ° °A C: thì hai hệ phương trình tương đương nhau.
5.5. Nhận xét:
Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách tùy ý đối với ma trận hóa
của một hệ phương trình tuyến tính để đưa nó về dạng một hệ phương trình tuyến tính đơn giản
hơn.
Đại số tuyến tính 1 64

3. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
5.6 Ví dụ: Để giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
4;
2 3,
x x x
x x x
x x x
− + =

+ + =
 − − = −
ta tiến hành ma trận hóa và sử dụng
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hóa về dạng đơn giản.
1
3 11 2
3 2 2 3 2 1
3 11 3
1
2 7
3
23
2 1 1 1 0 3 1 7 0 0 7 7 0 0 1 1
1 1 1 4 1 1 1 4 1 0 3 4 1 0 0 1
1 1 2 3 0 2 3 7 0 1 2 0 0 1 0 2
d
d dd d
d d d d d d
d dd d
−
−−
− − −
++
 −   − − −   − −   
       
→ → →       
       − − − − − − −       
Vậy hệ đã cho tương đương với
1 2 3 1
1 2 3 2
31 2 3
0 0 1; 1
0 0 1; 2
10 0 2
x x x x
x x x x
xx x x
+ + = = 
 
+ + = ⇔ = 
  =+ + =  ■
5.7. Định lý: Giả sử 0u là một nghiệm cho trước của hệ phương trình (1). Khi đó n
u K∈ là
một nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi 0u u v= + , với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất liên kết với hệ (1).
Nói cách khác nếu 1 2, ,..., rv v v là các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên
kết thì ta có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là 0 1 1 2 2 ... ,r ru u t v t v t v= + + + +
trong đó 1 2, ,..., .rt t t K∈
5.8. Định nghĩa: Một nghiệm cố định 0u của hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là
nghiệm riêng, còn nghiệm 0 1 1 2 2 ... r ru u t v t v t v= + + + + được gọi là nghiệm tổng quát của hệ.
Ví dụ:
Xét hệ phương trình sau:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 3 2 4
3 7 2 4 7
5 10 5 10 15
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =

− + + =
 − − + =
(1)
Nhận xét hệ 1 có 1 nghiệm là 0 (1,0,0,1)u =
Xét hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ (1).
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 3 2 0
3 7 2 4 0
5 10 5 10 0
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =

− + + =
 − − + =
Hệ thuần nhất này có các nghiệm là 1 2(11,5,1,0); ( 6, 2,0,1)v v= = − − .
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình ban đầu là 0 1 1 2 2u u t v t v= + +
Đại số tuyến tính 1 65

4. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
_______________________________________________________
1. Phương pháp Cramer:
Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau:
1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(2)
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =
trong đó
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 
M M O M
là ma trận các hệ số. Khi đó,
- Nếu det 0A ≠ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức sau:
det
det
i
i
A
x
A
= , trong đó iA chính là ma trận thu được ma trận A bằng cách thay cột i bởi cột hệ
số tự do
1
2
n
b
b
b
 
 
 
 
 
 
M
- Nếu detA = 0 và tồn tại {1,2,...., }j n∈ sao cho | | 0jA ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu detA = 0 và | | 0, 1,jA j n= ∀ = thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất (nghĩa
là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm). Nếu xảy ra trường hợp này thì ta sẽ dùng phương pháp
Gauss (được nêu trong phần tiếp theo) để giải hệ phương trình này.
1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không
tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.
Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn.
1.3 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
1 2
2 3
1 3
(1)
ax bx c
cx ax b
cx bx a
+ =

+ =
 + =
với a, b, c là các số khác 0.
Giải:
Ta có
0
det 0 2 0
0
a b
A c a abc
c b
= = ≠ nên đây là hệ Cramer. Hơn nữa
2 2 2
1
0
det ( )
0
c b
A b c a a b c b
a b
= = − +
Đại số tuyến tính 1 66

5. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 2 2
2
0
det 0 ( )
a c
A b a a b c a
c a b
= = − + +
2 2 2
3det 0 ( )
0
a b c
A c b a b c c
c a
= = + −
Do đó, hệ có nghiệm duy nhất
2 2 2
1
1
det
det 2
A a b c
x
A ac
− +
= = ;
2 2 2
2
2
det
det 2
A a b c
x
A bc
− + +
= = ;
2 2 2
3
3
det
det 2
A a b c
x
A ab
+ −
= =
■
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
2 4 2
2 2
x x x
x x x
x x x
+ + =

− − − =
 + + = −
Giải:
Ta có |A|=0 và 1| | 8A = nên hệ phương trình vô nghiệm. ■
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 2
2 2 1
x x x
x x x
x x x
+ + =

− − =
 − − =
Ta có
1 2 3det 0;det det det 0A A A A= = = =
Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.
Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên.
2. Phương pháp Gauss:
2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
(1)
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
 + + + =


 + + + =
A và A lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng. Khi đó:
i) Nếu rankA rank A< thì hệ (1) vô nghiệm;
ii) Nếu rankA rank A r= = thì hệ (1) có nghiệm. Hơn nữa:
 Nếu r = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.
 Nếu r < n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc n – r tham số.
Đại số tuyến tính 1 67

6. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi là thuật toán Gauss):
Lập ma trận các hệ số mở rộng A . Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A
về dạng bậc thang. Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:
1
2
*
1 1 1
*
2 2 2
*
1
0 ... ... .... .... .... ...
0 ... 0 ... ... ... ...
...... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 ... ... ... ...
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0
...... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0
r
i n
i n
rri rn
r
m
c c d
c c d
A C dc c
d
d
+





→ =













 
 
Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó:
1) Nếu tồn tại ít nhất id với 1r i m+ ≤ ≤ khác 0 thì hệ vô nghiệm.
2) Nếu 1 2 ... 0r r md d d+ += = = = thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột 1 2, ,..., ri i i (là các cột được
đánh dấu * ) được giữ lại bên trái và các 1 2
, ,..., ri i ix x x là các ẩn, còn các cột còn lại thì được
chuyển sang bên phải, các ẩn kx tương ứng với các cột này sẽ trở thành tham số. Vậy ta sẽ có
n – r tham số và hệ đã cho tương ứng với hệ
1 2
2
1 1 1 1
2 2
... ( )
0 ... ... ( )
(3)
...... ... ... ...
( )0 0 ...
r
r
i i i k
i k
r kri
c c c d x
c d x
d xc
 
 
 
 
 
 
 
Trong đó ( )i kd x là các hàm tuyến tính của kx với 1 2, ,..., rk i i i≠ . Hệ phương trình (3) là hệ
phương trình dạng tam giác ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần từ dưới lên, tức là
tính lần lượt 1 1
, ,...,r ri i ix x x−
.
Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải là số
khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần làm gì tiếp.
Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss có dạng A’|B’ thì A’
được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc hay đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu AR .
Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của AR .
2.3 Các ví dụ:
a) Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
2 2 2 (*)
3 4 2
x x x
x x x
x x x
+ + =

− + − =
 + + = −
Giải:
Vì 1 2 3| | | | | | | | 0A A A A= = = = nên ta không thể dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương
trình này.
Ta sẽ áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.
Đại số tuyến tính 1 68

7. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau:
3 3 22 2 1
3 3 1
2 2
2
3
1
5
1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0
2 1 2 2 0 5 2 2 0 5 2 2
3 1 4 2 0 5 2 2 0 0 0 0
1 2 2 0
0 1 2 / 5 2 / 5
0 0 0 0
d d dd d d
d d d
d d
→ +→ +
→ −
→
     
