1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(เนื้อหาตอนที่ 1)
เลขยกกาลัง
โดย
รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
- เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- สมการเลขชี้กาลัง
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
- ฟังก์ชันลอการิทึม
- กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
- สมการลิการิทึม
5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
- สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
- สมการและอสมการลอการิทึม
- ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
ลอการิทึม
7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
1

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอน วิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/5)
หัวข้อย่อย 1. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
2. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
3. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. มีความเข้าใจเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
2. มีความเข้าใจเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
รวมถึงความเข้าใจเกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริงด้วย
3. มีความเข้าใจเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มได้
2. อธิบายความหมายของเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะได้
3. อธิบายความหมายของรากที่ n ของจานวนจริง และความหมายของกรณฑ์
n ของจานวนจริงด้วย
4. หาค่าของจานวนที่อยู่ในรูปของเลขยกกาลัง และแก้สมการเลขยกกาลังได้
3

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
5

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้แนวคิดเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม บทนิยาม
ต่างๆ และทฤษฎีบทที่สาคัญของเลขยกกาลัง
เพื่อให้ผู้เรียนได้เข้าใจและเห็นตัวอย่างหลากหลายรูปแบบ จึงเพิ่มเติมตัวอย่างดังนี้
จากสื่อ ผู้เรียนจะได้เห็นเลขยกกาลังที่อยู่ในรูป a m
เมื่อ a 3 , m 4 34 3 3 3 3
3
6 6 6 6 6
a , m 3
7 7 7 7 7
3
a 0.5 , m 3 0.5 0.5 0.5 0.5
a 1.5 , m 2 1.5 2 1.5 1.5
3
1 1
เนื่องจาก 0.5 ดังนั้น เราอาจเขียนแทน 0.5 3
ด้วย ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน
2 2
2
3 3
และในทานองเดียวกัน 1.5 ดังนั้นเราอาจเขียนแทน 1.5 2
ด้วย
2 2
p
ดังนั้น ในกรณีที่ a เป็นจานวนตรรกยะที่เขียนในรูปเศษส่วน หรือเขียนในรูปเลขทศนิยมก็ใช้ได้
q
ทั้งสองแบบ เช่น
3
3 1 1 1 1
0.25 = =
4 4 4 4
5
5 3 3 3 3 3 3
0.75 = =
4 4 4 4 4 4
6

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
4
4 5 5 5 5 5
1.25 = =
4 4 4 4 4
3
3 1 1 1 1
0.025 = =
40 40 40 40
จากสื่อ ผู้เรียนได้พบกับบทนิยามของ a 0 และ a m และทฤษฎีบทที่สาคัญของเลขยกกาลัง เพื่อ
ทดสอบความเข้าใจและเป็นการเน้นย้าอีกครั้งของผู้เรียนจะได้จดจากฎและกติกาต่างๆ ได้อย่างแม่นยา
และไม่สับสนเมื่อถึงเวลานาไปใช้จะได้ใช้ได้อย่างคล่องแคล่วและไม่ผิดพลาด ผู้สอนอาจถามผู้เรียน
เพิ่มเติมด้วยคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
0 0 4 0
3 5
3
0
375
02 3 0
47
และเมื่อเห็นว่าผู้เรียนตอบได้อย่างถูกต้อง แล้วก็กลับมาเน้นต่อว่า
ผู้เรียนอย่าลืมว่า 0
m
ไม่มีค่า เมื่อ m เป็นจานวนเต็มบวก
เช่น 0 2, 0 3, 0 5 ไม่มีค่า (เลขชีกาลังเป็นจานวนเต็มลบ)
้
ผู้สอนควรยกตัวอย่างเพิ่มเติม ในกรณีที่ฐานของเลขยกกาลังเป็นจานวนตรรกยะที่อยู่ในรูปเศษส่วน
และมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนลบ ดังนี้
3
2 1 1 1 125
= = =
5 2 3 2 2 2 8 8
5 5 5 5 125
7

