Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Terdapat dua jenis deret yaitu deret hitung dan deret ukur, yang membedakan suku-sukunya masing-masing melalui penjumlahan dan perkalian terhadap bilangan tertentu. Deret dapat digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena ekonomi seperti pertumbuhan usaha, bunga bank, dan pertumbuhan penduduk.

1. APLIKASI
DERET
PERTEMUAN KE-2

2. DERET
Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun
secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah
tertentu.
Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan
pembentuk sebuah deret dinamakan suku

3. DERET HITUNG
• Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan
tertentu.
• Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret
hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara
nilai-nilai dua suku yang berurutan.
• Contoh:
• 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5)
• 2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 (pembeda = - 10)
• 3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 2)

4. • Suku ke-n dari deret hitung
– Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah
deret hitung dapat dihitung melalui sebuah
rumus.
• a : suku pertama atau S1
• b : pembeda
• n : indeks suku
– Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari
deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah
• S10 = a + (n - 1)b
• S10 = 7 + (10 - 1)5
• S10 = 7 + 45
• S10 = 52.
– Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32
adalah 52.
Sn = a +(n-1)b
• Jumlah n suku deret hitung
– Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan
suku tertentu adalah jumlah nilai suku-
sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a)
sampai dengan suku ke-n (Sn) yang
bersangkutan.
– Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai
dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk
rumus yang bisa digunakan
– Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai
suku ke-10 adalah
• J 10 = 10/2 (7 + S10)
• J10 = 5 (7 + 52)
• J10 = 295
 
n
n S
a
2
n
J 


5. DERET UKUR (DU)
– Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
– Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur
dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai
suatu suku terhadap nilai suku di depannya.
– Contoh
• 5, 10, 20, 40, 80,160 (pengganda = 2)
• 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)
• 2, 8, 32, 128, 512 (pengganda = 4)

6. – Suku ke-n dari DU
• Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah
deret ukur:
– Sn = apn-1
» a : suku pertama
» p : pengganda
» n : indeks suku
• Contoh
– Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 5, 10, 20,
40, 80,160 adalah
» S10 = 5 (2)10-1
» S10 = 5 (512)
» S10 = 2560
– Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40,
80,160 adalah 2560
• Jumlah n suku deret hitung
– Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu
adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama
sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.
– Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-
n, yakni:
– Jika p <1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri
akan lebih mempermudah perhitungan. Jika p >1,
menggunakan rumus yang di sebelah kanan.
– Contoh:
• Jumlah suku dari deret hitung 5, 10, 20, 40, 80,
160 adalah 5115
1
-
p
1)
a(p
J
atau
p
1
)
p
a(1
J
n
n
n
n






7. Deret dalam penerapan ekonomi
Model Perkembangan Usaha
Jika perkembangan variabel-variabel
tertentu dalam kegiatan usaha
(produksi, biaya, pendapatan,
penggunaan tenaga kerja, atau
penanaman modal) bertambah secara
konstan dari satu periode ke periode
berikutnya.
.
Model Bunga Majemuk
• Model bunga majemuk
merupakan penerapan deret
ukur dalam kasus simpan-
pinjam dan kasus investasi.
• Dengan model ini dapat
dihitung; misalnya, besarnya
pengembalian kredit di masa
datang berdasarkan tingkat
bunganya. Atau sebaliknya,
untuk mengukur nilai sekarang
dari suatu jumlah hasil
investasi yang akan diterima di
masa datang.
Model Pertumbuhan
Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling
konvensional di bidang ekonomi
adalah dalam hal penaksiran jumlah
penduduk

8. Model Perkembangan Usaha
• Contoh
– Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu
pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja
dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan
produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika perkembangan
produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan
kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan
tersebut?
– Diketahui:
• a = 3.000 S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000
• b = 500
• n = 5
• Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus, sedangkan
jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut
20.000 bungkus.
Sn = a +(n-1)b  
n
n S
a
2
n
J 


