1. CÂU 1 THIẾT LẬP PHUONG TRÌNH NAVIER-CAUCHY( ĐIÊU KIỆN
CÂN BẰNG CỦA PHẦN TỬ LOẠI 1)
Phương trình vi phân cân bằng :
63
Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm M(x,y,z)
1. Lực tác dụng lên phần tử :
- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : fx , fy , fz
- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là các hàm số liên
tục của tọa độ điểm M(x,y,z).
P(x,y+dy,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
(Hình 2.2)
z
x
y
dz
dy
N(x+dx,y,z)
xy
x
xz
Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : x , xy , xz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số hạng vô cùng
bé bậc cao có các thành phần ứng suất :
dx
x
dx;
x
dx;
x
xz
xz
xy
xy
x
x
Tương tự:
Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : y , yx , yz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
dy
y
dy;
y
dy;
y
yz
yz
yx
yx
y
y
Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất z , zx , zy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :
dz
z
dz;
z
dz;
z
zy
zy
zx
zx
z
z
2. Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân bằng, các
phương trình cân bằng được thỏa mãn :
2. dy
64
0 ( ) ( )
( ) 0
z
y
x
M
u
v
w
Zo
Zo
yx
xy
dz dxdy f dxdydz
z
dy dxdz
y
dx dydz
x
X
x
zx
zx zx
yx
yx yx
x
x x
Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ΣY = 0 ; ΣZ=0, ta sẽ nhận
được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
).
t
f 0. (
x y z
) ;
t
f 0; (
x y z
) ;
t
f 0; (
x y z
2
2
z
xz y z z
2
2
y
xy y zy
2
2
x
x y x zx
(2.1)
Với : mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các lượng trong dấu
ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật chất tại điểm M theo 3 phương
x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì chính là các lực quán tính của một đơn vị thể
tích chiếu lên ba phương của các trục tọa độ.
Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học NAVIER- CAUCHY.
. ĐỊNH LUẬT ĐỐI ỨNG CỦA ỨNG SUẤT TIẾP :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta sẽ được định luật
đối ứng của các ứng suất tiếp.
(Hình.2.3)
Xét phương trình cân bằng ΣMz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương.
Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục zozo, ta có:
0
2
dy)dxdz
M ( yx
y
(
dx
2
dx)dydz
x
yx yx
xy
z0z0 xy xy
Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5
dy
2
dydxdz
xy yx
y
và
dx
2
dxdydz
x
so với các
vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho dxdydz, ta có :
3. 65
xy y x
Chứng minh tương tự ta có:
(2.2)
z
M 0 ;
x y z zy
M 0 ;
y
x
f*x
f*y
f*z
y
z
x
xy
xz
zx
yx
zy
yz
;
y xz zx
Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng nhau nhưng
ngược chiều .
(Hình.2.4)
CÂU 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO ỨNG SUẤT ( DK CÂN
BẰNG CỦA PHẦN TỬ LOẠI 2)
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường hợp tổng quát,
phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ và nằm ở bên trong vật
thể, có diện tích lần lượt là dSx, dSy, dSz. Mặt còn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS
có pháp tuyến n
với cosin chỉ phương l,m,n.
(Hình 2.5)
, ) =
l = cos ( x n
dSx
dS
Vécton có
, ) =
m = cos ( n y
dSy
dS
(a)
, ) =
n = cos ( z n
dSz
dS
a. Lực tác dụng lên phân tử:
- Ngoại lực : + Lực thể tích f(fx, fy,fz) của thể tích dV.
+ Lực bề mặt f*(f*
x, f*
y,f*
z) trên diện tích dS
- Nội lực :
a
a
a
a
4. + Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dSx có các ứng suất : x , xy , xz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dSy có các ứng suất : y , yx , yz.
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dSz có các ứng suất : z , zx , zy.
b. Phương trình cân bằng :
Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:
X 0 dS dS dS f dS f dV 0 (b) x
66
*
x x yx y zx z x
Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b) cho dS ta có:
dS *
x
f 0 (c)
dS
dS
dS
dS
dS
x
z
zx
y
yx
x
Thay (a) vào (c) ta có:
Tương tự:
*
l m n f
x yx zx x
Y 0 l m n f (2.3)
*
xz yz z z
*
xy y zy y
Z 0 l m n f
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là hệ phương trình
điều kiện biên theo ứng suất.