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1 1 1 1
เพราะว่า =
2 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5 5
3
5 5 5 5
= =
2 2 2 2
3 3
2 5
ดังนั้น =
5 2
m m
a b
ในกรณีทั่วไป = เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์
b a
5 5
3 2 2 2 2 2 2
เช่น = =
2 3 3 3 3 3 3
32
=
243
เพื่อเป็นการทบทวนทฤษฎีบทที่ผู้เรียนเห็นจากสื่อ ให้ผู้สอนยกตัวอย่างเพิ่มเติมต่อไปนี้
7
4 2 4 2 6 5 7 4 3
3 3 3 3 4
5 5
5
36
5n 5 2
5n 2
36 8
3 2
38
25
15 3
5 3 3
53 33 25 ( 3)
28
2 3
4 n
4
n
35 1 1
3 3n 37 3 7 5
32
3 4 4 3 12
2 2 2
เมื่อผู้เรียนเข้าใจดีแล้ว ก็เพิ่มเติมการบวกและลบกันของเลขยกกาลังที่มีฐานเหมือนกัน และเลขชี้กาลัง
เดียวกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
3 3 3
3 2 5 2 = (3 5)2 = 8 23
n n
4n 3 4n
2 1 2 1
= 4 4 3 4 4
= 16 4
n
12 4
n
= 4 4
n
= 4n 1
8

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1
จากบทนิยาม a m
m
a
1
ย่อมได้ว่า a
m
= m
a
1 1
เช่น 23 = 3 , 3
5
5
2 3
จากสื่อผู้เรียนได้เห็นตัวอย่างของการดาเนินการจัดการให้จานวนที่กาหนดให้เขียนอยู่ในรูปอย่างง่าย
และมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก เพื่อให้นักเรียนหรือผู้เรียนได้มีความเข้าใจเพิ่มขึ้นและได้มีทักษะ
ในการดาเนินการ ผู้สอนควรเพิ่มตัวอย่างอีกสักสองสามตัวอย่าง ดังต่อไปนี้
9

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างต่อไปนี้ จะกาหนดให้ a, b, x, y, z เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 1 จงทาให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
3 2
ab
2 5 = a
3 ( 2)
b 2 5
(ดาเนินการกับจานวนที่มีฐานเดียวกันเสียก่อน)
a b
= a5 b 7
5
a
= 7 (จัดรูปเพื่อให้เลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก)
b
2 3 0
2 3 0 5 2 3 x y 1
xy x y = =
5 2 3 15 6
x y
x y
4 3 2 4 1 3 4 1 3
ax yb yb
ตัวอย่างที่ 2 =
3 2
ab 2xy a 4x ab 2xy
3 1 3
y4 b
=
4 2 3 2 2
a x ab xy
12 3
y b
= 8 6 2
a x ab xy
12 1 3 2
y b
= 8 1 6 1
a x
11 5
y b 5 11
x y
= 9 5
= 9 5
a x ab
10

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
p
n 2 2n 1 n 2 p 2n 1 p
a b a b
ตัวอย่างที่ 3 n = 2p 1 n p 2 n
b2p 1
ap 2
b a
np 2 p 2np p
a b
=
b 2 pn n
a pn 2n
= a (np 2 p ) ( pn 2n )
b(2np p ) (2 pn n )
2 p 2n
= a bp n
p n p n
b b
= 2( p n )
= 2
a a
p n (p n ) 2
x y 2
ตัวอย่างที่ 4 n 2 p n = xp n n 2
y (p n ) (p n )
x y
2
p 2 2( p n )
= x y
1
= 2
p 2 2( p n )
x y
1
= 2( p 2) 4( p n )
x y
4 4( p n )
y
4( p n ) x y
= 2( p 2)
= 2p
x x
(เพราะว่า p เป็นจานวนเต็มบวก แต่บอกไม่ได้ว่า p 2 เป็นจานวนเต็มบวกหรือไม่ แต่โจทย์
1
ต้องการให้คาตอบเขียนอยู่ในรูปที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก ดังนั้นจึงเขียน 2( p 2)
ในรูป
x
x4
)
x 2p
11

