1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
บทนา
เรื่อง จานวนจริง
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง
สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง จานวนจริง
2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง
- ระบบจานวนจริง
- สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ
- การแยกตัวประกอบ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ
- ทฤษฎีบทเศษเหลือ
- ทฤษฎีบทตัวประกอบ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม
- สมการพหุนามกาลังหนึ่ง
- สมการพหุนามกาลังสอง
- สมการพหุนามกาลังสูง
- การประยุกต์สมการพหุนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ
- เส้นจานวนและช่วง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังหนึ่ง
- อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกาลังสูง
7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ
- อสมการในรูปเศษส่วน
- การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง
- การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร
- การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์
- ค่าสัมบูรณ์
- สมการค่าสัมบูรณ์
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
- อสมการค่าสัมบูรณ์
- โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์
10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์
- กราฟค่าสัมบูรณ์
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)
17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอนวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ เรื่ อ ง จ านวนจริ ง
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่าน
สามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับ
นี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง จานวนจริง
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง จานวนจริง ตระหนักถึง
ความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของจานวนจริง
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
ความเจริญก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้เริ่มบ่มเพาะจากเมล็ดพันธุ์ที่ฝั่งอยู่ในสานึกของมนุษย์ทุกคน
เมื่อความเป็นจาเป็นในการดารงชีวิต เป็นเหมือนกับน้าที่หล่อเลี้ยงและ ยังให้เมล็ดพันธุ์นี้ได้จาเริญงอกงาม
ขึ้น ผ่านวันเวลานานนับศตวรรษ ตามอู่อารยธรรมที่หลากหลายทั่วโลก ผ่านการลองผิด ลองถูก ความ
บังเอิญ การจัดระบบระเบียบทางความคิด การให้เหตุผล ตลอดจนการพัฒนาต่อยอด ที่สั่งสมสืบมาอย่าง
ต่อเนื่อง จนกลายเป็นไม้ใหญ่ที่หยัดยืน เหยียดยอดระบัดใบ อย่างในปัจจุบัน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในบรรดาศาสตร์สาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ทั้ง เรขาคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติ การนับ ความ
น่าจะเป็น สถิติ หรือในอีกหลากหลายสาขา ดูเหมือนว่าเมื่อสาวลงไปถึงแก่นของศาสตร์เหล่านี้แล้ว ย่อมจะ