2.1.5. Kết luận:
1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực
và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.
2. Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số ứng suất, khi tích
phân sẽ có các hằng số tích phân.
Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích phân ấy.
CÂU 3 §2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
2.3.1.Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu .
n Giả sử có phương chính n
với l = cos (n, x)
m = cos (n , y)
n = cos (n , z)
Trên mặt chính ứng suất toàn phần n P sẽ có phương vuông góc với mặt chính và có
giá trị n n P .
Do đó hình chiếu Pnx, Pny, Pnz của Pn lên các trục x, y, z là :
Pnx = n.l
Pny = n.m (2.9)
Pnz = n.n
Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:
5. 67
(2.10)
( ) l m n
0
x n y x zx
l ( )m n 0
xy y tb xz
l m ( )n 0
zx y z z tb
Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn điều kiện l2 +
m2 + n2 = 1 (2.11).
Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng
không:
0 (2.12)
x n y x zx
( )
xy y n xz
( )
( )
Det
zx y z z n
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính n :
3
I 2
I I 0 (2.13)
n 1 n
2 n 3
Trong đó:
1 x y z
I (
)
2 x y y z z x xy y z zx
I 2 (
)
I
2
z xy
2
y zx
2
3 x y z xy y z zx x y z
(2.14)
Các hệ số I1, I2 , I3 trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá trị không đổi
khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ
ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất chính, các giá trị này
đều là thực, kí hiệu lần lượt là 1 2 3 ; ; và theo qui ước 1 2 3 .
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính 1 2 3 ; ; ứng với mỗi i sử dụng
hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin chỉ phương li, mi, ni của ứng suất
chính i đó.
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính 1 2 3 ; ; . Ba phương
này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ, ký hiệu các trục là 1,2,3.
Tenxơ ứng suất này được viết là :
0 0
0 0
3
2
1
0 0
T
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :
1 1 2 3
2 1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
I
I
I
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng
thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất khối.
6. CÂU 4 (§3.1). PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là
bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên
các mặt phẳng tọa độ.
+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu
dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1.
68
y
z
x
P Q
M N
dy
v
y
y
v
x
u
P(x,y+dy)
M1
M(x,y) N(x+dx,y)
U
V
dx
dy
N1
N2
P1
O
dx
v
x
v
dy
y
u
dx
u
x
u
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua các vô cùng bé
u
bậc cao là : u + .dx
x
v
; v+ .dx
x
u
- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + .dy
y
v
; v+ .dy
y
- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là x , y.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là xy = α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /x /<< 1; /y /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1
Sử dụng các công thức gần đúng :
7. 69
tg sin ; sin tg
cos 1; cos 1
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có :
M N MN 1 1
MN
x
(a)
Trong đó : MN = dx
M N
1 2
M N
1 1 M N
M1N1 = 1 2
cos
Từ hình vẽ ta có :
u
M N dx u 1 2
)dx
x
u
.dx u (1
x
u
x
x
)dx dx dx
x
dx
u
1 (
M N MN
(a) 1 1
MN
Tương tự ta có :
v
(b)
y
y
3.1.2.Tính biến dạng góc: xy = α+β
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α tgα =
N N
1 2
N M
1 2
=
u
) x
x
(1
u
dx) v
x
(v
=
u
x
1
v
x
=
v
x
1
x Theo giả thiết biến dạng bé ta có x << 1 có thể bỏ qua x so với 1
α =
v
x
Tương tự β =
u
y
=> xy = α+β=
v
x
+
u
y
(c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz
và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được
quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau :
x(u)
y(v) z(w)
8. 70
u
v
w
v
w
u
x xy
y y z
u
v
w
x
z
;
z
(3.1)
z
y
;
y
y
x
;
x
z zx
Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các
chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY
Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất cá c chuyển vị
theo phương toạ độ là bé.