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดที่ 1
เรื่อง เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
1. กาหนดให้ a, b, c, x, y, z เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
จงทาให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
2 3 2 1 0 5 2 0 2 3
1.1 2a b 3a b 1.2 a b
1 2
4a b
3 2 2 1
4a 2b c 4 3 2c 0 c 2a 3
1.3 1.4
c 3 12a 3b a 4b 1 9b 4
3 5 2 3 1 2
1.5 3x y
4 2
4x y 1.6 9x y
3 2
3x y
5
3 3 2 0 3
x 2y 3
x 2y 4
x y x y
1 2
1.7 2 1.8 0 2 3
x y y x
1 2
x 2yz 3 1 z 3y 0
1.9 1.10 3 0 2
x z y
y 7zx 4 x4
2. กาหนดให้ a, b, n, p, x, y เป็นจานวนเต็มบวก
จงทาให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก
p 4
n 2 2n 1 3n 1 2n 1
a b x y
2.1 n 2.2 6n 1 2n 5
ap 1 2p 2
b x y
n 3 n 2 3n 1 n 3 2
a b x y
2.3 3n 6 2.4 n 2 n 1
a b x y
n 1
2n 2 n 2 4 1 y 3 n
2.6 x y x
3n 2 2n 1
y 2.6 3x 2n
x y
2
3
3. จงทาให้เป็นรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก กาหนดให้ n
n 2 2n 1 n 1 2n 1 n 1 n 1
4 2 8 9 81 16
3.1 3n 2 3.2 n 3 2n
2 4 27
12

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
n 1 2 2n 1 n
8
n 1
4
n 1 64 24 9
3.3 n 2 1 n 1
3.4 3 n 3n 4
2n 16n (27) 3
1 2n n 3
4n 1
4n 1 2 20
3.5 n 1 n 1 2n 1
3.6 n 3 2 n
16 4n 6 15
4. กาหนดให้ x, y เป็นจานวนจริงบวก และ n เป็นจานวนเต็มบวก
จงแยกตัวประกอบในแต่ละข้อต่อไปนี้
8 2 3 2 1 4
4.1 x y 4.2 6 10
x y
4.3 x 6
z 2y 4
4.4 9x 2
6x 1
1
3 10
4.5 y 4
5y 2
6 4.6 2
8
x x
4.7 x 2
8x 1
16 4.8 6x 6
13x 3
5
4.9 8a
3
b
3
4.10 a 9
27b 6
5. กาหนดให้ n และ x เป็นจานวนเต็มบวก จงทาให้เป็นรูปอย่างง่าย
n 2 n 1 n 4 n 1
9 36 9 3 6 3
5.1 n 5.2 n 2
11 9 7 3
n 1 n n 1 n 2
4 2 3 2 9 3 5 3
5.3 n 1 n 5.4 n 2 n
2 2 3 3
n n 1
8 5 2 5 x
n 1
3x
n
5.5 n 1 n 1
5.6 n 2 n
5 3 5 x 9x
6. กาหนดให้ a, b, x, y เป็นจานวนเต็มบวก
จงทาให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นบวก
1 1 1 2
x y 5a 2b
6.1 1 1 6.2 1 2
x y a 3b
2 1 1 2
a 1b 2
a 2b 1
y 2x y 3x
6.3 2 6.4 1 2 2 1
b a 1 x y 3x y
16 4
x y
6.5 3 6 2
y x x y
13

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
14

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังที่เป็นจานวนตรรกยะ ซึ่งจะขอกล่าวถึง
รากที่ n ของจานวนจริง เมื่อ n เป็นจานวนนับเสียก่อน เพือจะเป็นการนาไปสู่การนิยามเลขยกกาลัง
่
ที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ โดยจะเริ่มจากบทนิยามของรากที่สองของ x แล้วจึงต่อด้วยราก
ที่ n ของ x เมื่อ n เป็นจานวนนับใดๆ ที่มากกว่า 2
เพื่อให้ผู้เรียนได้คุ้นเคยกับคาว่ารากที่สองของจานวนจริง x ให้คุณครูยกตัวอย่างเพิ่มเติมต่อไปนี้
เพราะว่า 52 = 25 ดังนั้น 5 เป็นรากที่สองของ 25
52 = 25 ดังนั้น 5 เป็นรากที่สองของ 25
และเพราะว่า 5 เป็นรากที่สองที่ไม่เป็นลบของ 25 ดังนั้น 5 25 และ 5 25
เพราะว่า 72 = 49 ดังนั้น 7 เป็นรากที่สองของ 49
72 = 49 ดังนั้น 7 เป็นรากที่สองของ 49
และเพราะว่า 7 เป็นรากที่สองที่ไม่เป็นลบของ 49 ดังนั้น 7 49 และ 7 49
15

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่าง
8 8 4 2
169 13 13 13
50 50 25 5
1 1 1 1 5
81 36 9 9 6 6 9 6
5 5 5 5 5
625 25 25 25 5 5 5
49 7 7 7 5 5 5 5 5
25 5 5 5
0.25 0.25 (0.5) (0.5) 0.5
100 10 10 10
ผู้เรียนควรระมัดระวังในการพิจารณาค่าต่างๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
2
5 25 5 ( 5)
ดังนั้น สาหรับ a ที่เป็นจานวนจริงใดๆ
a
2
|a | ไม่ใช่ a
เช่น ( 7)
2
= | 7| , 62 = |6| = 6
b2 = |b |
x2 = |x |
16