พบจุดร่วมกันคือ “จานวน” และหากปราศจากองค์ความรู้เรื่อง “จานวน” เสียแล้ว ประดาศาสตร์ทั้งหลาย
เหล่านี้ จะยังเกิดมีขึ้นได้ละหรือ แลคงจะต้องปลาสนาการมลายหายสูญกันไปเสียสิ้น
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แล้วมนุษย์เริ่มรู้จัก “จานวน” ตั้งแต่เมื่อไร ต่อแต่นี้ไปเราจะย้อนกลับไปในช่วงเวลาที่มนุษย์เริ่ม
รังสรรค์สรรค์สัญลักษณ์เพื่อแทน “จานวน” ตามแหล่งอารยธรรมต่างๆ เท่าที่จะพอมีหลักฐานบันทึกและ
คาดคะเนไปถึงได้
อารยธรรมเมโสโปเตเมีย
อารยธรรมเมโสโปเตเมีย อยู่ในแถบลุ่มแม่น้า ไทกรีส-ยูเฟรตีส อารยธรรมนี้เริ่มก่อตัวขึ้นเมื่อ
ราว 4,000 ปีก่อนคริสตกาล มีศูนย์กลางหลักอยู่ที่ นครบาบิโลน หรือปัจจุบันคือจังหวัดบาบิล (Babil)
ในประเทศอิรัก อารยธรรมสาคัญของโลกแห่งนี้มีการประดิษฐ์และใช้อักษรคูนิฟอร์ม (Cuneiform) หรือ
อักษรลิ่ม ซึ่งเป็นการจารึกลงบนแผ่นดินเหนียว โดยใช้ก้านต้นอ้อกดลงบนแผ่นดินเหนียวขณะที่ยังอ่อนตัว
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อราว 1,800 ก่อนคริสตกาล ชาวอมอไรต์ ได้สถาปนานครบาบิโลน ให้เป็นเมืองหลวงของจักรวรรดิ
บาบิโลเนีย ต่อมาบาบิโลนได้ถูกรุกรานโดยชนชาติอื่นอีกหลายครั้ง ส่งผลให้นครแห่งนี้ได้สูญสลายลง
และต่อมาชาวคาลเดียนก็ได้สถาปนาอาณาจักรบาบิโลนขึ้นอีกครั้ง เมื่อราว 539 ปีก่อนคริสตกาล
ในด้านของระบบเลขฐาน ชาวเมโสโปเตเมียใช้ระบบฐานสิบ (decimal system) ในการเขียน
ตัวเลขแสดงจานวนที่น้อยกว่าหกสิบเมื่อต้องการเขียนแสดงจานวนมากกว่าหกสิบขึ้นไป กลับใช้ระบบ
ฐานหกสิบ (sexagesimal system) และหลักฐานทางประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชิ้นสาคัญชิ้นหนึ่งที่
สะท้อนให้เห็นถึงภูมิรู้และพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้านจานวน ของกลุ่มชนในดินแดนอารยธรรม
แห่งนี้ ก็คือ แผ่นดินเหนียวพลิมตัน 322 ซึ่งมีเนื้อหาส่วนหนึ่งแสดงตารางสามสิ่งอันดับแบบพีทาโกรัส
(Pythagorean triples) ซึ่งเป็นชุดตัวเลขที่มีความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส เช่น (119, 120,
169) และ (12709, 13500, 18541)
แผ่นดินเหนียวพลิมตัน 322 เป็นวัตถุโบราณหนึ่งในชุดของสะสมของพลิมตัน (George Arthur
Plimpton) ซึ่งซื้อมาจากพ่อค้าวัตถุโบราณชาวอเมริกัน ในปี ค.ศ. 1922 ต่อมาภายหลังพลิมตันได้มอบ
โบราณวัตถุอันทรงค่าทางคณิตศาสตร์ชิ้นสาคัญนี้ให้เป็นสมบัติของมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย ในปี ค.ศ.
1930
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมอียิปต์
ความอุดมสมบูรณ์ของแม่น้าไนล์ เป็นเสมือนสายเลือดหลักที่หล่อเลี้ยงอียิปต์ให้มีความเจริญงอก
งามทางอารยธรรมเป็นเวลายาวนานสืบต่อเนื่องกันราวเกือบ 3,000 ปี นับตั้งแต่ 3,100 ปีก่อน
คริสต์ศักราช และเช่นเดียวกันกับในอารยธรรมอื่นๆ เพื่อให้สามารถใช้และดารงรักษาความรู้ไว้ ตลอดจน
สามารถขยายถ่ายทอดความรู้ออกไปได้ ชาวอียิปต์จึงประดิษฐ์อักษรภาพที่เรียกว่า เฮียโรกริฟฟิค
(Hieroglyphics) ขึ้นมาเพื่อใช้งาน