     
− − → →     
     − − − −     
 
 
→ 
  
Vậy hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số 3x .
1 2 3 3 3 3
2 3
3
4 4 4 6
2 2 2
5 5 5 5
2 2
5 5
x x x x x x
x x
x
− − −
= − − = + − = −


= −

∈


¡
■
Chú ý:
- Khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì dù giải bằng phương pháp nào ta cũng có thể có
nhều cách chọn biến tự do.
- Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm cơ bản.
b) Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 5 9
3 2
3 6 25
x x x
x x x
x x x
+ + = −

− + =
 − − =
Giải:
Ta tiến hành giải bằng thuật toán Gauss như sau:
2 2 1
3 3 1 3 3 23 4
1 2 5 9 1 2 5 9 1 2 5 9
1 1 3 2 0 3 2 11 0 3 2 11
3 6 1 25 0 12 16 52 0 0 8 8
d d d
d d d d d d
→ −
→ − → −
 −   −   − 
     
− → − − → − −     
     − − − − −     
Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:
1 2 3
2 3
3
2 5 9
3 2 11
- 8 8
x x x
x x
x
+ + = −

− − =
 =
Do đó nghiệm của hệ là 1 2 3( , , ) (2, 3, 1)x x x = − − .
Sinh viên có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong các tài liệu viết về đại số
tuyến tính.
Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến đổi trên dòng đối
với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có các tính chất sau:
- Các dòng khác 0 thì nằm trên các dòng 0;
- Hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1.
- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0.
Ví dụ: Ta có thể dùng thuật toán Gauss Jordan để giải lại hệ phương trình trên:
Đại số tuyến tính 1 69

8. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 2 1
3 3 1 3 3 2
2 2 3
3 3
1 1 3
3 4
1 2
58
1 2 5 9 1 2 5 9 1 2 5 9
1 1 3 2 0 3 2 11 0 3 2 11
3 6 1 25 0 12 16 52 0 0 8 8
1 2 5 9 1 2 0 4
0 3 2 11 0 3 0 9
0 0 1 1 0 0 1 1
d d d
d d d d d d
d d d
d d
d d d
→ −
→ − → −
− → +
→
→ −
 −   −   − 
     
− → − − → − −     
     − − − − −     
 −   −
 
→ − − → − 
 − − 
2 2
1 1 2
1
3
2
1 2 0 4
0 1 0 3
0 0 1 1
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 1
d d
d d d
−
→
→ −
  − 
   
→ −   
   −   
 
 
→ − 
 − 
Vậy nghiệm của hệ là 1 2 3( , , ) (2, 3, 1)x x x = − − .■
Ví dụ: Giải hệ phương trình với ma trận hệ số mở rộng là
1 1 0 0 7
0 1 1 1 5
1 1 1 1 6
0 1 0 110
A
 
 
− =
 −
 
−  
Giải
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang.
3 3 2
3 3 1 4 4 2
4 4 3
2
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
0 1 1 1 5 0 1 1 1 5 0 1 1 1 5
1 1 1 1 6 0 2 1 1 1 0 0 1 3 9
0 1 0 110 0 1 0 110 0 0 1 2 5
1 1 0 0 7
0 1 1 1 5
0 0 1 3 9
0 0 0 1 14
d d d
d d d d d d
d d d
A
→ +
→ − → −
→ +
     
     
− − −     = → →
     − − − −
     
− − −          
 
 
− →
 −
 
 
Các phần tử trên đường chéo 1; 1; -1; 1 được gọi là phần tử đánh dấu. Ta sẽ khử các phần tử
còn lại của các phần tử ở các cột chứa phần tử đánh dấu ngược từ dòng 4 lên dòng 1 để được
ma trận bên vế trái là ma trận đơn vị.
3 3 4
3 32 2 4
2 2 3 1
3
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
0 1 1 1 5 0 1 1 0 9 0 1 1 0 9
0 0 1 3 9 0 0 1 0 43 0 0 1 0 43
0 0 0 1 14 0 0 0 1 14 0 0 0 1 14
1 1 0 0 7
0 1 0 0 34
0 0 1 0 43
0 0 0 1 14
d d d
d dd d d
d d d d
→ −
→−→ −
→ +
     