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
รากที่ n ของจานวนจริง
ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงการนิยามรากที่ n ของจานวนจริง x และจะได้รู้จักกับรากหลักที่ n
ของจานวนจริง x ด้วย
ผู้เรียนสามารถทบทวนความหมายของรากที่ n ของ x เมื่อ x เป็นจานวนจริง และ n เป็นจานวน
เต็มบวก โดยดูจากตัวอย่างต่อไปนี้
y3 x แล้ว y เป็นรากที่ 3 ของ x
23 8 แล้ว 2 เป็นรากที่ 3 ของ 8
24 16 แล้ว 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16
2 4
16 แล้ว 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16
เนื่องจาก เราไม่สามารถหาจานวนจริง y ซึ่ง y 2 4
ดังนั้น 4 ไม่มีรากที่สอง
และเราก็ไม่สามารถหาจานวนจริง y ซึ่ง y n x เมื่อ x 0 และ n เป็นจานวนคู่
ดังนั้น จะไม่มีรากที่ n ของจานวนจริงที่เป็นลบ เมื่อ n เป็นจานวนคู่
ตัวอย่าง ไม่มีรากที่ 4 ของ 16 หรือ 16 ไม่มีรากอันดับที่ 4
และไม่มีรากที่ 6 ของ 50 หรือ 50 ไม่มีรากอันดับที่ 6
17

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ครูผู้สอนควรชี้ให้นักเรียนเห็นถึงข้อผิดพลาด และความคลาดเคลื่อนของเลขยกกาลังที่มีฐานเป็น
จานวนลบ ซึ่งพบว่าผิดพลาดบ่อยๆ ก็คือ มักจะเขียน
3
2
แทนที่จะเขียน ( 3)
2
เพราะว่า 3
2
(3 3) 9 แต่ ( 3)
2
( 3) ( 3) 9
ดังนั้น 3
2
( 3)
2
n n
ในทานองเดียวกันกับ a ( a) เมื่อ n เป็นจานวนคู่
แต่เมื่อ n เป็นจานวนคี่ ทั้งสองจานวนกลับเท่ากัน ดังตัวอย่าง
3
2 (2 2 2) 8
3
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8
จะเห็นว่า 2
3
( 2)3 8
ดังนั้น ครูควรเตือนให้นักเรียนระมัดระวังเวลานาไปอ้างใช้ และอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมอีกสักสองสาม
ตัวอย่าง
18

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้เรียนได้รู้จัก “ค่าหลักของรากที่ n ” ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ n
โดยเรียกว่า “กรณฑ์ที่ n” และ
ต้องระบุด้วยว่าเป็นกรณฑ์ที่ n ของจานวนจริงใด เช่น
กรณฑ์ที่ 2 ของ 3 แทนด้วย 2
3 (ซึ่งนิยมแทน 2
ด้วย )
กรณฑ์ที่ 3 ของ 5 แทนด้วย 3
5
กรณฑ์ที่ 4 ของ 25 แทนด้วย 4
25
กรณฑ์ที่ 5 ของ x แทนด้วย 5
x
เมื่อจะกล่าวถึงกรณฑ์ที่ n ของจานวนจริง x ใด ก็ต้องคานึงถึงข้อจากัดต่างๆ ของจานวนจริง x
ด้วย เช่น
เมื่อ n เป็นจานวนคู่ n
x จะมีความหมาย หรือมีค่า ก็ต่อเมื่อ x 0
เมื่อ n เป็นจานวนคี่ n
x จะมีความหมาย หรือมีค่า ก็ต่อเมื่อ x
19

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เช่น 4
25 ,
2
9,
3
5,
5
20 ,
3
12 ,
5
4 มีค่า
แต่ 2
5,
4
9 ไม่มีค่า
เมื่อนาค่าหลักรากที่ n ของ x มายกกาลัง n จะได้
n n
x x
3
เช่น 3
5 5
4 4
2 2
n
แต่ต้องระวังว่า n
x
n
x
n
n x ่
เมือ n เป็นจานวนค่ี
เพราะว่า x
n
=
|x | ่
เมือ n เปนจานวนคู่
็
เช่น
3 3 3 3
( 7) 7 , 7 7
4 4 4
( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7)
4
= 7 7 7 7 = 7 | 7|
เพื่อทบทวนและตรวจสอบผู้เรียน ผู้สอนอาจตั้งคาถามสั้นๆ เพื่อให้ผู้เรียนตอบดังนี้
1. 144 = 2. 3
216 =
3. 4
16 = 4. 3
( 12)
3
=
5
5. 4
( 5)
4
= 6. ( 11)
5
=
20