ในแง่ของการใช้สัญลักษณ์แสดงจานวน ชาวอียิปต์ใช้ระบบฐานสิบ ใช้รูปขีดตั้งตรงเหมือนต้น
ข้าวแทนหนึ่ง รูปกระดูกส้นเท้าแทนสิบ ม้วนกระดาษแทน ร้อย ดอกบัวแทนพัน นิ้วชี้แทนหมื่น ลูกอ๊อด
(บางครั้งใช้ ปลา) แทนแสน และใช้คนชูมือ (บางครั้งใช้ คนตกใจ) แทนล้าน
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภูมิรู้ด้านคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์ นอกจากจะสะท้อนผ่านความเรืองรองทางสถาปัตยกรรม
สิ่งก่อสร้าง เช่น พีระมิดและวิหารเทพเจ้าต่างๆ แล้ว ยังพบว่าชาวอียิปต์มีการเขียนสัญลักษณ์แสดงจานวน
ในลักษณะของเศษส่วน และมีการถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์ ดังเห็นได้จาก พาไพรัสไรนด์ ซึ่งเป็น
เอกสารที่บันทึกโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ในสมัยนั้น
พาไพรัสไรนด์ เดิมเป็นสมบัติของ เฮนรี ไรนด์ (Alexander Henry Rhind) นักอียิปต์วิทยา ไรด์ซื้อม้วน
กระดาษโบราณที่มีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์นี้มาจากพ่อค้าของเก่าในตลาดเมืองลักซอร์ เมื่อปี
ค.ศ.1858 ต่อมาในปี ค.ศ. 1863 เขาได้มอบเอกสารโบราณทรงค่าชิ้นนี้ให้กับบริติช มิวเซียม
อารยธรรมมายัน
เมื่อประมาณกว่า 2,500 ปีล่วงมาแล้ว ในดินแดนอเมริกากลาง บริเวณชายฝั่งแถบยูคาตัน
(Yucatan) ซึ่งปัจจุบันเป็นส่วนหนึ่งของประเทศเม็กซิโก อารยธรรมอันรุ่งโรจน์ของชาวมายันได้เริ่ม
ก่อตัวขึ้น อารยธรรมที่โดดเด่นเป็นพิเศษในด้านดาราศาสตร์ การสร้างปฏิทินทางจันทรคติ เพื่อประโยชน์
ทางด้านการกสิกรรมและพิธีกรรม
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในด้านความอุดมของคณิตศาสตร์ ชาวมายันใช้สัญลักษณ์จุด () ซึ่งคล้ายก้อนกรวดเล็กๆ เพื่อ
แทน หนึ่ง และเพิ่มจานวนจุดเพื่อแทน สอง สาม สี่ แต่สาหรับ ห้า กลับแทนด้วยขีดขวาง ซึ่งมีลักษณะ
คล้ายกิ่งไม้ สิ่งสาคัญสิ่งหนึ่งของระบบเลขของมายัน คือการนาสัญลักษณ์คล้ายเปลือกหอยหรือวงรีมาใช้
เพื่อแทน ศูนย์ และมีการนาระบบเลขฐานยี่สิบมาใช้งาน
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมกรีก-โรมัน
รุ่งอรุณแห่งอารยธรรมกรีก ได้เริ่มฉายแสงแรกเมื่อราว 600 ปีก่อนคริสต์ศักราช โดยมีศูนย์กลาง
ความเจริญอยู่ที่นครรัฐเอเธนส์ ด้วยสภาพทางภูมิศาสตร์ที่เป็นจุดบรรจบของทั้งยุโรป เอเชีย และแอฟริกา
กอปรกับคุณลักษณะของชาวกรีกหรือชาวเฮลีน (Hellene) ที่สนใจที่จะตอบคาถามว่า “ทาไม” มากกว่า
“อย่างไร” ส่งผลให้อารยธรรมกรีกหรืออารยธรรมเฮเลนิคมีความรุ่งเรืองในทุกด้าน
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมกรีก นอกจากจะได้รับอิทธิพลโดยตรงจากอารยธรรมอียิปต์และเมโสโปเตเมียแล้ว ชาว
กรีกยังได้พัฒนาอารยธรรมที่มีเอกลักษณ์ของตนเองขึ้น หนึ่งในนั้นคือระบบจานวน ชาวกรีกใช้ระบบฐาน
สิบ และมีระบบการเขียนสัญลักษณ์แสดงจานวนที่นิยมอยู่หลายแบบ แต่มีหลักการร่วมกันคือการใช้
ตัวอักษรกรีกแทนจานวน
ระบบการเขียนแสดงจานวนที่ชาวกรีกนิยมใช้มีอยู่ 2 แบบ คือ
1. ระบบแอคโครโฟนิค ซึ่งใช้รอยขีดลงตามจานวนเพื่อแสดงหนึ่งถึงสี่ ใช้สัญลักษณ์พิเศษเพื่อแทนห้า