9. Model Bunga Majemuk
– Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah
– Fn = P(1 + i)n
P : jumlah sekarang
i : tingkat bunga per tahun
n : jumlah tahun
– Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di
masa datang adalah:
F : jumlah di masa datang
i : tingkat bunga per tahun
n : jumlah tahun  
F
i
1
1
P n




10. Model Bunga Majemuk
• Seorang nasabah meminjam uang di bank
sebanyak Rp 5 juta untuk jangka waktu 3
tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun.
Berapa jumlah seluruh uang yang harus
dikembalikannya pada saat pelunasan?
• Dikteahui:
– P = 5.000.000 JUMLAH SKRG
– n = 3 JUMLAH TAHUN
– i = 2% = 0,02 TINGKAT BUNGA
• Penyelesaian:
– F = P (1 + i )n
– F = 5.000.000 (1 + 0,02)3
– F = 5.000.000 (1,061208)
– F = 5.306.040

11. MODEL BUNGA
MAJEMUK
Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar
Rp.532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat
bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan
mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?
– F = 532.400 jumlah di masa depan
– n = 3 jumlah tahun
– i = 10% = 0,1 tingkat bunga pertahun
 P = 400.000
– Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000,00.
 
F
i
1
1
P n



 
532.400
0.1
1
1
P 3




12. Model Pertumbuhan Penduduk
Pt = P1.Rt-1
Dimana R = 1 + r
–Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis)
–Pt : Jumlah pada tahun ke-t
–r : persentase pertumbuhan per tahun
–t : indeks waktu (tahun)

13. MODEL
PERTUMBUHAN
PENDUDUKAN
Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991,
tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah
penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun
2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa
jumlahnya 11 tahun kemudian ?
– Pt = P1 R t-1 Dimana: R = 1 + r
– P1 = 1 juta P tahun 2006 = P16 = 1 juta (1,04)15
– r = 0,04 = 1 juta (1,800943)
– R = 1,04 = 1.800.943 jiwa
– P1= 1.800.943 P 11 tahun kemudian = P11
– r = 0,025 P11 = 1.800.943 (1,025)10
– R = 1,025 P11 = 2.305.359 jiwa

14. LATIHAN SOAL
1 Jika Bapak Joni mendepositokan uangnya di bank sebesar Rp.
5.000.000 dengan tingkat bunga 12% pertahun, berapakah nilai
total deposito Bapak Joni pada akhir tahun ke-enam ?
2 Kezia membeli sebuah laptop secara kredit selama 36 bulan
seharga Rp.4.800.000,- dengan bunga sebesar 5% per tahun.
Kezia melakukan pembayaran bunga per triwulan. Berapa total
bunga yang di bayarkan? Berapa jumlah bunga yang harus
dibayarkan tiap triwulan?
3 Gatot menginginkan agar uangnya menjadi Rp 65.750.000 pada
5 tahun yang akan datang, berapakah jumlah uang yang harus
ditabung Gatot saat ini seandainya diberikan bunga sebesar 25
% per tahun ?

15. 1. P = 5.000.000
n = 6
i = 12 % = 0,12 Model Bunga Majemuk
F6 = 5.000.000 (1 + 0,12)6 Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang
F6 = 5.000.000 (1,973) Fn = P(1 + i)n
F6 = Rp. 9.865.000
2. 36 bulan = 3 tahun
3 tahun x 5% = 15 %
Rp. 4.800.000 x 15 % = Rp. 720.000
Rp. 720.000 : 3 = Rp. 240.000
1 tahun 4x triwulan
Rp. 240.000 : 4 = Rp. 60.000
Jadi, Kezia melakukan pembayaran setiap triwulan sebesar Rp. 60.000
3. F5 = 65.750.000
i = 25 % = 0,25 n = 5 Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang
P = 65.750.000 / ( 1 + 0,25 )5
P = 65.750.000 / 3,018= 21.785.950,96 = 21.785.951 (dibulatkan)
Analisis : Jadi, jumlah uang yang harus ditabung Gatot saat ini adalah Rp 21.785.951
 
F
i
1
1
P n