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
จากบทนิยามและทฤษฎีบทข้างต้น เราสามารถนามาใช้ในการรวมจานวนจริงที่มีรากลาดับที่เท่ากันได้
เช่น
3 3 3
9 9 = 2 9
3 3 3 3 3
9 5 9 2 9 = (1 5 2) 9 = 4 9
5 5 5 5
8 4 = 8 4 = 25 = 2
3 3 3 3 3
16 16 = 16 16 = 4 4 4 4 = 43 4
3 3 3
= 43 4 = 4 4
21

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1
และจากนิยาม an = n
a เราก็สามารถเขียนจานวนจริงในรูปกรณฑ์อันดับที่ n ต่างๆ
1
ในรูปของเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะที่เขียนในรูปเศษส่วน ได้ เช่น
n
1 1 1
3 3
9 9 93 93 2 93
1 1 1 1 1
3 3 3
9 5 9 2 9 93 5 93 2 93 (1 5 2) 93 4 93
1 1 1 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5
8 4 8 4 (8 4) (2 ) 2 2
1 1 1 1
3 3
16 16 (16)3 (16)3 (16 16)3 (4 4 4 4)3
1 1 1
= (43 4)3 3
(4 )3 (4)3
3 3 3 3
= 4 4 4 4
n
จากสิ่งที่นักเรียนได้เรียนรู้มาแล้วว่า (na) a
1
และ an n
a เราก็จะได้ว่า
1 n
(a n ) a
1 3 1 1 5
5 5
เช่น 4 3
4 , (2 ) 2 , ( 3) 5
3
22

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
p
ครูควรย้าเกี่ยวกับการนิยามของ a
q
เมื่อ p และ q เป็นจานวนเต็ม
1
โดยมีเงื่อนไขว่า (p, q ) 1 และ q 0 และ a
q
p
โดยทั่วๆ ไป ก็เป็นจานวนตรรกยะ ซึ่ง p และ q อาจจะเป็นจานวนบวกหรือลบก็ได้
q
3 5 15 15
เช่น , , ,
4 6 20 12
3 3 3
ซึ่งเราก็ทราบแล้วว่า เป็นจานวนจริงที่มีค่าเท่ากัน
4 4 4
15 15 15
หรือ
20 20 20
p
แต่ ที่เห็นในสือ มีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า
่ (p, q ) 1 และ q 0
q
ซึ่งก็แปลว่า ห.ร.ม. ของ p และ q ต้องเท่ากับ 1 และ q ต้องเป็นบวก
15 15 15 5 3 3
ดังนั้น
20 20 20 5 4 4
จะเห็นว่า ในที่นี้ p 3,q 4 ทาให้ (p, q ) 1 และ q 0
3 15 15
ซึ่งเราจะใช้ แทนที่จะใช้ หรือ
4 20 20
4 2 1 2
6 3 3
5 5 5
23

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมต่อไปนี้
3 1 3
5 5
2 2
3 1 3 1 3
2 2 2 2 3
4 4 2 2 8
3 1 3
2 2 3 1 1
4 4 2 3
2 8
ผู้สอนควรให้ผู้เรียนพิจารณาเลขยกกาลังแต่ละคู่ที่กาหนดให้ แล้วดูว่าจานวนใดมีค่ามากกว่ากัน เช่น
23 และ 32 คาตอบคือ 32 23 เพราะว่า 32 9 และ 23 8
45 และ 54 คาตอบคือ 45 54 เพราะว่า 32 9 และ 23 8
1 1
2 3
และ 3 2
คาตอบคือ เพราะว่า
p
ในกรณีที่ เลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะที่เขียนในรูปเศษส่วน การพิจารณาค่อนข้างยุ่งยาก แต่
q
ก็สามารถทาได้ ตัวอย่างต่อไปนี้จะเป็นการพิจารณาจานวนสองจานวนที่อยู่ในรูปเลขยกกาลังที่มีฐาน
ไม่เท่ากัน เราพยายามปรับให้จานวนดังกล่าวมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเดียวกัน (เท่ากัน) เพื่อง่ายต่อ
การพิจารณา
เช่น 3
5 และ 3 จานวนใดมีค่ามากกว่ากัน
2
1 1 2 1 1
เพราะว่า 3
5 5 3
5 3
5
2 6
25 6
3
1 1 3 1 1
2 2 3 6 6
3 3 3 3 27
1 1
ทาให้สรุปได้ว่า 3 27 6
> 25 6 3
5
และถ้าให้พิจารณาว่า 3
5 และ 4
6 จานวนใดมีค่ามากกว่ากัน (ก็ทาได้เช่นเดียวกัน)
24