     
− − − − −     → →
     − − −
     
          
 
 
 →
 
 
  
1 2
1 0 0 0 27
0 1 0 0 34
0 0 1 0 43
0 0 0 1 14
d d→ −
 − 
 
 →
 
 
  
Khi đó nghiệm của hệ phương trình là ( 27,34,43,14)x = −
3. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Đại số tuyến tính 1 70

9. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Các ví dụ:
a) Giải hệ phương trình sau:
1 2 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 5
2 2 1
2 4 3 3
3 6 2 3
2 2 8
x x x x
x x x x
x x x x x m
x x x x m
+ + + =
 + + + =

+ + + + =
 + + + = −
Giải:
Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên là
2 2 1
3 3 1
4 4 1
3 3 2
4 4 2 4 4 3
2
3
2
1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1
2 4 1 3 0 3 0 0 1 1 2 1
3 6 2 3 1 0 0 2 3 2 3
1 2 1 0 1 2 8 0 0 1 2 0 2 9
1 2 0 2 1 1
0 0 1 1 2 1
0 0 0 1 2 5
0 0 0 1 2 2 10
d d d
d d d
d d d
d d d
d d d d d d
B
m m
m m
m
m
→ −
→ −
→ −
→ −
→ − → −
   
   
− −   = →
   − − −
   
− − −      
 
 
− − →
 − −
 
− −  
1 2 0 2 1 1
0 0 1 1 2 1
0 0 0 1 2 5
0 0 0 0 0 5
m
m
 
 
− − →
 − −
 
−  
Nếu 5m ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu m = 5 thì hệ phương trình trở thành
1 2 0 2 1 1
0 0 1 1 2 1
0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0
 
 
− − 
 −
 
  
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc tham số 5 2,x x với 2 5,x x ∈¡
1 4 2 5
3 4 5
4 5
2 1 2
1 2
2
x x x x
x x x
x x
+ = − −

− = +
− = −
. Từ đó suy ra,
4 5
3 5
1 2 5
2
4 1
2 5 1
x x
x x
x x x
=

= +
 = − − + ■
b) Giải hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1
1
1
x x x mx
x x mx x
x mx x x
mx x x x
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
Giải:
Ta viết hệ trên dưới dạng ma trận hóa như sau:
Đại số tuyến tính 1 71

10. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 32 2 1
3 3 1
4 4 1
4 4 3 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
1 1 1
0 1 0 1
d dd d d
d d d
d d md
d d d d
m m m
m m m m m
m m m m m
m m m m m m m
m
m m
↔→ −
→ −
→ −
→ + +
     
     
− − − −     → →
     − − − −
     
− − − − − −          
− −
→
2
1
0
0 0 1 1 0
0 0 0 3 2 0
m m
m m
 
 
 
 − −
 
− −  
Vì 2
3 2 (1 )( 3)m m m m− − = − + nên:
Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên có dạng
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
  
Khi đó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số 2 3 4, ,x x x . Tức là
1 2 3 4
2
3
4
1x x x x
x
x
x
= − − −
 ∈

∈
 ∈
¡
¡
¡
Đặt
2 2
3 3
4 4
x t
x t
x t
= ∈

= ∈
 = ∈
¡
¡
¡
thì 1 2 3 41x t t t= − − −
Khi m =-3 thì hệ trở thành
1 1 1 3 1
0 4 0 4 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0 4
 − 
 