และใช้ตัวอักษรแรกของชื่อจานวนเพื่อแสดงจานวนนั้นๆ นอกจากนี้ยังมีการกาหนดสัญลักษณ์ใหม่ โดย
ใช้สัญลักษณ์เดิมมาประสมกัน เช่น ใช้สัญลักษณ์ของห้าและสิบมาเขียนรวมกันเพื่อแทนห้าสิบ เป็นต้น
2. ระบบตัวเลขเชิงอักษร ซึ่งใช้อักษรกรีกแทนจานวน แบ่งออกอักษรออกเป็นสามกลุ่มกลุ่มละ 9 ตัว
เพื่อแทน 1-9 10-90 และ 100-900 ตามลาดับ
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในเวลาใกล้เคียงกับที่อารยธรรมกรีกกาลังเจริญรุ่งเรือง ณ บริเวณคาบสมุทรอิตาลี อารยธรรม
โรมัน หนึ่งในอารยธรรมโบราณที่มีพัฒนาการสูงสุด ก็กาลังก่อตัวขึ้น ด้วยความสามารถทางการทหาร
และการปกครอง โรมันจึงสามารถมีอานาจเหนือนครรัฐกรีก แต่ขณะเดียวกันโรมันกลับเป็นผู้รับเอา
ปัญญาความคิดของกรีกไปเก็บรักษาและปรับใช้กับอารยธรรมของตน
ในแง่ของระบบตัวเลข แม้ว่าระบบตัวเลขแบบโรมันจะสะดวกในการใช้จดบันทึกมากกว่าระบบ
ตัวเลขแบบอื่นๆ แต่ถึงกระนั้นก็ตาม การคานวณด้วยตัวเลขแบบโรมันกลับเป็นเรื่องที่ยากและเยิ่นเย้อ ด้วย
ข้อด้อยนี้เองที่อาจทาให้การพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในโลกตะวันตกเป็นไปอย่างเชื่องช้า (ดนตรีนิ้งหน่อง)
จนกระทั่งโลกได้รู้จักกับอารยธรรมอินเดียและอารยธรรมอิสลาม
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมอินเดีย
ราว 1,500 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวอารยันได้เริ่มเข้ามาตั้งถิ่นฐานในบริเวณแถบลุ่มแม่น้าสินธุ
และสร้างอารยธรรมใหม่ของตนเองโดยผสานรวมกับอารยธรรมของท้องถิ่นเดิม จนกลายเป็นอารยธรรม
อารยันที่มีความโดดเด่นเทียบได้กับอารยธรรมในแถบซีกโลกตะวันตก
ในด้านคณิตศาสตร์อารยธรรมอารยันใช้ระบบฐานสิบและมีการเขียนสัญลักษณ์แสดงจานวน
โดยสัญลักษณ์เหล่านี้ถูกปรับเปลี่ยนไปตามช่วงเวลาต่างๆ ในช่วงแรกนั้น อินเดียยังไม่มีการใช้สัญลักษณ์
แทนศูนย์ จวบจนราวคริสต์ศักราชที่ 700 จากหลักฐานที่ปรากฏในงานของพรหมคุปต์
(Brahmagupta, 598 - 668) นักคณิตศาสตร์คนสาคัญของอินเดีย ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นบุคคลแรกที่กาหนด
สัญลักษณ์วงกลม เพื่อแทนศูนย์ แนวคิดเกี่ยวกับศูนย์ของอินเดีย นอกจากจะใช้ในการเปลี่ยนหลักเหมือน
ในอารยธรรมมายัน อินเดียยังมองว่า 0 ซึ่งออกเสียงว่า สูญญ (Sunya) เป็นตัวเลขตัวหนึ่งในการแสดง
ความไม่มีหรือความว่างเปล่า
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมอาหรับ
ราวคริสต์ศตวรรษที่ 5 ถึงคริสต์ศตวรรษที่ 15 ในช่วงที่โลกยุโรปกาลังตกอยู่ในยุคมืด (Dark age)
เป็นระยะเวลายาวนานเกือบหนึ่งพันปี แต่ในโลกอาหรับช่วงเวลาดังกล่าวราวคริสต์ศตวรรษที่ 8 จนถึง
กลางคริสต์ศตวรรษที่ 15 กลับเป็นยุคที่อารยธรรมอาหรับมีความเจริญรุ่งเรืองทางด้านศิลปวิทยาการถึง
ขีดสุด
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
อารยธรรมนี้มีรากฐานจากแรงศรัทธาทางศาสนา โดยมีศูนย์กลางอยู่บริเวณกรุงแบกแดด ซึ่งเป็น
จุดเชื่อมต่อระหว่างโลกตะวันตกและโลกตะวันออก บทบาทสาคัญที่เด่นชัดของอารยธรรมอิสลาม
นอกจากจะช่วยธารงรักษาภูมิปัญญาโบราณ ด้วยการแปลตาราจากภาษากรีกเป็นภาษาอาหรับเป็น
