1. PLANO NUMÉRICO O
CARTESIANO
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial de Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado – Lara
Profesor: Nelson Torcate
Sección: 0100
PNF: Turismo
Alumna: Gabriela Figueroa
2. PLANO NUMÉRICO
El plano cartesiano consiste en dos rectas perpendiculares
llamadas ejes que intersectan en un punto llamado origen.
La recta horizontal llamada: eje X o abscisas
La recta vertical llamada: eje Y u ordenadas
Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.
Los puntos en el plano cartesiano se llaman pares ordenados y
se representan por el símbolo P (x ; y )
Se divide en cuatro cuadrantes:
Cada punto en el plano cartesiano puede
representarse con un par ordenado de
números (x, y).
Para trazar un punto de un par ordenado, parte del origen,
el punto (0, 0), donde se cruza el eje de las x y el eje de las
y. La primera coordenada indica las unidades que hay
que desplazarse en x, a la izquierda o a la derecha; la
segunda indica cuántas unidades hay que subir o bajar.
3. DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente
debemos conocer las coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos
puntos cualquieras para luego, a partir de estos generar un criterio
para cualquiera sea el par de puntos a los que posteriormente
calculemos la distancia.
Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al
primer cuadrante del plano cartesiano. Calcular la distancia entre
ambos.
Para generar este calculo, deberemos ubicar los puntos en el plano
cartesiano de manera que al generar el segmento que subtienden los
puntos, este no sea paralelo a ningún eje coordenado. Una vez que
se ubican los puntos, se debe ubicar un tercer punto referencial al
que llamaremos C, que tendrá coordenadas C=(w,y) de manera de
este punto genere un triángulo rectángulo y siendo precisamente el
vértice del ángulo recto. Quedando precisamente un gráfico como el
que veremos a continuación.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Calcularemos el punto medio del segmento AB. Para eso
utilizaremos el concepto de promedio, para calcular la distancia
intermedia entre dos longitudes debemos calcular el promedio de
estas. Si queremos saber cual es la distancia promedio entre 5 y 7,
sumamos las variables y dividimos por 2, el resultado claramente es
6. Entonces ahora para calcular una distancia media entre dos
puntos se deberá ocupar el mismo concepto. Se debe analizar por
separado cada eje coordenado y así se poder encontrar el punto
medio, según los puntos encontrados para cada eje coordenado.
4. LA CIRCUNFERENCIA
una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma
distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro
ELEMENTOS BÁSICOS
Centro: punto central que está a la misma
distancia de todos los puntos pertenecientes a
la circunferencia.
Radio: pedazo de recta que une el centro
con cualquier punto perteneciente a la
circunferencia.
Cuerda: pedazo de recta que une dos
puntos cualquiera de una circunferencia.
Diámetro: mayor cuerda que une dos
puntos de una circunferencia. Hay infinitos
diámetros y todos pasan por el centro de la
circunferencia.
Recta secante: recta que corta dos puntos
cualesquiera de una circunferencia.
Recta tangente: recta que toca a la
circunferencia en un solo punto y es
perpendicular a un radio.
5. ELIPSE
La elipse es una curva cónica cerrada, plana y simétrica respecto a
sus ejes mayor y menor, perpendiculares entre sí. Es el resultado de
la sección de un cono por un plano oblicuo a su eje de simetría con
ángulo mayor que el que forma la generatriz del cono respecto al eje
de revolución.
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2=
cte=2a.
Su excentricidad es siempre menor que la unidad.
La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es
constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se
designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual
distancia de su punto medio.
El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal
(perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en
sus respectivos puntos medios.
La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia
focal se designa 2c).
Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se
denominan radios vectores y se designan r y r’.
6. ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c,
c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con
los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es
el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es
el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje
mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse,
que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
7. EJEMPLOS
Hallar la ecuación de la
circunferencia r=1 C(4,2)
(𝑥 − ℎ)2
+(𝑦 − 𝑘)2
=
𝑟2
sustituimos
(𝑥 − 4)2
+(𝑦 − 2)2
= 12
Encontrar la ecuación de la elipse
cuyos focos sean
𝐹1(2,0) 𝐹2 −2,0 ; 2𝑎 = 10
Sol
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 note q los focos
están en el eje horizontal luego c=2 ;
a=5; b=?
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
𝑏2
= 25- 4
𝑏2
=21
b=√21
Luego la ecuacion de la elipse es:
(𝑥−0)2
52 +
(𝑦−0)2
21
= 1
𝑥2
25
+
𝑦2
21
=1
8. HIPÉRBOLA
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto
mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor
que el de la generatriz respecto del eje de revolución. En geometría analítica, una
hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia
entre los vértices, la cual es una constante positiva.
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA:
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del
segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección
de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje
imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno
de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
9. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: y=-
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 =
𝑏
𝑎
x
Relación entre los semiejes: 𝑐2=𝑎2+𝑏2
ECUACIONES CANÓNICAS EN COORDENADAS
CARTESIANAS
La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas O(0,0) es representable
mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como
ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:
En dichas ecuaciones a, b y c, representan a los semiejes tranverso, conjugado y
focal, respectivamente. La ecuación (1) representa a las hipérbolas cuyo eje focal es
colineal al eje x y la (2) para aquellas que lo son respecto al eje y. En la primera
ecuación, los focos están en F(±c,0) y los vértices en V(±a,0). En la segunda, los focos
están en F(0,±c)y los vértices en V(±a,0). En cualquier caso, la relación entre los tres
semiejes viene dada por la igualdad:
10. Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente a>b.
Ecuaciones de una hipérbola con centro en el punto C(h,k) Como en el caso anterior,
la ecuación asume una de las siguientes formas:
La ecuación (4) corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos al eje x, en las
cuales el vértice se halla en V(h±a,k)} y los focos en F(h±c,k). La ecuación (5) es la de las
hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos respecto al eje y en las cuales los vértices
están ubicados en V(h,k±a) y los focos en F(h,k ± c).
11. EJEMPLO
el eje de una hipérbola mide 20cm y la longitud del eje
imaginario es de 10cm. hallar la ecuación si su centro es
( 0, 0 ) = ( h , k )
Eje real 2a = 20cm a 10cm (coincide con eje x)
Eje imaginario 2b b= 5cm
La ecuación real es
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 =1 a>b
Luego sustituimos
(𝑥−0)2
102 +
(𝑦−0)2
52 =1
𝑥2
100
+
𝑦2
25
=1
Grafico
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
C= √𝑎2
+ 𝑏2
= √100+25
=√125
=
5
10
𝑥 = 0,5x
Distancia focal 2c = 2.5√5 = 10√5
2c = 10√5
12. PARÁBOLA
Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una
recta fija y un punto fijo.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le
llama parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre
de eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver
como el punto de intersección del eje con la parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con
el foco.