− 
 −
 
  
. Hệ phương trình vô nghiệm.
Khi 3, 1m m≠ − ≠ thì hệ pt có nghiệm duy nhất
4 2
3 4
2 4
1 2 3 4
1 1
3 2 3
1
3
1
3
1
1
3
m
x
m m m
x x
m
x x
m
x x x mx
m
−
= =
− − +
= =
+
= =
+
= − − − =
+
Kết luận:
- Nếu m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
- Nếu m = -3 thì hệ vô nghiệm.
- Nếu 1, 3m ≠ − thì hệ có một nghiệm duy nhất 1 2 3 4
1
3
x x x x
m
= = = =
+
.■
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:
Đại số tuyến tính 1 72

11. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
x y z t a
x y z t b
x y z t c
x y z t d
− + + + =
 − + + =

+ − + =
 + + − =
Cộng theo vế 4 phương trình ta được:
2
a b c d
x y z t
+ + +
+ + + = (*)
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (1) của hệ được:
2
2 4
a b c d a b c d
x a x
+ + + − + + +
= − ⇒ =
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (2) của hệ được:
4
a b c d
y
− + +
=
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (3) của hệ được:
4
a b c d
z
+ − +
=
Thực hiện tương tự lấy (*) trừ cho phương trình thứ (4) của hệ được:
4
a b c d
t
+ + −
=
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
1
1
1
1
mx y z t
x my z t
x y mz t
x y z mt
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
Giải
Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan).
Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:
( 3)( ) 4m x y z t+ + + + = (*)
Nhận xét:
Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm
Khi m = 1 hệ có vô số nghiệm.
1 2 3
1
2
3
x t t t t
y t
z t
t t
= − − −
 =

=
 =
với 1 2 3, ,t t t ∈¡
Khi 3, 1m m≠ − ≠ thì chia biểu thức (*) cho m + 3 ta có
4
3
x y z t
m
+ + + =
+
Đại số tuyến tính 1 73

12. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được:
1
3
x
m
=
+
Thực hiện tương tự ta được
1
3
y z t
m
= = =
+
Tóm tắt chương
Ở chương này, thông qua việc vận dụng các kiến thức về định thức và ma trận ta nghiên cứu
thêm các phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Sau khi học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:
1. Hệ phương trình tuyến tính có những yếu tố gì cần biết để giải? Nghiệm của hệ được xác
định ra sao? Khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? Thế
nào là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?
2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung nào đã học ở
chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm phương pháp
Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác nhau của phương pháp Gauss và phương pháp Gauss
Jordan?
3. Điều kiện cần thiết để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình
bày phương pháp Cramer?
BÀI TẬP
1) Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp
Gauss:
a)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6;
2 3 7 16;
5 2 16.
x x x
x x x
x x x
+ − =

+ − =
 + + =
b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 2 3 15;
5 3 2 15;
10 11 5 36.
x x x
x x x
x x x
+ + =

− + =
 − + =
c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
2 2 4;
4 4 2.
x x x
x x x
x x x
+ + =

− + =
 + + =
d)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5;
2 3 1;
2 3 11.
x x x
x x x
x x x
+ + =

+ + =
 + + =
e)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2;
2 3 4 2;
2 3 5 9 2;
2 7 2.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
f)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 5;
3 4 1;
3 6 2 8;
2 2 2 3 2.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
 + − − = −

+ − + =
 + + − =
g)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5;
2 3 4 3;
4 2 3 7;
3 2 3 4 2;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
h)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2;
4 3 2 3;
8 5 3 4 6;
3 3 2 2 3;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ − + =
 + − + =

+ − + =
 + − + =
k)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
3 2 5 3;
2 3 5 3;
2 4 3;
4 9 22;
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
− − + =

− + + = −

+ − = −
 − − + =
l)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
;
;
;
;
x x x x a
x x x x b
x x x x c
x x x x d
− + + + =
 − + + =

+ − + =
 + + − =
với a, b, c, d là các số thực khác 0.
Đại số tuyến tính 1 74

13. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
m)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
;
;
;
.
ax bx cx dx p
bx ax dx cx q
cx dx ax bx r
dx cx bx ax s
+ + + =
− + + − =