จานวนมาก เช่น หนังสืออิลิเมนต์ (The elements) ของ ยุคลิด(Euclid, 450 – 380 ปีก่อนคริสต์ศักราช)
แล้ว ยังเป็นที่ประจักษ์ว่าแนวคิดใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่ปรากฏในยุโรปช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 16 ถึง
คริสต์ศตวรรษ 18 ล้วนแต่เป็นความรู้ที่ชาวอาหรับได้ค้นพบก่อนแล้วกว่า 400 ปี
จากหลักฐานใน หนังสือของ อัลควาริซมี (al – Khwarizmi, Muhammad Ibn Musa, ค.ศ. 780 -
850) นักคณิตศาสตร์คน สาคัญของโลก พบว่าบทบาทที่สาคัญยิ่งอีกประการของหมู่นัก
คณิตศาสตร์ชาว อาหรับ คือการเปลี่ยนกระบวนทัศน์ทางคณิตศาสตร์จากแบบเก่าของกรีกที่อิงแนวคิดเชิง
เรขาคณิต ซึ่ง ตั้งอยู่บนฐานคิดของการ คานวณจากการวาดรูปจริง มาเป็นแบบใหม่ที่อิง แนวคิดเชิง
พีชคณิต
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากการติดต่อทางการค้าของกองคาราวานที่รอนแรมมาจากอินเดีย ทาให้ระบบฐานสิบและตัวเลข
ศูนย์ ได้แพร่ขยายไปสู่อารยธรรมอิสลาม ส่งผลให้ประเทศในแถบอาหรับมีระบบตัวเลขอยู่หลายแบบ และ
หนึ่งในนั้นคือระบบตัวเลขสาหรับงานทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นระบบฐานสิบ โดยอาศัยการกาหนดค่า
ประจาหลักและเลขโดด 0 ถึง 9 ที่รับมาจากอินเดีย โดยรูปแบบการเขียนมีการปรับเปลี่ยนไปตามกาลเวลา
จนเป็นรูปแบบที่คล้ายกับการเขียนตัวเลขในปัจจุบัน ซึ่งเรียกว่าระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก
จากการติดต่อค้าขาย และการขยายตัวของอาณาจักรมุสลิม ส่งผลให้ภูมิรู้ของอารยธรรมอิสลามทั้ง
ที่ได้จากการแปลตารากรีก การพัฒนาองค์ความรู้ขึ้นเอง และการรับอิทธิพลจากอินเดีย ค่อยๆ แพร่ขยาย
แทรกซึม และสืบต่อไปสู่ดินแดนแถบยุโรป
จากแต่ละอารยธรรม ที่สืบต่อภูมิรู้ทางด้านจานวน จากรอยบากบนกิ่งไม้เพื่อช่วยในการนับ กลับ
กลายเป็นระบบจานวนที่ช่วยแก้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่า การสืบต่อนี้เป็นเหมือนเชือกที่สืบสายทอดยาว
หากแต่เมื่อหลายอารยธรรมได้ติดต่อสื่อสาร แลกเปลี่ยนเรียนรู้ทั้งทางตรงและทางอ้อม เชือกแห่งภูมิ
ปัญญาของแต่ละอารยธรรม กลับกระหวัดเกี่ยว ถักทอจนเป็นเกลียวเชือกอันฝั่นแน่นมั่นคง ให้มนุษย์ได้ใช้
ชุดดึงและสร้างเป็นองค์ความรู้คณิตศาสตร์ในแขนงต่างๆ ต่อไป
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง จานวนจริง
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จานวนจริง
สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง
พื้นฐานการแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบ ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
การแก้สมการพหุนาม
สมการพหุนาม
โจทย์ประยุกต์
เส้นจานวนและช่วง
อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ
โจทย์ประยุกต์
สมบัติพื้นฐานของค่าสัมบูรณ์
การแก้สมการค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์ โจทย์ประยุกต์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
19
ก

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
23