Gráficas, curvas y superficies de nivel

1. LA ELIPSE

2. LAS CONICAS

3. La elipse
•Es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos
puntos fijos llamados
focos es constante.

4. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
• Focos: Son los puntos fijos F y F'.
• Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
• Eje secundario: Es la mediatriz del
segmento FF'.
• Centro: Es el punto de intersección de los
ejes.
• Radios vectores: Son los segmentos que
van desde un punto de la elipse a los focos:
PF y PF'.
• Distancia focal: Es el segmento de
longitud 2c, c es el valor de la semi
distancia focal.

5. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
• Vértices: Son los puntos de intersección de
la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
• Eje mayor: Es el segmento de
longitud 2a, a es el valor del semieje
mayor.
• Eje menor: Es el segmento de
longitud 2b, b es el valor del semieje
menor.
• Ejes de simetría: Son las rectas que
contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de simetría: Coincide con el centro
de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.

6. EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
•La excentricidad de la
elipse es igual al cociente
entre su semi distancia
focal y su semieje mayor.
•𝑒 =
𝑐
𝑎

7. Relación de la distancia focal y los semiejes
• Quiere decir que el semi eje mayor (a) al cuadrado es la suma de los
cuadrados del semi eje menor (b) y la distancia focal (c).

8. ECUACION DE LA ELIPSE
• Tomamos como centro de la elipse el centro de
coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de
coordenadas. Las coordenadas de los focos son: (-c,0)
y (c, 0).
• Cualquier punto de la elipse cumple:
• 𝑃𝐹 + 𝑃𝐹´ = 2𝑎
• (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎
• Al final queda:
•
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 Ecuación reducida o ordinaria de una
elipse.

9. Ecuación de la elipse
• Si el eje principal está en el de
ordenadas se obtendrá la siguiente
ecuación:
•
𝑦2
𝑎2 +
𝑥2
𝑏2 =1
• Las coordenadas de los focos son:
• F'(0, −c) y F(0, c)

10. Ejemplo
• Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse
de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
• Determinar la ecuación de la elipse conociendo:
• C(0,0) F(0,4) A (0,5)
• Dada la ecuación reducida de la elipse
𝑦2
9
+
𝑥2
4
=1 , hallar las
coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

11. Ecuación de la elipse
• Si el centro de la elipse C(h, k) y el eje principal es paralelo al
eje X, los focos tienen de coordenadas F(h+c, k) y F'(h−c, k). Y
la ecuación de la elipse será:
•
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 =1
• Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general,
una ecuación de la forma:
• 𝑏2
(𝑥2
− 2𝑥ℎ + ℎ2
) + 𝑎2
(𝑦2
− 2𝑥𝑘 + 𝑘2
) = (𝑎𝑏)2
• 𝑏2𝑥2 − 2𝑏2𝑥ℎ + 𝑏2ℎ2 + 𝑎2𝑦2 − 2𝑎2𝑥𝑘 + 𝑎2𝑘2 = (𝑎𝑏)2
• 𝑏2
𝑥2
+ 𝑎2
𝑦2
− 2𝑏2
ℎ𝑥 − 2𝑎2
𝑥𝑘 + 𝑏2
ℎ2
+ 𝑎2
𝑘2
− 𝑎𝑏 2
= 0
• 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 ECUACION GENERAL

12. Ecuación de la elipse
• Si el centro de la elipse C(h, k) y el eje principal
es paralelo al eje y, los focos tienen de
coordenadas F(h, k+c) y F'(h, k-c). Y la ecuación
de la elipse será:
•
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 +
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 =1

13. Ejemplos
• Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de
centro C (4, 2).
• Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos,
de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
• Halla la ecuación de la elipse conociendo:
• c(1,0) f (2,0) A (3,0).
• C(1, -1) f( (0,4) A (1,4)
• C(-3,2) F ( -1, 2) A (2,2)