− − + + =
− + − + =
với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.
n)
1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6
2 1;
2 1;
2 1;
2 1;
2 1;
2 1;
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
− =
− + − =
− + − =

− + − =
− + − =

− + =
2. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã cho ở bài tập 1
(tức là thay cột hệ số tự do bằng cột chứa các số 0) rồi giải lại các hệ phương trình đó.
3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1;
;
.
mx x x
x mx x m
x x mx m
 + + =

+ + =

+ + =
b)
1 2 3 4
1 2 3 4
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
1;
;
;
.
mx x x x
x mx x x m
x x mx x m
x x x mx m
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
c)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4;
3;
2 4.
ax x x
x bx x
x x x
+ + =

+ + =
 + + =
d)
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
;
;
.
x ax a x a
x bx b x b
x cx c x c
 + + =

+ + =

+ + =
e)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 1) 3 1;
2 4 (4 2) 1;
3 ( 1) 9 0.
x m x x
x x m x
x m x x
+ − − =

− + − = −
 + + − =
f)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1;
1;
1;
1.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
λ
+ + + =
 + + + =

+ + + =
 + + + =
g)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 3) 2 ;
( 1) 2 ;
3( 1) ( 3) 3.
m x x x m
mx m x x m
m x mx m x
+ + + =

+ − + =
 + + + + =
h)
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
(3 1) 2 (3 1) 1;
2 2 (3 1) ;
( 1) ( 1) 2( 1) .
m x mx m x
mx mx m x m
m x m x m x m
 − + + + =

+ + + =

+ + + + + =
k)
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1;
2 4 2;
3 9 3.
x mx m x
x x x
x x x
 + + =

+ + =
 + + =
l)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 ;
2 1;
7 5 .
x x x x m
x x x x m
x x x x m
− + + =

+ − + = +
 + − − = −
m)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 ;
2 5 2 2 2 1;
3 7 3 3 .
x x x x m
x x x x m
x x x x m
+ − + =

+ − + = +
 + − + = −
n)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2
2 2 0;
2 3;
3 3;
5 .
x x x x
x x x x
x x x
x x m
− + − =

+ − + =

+ − =
 + =
Đại số tuyến tính 1 75

14. Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
o)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1;
2 4 2;
7 4 11 ;
4 8 4 16 1.
x x x x
x x x x
x x x x m
x x x x m
− + + =
 + − + =

+ − + =
 + − + = +
p)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4;
2 3;
2 2 2 3;
2 .
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x m
+ − + =
 − + + =

+ − + =
 + − + =
q)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 3 4 5
2 2 3 3;
1;
3 3 4 6;
5 2 5 7 9 .
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x m
− + + + =
 + − − + =

+ + − + =
 + − + = −
4. Cho ija là các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2 4
1 1 2 2
1
... ;
2
1
... ;
2
...
1
...
2
n n
n
n n n nn n
x a x a x a x
x a x a x a x
x a x a x a x

= + + +

 = + + +



 = + + +

5. Giải hệ phương trình
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
... 1;
2 ... 2 1;
3 ... 3 1;
...
... 1.
n
n
n
n
n
n
n
x x x
x x x
x x x
x nx n x
−
−
−
+ + + =

+ + + =

+ + + =


 + + + =
6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
... 0;
... 0;
...
... 0.
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =
 + + + =


 + + + =
trong đó ij jia a= − và n lẻ, có nghiệm khác 0.
7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
a)
;
;
;
.
ax by cz dt p
bx ay dz ct q
cx dy az bt r
dx cy bz at s
+ + + =
− + + − =

− − + + =
− + − + =
b)
1 2 3
2 3 4
98 99 100
99 100 1
100 1 2
0;
0;
...
0;
0;
0.
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + + =


+ + =
 + + =

+ + =
Đại số tuyến tính 1 76