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
4 1
1 1 4 1
4 12
เพราะว่า 3
5 5 3
5 3
5 625 12
3 1
1 1 3 1
4 3 12
6 6 4
6 4
6 216 12
ดังนั้น 3
5 >
4
6
และถ้าต้องเรียงลาดับจานวน 3 จานวนต่อไปนี้ 3 ,
3
5 ,
4
6 จากน้อยไปมาก ก็จะได้ดังนี้
4 3
6 , 5 , 3
ในการเปรียบเทียบจานวน 2 จานวนที่เท่ากัน ถ้าเป็นเลขยกกาลังที่มีฐานเท่ากันแล้ว เลขชี้
กาลังย่อมเท่ากัน เพื่อให้ผู้เรียนได้มีทักษะเกี่ยวกับเรื่องนี้ ให้ผู้สอนยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ x ที่สอดคล้องตามสมการ
1. 32x 1 35
1
2. 5 3x x 2
5
วิธีทา 1. เพราะว่า 32x 1
35 ดังนั้น 2x 1 5 ซึ่งทาให้ x 2
ดังนั้น ค่า x ที่สอดคล้องกับสมการในข้อ 1 คือ x 2
1 (x 2)
2. เพราะว่า 5
3x
x 2 5
5
1
ดังนั้น 3x (x 2) ซึ่งทาให้ x
2
1
ค่า x ที่สอดคล้องกับสมการในข้อ 2 คือ x
2
x 2 (x 3) (2 x)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2 8 3
(2 x ) (2 x)
x 2 (x 3)
วิธีทา เพราะว่า 3 3 (2 3x )
2 8 3
2 2
ดังนั้น x (x
2
3) = 2 3x
3 2
x 3x 3x 2 = 0
2
(x 2)(x x 1) = 0 ……………………….*
25

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
1 3
เพราะว่า (x
2
x 1) x ดังนั้น (x
2
x 1) 0
2 4
จากสมการ * และ (x 2 x 1) 0 ทาให้สรุปได้ว่า x 2 0 นั่นคือ x 2
เมื่อตรวจสอบคาตอบ จะได้ว่า x 2 สอดคล้องกับสมการที่กาหนดให้
ดังนัน เซตคาตอบของสมการนี้คือ
้ {2}
26

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เมื่อผู้เรียนได้ดูสื่อเกี่ยวกับเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่าเรา
เข้าใจอย่างถ่องแท้และเกิดทักษะ จึงควรทาแบบฝึกหัดเพิ่มเติมดังต่อไปนี้
27

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดที่ 2
เรื่อง เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ
1. จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้ (โดยให้อยู่ในรูปที่ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์)
1 2 1 1
8 3
27 3
22 33
1.1 1 1.2 1
36 2
4 6
1
1
3 2
3 8 2
6 147
1.3 1
1.4
3 2
32
1
2 96
3
3
27 75 54
1.5 1.6 6
8 50 12 8
6 1 ( 3 2 )( 2 3)
1.7 1.8
2 3 3 2 ( 5 1)(2 5)
2. ให้ x และ y เป็นจานวนจริงบวก
จงทาให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนบวก
2 4 1 2
2.1 3x 3 2x 3 2.2 4x 5 5x 3
2 4 2 1 1 2
2.3 3x 3 2x 3 2.4 2x 2
3x 3
4 1 3 2 2 6
12x y 3 2 5x 4 y3
2.5 5 7 2.6 6 7
27x 3 y 2
125x 5 y 2
3. จงทาให้ส่วนของจานวนในข้อต่อไปนี้อยู่ในรูปที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ที่สองปรากฏอยู่
12 3
3.1 3.2
5 8 3 2 2 3
5 2 7 3
3.3 3.2
7 5 3 2 2 3
28