CÂU 5 (§5.2). CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.2.1.Về mặt vật lý:
Từ định luật Hooke tổng quát : x = + 2Gx
Txy = Gxy (a)
Tzx = Gzx
5.2.2. Về mặt hình học:
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :
x =
u
x
;
yx =
u
y
v
x
; (b)
zx =
u
z
w
x
;
Thay (b) vào (a) ta có : x = + G
u
x
+ G
u
x
u
v
Tyx = G
y
x
(c)
u
w
Tzx = G
z
x
3.Về mặt tĩnh học:
Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy :
u
) ;
t
fx 0(
Tzx
z
Tyx
y
x
x
2
2
(d)
9.
71
Thay (c) vào (d) ta có:
w
v
2
2
u
2
2 2
u
2
2 2
u
2
2
u
2
2
t
u
fx 0
z
G
x z
G
y
G
x y
G
x
G
x
G
x
(*)
u
2
t
fx 0
w
z
v
y
u
x
x
u G
2
2
2
2
2
x y z
G
2
x 2
Với 2 =
2
2
2
2
2
2
x
y z
: Toán tử vi p hân Lap lace.
w
z
v
y
u
x
=x+y+z = : Biến dạng thể tích tương đối
(*) ( + G)
x
+ G2u + fx = 0
2
2
t
u
;
Tương tự ( + G)
y
+ G2v + fy = 0
2
2
t
v
; (5.1)
( + G)
z
+ G2w + fz = 0
2
2
t
w
;
Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê :
Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê và G.
Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học và vật lý. Giải
(5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo phương trình quan hệ hình học
Cauchy và xác định các ứng suất theo định luật Hooke.
4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là hằng số ta có các
hệ quả sau:
a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các biến x, y, z ta
có :
( + G)
2
2
x
+ G2
u
x
= 0 ;
+ ( + G)
2
y
+ G2
v
y
= 0 ;
( + G) 2 z
+ G2
w
z
= 0 .
( + G). 2 + G2 = 0
2 = 0 (5.2)
Do tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :
2S = 0 (5.3)
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các lực
thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa.
b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :
( + G)
x
+ G2u +fx = 0 (a)
10. 72
z
Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có :
y
x
z
y
( + G)
3
3
x
+ G2
2
2
x
u
= 0 ;
3
+ ( + G) 2
xy
+ G2
u
2
2
y
= 0 ;
( + G)
2
3
zx
+ G2
2
2
z
u
= 0 .
( + G).
x
2 + G22u = 0 (b)
Theo hệ quả 1 ta có : 2 = 0 thay vào (b)
(b) 22u = 0
Tương tự 22v = 0 (5.4)
22w = 0
Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi lực thể
tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa.
c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng nghiệm chuyển vị
của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị
phải thỏa mãn các phương trình cơ bản đã nêu trên.
CÂU 7 TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM, CÁC TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG VÀ SO
SÁNH
I. Khái niệm :
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất
trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được
gọi là các bài toán phẳng.
Bài toán phẳng chia ra 2 loại :
1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy.
2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy.
Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học.
Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không
gian.
II. Bài toán ứng suất phẳng :
Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày
tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ.
Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo
bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là :
11. 73
z
1
(x - y) ; z =-
Txy =
1
1
(y - x)
y
z
(x + y) (c)
x
1
z = Txz = Tyz = 0 (a)
Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên :
z 0 (b)
Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng.
Ân số của bài toán gồm có:
Các ứng suất : x, y, Txy.
Các biến dạng : x, y, xy, z 0.
Theo định luật Hooke, từ (a) ta có :
xz =yz = 0 ; y =
E
x =
E
E
xy =
G
) 1( 2
E
Txy
Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là x, y, Txy với E, là 2
hằng số đàn hồi của vật liệu.
III. Bài toán biến dạng phẳng :
Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo
chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn
vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.
Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn
trên hình vẽ sau :
Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo
phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó,
điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là :
z = xz = yz = 0 (d)
và z 0 (e)
Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng.
Ẩn số của bài toán gồm có:
Các ứng suất : x, y, Txy, z0
Các biến dạng : x, y, xy.
Theo định luật Hooke, từ (d) ta có :
- Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0
- Còn ứng suất pháp z sẽ được tìm từ biểu thức z = 0
1
z = x ( x y
)
E
= 0
Vậy y = (x + y).
12. 74
Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là :
1
x = x ( y z
)
E
1
= y ( x y
)
E
x =
)
1
1
2
x y
E
Tương tự y =
)
1
1
2
y x
E
(*)
xy =
2(1 )
E
Txy
Đặt E1 =
2
E
1
; 1 =
1
(g)
(*) x =
1
E
1
(x - 1y) ;
y =
1
E
1
(y - 1x) ; (f)
xy =
) 1( 2
E
Txy =
2
( 1
) 1 E
1
Txy
IV. So sánh và kết luận chung :
1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau
: x, y, Txy, x, y, xy.
Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính.
2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như
nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ :
- Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E,
còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, 1 theo cách đặt (g).
3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn
như nhau
CÂU 8 (6.3). PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG
SUẤT AIRY
I. Phép giải theo ứng suất :
- Chọn ẩn số chính là các ứng suất : x, y, Txy.
Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) .
Tyx
y
x
x
= - fx
y
y
Txy
x
= - fy
Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (6.8)
Tyx
y
x
x
= 0
y
y
Txy
x
= 0 (6.8)
và nghiệm riêng của phương trình (6.9)
13. 75
Tyx
y
x
x
= - fx
y
y
Txy
x
= - fy (6.9)
- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ thuộc
vào dạng cụ thể của các lực thể tích.
Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là :
* x = 0 ; y = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số.
* x =
2
ax
2
+ bx ; y = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0
* x = 0 ; y = -a
3
y
6
; Txy =
2
2
axy
khi fx = axy , fy = 0.
II. Hàm ứng suất Airy :
Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy.
Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8):
0 (6.8)
0
Tyx
x
Txy
y
y
x
y
x
Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y)
tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa p và q
phải có quan hệ :
q
x
p
y
.
- Phương trình thứ (1) của hệ (6.8)
Tyx
y
x
x
Tức (x.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên ta có
quan hệ x =
A
y
; Tyx = -
A
x
(a)
Tương tự, phương trình thứ 2 :
Txy
x
y
y
(y.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó :
Ta có quan hệ : y =
B
x
; Txy = -
B
y
(b)
So sánh (a) và (b) ta có :
A
x
=
B
y
(c)
(A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm (x,y) nào đó :
Ta có quan hệ : A =
y
; B =
x
(d)
Thay (d) vào (a) và (b) ta có:
2
x = 2
y
2
; y = 2
x
; Txy = -
2
xy
(6.10)
14. Hàm (x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng
76
suất.
III. Phương trình hàm ứng suất Airy :
- Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương trình giải
bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học, và
vật lý của môi trường.
Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng.
(1 + )2x +
2
2
x
S
= 0
2
+ (1 + )2y + 2
y
S
= 0
(1 + )2z +
S
2
2
z
= 0
(1+)2S +2S = 0
2S = 0
Với S = x+ y+ z.
Vì trong bài toán ứng suất phẳng z=0 nên S= x + y
Trong bài toán biến dạng phẳng :
S= x + y + z = x + y +(x + y) =(1+)(x + y).
Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có :
2S = 2(x + y) = 0 (6.11)
(6.11) : Phương trình LêVy.
Thay các ứng suất bởi hàm thay (6.10) vào (6.11) ta có :
0 2
2
x y y 2
x
2
2
2
2
2
4
4
(6.12)
0
x y y
2
x 2 2
4
4
4
2(2) = 4 = 0 (6.13)
Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa.
Hàm = (x,y) : là hàm trùng điều hòa .
Kết luận :
- Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương trình
(6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10).
+ Nếu fx, fy 0 Cộng thêm các nghiệm riêng.
- Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm một lượng A+ Bx+Cy thì các ứng suất
không thay đổi.
- Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học :
2
2
x m f
x y
l
y
. .
2
2 2
m
f
y
x
l
x y
. . 2
(6.14)
15. Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo (6.10);
(6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của vật liệu. Những
bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định.
Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu các
ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc vào các hằng số
đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu.
+ Định lý được sử dụng làm cơ sở cho 1 phương pháp thực nghiệm có tên là
77
y
x
A
b b
o
a
a
A'
q
h
phương pháp đàn hồi.
CÂU 10 ($8.6) TÍNH BẢN MỎNG HÌNH E-LIP NGÀM CHU TUYẾN CHỊU TẢI
TRỌNG PHÂN BỐ ĐỀU
Xét bản mỏng hình ellip ngàm chu tuyến chị tải trọng phân bố đều q.
2
y
2
x
Phương trình Ellip: 1 0 2
2
b
a
Tìm hàm độ võng của bản dưới dạng:
w(x,y) = C
2
2
2
2
2
1
y
b
x
a
(8.24)
Trong đó C là hằng số cần xác định sao cho (8.25)
thõa mãn phương trình Sophia-Germain
q
( w) 2 2
D
q
D
w
y
w
4
x y
w
x
4
4
2 2
4
4
2 (*)
Tính các đạo hàm:
2
2
y
x
Cx
2
2
y
x
C
w
Cx
Cx
8 16
w
w
w
4 4
4
3 4 4
3
Cx
4
2
2
2
2 2
2
2
2
2
24
8
1
4
1
4
a
C
x
a
a
x
a
b
a
a
x
b
a
a
x
4
3
8Cy
w
2 2 2
8C
w
2 2 2 2
a b
x y
a b
x y
4 w
24
Tương tự: 4 4
b
C
y
(*)
q
D
8 24
b
C
C
a b
a
C
2
4 2 2 4
24
C =
24 16 24
a 4 a 2 b 2 b
4
D
q
(8.25)
Phương trình độ võng w(x,y) phải thõa mãn các điều kiện biên sau:
2
y
2
x
Khi x, y thõa mãn phương trình chu tuyến 1 0 2
2
b
a
Thì độ võng w = 0 (1)
16. 78
w
w
Các góc xoay 0
y
x
(2)
Kiểm tra điều kiện biên:
Từ (8.25) cho thấy khi x,y thỏa mãn phương trình chu tuyến thì w = 0
Điều kiện 2: ta có:
y
x
Cx
2
1 0
4
2
2
2
2
w
b
a
a
x
khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến.
y
x
Cy
2
1 0
4
2
2
2
2
w
b
a
b
y
khi x, y thỏa mãn phương trình chu tuyến.
Vậy các điều kiện biên (1) & (2) đều được thỏa mãn.
Phương trình độ võng:
w(x,y) =
2
2
y
x
24 16 24 2
2
2
4 2 2 4
1
b
a
a a b b
D
q
(8.26)
Nhận thấy wmax của tấm ở tâm O tức là khi x=y=0.
|wmax| =
24 16 24
a 4 a 2 b 2 b
4
D
q
(8.27)
Tính moment uốn trong tấm:
w
w
Mx= - D
2
2
2
2
y
x
y
x
4c
8cy
y
x
4c
2
2
2
2
2
1
8cx
2
=- D
b
a
b
b
1
b
a
a
a
2
2
4 2
2
2
4 2
w
w
My= - D
2
2
2
2
x
y
y
x
4c
8cx
y
x
4c
2
2
2
2
2
1
8cy
2
= - D
b
a
a
a
1
b
a
b
b
2
2
4 2
2
2
4 2
Giá trị Mx tại tâm và 2 đầu trục ngắn:
1
1
y x 0 2 2
y
0
8DC
2
x a
a
Mx
b
a
Mx 4DC
(a)
Giá trị My tại tâm và 2 đầu trục dài:
17. 79
1
1
y x 0 2 2
x
0
8DC
2
y b
b
Mx
a
b
My 4DC
(b)
So sánh (a) & (b)
DC
Max | M | = 2
8
a
(Tại A & A’)
Max | σ | =
| M | Max
Wx
=
| M | max 6
2 h
(h: bề dày bản)
| M | max 6
Điều kiện: Max | σ | = ] [
h
2
